2025年中考數(shù)學二輪總復習：與圓有關的位置關系

微專題29與圓有關的位置關系

考點精講

構建知識體系

圓外1

圓上一■（點與圓的位置關系hd切線的性質與判定）

圓內」

-與圓有關的位置關系-

相離］

■｛直線與圓的位置關系］

相切-

相交-

考點梳理

1.點與圓的位置關系

點在圓外d=OA①_____r

點在圓上d=OB②r

\y\JA

點在圓內d=OC③r

2.直線與圓的位置關系（2024年首次涉及考查）

位置關系相離相切相交

d與廠的

d④________rd@rd?________r

關系

交點的

沒有公共點有且只有一個公共點有兩個公共點

個數(shù)

出

示意圖to

3.切線的性質與判定（6年6考）

⑴性質定理：圓的切線⑦于過切點的半徑（或直徑）

⑵性質：①切線和圓只有一個公共點；②圓心到切線的距離等于圓的半徑；③切線垂直于過

切點的半徑；④經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點；⑤經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必過

圓心

⑶判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

（4）判定方法：①直線與圓公共點已知：連半徑，證垂直；②直線與圓公共點未知：作垂直，

證半徑

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4.切線長與切線長定理

圖示

在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點與⑧之間的線段的長度，叫做這

切線長

點到圓的切線長

從圓外一點可以引圓的⑨條切線，它們的切線長⑩—，這一點和圓心

切線長定理

的連線平分兩條切線的夾角.（探索并證明切線長定理*選學）

5.三角形的內切圓

⑴定義：與三角形各邊都相切的圓

（2）圓心。：內心（三角形的內切圓圓心或三角形三條?的交點）

（3）性質：三角形的內心到三角形?的距離相等

（4）角度關系：如圖③，圖④，ZBOC=90°+^ZBAC

【知識拓展】

任意三角形的內切圓直角三角形的內切圓

利用等面積法可得：r=丹三

利用等面積法可得：廠=冬詈

a十匕十c.

利用切線長定理可得：

練考點

1.已知。。的半徑為3,尸為平面內一點，0P=4,則點P在。。.（填“內”'‘上"

或“外”）

2.已知圓的半徑為3,圓心到某直線的距離為2,則此直線與圓的位置關系為.（填“相

交”“相切”或“相離”）

3.如圖，AC是O。的直徑.

⑴若3c是。。的切線，則NAC3=°；

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（2）若A3=5,BC=4,AC=3,則3c與。。.（填“相交”“相切”或“相離”）

第3題圖

4.如圖，PA,尸3是O。的切線，A,B為切點,連接A3,OA,OB,PO,P。交O。于點C,

交A3于點。，ZOAB=30°.

第4題圖

⑴NAPB的度數(shù)為；

（2）若。4=4,則。P的長為.

5.如圖，在AABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,則△ABC的內切圓半徑r=.

第5題圖

6.如圖，△ABC的外接圓半徑為5,其圓心。恰好在中線CD上，若A3=CD,則△ABC的

面積為.

4v

第6題圖

高頻考點

考點與切線有關的證明及計算（6年6考）

一、切線的判定（6年4考）

方法解讀

1.利用平行證垂直：

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當需要證明的切線有一條垂線時，可證明過切點的半徑與這條垂線平行.

2.利用等角轉換證垂直：

題干中直接給出角度關系或給出切線與弦的夾角等于某個圓周角時，常通過等角代換來證明.

3.利用三角形全等證垂直：

常在“共點雙切線型”圖形中運用，通過連接圓心與兩條切線的交點構造全等三角形來證得垂

直.

4.作垂直，證半徑：

過圓心作直線的垂線段，證明垂線段長等于半徑.

方法一連半徑、證垂直

例1（利用平行證垂直）核心設問如圖，在等腰AABC中，AB=AC,以AC為直徑的。。交

3c于點E,過點E作EF±AB于點F.求證：EF是00的切線.[2019廣東24（2）題考查]

例1題圖

例2（利用等角轉換證垂直）如圖，A3是。。的直徑，C是圓上一點，過點C的直線。交

R4延長線于點。，且NDC4=N3,求證：CD是。。的切線.

例2題圖

例3（利用三角形全等證垂直）核心設問如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,以為直徑

作。。，交AB于點。，點E為AC上一點，連接DE.若DE=CE,求證:DE是。。的切線.[2020

廣東22⑴題考查]

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A

例3題圖

方法二作垂直、證半徑

例4核心設問如圖，在RSA3C中，ZACB=90°,以AC上一點。為圓心，0c長為半

徑作O。，連接3。，若3。平分NA3C,求證：A3是。。的切線.[2024廣東17（2）題考查]

二、切線性質的相關證明及計算（6年2考）

方法解讀

1.證明角相等的方法：

⑴根據(jù)直角三角形中兩銳角互余，進行等量代換找到對應的角；

⑵根據(jù)平行線與等腰三角形的性質，進行等量代換找到相對應的角；

⑶通過證明兩個三角形全等，得到對應的角相等.

2.求線段長的方法：

⑴若題干中含有30°,45°,60°等特殊角度或出現(xiàn)三角函數(shù)sin、cos、tan時，考慮利用三

角函數(shù)求線段長；

⑵若題干無特殊角或三角函數(shù)，觀察圖形發(fā)現(xiàn)已知邊與所求邊分別所在的三角形存在相似關

系，考慮作輔助線將所求線段轉化到直角三角形中，利用相似三角形求線段長.

3.證明線段平行的方法：

⑴通過角之間的等量代換，利用同位角相等、內錯角相等或同旁內角互補的方法證明兩直線

平行.

⑵設法將兩條線段放在同一個三角形中，利用中位線（或等分點）的性質證明兩直線平行.

例5如圖①，在AABC中，ZA=90°,E是3C上一點，以3E為直徑的。。與AC相切

于點。，連接3D,DE.

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A

D

oJEC

例5題圖①

⑴求證：NABD=/CDE；

(2)求證：BD平分/ABC；

(3)若NA3D=30°,AD=V3,求。C的長;

(4)如圖②，若R為CD的中點，連接EEZC=30°,求證：EF//AB.

例5題圖②

真題及變式

命題點切線的判定及性質(6年6考)

1.(2020廣東22題8分)如圖①，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZDAB=90°,A3是。。的

直徑，CO平分/BCD.

⑴求證：直線CD與。。相切;

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(2)如圖②，記(1)中的切點為E,尸為優(yōu)弧端上一點，AD=1,BC=2.求tanNAPE的值.

第1題圖

2.(2019廣東24題9分?北師九下習題改編)如圖①，在AABC中，AB=AC,。。是△ABC的

外接圓，過點C作NBCD=NAC3交O。于點。，連接AD交3c于點E,延長DC至點E

CF=AC,連接AE

⑴求證：ED=EC；

(2)求證：AR是O。的切線；

(3)如圖②，若點G是△ACD的內心，BCBE=25,求3G的長.

第2題圖

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新考法

3.［真實問題情境］陀螺(如圖①)是中國民間最早的娛樂工具之一，歷經(jīng)千年發(fā)展成為備受世

界喜愛的一項運動.玩木制陀螺時需要掌握一定的技巧，其中發(fā)動陀螺尤為重要.某數(shù)學興趣小

組畫出如圖②所示的示意圖，陀螺的截面圖記作。。，將鞭繩纏繞陀螺后余下的鞭繩為AC,

點C為接頭，繩桿為PC,發(fā)動陀螺時需將手放在優(yōu)弧&處固定陀螺，連接AB,AP,AP交

于點。，連接3。且NABC=NADB

(1)求證：PC與。。相切；

⑵實踐中發(fā)現(xiàn)，當AC與。。相切于點A,且ACLPC時，發(fā)動陀螺更加穩(wěn)定，若陀螺半徑r

=4cm,NA4P=30°,求繩桿CP的長度.

第3題圖

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考點精講

①〉②=③<@>⑤:@<⑦垂直⑧切點

⑨兩⑩相等斜平分線亞條邊

練考點

1.外

2.相交

3.(1)90；(2)相切

4.(1)60°；(2)8

5.1

6.32

高頻考點

例1證明：如解圖，連接OE,

'：OC=OE,

：.ZOEC=ZC.

"：AB=AC,

：./B=/C,

：.ZOEC=ZB,

：.OE//AB.

'：EFLAB,

：.EFLOE,

,.?OE是O。的半徑，

.?.ER是O。的切線.

例1題解圖

例2證明：如解圖，連接OC,

?.?A3是O。的直徑,

/.ZACB=90°,

：.ZCAB+ZB=90°.

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又：。4=0C,

：.ZCAB=ZACO,

'：ZDCA=ZB,

：.ZDCO=ZACO+ZDCA=ZCAB+ZB=90°,

即C"OC.

是O。的半徑，

...CD是O。的切線.

例2題解圖

例3證明：如解圖，連接。。，0E,

在^ODE與AOCE中，

r0D=0C

,OE=0E,

、DE=CE

...△ODE法△OCE(SSS),

：.Z0DE=Z0CE=9Q°,

即

是。。的半徑，

.?.DE是O。的切線.

A

例3題解圖

例4證明：如解圖，過點。作ODLAB于點。，

：.ZODB=ZOCB=90°,

：.OC±BC,

,.?5。平分NABC,

：.OD=OC,

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:。。是O。的半徑,

???。。是0。的半徑,

.,.AB是O0的切線.

4n

例4題解圖

例5(1)證明：：臺石為。。的直徑,

AZBDE=90°,

/.ZADB+ZCDE=9Q°,

VZA=90°,

AZABD+ZADB=9Q°,

NABD=/CDE；

(2)證明：如解圖①，連接OD,

?.'AC是O。切線，

：.ZODC=90°,

VZA=90°,

：.AB//OD,

：.ZABD=ZODB,

'：OB=OD,

：.ZOBD=ZODB,

：.ZABD=ZOBD,

.?.3。平分NA3C；

例5題解圖①

(3)解:如解圖①，連接OD,

由(1)知ZABD=ZCDE,由(2)知ZABD=ZOBD,

VZA=90°,ZABD=30°,AD=43,

：.ZOBD=ZODB=ZCDE=30°,BD=2y/3,

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/.ZDOC=60°,

,.?AC與。。相切于點。，

：.ZODC=90°,

AZC=90°-60°=30°,

:./CDE=/C,

：.DE=CE,

VZBDE=9Q°,

1

：.BE=3V3=4,DE=-BE=2,

cos30°2

：.CE=DE=2,

：.OC=4；

(4)證明：如解圖②，連接OD,

由⑵得NODC=90°,

VZC=30°,

AZDOC=60°,

'：OD=OE,

ODE為等邊三角形，

：.ZODE=6Q°,

：.ZCDE=90°-60°=30°,

：.ZCDE=ZC,

：.CE=DE=OE,

點E是。C的中點.

:點歹是CD的中點，

:.EF是XODC的中位線，

：.EF//OD,

由(2)知，OD//AB,

：.EF//AB.

例5題解圖②

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真題及變式

1.(1)證明：如解圖①，過點。作。ELCD于點E,

'JAD//BC,NDAB=90°,

：.ZOBC=90°,

：.ZOBC=ZOEC,

平分/BCD,

：.Z1=Z2,

又.：CO=CO,

30C/△EOC(AAS),

：.OE=OB,

：為O。的半徑，

.,.OE為O。的半徑，

又CD,

??.直線CD與。。相切；(3分)

(2)1?：如解圖②，連接00,0E,

由⑴得?！?。3,

：.OE=OA,

'：ZOAD=ZOED=90°,0D=0D,

.*.RtAAOD^RtAEOD(HL),

：.DE=AD=1,Z3=Z4=-ZAOE,

2

1

/.ZAPE=-ZAOE=Z3,

2

由⑴得△B08AE0C,

：.CE=BC=2,

：.CD=DE+CE=3.(5分)

過點。作DfUBC,垂足為點R則四邊形ABED為矩形,

/.CF=BC-BF=BC-AD=1,

在RtADRC中，DF=JcD12-CF2=2V2,

：.0A=^AB=^DF=42,

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）

AT-/亭（8分）

/.tanNAPE=tanZ3=—OA=

一題多解法

如解圖③，連接BE,AE,并延長AE交BC的延長線于點F,

由題意得NAPE=ZABE,,：ZDAB=90°,A3為O。直徑,

...AD與。。相切，：.DE=AD=1,同理可得CE=C3=2,

,JAD//BC,

即FE=2AE,（5分）

FECE2''

「AB是O。的直徑，

：.BE±AF,

,：ZABE+ZBAE=9Q°,ZABE+ZFBE=90°,

ZBAE=ZFBE,

:.xABEs^BFE,

.AE_BE器,即3E2=2AE2,

''BEFE

???煞=條負值已舍去），

tanZAPE=tanZABE.（8分）

BE2

第1題解圖③

2.（1）證明：如解圖①,

"：AB=AC,

/.Z1=Z3,

VZ1=Z2,

/.Z2=Z3,

第14頁共17頁

VZ3=Z4,

.*.Z2=Z4,

:.ED=EC；(2分)

(2)證明：如解圖②，連接。4,OB,0C,

"：OB=OC,AB=AC,

...A。是3c的垂直平分線，

：.AOLBC.

?.?由(1)得N2=N3,

：.AB//DF.

'：AB=AC=CF,

???四邊形A3CT是平行四邊形，

：.AF//BC,

：.AOLAF.

是O。的半徑，

?,.AR是O。的切線；(5分)

E4

第3題解圖②

(3)解：如解圖③，連接AG,

VZ1=Z2,N2=N5,

/.Z1=Z5.

是△ADC的內心，

.\Z7=Z8,

NB4G