2025中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)學(xué)案：幾何最值問題（含答案）

微專題42幾何最值問題

類型一利用“垂線段最短”解決最值問題

方法解讀

類型一定一動(dòng)型一定兩動(dòng)型

尸是直線/外的定點(diǎn)，"是直線/M是NR4C內(nèi)部的定點(diǎn)，N,尸分別

條件

上的動(dòng)點(diǎn)是AB,AC上的動(dòng)點(diǎn)

圖^—!L%BB

----------/----J；----iACA八；C

"ir

線段PH是點(diǎn)P到直線l的最短距

結(jié)論P(yáng)M+PN的最小值為M'N的長

離

1.（人教八上練習(xí)改編）如圖，在等邊△ABC中，A5=4,點(diǎn)。是邊上的

動(dòng)點(diǎn)，則線段A。的最小值是.

*/>C

第1題圖

2.（2024東莞模擬）如圖，在等邊△ABC中，A5=6,點(diǎn)尸是邊上的動(dòng)點(diǎn),

將△A5P繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△4C0,點(diǎn)。是AC邊的中點(diǎn)，連接?！?

則DQ的最小值是.

A

A.

J「X

第2題圖

3.如圖，在△ABC中，ZABC=35°,。是邊AC上一點(diǎn)，E,尸分別是射線

BA,5。上異于點(diǎn)5的動(dòng)點(diǎn)，連接。5,DE,EF,若NC5D=10°,BD=6,則

DE+EF的最小值為

B

第3題圖

4.（2024中山模擬）如圖，在R3A5C中，ZA=90°,又為5。的中點(diǎn)，H

為上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作CG〃AB交的延長線于點(diǎn)G,若AC=8,AB=6,

則四邊形ACGH周長的最小值是.

第4題圖

5.（2024梅州模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=%+6的圖象與

%軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)5,點(diǎn)尸在線段A5上，PC，入軸于點(diǎn)C,則△尸CO

周長的最小值為.

%

az

第5題圖

6.如圖，在等腰△斗5。中，ZBAC=45°,AB=AC,點(diǎn)尸，Q,尺分別為邊

BC,AB,AC上（均不與端點(diǎn)重合）的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△尸。尺的周長最小時(shí)，則NPQH

+ZPRQ的度數(shù)為.

第6題圖

類型二利用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決最值問題

方法解讀

類型兩定點(diǎn)H■一動(dòng)點(diǎn)型一定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)型兩定點(diǎn)+定長型

異側(cè)同側(cè)尸是N495內(nèi)部的A,B是定點(diǎn),M,N分

條件A,5是定點(diǎn)，尸是直線/定點(diǎn)，M,N分別是別是/i,L上的動(dòng)點(diǎn)，且

上的動(dòng)點(diǎn)0A,05上的動(dòng)點(diǎn)MN±h

圖示

PA+PB的PA+PB的

△尸周長的最小AM+MN+BN的最小

結(jié)論最小值為最小值為

值為PP的長值為AB+MN的長

AB的長AV的長

1.（北師九上隨堂練習(xí)改編）如圖，在邊長為4的正方形A5C。中，E為邊AB

上一點(diǎn)，且AE=1,尸為對(duì)角線5。上一動(dòng)點(diǎn)，連接ERCF,則石7+b的最

小值為，

第1題圖

2.如圖，在等腰△A5C中，AB=BC,AC=3,的垂直平分線OE分別交AB

BC邊于點(diǎn)D,E,尸為AC邊的中點(diǎn)，尸為線段DE上一動(dòng)點(diǎn)，若△A5C的面積

是9,則尸C+尸尸的最小值為.

第2題圖

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=3%2+b%+c與％軸交于點(diǎn)4,B

(4,0),與y軸交于點(diǎn)。(0,-3).點(diǎn)尸是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，連接AP、

CP,當(dāng)AP+C尸的值最小時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

\/

\I

_____L

第3題圖

4.如圖，在矩形A5CD中，AB=3,AD=2,E,尸分別是45,CD上的動(dòng)點(diǎn),

EF//BC,則人尸+"+。石的最小值為.

5.(2024香洲區(qū)二模)如圖，點(diǎn)A(bm)和5(n,2)在反比例函數(shù)y=￡的

圖象上，點(diǎn)。，。分別是X軸正半軸和y軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接ABBC,CD,

DA,則四邊形A5CD周長的最小值為.

第5題圖

類型三與圓有關(guān)的最值問題(6年5考)

考向1點(diǎn)圓、線圓最值問題

方法一點(diǎn)圓最值問題

方法解讀

ffl?圖②

條件：如圖，平面內(nèi)一定點(diǎn)。和。0,E是。。上的動(dòng)點(diǎn)，連接。E.

結(jié)論：當(dāng)圓心0在線段DE上時(shí)，。石取得最大值（圖①），當(dāng)圓心。在。E的

延長線上時(shí)，DE取得最小值（圖②）.

1.如圖，在矩形A5CD中，AB=3,BC=4,的半徑為I,若圓心O在矩

形A5CD的邊上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)。到。。上的點(diǎn)的距離的最大值為.

2.（2024珠海模擬）如圖，的半徑為4,圓心M的坐標(biāo)為（6,8）,點(diǎn)尸

是?！鄙系娜我庖稽c(diǎn)，PA±PB,且尸4,尸5與入軸分別交于4,5兩點(diǎn).若點(diǎn)4,

點(diǎn)5關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為^.

4O]R

第2題圖

3.（2024東莞一模）如圖，拋物線y=；%2—4與％軸交于A,5兩點(diǎn)，尸是以點(diǎn)

C（0,3）為圓心，2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接尸4,點(diǎn)。是線段尸4的中點(diǎn)，

連接0。，則線段0。的最大值是.

第3題圖

方法二線圓最值問題

方法解讀

圖①圖②

條件：如圖，與直線/相離，設(shè)的半徑為心圓心。到直線/的距離為d,

尸是。。上的動(dòng)點(diǎn).

結(jié)論：點(diǎn)尸到直線/的最小距離為d—r（圖①），最大距離為d+r（圖②）.

4.如圖，在矩形A5C。中，A5=4,BC=3,以點(diǎn)5為圓心，1為半徑作圓，P

是。5上一動(dòng)點(diǎn)，。是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則尸。的最小值為.

第4題圖

5.如圖，在矩形A5CD中，A5=3,BC=4,0為矩形A5CD的中心，以點(diǎn)。

為圓心，1為半徑作。。，尸為。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,OP,OA,則尸

面積的最大值為.

第5題圖

6.如圖，在R3A5C中，AB=4,BC=2,ZASC=90°,半徑為1的。O在

斜邊4。上滾動(dòng)，點(diǎn)。是。。上一點(diǎn)，則四邊形A5C。的最大面積為

H

第6題圖

考向2利用輔助圓求最值（6年4考）

方法一定點(diǎn)定長作圓（2021.10）

方法解讀

原理：圓的定義：圓是所有到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.

情形：在平面內(nèi)，點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)5為動(dòng)點(diǎn)，且AB長度固定.

動(dòng)點(diǎn)軌跡：動(dòng)點(diǎn)5的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，45長為半徑的圓或圓弧的一部分.

1.（2020廣東17題4分）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊

緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時(shí)撲捉.把墻面、梯子、貓

和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖，NA5C=90°,點(diǎn)跖N分

別在射線A4,BC上,長度始終保持不變，MN=4,E為MN的中點(diǎn)，點(diǎn)。

至UA4,5。的距離分別為4和2.在此滑動(dòng)過程中，貓與老鼠的距離。E的最小值

為.

HX（：

第1題圖

2.（2024煙臺(tái)）如圖，ABCD中，ZC=120°,AB=S,BC=10.E為邊

CD的中點(diǎn)，尸為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，DEF沿E尸翻折得連接

BD'.則4A3。面積的最小值為.

AFI）

/

H

第2題圖

3.如圖，在菱形A5CQ中，AB=6,NA5C=60°,E為BC上一動(dòng)點(diǎn)、,連接

。石，作點(diǎn)。關(guān)于直線。E的對(duì)稱點(diǎn)尸，連接5尸，則5尸的最小值為.

方法二定弦定角作圓（6年2考：2021.10、17）

方法解讀

情形：如圖，在AABC中，ZC（a）為定角，所對(duì)的弦A3長度固定.

動(dòng)點(diǎn)軌跡：（1）當(dāng)0<a<90°時(shí)，點(diǎn)。的軌跡如圖①所示，即融；（2）當(dāng)a

=90°時(shí)，點(diǎn)。的軌跡如圖②所示，即。O（不含A,5兩點(diǎn)）；（3）當(dāng)90°

<a<180°時(shí)，點(diǎn)。的軌跡如圖③所示，即崩.

第4題圖

4.（2024梅州市一模）在直角△斗臺(tái)。中，ZACB=90°,AC=4,BC=6,點(diǎn)P

是△斗臺(tái)。內(nèi)一點(diǎn)，滿足NCfiP=N4。尸，則PA的最小值為.

5.（2021廣東17題4分）在△ABC中，ZABC=90°,AB=2,5。=3.點(diǎn)。

為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，NAD5=45°,則線段CD長度的最小值為

6.（2021廣東10題改編）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A,5為拋物線y=%2上的兩個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，且。連接點(diǎn)4,B,過點(diǎn)。作0CJ_A5于點(diǎn)C,則點(diǎn)。到y(tǒng)軸距離

的最大值為.

方法三四點(diǎn)共圓（6年2考：2024.22,2023.23）

方法解讀

情況一（同側(cè)型）：如圖①②，線段A5情況二（異側(cè)型）：如圖③，由

條件長度為定值，點(diǎn)。，。為A3同側(cè)兩動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A,B,C,。構(gòu)成的四邊形

KZACB=ZADB中，ZADC+ZABC=180°

D

類型「」念"

R

圖①圖②圖③

結(jié)論A,B,C,。四,點(diǎn)共圓

第8題圖

9.如圖，在菱形中，ZASC=60°,AB=6,點(diǎn)、E,尸分別是邊5C,AB

上的點(diǎn)，RAF^BE,連接。廠與4E交于點(diǎn)G,連接。G,則。G的最大值

為.

REC

第9題圖

兒何■帔動(dòng)去演樂

回￡情叱

四點(diǎn)件■求總例

類型四利用二次函數(shù)性質(zhì)解決最值問題

[6年2考:2022.23(2),2021.9]

方法解讀

要求ynaT+Zur+c(aWO)的最值，可將解析式化為頂點(diǎn)式，確定其對(duì)稱軸是

否在自變量％的取值范圍內(nèi)，再畫出圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想及所給端點(diǎn)與對(duì)稱

軸的距離，依據(jù)二次函數(shù)增減性求最值.

1.(2021廣東9題3分)我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊

求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的

三邊長分別為a,b,c,記P="+；+c,則其面積S=Jp(p—a)(p—b)(p—c).

這個(gè)公式也被稱為海倫一秦九韶公式.若p=5,c=4,則此三角形面積的最大值

為()

A.V5B.4C.2V5D.5

2.如圖，二次函數(shù)y=—1%2—1%+2的圖象與％軸交于4,5兩點(diǎn)，與y軸交于

點(diǎn)&且。Cm,n)是第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，則四邊形0CD4的面積的最

大值為

/oT\

第2題圖

3.如圖，R3A5C中，ZC=90°,AC=BC=4,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是

A5上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)下是5。上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)石不與端點(diǎn)重合，/DEF=45°,則

BF的最大值為.

/____X

4KU

第3題圖

類型一利用“垂線段最短”解決最值問題

1.2V3【解析】如解圖，過點(diǎn)A作4OUBC于點(diǎn)根據(jù)垂線段最短可知，

當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)。'重合時(shí)，A。的值最小.,:△ABC為等邊三角形，.?.BC=A5=4,

：.BD'=CD'=^BC=2,：.AD'=JzB2—8?；?25.?.線段的最小值是2g.

4

A

第1題解圖

2.當(dāng)【解析】?.?△A5C是等邊三角形，.?.N5=NAC5=60°,AB=AC=6,

如解圖，過點(diǎn)。作于點(diǎn)。，由旋轉(zhuǎn)可得/人。。=入8=60°,.?.點(diǎn)0

為射線。。上的動(dòng)點(diǎn)，又?.?NAC5=60°,：,ZBCQ=nQ°，;點(diǎn)。是AC邊的

中點(diǎn)，??.CD=)C=3,當(dāng)°。，。。時(shí)，夜的長最小，止匕時(shí)，點(diǎn)。與。重合，

ZCDQ'=30°,C2，=|CD=j,"-DQ'=JDC2~CQ'=^,的最小值是

3V3

2.

第2題解圖

3.3V3【解析】如解圖，作點(diǎn)。關(guān)于BA的對(duì)稱點(diǎn)ZT,連接。D，BD',過點(diǎn)

。作的垂線交A4于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,由對(duì)稱的性質(zhì)得Z)E=Z)E,.二。石

+EF=D'E+EF=D'F,此時(shí)DE+EF的值最小，最小值為線段D'F的長.丁ZABC

=35°,ZCBD=10°,BD=6,ND5A=Nr)5A=NABC—NC5D=25°,

BD'=BD=6,：.ZCBD'=35+25°=60°,：.D'F=BD'sin60°=6X—=3A/3,

2

J.DE+EF的最小值為3V1

4.22【解析】,：CG//AB,：.ZB=ZMCG,是BC的中點(diǎn)，：.BM=CM,

甌FMCG

BM=CM,AAACMG(ASA),：.HM=

(國BMHFCMG

GM,BH=CG,\"AB=6,AC=8,.??四邊形4CG"的周長=4C+CG+GH+AH

=AB+AC+GH=14+GH,如解圖，當(dāng)GH最小時(shí)，即GHLAB時(shí)，四邊形ACG”

的周長有最小值，?.?NA=90°,.?.四邊形ACG”為矩形，

.?.GH=AC=8,???四邊形4CG"周長的最小值為14+8=22.

第4題解圖

5.3V2+6【解析】由直線y=%+6的解析式得，當(dāng)％=0時(shí)，y=%+6=6,當(dāng)

y=0時(shí)，％+6=0,解得％=—6,\,一次函數(shù)y=%+6的圖象與％軸交于點(diǎn)A,

與y軸交于點(diǎn)5,.?.4(—6,0),B(0,6),則。4=05=6,.?.△450是等腰直角

三角形，由題意，可設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(a,a+6)(-6<a<0),二?尸CXx軸，：.OC

=-a,PC=a-\-6,C.LPCO的周長為OC+PC+OP=~a+a+6+OP=6+OP,

則求△PCO周長的最小值只要求出。尸的最小值即可，如解圖，過點(diǎn)。作

于點(diǎn)D,則OP的最小值為OD的長，即此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，ODLAB,：.AD

=BD,.,.OD=|AB=|X^62+62=372,；.△PCO周長的最小值為6+0。=3近

+6.

COlx

第5題解圖

6.90°【解析】如解圖，作點(diǎn)尸關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)P,關(guān)于4。的對(duì)稱點(diǎn)

連接PP',分別交ABAC于點(diǎn)。，R,連接AP,4P".則PQ=P。，P"R=PR,

AP=AP'=AP",ZP'AQ=ZPAQ,ZP"AR=ZPAR,：.CAPQR=PQ+QR+PR=

P'Q+QR+P"R=P'P",ZP'AP"=ZP'AQ+ZPAQ+ZP"AR+ZPAR=2ZBAC

=2X45°=90°,.?.△/PP'為等腰直角三角形，AP=AP，=4P〃，.?.PP，=VL4P,

當(dāng)APLBC時(shí),AP最短，即△PQR周長最小，此時(shí)NAPQ=ZAPQ=45°,ZAP"R

NAPH=45°,：.ZQPR=90°,：.ZPQR+ZPRQ=90°.

//-必：*二丁尸

第6題解圖

類型二利用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決最值問題

1.5【解析】如解圖，連接CE交友)于點(diǎn)廣，.?.EF+C尸2CE,.?.當(dāng)點(diǎn)尸與

點(diǎn)尸重合，即C,F,E三點(diǎn)共線時(shí)，石7+C廠有最小值，最小值為CE的長.丁

四邊形A5C。為正方形，ZABC=90°,AB=BC=4,VAE=1,：.BE=3,

在R35CE中，由勾股定理，得CE=BE2+BC2=5,/+。尸的最小值為

5.

第1題解圖

2.6【解析】如解圖，連接5P.,「DE是線段的垂直平分線，，點(diǎn)5與。

關(guān)于。E對(duì)稱，BP=CP,：.PC+PF=BP+PF,BF,當(dāng)B,P,尸三點(diǎn)共線時(shí)，

PC+尸尸最小.?尸為AC邊的中點(diǎn)，A5=5C,：.BF±AC,：.S^ABC=^AC-BF=

9.VAC=3,：.BF=6,，PC+P下的最小值為6.

1

ur，、

第2題解圖

3.(|,—荒)【解析】如解圖，連接5。交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)尸，止匕時(shí)AP+CP

z9

’1?A/)c=0b=——

的值最小，???拋物線過(4,0),(0,—3)兩點(diǎn)，J一,解得因

<c=—3(c=—3

?二拋物線表達(dá)式為尸%2—%—3,.?.拋物線對(duì)稱軸為直線％=|,設(shè)直線的表

（77,=13

達(dá)式為>=加工+〃（根WO）,將5（4,。），C（O—3）代入y=znx+〃中，得,

?Am-\-n=0

7?2———

解得4，，直線5。的表達(dá)式為尸白一3,當(dāng)％=：時(shí)，y=—?J點(diǎn)尸的

{n=__—3c428

坐標(biāo)為e—

第3題解圖

4.7【解析】由題意知E尸=BC=AZ)=2,如解圖，過點(diǎn)尸作尸G〃CE,交BC

延長線于點(diǎn)G,連接AG,丁石「〃BC,.?.四邊形EFGC為平行四邊形，，CE=

GF,CG=EF=2,則AF+CE=A尸+尸G2AG,.??當(dāng)A,F,G三點(diǎn)共線時(shí)，AF

+C石取得最小值，最小值為AG的長，VJBG=JBC+CG=4,...在中，

AG=IAB2+BG2=5,：.AG+EF=7,.\4尸+石尸+。石的最小值為7.

第4題解圖

5.4A/5【解析】?.?點(diǎn)A(l,機(jī))和5(小2)在反比例函數(shù)y=￡的圖象上，...m=4,

n=2,：.A(1,4),BQ,2),.,.AB=V5,如解圖，分別作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)

4,作點(diǎn)5關(guān)于入軸的對(duì)稱點(diǎn)夕，連接A3交y軸于點(diǎn)O,交工軸于點(diǎn)C,此時(shí)

四邊形45CD的周長最小，最小值為49+45的值.根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，得A{—1,

4),BQ,—2),.,.49=3西，.?.四邊形A5CD周長的最小值為3遮+y=4遍.

第5題解圖

類型三與圓有關(guān)的最值問題

考向1點(diǎn)圓、線圓最值問題

1.6【解析】如解圖，在。。上任取一點(diǎn)E，，連接CE',則CEWCO+

0E1,當(dāng)。、0、?三點(diǎn)共線時(shí)，C?取得最大值，即當(dāng)點(diǎn)E與石重合時(shí)，CE取最

大值，要求CE的最大值，即求CO的最大值.連接AC,,.,COWAC,.?.當(dāng)點(diǎn)0

與點(diǎn)A重合時(shí)，CO取得最大值時(shí).在R3A5C中，?[A5=3,BC=4,：.AC=5,

.??0C最大=5,最大=0C最大+0E=6.???點(diǎn)。到。。上的點(diǎn)的距離的最大值為

第1題解圖

2.(-6,0)【解析】如解圖，連接尸O,丁尸斗，尸5,.?.NAP5=90°,?點(diǎn)A、

點(diǎn)5關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，.\40=50=尸O,.?.A5=2PO,若要使A5取得最小值，

則尸0需取得最小值，連接0河交。用于點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)尸位于尸位置時(shí)，O尸取得

最小值，過點(diǎn)〃作軸于點(diǎn)0,VM(6,8),則0。=6,"。=8,：.OM=

10,又?：MP，=r=4,0P'=M0~MP'=10-4=6,：.OA=OP'=6,.??點(diǎn)A坐

標(biāo)為(一6,0).

第2題解圖

3.1【解析】如解圖，連接5P,當(dāng)y=0時(shí)，|x2—4=0,解得％i=4,X2=-4,

則A(—4,0),5(4,0),：.OB=4,二?。是線段0A的中點(diǎn)，為AAB尸的中

位線，AOQ^BP,當(dāng)5尸最大時(shí)，0。最大，當(dāng)5尸過圓心。時(shí)，PB最大,如

解圖，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到尸位置時(shí)，BP最大,此時(shí)，0。取得最大值，最大值為匏尸

VC(0,3),：.OC=3,：.BC=JoB2+0C2=5,：.BP'=5-\-2=7,，線段0。的

最大值是最

第3題解圖

4.1【解析】如解圖，過點(diǎn)5作于點(diǎn)。，交。5于點(diǎn)尸，此時(shí)尸。的

值最小.,在矩形A5CZ)中，A5=4,5。=3,。5的半徑為1,JAB2+BC2

=42+32=5,BP=1,sinZACB=—=—=~,解得5。=^..?.尸。=50—5P

YACBC55

=￡-1=￡工尸。的最小值為《

p_____4

也

■Z---------娼心

,4\/)

第4題解圖

5.-【解析】如解圖，連接OC,當(dāng)點(diǎn)尸到AC的距離最大時(shí)，AAO尸的面積

4

最大，過點(diǎn)。作AC的垂線，與O。在矩形A5CQ外交于點(diǎn)P,交AC于點(diǎn)

此時(shí)△AOP的面積最大.?在矩形A5CD中，A5=3,5C=4,.\AC=AB2+BC2

qi119

=5,AD=4,AC>A=-,*.-ADDC=-ACDM,：.DM=—,：.PM=PD+DM=1

2225

+—=—?△AOP面積的最大值為二。4?尸加=工義9><"=".

5522254,

Jr'/Iy1

哈、J

ITC

第5題解圖

6.4+2遮【解析】VAB=4,BC=2,ZABC=90°,.*.AC=^AB2+BC2=

2V5.,「S四邊形ASCD=SAABC+SAACD,5AABC=|ABBC=4,二,當(dāng)SAACD取得最大值時(shí)，

S四邊形A5CD有最大值.如解圖，過點(diǎn)D作DELAC于點(diǎn)E,過點(diǎn)O作OF±AC于點(diǎn)

F,連接0。'：DE^OD+OF,J當(dāng)。，O,尸三點(diǎn)共線，即當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)尸重合

時(shí)，OE取得最大值，最大值即為00+0下的值.丁。。在AC上滾動(dòng)，.二0尸=1,

.二。石最大=0。+0尸=2,.?.以4CD最大=%。。石最大=：*2遙乂2=2遙,.'.S四邊形A5CD

最大=SAABC+SAACD最大=4+2V5.

I)

第6題解圖

考向2利用輔助圓求最值

1.2V5-2【解析】如解圖，連接BE,5D由題意得5Z)=j22+42=2遮，

VZMBN=9Q°,MN=4,E為MN的中點(diǎn)，：.BE=^N=2,.??點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌

跡是以點(diǎn)5為圓心，2為半徑的弧，J當(dāng)點(diǎn)E落在線段5。上時(shí)，的值最小,

???OE的最小值為2V5-2.

第1題解圖

2.20V3-16【解析】如解圖，以點(diǎn)E為圓心，EC長為半徑作圓，過點(diǎn)E作

EGLA5交5A的延長線于點(diǎn)G,交。E于點(diǎn)此時(shí)△A5D的面積最小，?.,在

口ABC。中，ZC=120°,ZABC=60°,7^=10,易得A5與CD間的距

離為5g,.'.EG=5V3,二石為邊的中點(diǎn)，；.DE=DE=[D=4,：.GD'=

5V3-4,??.84即的最小值為]乂8又(5g-4)=20g一16.

R匕-------7、t

第2題解圖

3.6V3-6【解析】如解圖，連接。尸，根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)可知。尸=CD,?.?四邊形

A5CD為菱形，.?.A5=AZ)=Cr)=JDF=6,???點(diǎn)下的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)Z)為圓心，

長為半徑的曲，連接5。交“于點(diǎn)G,當(dāng)B,F,。三點(diǎn)共線，即點(diǎn)尸與點(diǎn)

G重合時(shí)，5尸的值最小，最小值為5G的長，過點(diǎn)A作于點(diǎn)M,?.,在

菱形A5CD中，NABC=60°,ZABD=30°，在R3A5M中，5Af=AAcos30°

=3V3,：.BD=643,\"DG^AD=6,:.BG=BD—DG=6?—6,即3尸的最小

值為6V3—6.

第3題解圖

4.2【解析】如解圖，取5。的中點(diǎn)O,以5。為直徑作。O,與AB交于點(diǎn)E,

連接OP,AO,VZACB=90°,ZACP+ZBCP=90°,ZCBP=ZACP,

：.ZCBP+ZBCP=90°,：.ZCPB=90°,.?.點(diǎn)尸在以BC為直徑的圓弧CE

上運(yùn)動(dòng)，AP^AO-OP,J當(dāng)點(diǎn)尸，A,O三點(diǎn)共線時(shí)，尸A有最小值，?.?點(diǎn)。是

1

的中點(diǎn)，BC=6,/BPC=90°,：.P0=C0=-BC=3,在RtAACO中，VAC

=4,.,.AO==5,的最小值=5—3=2.

第4題解圖

5.V5-V2【解析】如解圖，根據(jù)定弦定角，確定△A5Q的外接圓。O,點(diǎn)。

在的優(yōu)弧循上運(yùn)動(dòng)，連接AO,BO,DO,CD,0C,過點(diǎn)。作

于點(diǎn)尸，VZADfi=45°,ZAOB=90°,,：OA=OB,AB=2,：.△OAB>

等腰直角三角形，：.0A=0B=^-AB=>/2,NA5O=45°,：.Z0BF=ZABC~

ZABO=45°,...△05下是等腰直角三角形，：.OF=BF=*B=1,\'BC=3,

：.FC=BC~BF=2,：.0C=JoF2+FC2=V5,'：OD+CD^OC,當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)

動(dòng)到OC與。0的交點(diǎn)E時(shí)，CD的值最小，最小值為OC—0E,即遮一VI

第5題解圖

6.1【解析】設(shè)A(m足)，B(b,為，則直線。4的解析式為產(chǎn)奴，

koA'koB~—1,**?koB=—；?直線。8的解析式為y=一不，將點(diǎn)5(6,左)代

入y=一中，得〃2=一2也J5=一工，.，.R—工，與，設(shè)直線AB的解析式為y

aaaaaz

q2=772(1-pH一一1

=mx+”0nW0),,解得17na,...直線AB的解析式為y

=m-(--)+nln=1

=(a—》%+l,如解圖，設(shè)AB與y軸交于點(diǎn)。，當(dāng)％=0時(shí)，y=l,：.D(0,1),

即00=1,,.,0C_LA5,.?.點(diǎn)。在以0。為直徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)。在半圓0。的中

點(diǎn)處時(shí)，點(diǎn)。到y(tǒng)軸的距離最大，此時(shí)0C=CD,過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,

?.?0。是直徑,.*.Z0CD=90°,：.CE=DE=^OD=^.

、At1/

vvJo/

___L

ffN*

第6題解圖

7.6V2【解析】?.?NA5C=NAZ)C=45°,，A,B,C,。四點(diǎn)共圓，AC為OO

的弦，如解圖，當(dāng)AZ)為。0的直徑時(shí)，A。取得最大值，此時(shí)NACZ)=90°,

"：AC=6,ZADC=45°,.,.AD=V2AC=6V2.

第7題解圖

8.2V2【解析】如解圖，過點(diǎn)。作COLLAB于點(diǎn)O,連接00,則NA0C=

90°,?.?在R3ABC中，AC=BC=4,：.AB=4y/2,：.AO'=BO'=2y[2,,:CE

是由C。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°