2025中考數(shù)學熱點題型專練：四邊形中的證明與計算問題（含答案解析）

專題09四邊形中的證明與計算問題

目錄

熱點題型歸納.............................................................................................1

題型01以平行四邊形為載體的證明、性質應用及邊角計算....................................................1

題型02以矩形為載體的證明、性質應用及邊角計算..........................................................4

題型03以菱形為載體的證明、性質應用及邊角計算..........................................................8

題型04以正方形為載體的證明、性質應用及邊角計算.......................................................12

中考練場.................................................................................................16

題型01以平行四邊形為載體的證明、性質應用及邊角計算

01題型綜述________________________________________

以平行四邊形為載體的證明、性質應用及邊角計算是初中數(shù)學幾何板塊的核心內容之一，它依托平行四邊形獨特的

性質，綜合考查學生對幾何知識的理解與運用，常與三角形等知識融合，在中考數(shù)學中分值占比約5%-8%o

1.考查重點：重點考查對平行四邊形性質（對邊平行且相等、對角相等、對角線互相平分）的熟練運用，以及基于這

些性質進行幾何證明和邊角計算，同時考查能否結合其他幾何圖形知識解決綜合問題。

2.高頻題型：高頻題型有證明一個四邊形是平行四邊形；利用平行四邊形性質證明線段相等、角相等或直線平行；已

知平行四邊形部分邊角條件，計算其他邊角的大?。辉谄叫兴倪呅闻c三角形等組合圖形中，進行邊角關系的推理與計

算。

3.高頻考點：考點集中在平行四邊形的判定定理（如兩組對邊分別平行、兩組對邊分別相等、一組對邊平行且相等、

兩組對角分別相等、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）的應用，平行四邊形性質在證明和計算中的運用，以及

平行四邊形與三角形全等、相似等知識的綜合考查。

4.能力要求：要求學生具備較強的邏輯推理能力，能夠依據(jù)已知條件合理選擇平行四邊形的判定與性質進行證明和計

算；擁有良好的圖形分析能力，從復雜圖形中識別出平行四邊形及相關幾何關系；掌握扎實的幾何運算能力，準確求

解邊角數(shù)值。

5.易錯點：易錯點在于判定平行四邊形時條件使用不充分或錯誤；在運用平行四邊形性質時，對邊、角、對角線關系

混淆；在綜合圖形中，不能有效整合平行四邊形與其他圖形的性質，導致證明和計算出錯；計算過程中粗心大意，出

現(xiàn)數(shù)值計算錯誤。

02解題攻略

【提分秘籍】

L平行四邊形的性質:———

①邊的性質：兩組對邊分別平行且相等。

②角的性質：對角相等，鄰角互補。

③對角線的性質：對角線相互平分。即對角線交點是兩條對角線的中點。

④對稱性：平行四邊形是一個中心對稱圖形，繞對角線交點旋轉180°與原圖形重合。

⑤面積計算：等于底乘底邊上的高。等底等高的兩個平行四邊形的面積相等。

2.平行四邊形的判定：

①一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

符號語言：：AB〃DC,AB=DC,.?.四邊行ABCD是平行四邊形

②兩組對邊分別相等（兩組對邊分別平行）的四邊形是平行四邊形。

符號語言：：AB=DC,AD=BC（AB〃DC,AD〃BC）,二四邊行ABCD是平行四邊形.

③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

符號語言：VZABC=ZADC,ZDAB=ZDCB,二四邊行ABCD是平行四邊形

④對角線相互平行的四邊形是平行四邊形。

符號語言：0OA=OC,OB=OD,回四邊行ABCD是平行四邊形

【典例分析】

例1.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，ABCD中，3C=2,點E在。A的延長線上，BE=3,若瓦1平分/EBC,

貝3=.

例2.（2023?廣東深圳?中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4,BC=6,將線段43水平向右平移。個單位

長度得到線段ER，若四邊形ECD尸為菱形時，則。的值為（）

C.3D.4

例3.（2022廣東廣州?中考真題）如圖，在，ABCD中，AD=IO,對角線AC與8。相交于點。，AC+BD=22,貝必8。7

的周長為

【變式演練】

1.（2025?廣東揭陽?一模）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形,￡,廠分別為48和BC的中點，CE=5,。尸=萬，AB=45，

C.V35D.后

2.（2025?廣東廣州?一模）如圖，瓦尸是A3C。的邊AD上的兩點，連接CE,8歹交于點O,4EOb的面積為4,BOC

的面積為9,四邊形ABOE的面積為7,則圖中陰影部分的面積為.

3.（2024?廣東深圳?模擬預測）如圖，在ABCD中,E,尸是對角線8。上的兩點（點E在點/左側），且ZAEB=ZCFD=90°.

A

⑴求證：四邊形MC廠是平行四邊形；

3

⑵當AB=5,tanZABE=-,=時，求2D的長.

4.（2025?廣東梅州?一模）如圖，ABCD中，點E是凡D的中點，連接CE并延長交朋的延長線于點尸.

⑴求證：AF=AB；

（2）點G是線段A尸上一點，滿足ZFCG=/FCD,CG交AD于點、H.

①求證：AHCH=DHGH■,

②若AG=2,尸G=6,求G8的長.

題型02以矩形為載體的證明、性質應用及邊角計算

01題型綜述________________________________________

以矩形為載體的證明、性質應用及邊角計算是初中數(shù)學幾何板塊中對特殊平行四邊形深入研究的重要內容，依托矩

形特有的性質，綜合考查學生對幾何知識的掌握與運用能力，常與三角形等知識融合，在中考數(shù)學中分值占比約5%-8%o

1.考查重點：重點考查對矩形性質（四個角是直角、對角線相等且互相平分）的透徹理解與靈活運用，基于這些性質

開展幾何證明，以及結合勾股定理、相似三角形等知識進行邊角的精確計算，并關注與其他幾何圖形性質的關聯(lián)運用。

2.高頻題型：高頻題型有證明一個四邊形是矩形；利用矩形性質證明線段相等、角相等、直線垂直；已知矩形的邊長、

對角線等部分條件，計算內角大小、對角線夾角、面積等邊角及圖形相關數(shù)值；在矩形與三角形、其他四邊形構成的

復雜圖形中，推導并計算復雜的邊角關系。

3.高頻考點：考點集中在矩形判定定理（有一個角是直角的平行四邊形是矩形、對角線相等的平行四邊形是矩形、三

個角是直角的四邊形是矩形）的準確應用，矩形性質在證明和計算中的運用，以及矩形與直角三角形（由矩形內角為

直角產(chǎn)生）、等腰三角形（對角線相等產(chǎn)生）相關知識的綜合考查，例如運用勾股定理求邊長、借助相似三角形求線段

比例。

4.能力要求：要求學生具備較強的邏輯推理能力，能夠根據(jù)已知條件合理選用矩形的判定和性質進行嚴密證明；擁有

良好的圖形分析能力，從復雜圖形中識別出矩形及其蘊含的特殊幾何關系；掌握扎實的運算能力，尤其是勾股定理、

相似三角形等知識在矩形邊角計算中的應用。

5.易錯點：易錯點在于判定矩形時條件使用錯誤或不完整，比如僅依據(jù)對角線相等就判定四邊形是矩形；在運用矩形

性質時，混淆對角線與邊、角之間的關系，致使證明出錯；在計算邊角時，因對矩形中特殊三角形（直角三角形、等

腰三角形）的性質理解不深，運用勾股定理、相似三角形知識出現(xiàn)偏差；在綜合圖形中，不能有效整合矩形與其他圖

形性質，導致思路中斷。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.矩形的性質:

①具有平行四邊形的一切性質。

②矩形的四個角都是直角。

③矩形的對角線相等。

④矩形既是一個中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。對角線交點是對稱中心，過一組對邊中點的直線是矩形的

對稱。

⑤由矩形的對角線的性質可知，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

2.矩形的判定：

（1）直接判定：

有三個角（四個角）都是直角的四邊形是矩形。

（2）利用平行四邊形判定：

①定義：有一個角是直角（鄰邊相互垂直）的平行四邊形是矩形。

②對角線的特殊性：對角線相等的平行四邊形是矩形。

【典例分析】

例1.（2022廣東廣州?中考真題）如圖，在矩形A8C。中，BC=2AB,點P為邊AD上的一個動點，線段8尸繞點B順

時針旋轉60。得到線段連接PP,CP'.當點P落在邊BC上時，/PPC的度數(shù)為；當線段CP的長度

最小時，/PPC的度數(shù)為

例2.（2023?廣東?中考真題）綜合探究

如圖1,在矩形A2CD中（筋＞短＞）,對角線AC,3。相交于點。，點A關于8D的對稱點為A，，連接A4咬50于點E,

連接G4'.

圖1圖2圖3

⑴求證：AA'±CA'；

⑵以點。為圓心，OE為半徑作圓.

①如圖2,。與CD相切，求證：A4'=y/3CA'；

②如圖3,，。與CA相切，AD=1,求。的面積.

【變式演練】

1.（2025?廣東?模擬預測）如圖，已知四邊形AC班）是矩形,點8在直線MN上，若BD平分ZABN,則下列結論不能

推出的是（）

A.2C平分NASA/B.CD//MN

C.o^BOC是等邊三角形D.NCOB=2ZABD

2.（2024.廣東深圳?模擬預測）如圖，矩形A5CZ）的長BC=厲，將矩形對折，折痕為PQ,展開后，再將/C

折到ND所的位置，使點C剛好落在線段AQ的中點尸處，則折痕OE=.

AD

p------------

3.(2025?廣東深圳?三模)【問題提出】

(1)如圖1,在矩形ABC。中，點E,尸分別是邊AD,AB上的點，連接CE與。方交于點。，若？FOC90?,求證:

CE_AB

5F-AD；

4E八

口AE____________

B'-------------------------VCC

圖1圖2圖3

【遷移應用】

(2)如圖2,在.A3C。中，AB=4,AD=7,點E,下分別是邊A￡>,AB上的點，連接CE與。尸交于點。，且

ZCOD+ZBAD=180°,求——的值；

DF

【拓展提高】

(3)如圖3,在四邊形ABC。中，點E是邊上的一點，連接與CE交于點0NBOC=/BAD=NBCD=120。,

AB1BC4田田——士

通】而丁請直接與出訪的值.

4.(2024.廣東深圳?一模)如圖是一張矩形紙片A8CO,點M是對角線AC的中點，點石在5C邊上.

X國;區(qū)T

勾

圖1圖2

⑴如圖1,將二。CE沿直線OE折疊，使點C落在對角線AC上的點尸處，連接OE,EF,

①若NEDC=30。，DE=l,求對角線AC的長；

CD

②若MF=CD,求/ZMF的度數(shù)及此時二二的值.

(2)如圖2,若CB=3,CD=2,連接3M、ME,將sMEC沿腔折疊，點C的對應點為點G,當線段GE與線段3M

交于點X且一次花為直角三角形時，求此時3E的長.

題型03以菱形為載體的證明、性質應用及邊角計算

01題型綜述

以菱形為載體的證明、性質應用及邊角計算是初中數(shù)學幾何領域中對特殊四邊形深入探究的關鍵內容，借助菱形區(qū)

別于一般平行四邊形的特殊性質，全面考查學生的幾何思維與解題能力，常與其他幾何圖形知識綜合呈現(xiàn)，在中考數(shù)

學中分值占比約5%-8%o

1.考查重點：重點考查對菱形特殊性質（四條邊相等、對角線互相垂直且平分每組對角）的深度理解與靈活運用，以

此為基礎進行各類幾何證明，以及結合三角函數(shù)等知識進行邊角的精準計算，并注重與其他幾何圖形性質的關聯(lián)應用。

2.高頻題型：高頻題型包括證明一個四邊形是菱形；利用菱形性質證明線段垂直、角平分線關系、線段相等；已知菱

形的邊長、對角線長度等部分條件，計算內角大小、對角線夾角、邊長與高的關系等邊角數(shù)值；在菱形與三角形、其

他四邊形組成的復合圖形中，推理并計算復雜的邊角關系。

3.高頻考點：考點集中在菱形判定定理（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形、四條邊相等的四邊形是菱形、對角線互

相垂直的平行四邊形是菱形）的準確應用，菱形性質在證明和計算中的運用，以及菱形與直角三角形（因對角線垂直

產(chǎn)生）、等腰三角形（四條邊相等）相關知識的綜合考查，如利用勾股定理計算邊長、三角函數(shù)求角度等。

4.能力要求：要求學生具備較強的邏輯推導能力，能依據(jù)已知條件合理選擇菱形的判定和性質進行嚴謹證明；擁有敏

銳的圖形觀察能力，從復雜圖形中提煉出菱形及其蘊含的特殊幾何關系；掌握扎實的運算技能，特別是涉及勾股定理、

三角函數(shù)等知識在菱形邊角計算中的應用。

5.易錯點：易錯點在于判定菱形時錯用或漏用條件，如僅依據(jù)對角線垂直就判定四邊形是菱形；在運用菱形性質時,

混淆對角線與邊、角之間的特殊關系，導致證明錯誤；在計算邊角時，因對菱形中特殊三角形（直角三角形、等腰三

角形）的性質把握不準，運用勾股定理、三角函數(shù)出錯；在綜合圖形中，無法有效整合菱形與其他圖形性質，思路混

亂。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.菱形的性質:

①具有平行四邊形的一切性質。

②菱形的四條邊都相等。

③菱形的對角線相互垂直，且平分每一組對角。

④菱形既是一個中心對稱圖形，也是一個軸對稱圖形。對稱中心為對角線交點，對稱軸為對角線所在直線。

⑤面積計算：除了用計算平行四邊形的面積計算方法面積，還可以用對角線乘積的一半來計算面積。

2.菱形的判定：

（1）直接判定：

四條邊都相等的四邊形是菱形。

符號語言：VAB=BC=CD=DA,二四邊形ABCD是菱形

（2）利用平行四邊形判定：

①定義：一組領邊相等的平行四邊形是菱形。

②對角線的特殊性：對角線相互垂直的平行四邊形是菱形。

【典例分析】

例1.（2024.廣東?中考真題）如圖，菱形ABCD的面積為24,點E是的中點，點尸是上的動點.若△3EF的面

積為4,則圖中陰影部分的面積為.

例2.（2022.廣東廣州.中考真題）如圖，在菱形ABC。中，ZBA￡>=120°,AB=6,連接BD.

⑴求配>的長;

⑵點E為線段8。上一動點（不與點8,。重合），點尸在邊上，且BE=6DF,

①當CELAB時，求四邊形A8EE的面積；

②當四邊形A8EF的面積取得最小值時，CE+6CF的值是否也最??？如果是，求的最小值；如果不是，請

說明理由.

例3.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，ZC=120°.點E在射線BC上運動（不與點B,點C重合）,

關于AE的軸對稱圖形為產(chǎn).

⑴當/及。=30。時，試判斷線段AF和線段AD的數(shù)量和位置關系，并說明理由；

⑵若AB=6+6A/L。為尸的外接圓，設。的半徑為

①求，?的取值范圍；

②連接ED,直線ED能否與，：。相切？如果能，求血的長度；如果不能，請說明理由.

【變式演練】

1.（2025?廣東清遠?一模）如圖，在菱形A3CD中，AE_L8C于點E,BC=5,AC=6,則AE的長是（）

2.（2024.廣東深圳.模擬預測）如圖，在菱形ABCZ）中，點E為AD邊上一點，連接BE,將線段繞點E逆時針旋轉

FG

120。得到EF,EF交CD于點H,連接即，交CZ）于點G,已知/A=120。，AB=3,AE=1,則二7；=.

3.（2025?廣東深圳?一模）在菱形ABCD中，ZABC=60,將3CE沿BE翻折至△班后，BF,C尸的延長線分別交AD

于H,G兩點，若￡|=3,則空的值為一.

DE3AD

AB6,ZABC=60°,

（2）點E以每秒2個單位長度的速度從2點出發(fā)向點C運動，同時點。以每秒6個單位長度的速度從。點出發(fā)向點8

運動，當其中一點達到終點，另外一點隨之停止運動.

①連接EQ,能否為等腰三角形？如果能，求點E,。的運動時間；如果不能，請說明理由;

②連接當N￡AQ=30。時，求AE+AQ的值.

5.（2025?廣東深圳?一模）如圖，在菱形ABCD中，/ASC=60。,AB=8,點、E,歹分別在邊3C,CD上，連接AE,

AF.

⑴如圖（。），若E，下分別是邊BC,C。的中點，連接EF,則瓦=

⑵當BE=6時，請回答下列問題:

①如圖（匕），求AE的值；

CF

②如圖（6）,若AF平分—D4E時，求一的值;

DF

③如圖（c）,若NE4/=60。時，求A尸的值.

題型04以正方形為載體的證明、性質應用及邊角計算

01題型綜述________________________________________

以正方形為載體的證明、性質應用及邊角計算是初中數(shù)學幾何板塊里對特殊四邊形深度探究的關鍵內容，憑借正方

形集矩形與菱形特性于一身的獨特性質，全面考查學生對幾何知識的綜合運用與邏輯思維，常與三角形、其他四邊形

知識交織，在中考數(shù)學中分值占比約4%-8%,

1.考查重點：重點考查對正方形性質（四條邊相等、四個角是直角、對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一

組對角）的深度理解與靈活運用，以此為基礎展開幾何證明，并結合勾股定理、全等三角形、相似三角形等知識進行

邊角的精準計算，同時注重與其他幾何圖形性質的綜合運用。

2.高頻題型：高頻題型有證明一個四邊形是正方形；利用正方形性質證明線段相等、垂直、角平分線關系；已知正方

形邊長、對角線等部分條件，計算內角大小、對角線夾角、面積、周長等邊角及圖形相關數(shù)值；在正方形與三角形、

其他四邊形組成的復雜圖形中，推導并計算復雜的邊角關系與圖形面積。

3.高頻考點：考點集中在正方形判定定理（一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形、對角線互相垂直

且相等的平行四邊形是正方形、有一組鄰邊相等的矩形是正方形、有一個角是直角的菱形是正方形）的準確應用，正

方形性質在證明和計算中的運用，以及正方形與等腰直角三角形（由正方形性質產(chǎn)生）、全等三角形、相似三角形相關

知識的綜合考查，如運用勾股定理求對角線長度、借助全等三角形證明線段關系。

4.能力要求：要求學生具備較強的邏輯推導能力，能依據(jù)已知條件合理選擇正方形的判定和性質進行嚴謹證明；擁有

敏銳的圖形觀察能力，從復雜圖形中提煉出正方形及其蘊含的特殊幾何關系；掌握扎實的運算技能，尤其是勾股定理、

全等與相似三角形知識在正方形邊角計算與圖形關系推導中的應用。

5.易錯點：易錯點在于判定正方形時條件使用不充分或錯誤，如僅依據(jù)四條邊相等就判定四邊形是正方形；在運用正

方形性質時，混淆邊、角、對角線之間的特殊關系，導致證明錯誤；在計算邊角時，因對正方形中特殊三角形（等腰

直角三角形）的性質把握不準，運用勾股定理、全等與相似三角形知識出錯；在綜合圖形中，無法有效整合正方形與

其他圖形性質，思路混亂。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.正方形的性質:

①具有平行四邊形的一切性質。

②具有矩形與菱形的一切性質。

所以正方形的四條邊都相等，四個角都是直角。對角線相互平分且相等，且垂直，且平分每一組對角，把正

方形分成了四個全等的等腰直角三角形。

正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。對角線交點是對稱中心，對角線所在直線是對稱軸，過每一組

對邊中點的直線也是對稱軸。

2.正方形的判定：

（1）利用平行四邊形判定：

一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。（定義判定）

（2）利用菱形與矩形判定：

①有一個角是直角的菱形是正方形。

②對角線相等的菱形是正方形。

③鄰邊相等的矩形是正方形。

④對角線相互垂直的矩形是正方形。

【典例分析】

例1.（2022?廣東廣州?中考真題）如圖，正方形ABC。的面積為3,點E在邊C￡）上，且CE=1,NA8E的平分線交

于點「點、M,N分別是8E,8尸的中點，則的長為（）

叵

2

V6-V2

2

例2.（2023?廣東?中考真題）邊長分別為10,6,4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖

中陰影部分的面積為.

例3.（2023?廣東廣州?中考真題）如圖，正方形ABC。的邊長為4,點E在邊8C上，且鹿=1,尸為對角線80上一動

點，連接C/,EF,則CP+EF的最小值為.

例4.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，點E,尸分別在正方形A3C。的邊BC,CO上，BE=3,EC=6,CF=2.求

證：△ABE1s/\ECF.

例5.（2023?廣東廣州?中考真題）如圖，在正方形ABC。中，E是邊AO上一動點（不與點A,。重合）.邊BC關于BE

對稱的線段為8尸，連接AF.

（1）若ZABE=15。，求證：小尸是等邊三角形;

⑵延長E4,交射線BE于點G；

①,能否為等腰三角形？如果能，求此時NABE的度數(shù)；如果不能，請說明理由；

②若AB=6+娓,求3GF面積的最大值，并求此時AE的長.

【變式演練】

1.（2024?廣東廣州?二模）如圖，在正方形ABC。中，〃為CO上一點，連接40與3￡）交于點N,點廠在BC上，點、E

在AD上，連接￡尸交于點G,且垂足為若H為AM的中點，則下列結論:①AM=EF；②竺=券;

GDCM

@GH=FG+HE；④/XAHESAGHN.其中結論正確的個數(shù)有（）

因￡

A.①③B.①④C.②③>D.①②

2.（2024?廣東深圳.一模）如圖，在正方形ABC。中，3PC是等邊三角形，BP,CP的延長線分別交AD于點E,F,

①AE-FC；②NPDE=15°；③APSC=若；④?DWC=0；

連接80,DP,8。與CP相交于點8.給出下列結論:C

2°APCD口/\BHC乙

⑤DE?=PF?PC.其中正確的結論有（）

AFED

0

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.（2024?廣東廣州?二模）如圖，正方形ABC￡＞中，AB=10,。是BC邊的中點,點E是正方形內一動點，OE=2后,

連接DE,將線段DE繞點。逆時針旋轉90。得。F,連接AE,CF.

ADAD

「口

"OCBOC

備用圖

⑴求證：VADE絲VCDF；

（2）若A,E,。三點共線，連接0/，求線段0尸的長.

（3）當線段取最小值時，求tanN尸OC.

4.（2024?廣東清遠?模擬預測）如圖①,在正方形ABCD中，點E是邊BC上的一動點（不與2、C重合），連接

AE,將ABE沿AE翻折，使點B落在點F處，延長EF交DC于點G,連接AG,過點E作EH±AE交

AG的延長線于點H,連接CH.

⑴觀察猜想：AE=EH嗎?如相等，請說明理由；

（2）嘗試探究：如圖②，若BEg，求CH的長；

（3）解決問題：如題圖③，連接分別與AE.AG交于點M、N.若AB=4?,CH=2,求DG的長.

5.（2024?廣東佛山?二模）已知點E是邊長為2的正方形ABCD內部一個動點，始終保持NAED=90。.

DF

【初步探究】（1）如圖,延長DE交邊BC于點尸.當點尸是的中點時，求益的值;

DF

【深入探究】（2）如圖,連接CE并延長交邊AD于點M.當點M是9的中點時，求益的值;

DF

【延伸探究】(3)如圖,連接8E并延長交邊CD于點G.當DG取得最大值時，求隼的值.

AE

03中考練場

一、單選題

1.（2025?廣東廣州?一模）如圖,菱形ABCD的對角線AC與8。相交于點O,E為邊BC的中點,連接OE.若AC=3,8。=4,

則OE的長為（）

A

2.（2025?廣東?模擬預測）如圖，點E在矩形ABC。的邊BC上，將矩形沿AE翻折，點8恰好落在邊C。的點尸處，如

AT）

果NCEF=45。，那么一的值等于（）

A.75B.V2+1C.火匚D.招

2

3.（2025?廣東廣州?模擬預測）如圖，將菱形紙片ABCZ）折疊，使點3落在AD邊的點尸處，折痕為CE,若AB=10,

E為A8的中點，/3=60。，則四邊形8CEE的面積是（）

A.20布B.25^/3C.40百D.50右

4.（2025?廣東深圳?一模）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,8。相交于點O,AB=6,4MC=60。，點產(chǎn)在

線段AO上從點A至點0運動，連接。尸，以DF為邊作等邊三角形DEE,點E和點A分別位于。尸兩側，下

列結論：?ZBDE=ZEFC；②ED=EC；③ZADF=NECF；④點E運動的路程是2石；其中正確結論的序號

A.①④B.①②③C.②③D.①②③④

△ZMF之△DOE,ZDOE=60°,

5.（2025?廣東佛山?一模）如圖，在矩形A3。中，AB=5,BC=5』,點P在線段BC上運動（含8、C兩點），將點

產(chǎn)繞點A逆時針旋轉60。到點Q,連接DQ,則線段DQ的最小值為（）

A.-B.572C.巫D.3

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二、填空題

6.（2025?廣東深圳?一模）如圖，將平行四邊形ABCD的邊DC延長線到點E,使CE=￡>C,連接AE,交BC于點F.添

加一個條件，使四邊形ABEC是矩形.下列四個條件：?ZDAC=ZEAC；?AD=AE；?AB=AD;?ZAFC=2ZABC

中，你認為可選擇的是.（填上所有滿足條件的序號）

7.（2024?廣東深圳?模擬預測）在菱形A5CZ）中，NABC=60。，點E在邊上，BE=2CE,A3關于AE對稱的直線

CF

交?？谟谑瑒t而的值為

D

B

三、解答題

8.(2025?廣東深圳?一模)如圖，四邊形ABCZ)為平行四邊形，對角線AC的垂直平分線所分別交邊AD,于點E,

F,垂足為0.

⑴求證：四邊形AFCE為菱形；

(2)在BC的延長線上取一點G,使CG=OC,連接OG.若F為的中點，且/G=15。，AB=8,求二R9G的面積.

9.(2025?廣東潮州?模擬預測)如圖，正方形ABCD中，A3=6,點E在邊C。上，且tan4DAE=g,將VADE沿AE對

折至TXAFE,延長匹交邊8C于點G,連接AG、CF.

⑴求證：△ABG四△AFG；

⑵求3G的長；

(3)求tan/尸CE的值.

10.(2025?廣東廣州?模擬預測)問題情境：

如圖1,四邊形ABC。是菱形，過點A作AEL8C于點E,過點C作bJ.AD于點尸.

H

圖2

猜想證明:

(1)判斷四邊形AEC尸的形狀，并說明理由;

深入探究:

(2)將圖1中的ABE繞點A逆時針旋轉，得到AHG,點E,8的對應點分別為點G,H.如圖2,當線段A“經(jīng)過

點C時，G8所在直線分別與線段A。，8交于點N.猜想線段CH與必)的數(shù)量關系，并說明理由.

11.（2024?山東東營.模擬預測）如圖1,四邊形A3CD是正方形，G是CD邊上的一個動點（點G與C,。不重合），以

CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG,連接BG,DE.我們探究下列圖中線段3G、線段的長度關系及所

圖1圖2圖3

（1）猜想如圖1中線段BG,線段。E的數(shù)量關系是；線段BG,OE的位置關系―

類比探究：

（2）將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針（或逆時針）方向旋轉任意角度a,得到如圖2,如圖3情形，請你

判斷（1）①中得到的結論是否仍然成立，并選取圖2