2025中考數(shù)學熱點題型專練：概率與統(tǒng)計綜合（含答案解析）

專題05概率與統(tǒng)計綜合

目錄

熱點題型歸納.............................................................................................1

題型01數(shù)據(jù)的收集與整理（統(tǒng)計與統(tǒng)計圖（表））..........................................................1

題型02數(shù)據(jù)分析（數(shù)據(jù)的集中趨勢與波動程度）............................................................7

題型03概率的計算.......................................................................................14

中考練場.................................................................................................19

題型01數(shù)據(jù)的收集與整理（統(tǒng)計與統(tǒng)計圖（表））

01題型綜述________________________________________

數(shù)據(jù)的收集與整理（統(tǒng)計與統(tǒng)計圖（表））是初中數(shù)學統(tǒng)計與概率板塊的重要內(nèi)容，它主要圍繞如何收集數(shù)據(jù)、整

理數(shù)據(jù)以及通過圖表直觀呈現(xiàn)數(shù)據(jù)信息展開，在中考數(shù)學中分值占比約5%-10%o

I.考查重點：重點考查數(shù)據(jù)收集方法的選擇，以及對各類統(tǒng)計圖表（如條形圖、折線圖、扇形圖、頻數(shù)分布直方圖等）

特征和數(shù)據(jù)的解讀。

2.能力要求：要求學生具備數(shù)據(jù)處理能力，能從圖表中準確提取關鍵信息，進行合理的計算與推理，同時具備數(shù)據(jù)分

析觀念和統(tǒng)計意識。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.調(diào)查數(shù)據(jù)的方法與過程:

①問卷調(diào)查法---收集數(shù)據(jù)；②列統(tǒng)計表---整理數(shù)據(jù)；③畫統(tǒng)計圖--描述數(shù)據(jù)。

2.全面調(diào)查與抽樣調(diào)查：

①全面調(diào)查：調(diào)查全體對象。②抽樣調(diào)查：調(diào)查部分對象。

3.總體、個體、樣本以及樣本容量：

①總體：我們把所要考察的對象的全體叫做總體；②個體：把組成總體的每一個考察對象叫做個體;

③樣本：從總體中取出的一部分個體叫做這個總體的一個樣本；

④樣本容量：一個樣本包括的個體數(shù)量叫做樣本容量。

4.用樣本估計總體：

①樣本平均數(shù)：即抽出的樣本中所有個體的平均數(shù)。②總體平均數(shù)：總體中所有個體的平均數(shù)。

通常情況下用一個具有代表性的樣本的平均數(shù)估算總體平均數(shù)。

5.數(shù)據(jù)描述的方法：

條形統(tǒng)計圖，折線統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖以及直方圖。

6,頻數(shù)與頻率：

①頻數(shù)：落在每一個小組的數(shù)據(jù)個數(shù)叫做每一組的頻數(shù)。②頻率：頻數(shù)與總數(shù)的比值叫做頻率。

7.相關計算：

①各部分具體數(shù)量等于總體數(shù)量乘以各部分所占百分比。

②各部分在扇形中所占圓心角度數(shù)等于360。乘以百分比。

8.畫直方圖的步驟：

第一步：計算數(shù)據(jù)的極差。即一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值。

邙粉

第二步：決定組數(shù)與組距。①組數(shù)：通常自己決定，合理組數(shù)即可。②組距：組距巳

第三步：決定分組分點。第四步：畫頻數(shù)分布表。第五步：畫頻數(shù)分布直方圖。

【典例分析】

例1.（2024.廣東廣州?中考真題）為了解公園用地面積x（單位：公頃）的基本情況，某地隨機調(diào)查了本地50個公園

的用地面積，按照0<xW4,4<龍（8,8<x<12,12<xW16,16<xW20的分組繪制了如圖所示的頻數(shù)分布直方圖，

下列說法正確的是（）

本頻數(shù)（公園個數(shù)）

16

14

12

10

8

6

4

2

048121620面積/公頃

A.。的值為20

B.用地面積在8<x412這一組的公園個數(shù)最多

C.用地面積在4<xW8這一組的公園個數(shù)最少

D.這50個公園中有一半以上的公園用地面積超過12公頃

例2.（2022?廣東深圳?中考真題）某工廠一共有1200人，為選拔人才，提出了一些選拔的條件，并進行了抽樣調(diào)查.從

中抽出400人，發(fā)現(xiàn)有300人是符合條件的，那么則該工廠1200人中符合選拔條件的人數(shù)為.

例3.（2023?廣東廣州?中考真題）2023年5月30日是第7個全國科技工作者日，某中學舉行了科普知識手抄報評比

活動，共有100件作品獲得一、二、三等獎和優(yōu)勝獎，根據(jù)獲獎結(jié)果繪制如圖所示的條形圖，則。的值為.若

將獲獎作品按四個等級所占比例繪制成扇形統(tǒng)計圖，貝『'一等獎”對應扇形的圓心角度數(shù)為.

一等獎二等獎三等獎優(yōu)勝獎等級

例4.（2022?廣東廣州?中考真題）某校在九年級學生中隨機抽取了若干名學生參加“平均每天體育運動時間”的調(diào)查,

根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖.

頻數(shù)分布表

運動時間t/min頻數(shù)頻率

30<Z<6040.1

60<r<9070.175

90<r<120a0.35

120<r<15090.225

1504<1806b

合計n1

16

1

14

1

12

1

10

1

8

6

4

2

O

請根據(jù)圖表中的信息解答下列問題：

(1)頻數(shù)分布表中的。=,b=,?=；

(2)請補全頻數(shù)分布直方圖；

(3)若該校九年級共有480名學生，試估計該校九年級學生平均每天體育運動時間不低于120min的學生人數(shù).

【變式演練】

⑴將頻數(shù)分布直方圖補充完整(所缺數(shù)據(jù)均需通過計算說明)；

⑵記成績290的為“優(yōu)秀”，估計該校600名八年級學生的優(yōu)秀人數(shù).

2.(2024.廣東深圳.模擬預測)5月1日起，公共場所明令禁止吸煙，對此項規(guī)定能不能有效落實，小華對部分抽煙人

群進行隨機抽樣調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們每人分別持以下四種態(tài)度中的一種：A、堅持執(zhí)行；8、不執(zhí)行；C、有時執(zhí)行，有時

不執(zhí)行；。、勸說后執(zhí)行.他將調(diào)查結(jié)果繪制成下面這一幅完整的統(tǒng)計圖.

⑴持A態(tài)度的人為本次抽樣人數(shù)的30%,此次抽樣人數(shù)有人.

(2)將上面的統(tǒng)計圖補充完整.

(3)持A態(tài)度的人數(shù)比持B態(tài)度的少%.

3.(2025?廣東揭陽?一模)植樹節(jié)是按照法律規(guī)定宣傳保護樹木，并組織動員群眾積極參加以植樹造林為活動內(nèi)容的

節(jié)日.按時間長短可分為植樹日、植樹周和植樹月，共稱為國際植樹節(jié).提倡通過這種活動，激發(fā)人們愛林造林的熱

情、意識到環(huán)保的重要性.1928年，國民政府為紀念孫中山逝世三周年，將植樹節(jié)改為3月12日.新中國成立后的

1979年，在鄧小平提議下，第五屆全國人大常委會第六次會議決定將每年的3月12日定為植樹節(jié).某學校在植樹節(jié)到

來之際，舉辦了一場環(huán)保主題的知識競賽，八年級其中一個班級的成績作如下整理，部分信息如下：

組別成績加分頻數(shù)

A50<m<602

B60<m<70a

C70<m<8014

D80<m<90b

E90<m<10010

0

8

6

4

2

0

8

6

4

2

0

完成下面問題:

(I)"-,b=；

(2)在扇形統(tǒng)計圖中，A組對應的圓心角的度數(shù)為；

(3)補全條形統(tǒng)計圖；

(4)八年級一共有480人，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計八年級中分數(shù)在80分到90分的人數(shù).

4.(2025?廣東深圳?一模)安全使用電瓶車可以大幅度減少因交通事故引發(fā)的人身傷害，為此交警部門在全市范圍開

展了安全使用電瓶車專項宣傳活動.在活動前和活動后分別隨機抽取了部分使用電瓶車的市民，就騎電瓶車戴安全頭

盔情況進行問卷調(diào)查，將收集的數(shù)據(jù)制成如下統(tǒng)計圖表.

活動前騎電瓶車戴安全頭盔情況統(tǒng)計表活動后騎電瓶車戴安全頭盔情況統(tǒng)計表

類別人數(shù)

A68

B4。

C510

D177

合計1000

(1)“活動前騎電瓶車戴安全頭盔情況統(tǒng)計表”中，B類別對應人數(shù)。不小心污損，計算a的值為；

(2)為了更直觀的反應A,B,C,。各類別所占的百分比，最適合的統(tǒng)計圖是,(選填“扇形統(tǒng)計圖”，“條形統(tǒng)計

圖”，“折線統(tǒng)計圖”)；

(3)若該市約有20萬人使用電瓶車，估計活動后全市騎電瓶車“都不戴”安全頭盔的總?cè)藬?shù)為萬人；

(4)小明認為，宣傳活動后騎電瓶車“都不戴”安全頭盔的人數(shù)為178,比活動前增加了1人，因此交警部門開展的宣傳

活動沒有效果.小明分析數(shù)據(jù)的方法是否合理？請結(jié)合統(tǒng)計圖表，對小明分析數(shù)據(jù)的方法及交警部門宣傳活動的效果

談談你的看法.

題型02數(shù)據(jù)分析（數(shù)據(jù)的集中趨勢與波動程度）

01題型綜述________________________________________

數(shù)據(jù)分析（數(shù)據(jù)的集中趨勢與波動程度）是初中數(shù)學統(tǒng)計與概率領域的核心內(nèi)容，旨在通過對數(shù)據(jù)的深入剖析，揭

示數(shù)據(jù)分布的特征，在中考數(shù)學中分值占比通常在5%-8%?

1.考查重點：重點考查對平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等反映數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量，以及方差、標準差等體現(xiàn)數(shù)據(jù)波動程

度指標的理解與計算。

2.高頻題型：高頻題型包括根據(jù)給定數(shù)據(jù)計算集中趨勢和波動程度的統(tǒng)計量;依據(jù)統(tǒng)計量對數(shù)據(jù)特征進行描述與分析;

通過比較不同數(shù)據(jù)組的統(tǒng)計量作出合理決策。

3.高頻考點：考點聚焦于平均數(shù)（算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)）、中位數(shù)、眾數(shù)的計算與應用，方差、標準差的概念及

計算，以及利用這些統(tǒng)計量解決實際問題。

4.能力要求：要求學生具備較強的運算能力，能夠準確計算各類統(tǒng)計量；具備數(shù)據(jù)分析和邏輯推理能力，能依據(jù)統(tǒng)計

量對數(shù)據(jù)進行合理評價與解讀。

5.易錯點：易錯點在于加權(quán)平均數(shù)中權(quán)重的確定失誤；計算中位數(shù)時數(shù)據(jù)排序錯誤；對眾數(shù)可能不唯一的情況考慮不

周全；計算方差時公式運用出錯，以及在利用統(tǒng)計量進行決策時，忽略實際背景導致錯誤判斷。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.平均數(shù):

-1

①算術(shù)平均數(shù)：對于九個數(shù)X],巧，與…，X”，則X=—儲+熱+%+…+芍）表示這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

n

②加權(quán)平均數(shù)：對于〃個數(shù)為，X2,巧…，%的權(quán)重分別是叼，W2,明，…，Wn,貝I]

一1

X=+巧.2+與啊+.?.+%〃,J表示這一組數(shù)數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù)。權(quán)重的表示一般用比的形式或者百分比

n

占比的形式。

2.中位數(shù):

將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛?shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這

組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

3.眾數(shù)：

一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

4.極差：

一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值。

5.方差：

若一組數(shù)是不，了2,%3…，/，他們的平均數(shù)是不則這組數(shù)據(jù)的方差為：

］（_、2（―丫（_、2

?=-八-X+x2-x+...+xn-x。方差表示這組數(shù)據(jù)的波動情況，方差越大，數(shù)據(jù)越波動，方差越

"I）\JI）

小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。

6.根據(jù)已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差求關聯(lián)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差：

若一組數(shù)據(jù)的，12，%3…，%的平均數(shù)是左，方差是則：

①數(shù)據(jù)ax2,ax3,...,的平均數(shù)為ax,方差為as?。

②數(shù)據(jù)西+〃，巧+人，與+〃，???，的平均數(shù)為x+6，方差為J。

③數(shù)據(jù)aq+6,ax2+b,at3+b,...,+。的平均數(shù)為ax+），方差為as?。

7.標準差：

一組數(shù)均的方差的算術(shù)平方根就是這組數(shù)據(jù)的標準差。即s。

【典例分析】

例1.（2024?廣東?中考真題）數(shù)據(jù)2,3,5,5,4的眾數(shù)是

例2.（2023?廣東廣州?中考真題）學校舉行“書香校園”讀書活動，某小組的五位同學在這次活動中讀書的本數(shù)分別為

10,11,9,10,12,下列關于這組數(shù)據(jù)描述正確的是（）

A.眾數(shù)為10B.平均數(shù)為10C.方差為2D,中位數(shù)為9

例3.（2024?廣東深圳?中考真題）據(jù)了解，“i深圳”體育場地一鍵預約平臺是市委、市政府打造“民生幸福標桿”城市過

程中，推動的惠民利民重要舉措，在滿足市民健身需求、激發(fā)全民健身熱情、促進體育消費等方面具有重大意義.按

照符合條件的學校體育場館和社會體育場館“應接盡接”原則,“i深圳”體育場館一鍵預約平臺實現(xiàn)了“讓想運動的人找到

場地，已有的體育場地得到有效利用”.

小明爸爸決定在周六上午預約一所學校的操場鍛煉身體，現(xiàn)有A,8兩所學校適合，小明收集了這兩所學校過去10周

周六上午的預約人數(shù)：

學校A：28,30,40,45,48,48,48,48,48,50,

學

平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差

校

A①________4858.01

B48.4②________③__________354.04

（2）根據(jù)上述材料分析，小明爸爸應該預約哪所學校？請說明你的理由.

例4.（2023?廣東?中考真題）小紅家到學校有兩條公共汽車線路，為了解兩條線路的乘車所用時間，小紅做了試驗,

第一周（5個工作日）選擇A線路,第二周（5個工作日）選擇B線路，每天在固定時間段內(nèi)乘車2次并分別記錄所用時間,

數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（單位：min）

數(shù)據(jù)統(tǒng)計表

試驗序號12345678910

A線路所用時間15321516341821143520

B線路所用時間25292325272631283024

數(shù)據(jù)折線統(tǒng)計圖

時間/min

35

30

25

20

15

10

5

。12345678910試驗序號

根據(jù)以上信息解答下列問題：

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

A線路所用時間22a1563.2

B線路所用時間b26.5C6.36

⑴填空：a=；b=

⑵應用你所學的統(tǒng)計知識，幫助小紅分析如何選擇乘車線路.

例5.（2022.廣東.中考真題）為振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟，在農(nóng)產(chǎn)品網(wǎng)絡銷售中實行目標管理，根據(jù)目標完成的情況對銷售員給

予適當?shù)莫剟?，某村委會統(tǒng)計了15名銷售員在某月的銷售額（單位：萬元），數(shù)據(jù)如下：10,4,7,5,4,10,5,4,

4,18,8,3,5,10,8

人數(shù),

八

6............................................................

5............................................................

4............................................................

3...........................................................

2.....................—..................................

1[---I-----------------I------F—|-

°V3'4'57's11018―銷售額/萬元

⑴補全月銷售額數(shù)據(jù)的條形統(tǒng)計圖.

（2）月銷售額在哪個值的人數(shù)最多（眾數(shù)）？中間的月銷售額（中位數(shù)）是多少？平均月銷售額（平均數(shù)）是多少？

（3）根據(jù)（2）中的結(jié)果，確定一個較高的銷售目標給予獎勵，你認為月銷售額定為多少合適？

【變式演練】

1.（2025?廣東清遠?模擬預測）2024年8月6日，巴黎奧運會上中國運動員潘展樂在100米自由泳決賽中以46.4。的

成績打破世界紀錄斬獲冠軍.本次決賽中運動員們的成績分別是：46,46,40,47,48.47,49,47.50,47.71,47.80,

47.96,47.98,本次決賽成績的中位數(shù)是.

2.（2024?廣東?模擬預測）某校決定從甲、乙、丙三名學生中選拔一名去市里參加“致敬英雄”演講比賽，因此對三名

候選人進行了筆試和面試，三人的測試成績?nèi)缦卤硭?

測試成績/分

測試項

目

甲乙丙

筆試708090

面試907070

根據(jù)錄用程序，學校組織250名學生采用投票推薦的方式，對三人進行民主測評，三人得票率（沒有棄權(quán)，且每位同

學只能推薦1人）如扇形統(tǒng)計圖所示，每得一票記1分

（1）根據(jù)實際需要，學校將筆試、面試、民主評議三項得分按4:3:3的比例確定個人成績，請通過計算說明三人中誰將

被錄取.

（2）請你設計一種確定個人成績的規(guī)則，使得乙被錄取，并直接寫出此時甲、乙、丙三人的個人成績.

3.（2024?廣東汕頭.二模）為了解八年級學生的體質(zhì)健康狀況，某校對八年級（10）體43名同學進行了體質(zhì)檢測（滿

（如圖）和成績分析表.

八年級（10）班女生體質(zhì)檢測成績

八年級（10）班體質(zhì)檢測成績分析表

性別平均數(shù)/分中位數(shù)/分眾數(shù)/分方差

男生7.488C1.99

女生ab71.74

（1）求八年級（10）班的女生人數(shù)；

（2）根據(jù)統(tǒng)計圖可知，a=,b=

（3）若該校八年級一共有430人，則估計得分在8分及8分以上的人數(shù)共有多少人？

4.（2025?廣東?模擬預測）四月是全國安全月，某校以“安全伴我行”為主題開展了一系列活動，并在活動后期對七、

八年級學生進行了安全知識測試，測試結(jié)果顯示所有學生成績都不低于75分（滿分100分），

【收集數(shù)據(jù)】隨機從七，八年級各抽取40名學生的測試成績，進行整理和分析（成績得分都是整數(shù)）.

【整理數(shù)據(jù)】將抽取的兩個年級的成績進行整理（用x表示成績，分成五組:A.75（尤<80,艮80Vx<85,C.85Vx<90,

D.90<x<95,E.95<x<100）.

①八年級學生成績在。組的具體數(shù)據(jù)是：91,93,93,93,94,94,94,94.

②將八年級的樣本數(shù)據(jù)整理并繪制成不完整的頻數(shù)分布直方圖（如圖）：

八年級抽取學生測試

【分析數(shù)據(jù)】兩個年級樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下表:

平均中位眾方

年級

數(shù)數(shù)數(shù)差

七年

929210057.4

級

八年92.6m10049.2

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

⑴本次抽取八年級學生的樣本容量是;

⑵本次抽取八年級學生成績的中位數(shù)m=;

(3)分析兩個年級樣本數(shù)據(jù)的對比表，你認為年級的學生測試成績較整齊(填“七”或“八”)；

(4)若八年級有200名學生參加了此次測試，估計此次參加測試的學生中，該年級成績不低于95分的學生有人.

5.(2025?廣東佛山?一模)據(jù)了解，。深圳“體育場地一鍵預約平臺是市委、市政府打造“民生幸福標桿”城市過程中，

推動的惠民利民重要舉措，在滿足市民健身需求、激發(fā)全民健身熱情、促進體育消費等方面具有重大意義.按照符合

條件的學校體育場館和社會體育場館“應接盡接”原則，。深圳”體育場館一鍵預約平臺實現(xiàn)了“讓想運動的人找到場地,

已有的體育場地得到有效利用”.

小粵爸爸決定在周六上午預約一所學校的操場鍛煉身體，現(xiàn)有A,8兩所學校適合，小粵收集了這兩所學校過去10周

上午的預約人數(shù)：

學校A：28,30,40,45,48,48,48,48,48,50.

學校3：如圖所示：

(1)根據(jù)上述內(nèi)容，整理出眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差等數(shù)據(jù)，給下列問題提供參考:

(2)若小粵爸爸每日上午只有1.5小時進行健身，則他應該預約哪所學校？

(3)若小粵爸爸健身時需要更好的場所，則他應該預約哪所學校？

題型03概率的計算

01題型綜述

概率的計算是初中數(shù)學統(tǒng)計與概率部分的核心內(nèi)容，主要研究隨機事件發(fā)生可能性的量化，在中考數(shù)學中分值占比

約5%-10%o

1.考查重點：重點考查對古典概型(有限等可能事件)、幾何概型等不同類型概率模型的理解，以及相應概率計算公

式的運用。

2.高頻題型：高頻題型包含利用列舉法(列表法、樹狀圖法)計算簡單事件的概率；結(jié)合實際情境判斷概率模型并計

算概率；根據(jù)概率大小進行決策或設計游戲規(guī)則。

3.高頻考點：考點集中在簡單事件概率的定義與計算，通過列舉所有等可能結(jié)果求概率，概率與頻率的關系，以及利

用概率知識解決實際生活中的各類問題。

4.能力要求：要求學生具備清晰的邏輯思維能力，能準確分析事件的等可能性；具備良好的閱讀理解能力，能從實際

問題中抽象出概率模型并求解；還要有一定的創(chuàng)新思維，能依據(jù)概率設計合理方案。

5.易錯點：易錯點在于列舉等可能結(jié)果時出現(xiàn)遺漏或重復；混淆不同概率模型，錯誤套用公式；對復雜事件中各事件

間關系把握不準，導致概率計算錯誤；在實際問題中，對隱含條件挖掘不足，影響概率求解。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.事件：

①確定事件：事先能肯定它一定會發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發(fā)生的事件稱為不可能

事件，必然事件和不可能事件都是確定事件。

②隨機事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件。

2.事件的可能性（概率）大小：

事件的可能性大小用概率來表示。表示為P（事件）o

必然事件的概率為1;不可能事件的概率為0;隨機事件的概率為0<°<1。

3.概率的定義與計算公式：

①概率的意義：一般地，在大量重復實驗中，如果事件A發(fā)生的頻率%會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這

n

個常數(shù)p就叫做事件A的概率，記為P（A）=p

隨機事件出現(xiàn)的次數(shù)

②概率公式：隨機事件A的概率P（A）=

所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)

4.幾何概率：

在幾何中概率的求解皆用部分面積比總面積，或部分長度比總長度，或部分角度比整個大角角度。

5.古典概型：

①定義：若在一次實驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有有限多個，且每一個結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小相同，那么這樣的

實驗稱古典概型。

②概率求法：一般地，在一次實驗中，有〃種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且他們發(fā)生的可能性大小相同，事件A包

含了其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）=--

n

6.列表法：

當試驗中存在兩個元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時，我們常用列表的方式，不重不漏地列舉出所有可能

的結(jié)果，再求出概率。

7.樹狀法：

當試驗中存在三個及以上的元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時，我們常用畫樹狀圖的方式，不重不漏地列

舉出所有可能的結(jié)果，再求出概率。

8.游戲的公平性：

判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平。

9.用頻率估算概率：

大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定

性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率。

實驗的次數(shù)越多，則估算結(jié)果越精確。

【典例分析】

例1.（2024?廣東?中考真題）長江是中華民族的母親河，長江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荊楚文化、吳越文化

等區(qū)域文化.若從上述四種區(qū)域文化中隨機選一種文化開展專題學習，則選中“巴蜀文化”的概率是（）

2

A.-BD.

4-I4

例2.（2024?廣東深圳?中考真題）二十四節(jié)氣，它基本概括了一年中四季交替的準確時間以及大自然中一些物候等自

然現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律，二十四個節(jié)氣分別為：春季（立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小滿、芒

種、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、

大寒），若從二十四個節(jié)氣中選一個節(jié)氣，則抽到的節(jié)氣在夏季的概率為（）

例3.(2022?廣東深圳?中考真題)某工廠進行廠長選拔，從中抽出一部分人進行篩選，其中有“優(yōu)秀”，“良好”，“合格”,

“不合格

(1)本次抽查總?cè)藬?shù)為一，“合格”人數(shù)的百分比為

(2)補全條形統(tǒng)計圖.

(3)扇形統(tǒng)計圖中“不合格人數(shù)”的度數(shù)為

(4)在“優(yōu)秀”中有甲乙丙三人，現(xiàn)從中抽出兩人，則剛好抽中甲乙兩人的概率為

例4.(2023?廣東廣州?中考真題)甲、乙兩位同學相約打乒乓球.

(1)有款式完全相同的4個乒乓球拍(分別記為A,B,C,。)，若甲先從中隨機選取1個，乙再從余下的球拍中隨機

選取1個，求乙選中球拍C的概率；

(2)雙方約定：兩人各投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果兩枚硬幣全部正面向上或全部反面向上，那么甲先發(fā)球，否則乙

先發(fā)球.這個約定是否公平？為什么？

例5.(2024?廣東廣州?中考真題)善于提問是應用人工智能解決問題的重要因素之一.為了解同學們的提問水平，對A,

B兩組同學進行問卷調(diào)查，并根據(jù)結(jié)果對每名同學的提問水平進行評分，得分情況如下(單位：分)：

A組75788282848687889395

8組75778083858688889296

⑴求A組同學得分的中位數(shù)和眾數(shù)；

⑵現(xiàn)從A、3兩組得分超過90分的4名同學中隨機抽取2名同學參與訪談，求這2名同學恰好來自同一組的概率.

【變式演練】

1.（2024?廣東廣州?一模）如圖，電路圖上有4個開關％S?邑，邑，電源、小燈泡和線路都能正常工作，若隨機閉

合2個開關，則小燈泡發(fā)光的概率為（）

SS3

2.（2024?廣東潮州.一模）化學實驗課上，王老師帶來了Mg（鎂）、AI（鋁）、Zn（鋅）、Cu（銅）四種金屬，

這四種金屬分別用四個相同的不透明容器裝著，讓同學們隨機選擇一種金屬與鹽酸反應來制取氫氣.（根據(jù)金屬活動

順序可知：Mg、Al,Zn可以置換出氫氣，而C“不能置換出氫氣）

（I）小明從四種金屬中隨機選一種，則選到Mg（鎂）的概率為；

（2）小明和小紅分別從四種金屬中隨機選一種金屬分別進行實驗，請用列表或畫樹狀圖的方法，求二人所選金屬均能置

換出氫氣的概率.

3.（2025?廣東深圳?一模）深圳市某學校為了貫徹落實黨的相關精神，引導全體師生了解和掌握社會主義核心價值觀

的基本內(nèi)容和實踐要求，更加深入地理解社會主義核心價值觀的內(nèi)涵，增強對國家、社會和公民個人層面價值觀念的

認同感，特意舉辦了社會主義核心價值觀知識競賽.以下是社會主義核心價值觀的具體內(nèi)容

國家層面：富強、民主、文明、和諧；

社會層面：自由、平等、公正、法治；

個人層面：愛國、敬業(yè)、誠信、友善.

⑴初賽時，小軍同學從會主義核心價值觀十二個方面的知識中隨機抽取了其中一個方面的知識，恰好抽中“富強”的概

率為.

（2）復賽時，抽簽只分為三大類：國家層面（A）、社會層面（8）、個人層面（C）.小軍同學抽簽后，把簽放回去，

重新洗均勻，小剛同學再抽簽，利用畫樹狀圖或列表的方法求兩人抽到相同的簽的概率.

4.（2024?廣東?模擬預測）我市某中學在參加“爭創(chuàng)衛(wèi)生城市”書畫比賽中，楊老師從全校30個班中隨機抽取了4個班

（用A,B,C,。表示），對征集到的作品的數(shù)量進行了分析統(tǒng)計，制作了兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)以上信息，回答

下列問題：

作品數(shù)量條形統(tǒng)計圖作品數(shù)量扇形統(tǒng)計圖

ABCD

（1）楊老師采用的調(diào)查方式是一（填“全面調(diào)查”或“抽樣調(diào)查”）；

（2）請補全條形統(tǒng)計圖，并估計全校共征集作品的件數(shù)；

（3）如果全校征集的作品中有3件獲得特等獎，其中有2名作者是男生，1名作者是女生，現(xiàn)要在獲得特等獎的作者中

選取兩人參加表彰座談會，請你用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好選取的兩名學生是一男一女的概率.

5.（2025?廣東廣州?一模）某學校對學生最喜歡閱讀的圖書類型進行了抽樣調(diào)查，并將調(diào)查數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的兩

（2）已知該校共有5000名學生，請你估計該校喜歡閱讀“A”類圖書的學生約有多少人？

（3）學校將舉辦讀書知識競賽，九年級（1）班要在本班3名優(yōu)勝者（2男1女）中隨機選送2人參賽，請用畫樹狀圖的

方法求被選送的兩名參賽者為一男一女的概率.

03中考練場

一、單選題

1.（2024?廣東廣州?模擬預測）開學前，根據(jù)學校要求，小寧同學連續(xù)14天進行了體溫測量，結(jié)果統(tǒng)計如下表:

體溫（℃）36.2035.336.536.536.8

天數(shù)33422

這14天中，小寧體溫的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）

A.36.5℃,36.4℃B.36.5℃,36.5℃C.36.8℃,36.4℃D.36.8℃,36.5℃

2.（2024?廣東.模擬預測）如圖是根據(jù)某市某天七個整點時的氣溫繪制成的統(tǒng)計圖，則這七個整點時氣溫的中位數(shù)和

眾數(shù)分別是（）

溫度（℃）

40

10-

Q____?____?____?____?____?____?____?____

8時10時12時14時16時18時20時時間

A.30℃,28℃B.26℃,22℃C.31℃,30℃D.26℃,30℃

3.（2025?廣東廣州?模擬預測）我國南北朝時期的祖沖之是世界上第一個把圓周率精確到小數(shù)點后7位的數(shù)學家.當

今利用計算機技術(shù)，已把圓周率精確到小數(shù)點后202萬億位.數(shù)學活動課上，小華對圓周率的小數(shù)點后100位數(shù)字進

行了統(tǒng)計：

數(shù)字0123456789

頻數(shù)881211108981214

那么，圓周率的小數(shù)點后100位數(shù)字的眾數(shù)與中位數(shù)分別為（）

A.14,5B.9,6C.14,4D.9,5

4.（2025?廣東清遠?模擬預測）某班在班會課上開展有關社會熱點的討論會，將“直播短視頻”、“以色列與加沙”、“游

戲代練”、“日本排核污水”寫在四張卡片上（形狀和大小完全相同），小紅想從這四張卡片中隨機選一張，并開展主題

討論，則選中“以色列與加沙”的概率是（）

A.yB.0C.；D.-

3

5.（2025?廣東清遠?一模）如圖，電路圖有3只未閉合的開關，一個電源和一個小燈泡，已知電路圖上的每個部分都

能正常工作，任意閉合其中兩只開關，使得小燈泡發(fā)光的概率為（）

邑

1^8）

6.（2024?廣東深圳?模擬預測）某校連續(xù)四個月開展了學科知識模擬測試，并將測試成績整理，繪制了如圖所示的統(tǒng)

計圖（四次參加模擬考試的學生人數(shù)不變），下列四個結(jié)論不正確的是（）

第1-4月測試成績“優(yōu)秀”

第1月全體學生測試成績統(tǒng)計圖學生人數(shù)占比統(tǒng)計圖

B.第2月增長的“優(yōu)秀”人數(shù)最多

C.從第1月到第4月，測試成絨“優(yōu)秀”的學生人數(shù)在總?cè)藬?shù)中的占比逐漸增長

D.第4月測試成績“優(yōu)秀”的學生人數(shù)達到109人

7.（2025?廣東揭陽?一模）生物的性狀由遺傳因子決定，決定顯性性狀的為顯性遺傳因子，用大寫字母（如。）表示，

決定隱性性狀的為隱性遺傳因子，用小寫字母（如d）表示，當。和4結(jié)合在一起時d無法表達性狀，僅表現(xiàn)顯性性

狀.例如某高莖豌豆（A。）和矮莖豌豆3）雜交，高莖豌豆的A和。分離，矮莖豌豆。和。也分離，然后高莖豌豆

的遺傳因子和矮莖豌豆的遺傳因子自由結(jié)合，理論上后代中和團的比例為1:1.現(xiàn)在有高莖黃色豌豆（A。Bb）

和高莖黃色豌豆（A。Bb）雜交，其中后代中為仍的性狀為綠色，且A、。和3、，遺傳因子相互獨立互不影響，則

理論上后代出現(xiàn)高莖綠色豌豆的概率為（）

1

ACD.

-AA-A4

二、解答題

8.（2024.廣東.模擬預測）某中學積極落實國家“雙減”教育政策，決定增設“廚藝”“繪畫”“陶藝”“街舞，等四門校本課程

以提升課后服務質(zhì)量，為了解學生對這四門課程的選修情況（要求必須選修一門且只能選修一門），學校從七年級學

生中隨機抽取部分學生進行問卷調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：

請結(jié)合上述信息，解答下列問題：

20

16

12

8

4

0

⑴共有名學生參與了本次問卷調(diào)查；“廚藝”在扇形統(tǒng)計圖中所對應的圓心角是____度?

（2）補全調(diào)查結(jié)果條形統(tǒng)計圖;

⑶小剛和小毅分別從“廚藝”“繪畫”“陶藝”“街舞”等四門校本課程中任選一門，請用列表法或畫樹狀圖法求出兩人恰好選

到同一門課程的概率.

9.（2024?廣東?模擬預測）（1）先化簡，再求值：［1-一二］+三，其中x=-l.

（2）某村深入貫徹落實習近平新時代中國特色社會主義思想，認真踐行“綠水青山就是金山銀山”理念.在外打工的王大

叔返回家鄉(xiāng)博羅創(chuàng)業(yè)，承包了甲、乙兩座荒山，各栽100棵青棗樹，發(fā)現(xiàn)成活率均為97%,現(xiàn)已掛果，經(jīng)濟效益初步

顯現(xiàn)，為了分析收成情況，他分別從兩座山上隨意各采摘了4棵樹上的小棗，每棵的產(chǎn)量如折線統(tǒng)計圖所示.

①直接寫出甲山4棵青棗樹產(chǎn)量的中位數(shù)；

②分別計算甲、乙兩座山青棗樣本的平均數(shù)，并判斷哪座山的樣本的產(chǎn)量高；

③用樣本平均數(shù)估計甲乙兩座山青棗的產(chǎn)量總和.

10.（2024?廣東東莞?模擬預測）某校提倡數(shù)學學習與生活緊密結(jié)合，數(shù)學問題要源于生活，用于生活.為此學校開展

了以“生活中的數(shù)學”為主題的知識競賽.現(xiàn)從該校七、八年級中各隨機抽取10名學生的競賽成績（百分制）進行整理、

描述和分析（成績得分用x表示，共分成四組：A.80Vx<85,B.85Vx<90,C.90Vx<95,D.95<x<100）,

下面給出了部分信息：

七年級10名學生的競賽成績是：998099869996901008982

八年級10名學生的競賽成績是：949094（部分數(shù)據(jù)被污染）

七、八年級抽取的學生競賽成績統(tǒng)計表

平均數(shù)/中位數(shù)/眾數(shù)/方

年級

分分分差

七年

9293a52

級

八年

92b10050.4

級

八年級抽取的學生競賽成績條形統(tǒng)計圖

,人數(shù)/人

6-------------

(I)直接寫出“=_b=一,并補全條形統(tǒng)計圖.

(2)該校七、八年級參加此次競賽活動的人數(shù)分別為1200人和1300人，估計在本次競賽活動中七、八年級成績優(yōu)秀(x>90)

的學生共有多少人？

(3)分析上述信息，你認為該校七、八年級中哪個年級學生掌握“生活中的數(shù)學”知識較好?請說明理由(一條即可).

11.(2024?廣東廣州?模擬預測)“基礎學科拔尖學生培養(yǎng)試驗計劃”簡稱“珠峰計劃”，是國家為回應“錢學森之問”而推

出的一項人才培養(yǎng)計劃，旨在培養(yǎng)中國自己的杰出人才.已知A,B,C,D,￡五所大學設有數(shù)學學科拔尖學生培養(yǎng)基

地，并開設了暑期夏令營活動，參加活動的每名中學生只能選擇其中一所大學.某市為了解中學生的參與情況，隨機

抽取部分學生進行調(diào)查，并將統(tǒng)計數(shù)據(jù)整理后，繪制了如