2025年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)專練：二次函數(shù)圖象信息

二次函數(shù)圖象信息

專題講練1圖象信息（一）——代值法

考點(diǎn)拋物線過(guò)兩點(diǎn)代入拋物線解析式聯(lián)立

【典例1】（2024海淀期末）如圖所示為拋物線y=ax2+bx+c的圖象,A,B,C為拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，

且OA=OC=1,則下列關(guān)系中正確的是（）

A.a+b=-lB.a-b=-lC.b<2aD.ac<0

變式1.如圖，在正方形ABCD中點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別是（1,2）,（-1,-2）,點(diǎn)O,B在拋物線y=-^x2+bx+c上，則b+

c的值是（）

A3

4——Bc?后D

2-1-

22

變式2.（2024.安徽）已知點(diǎn)A（X],%）在拋物線y=-x+2%上，點(diǎn)B（xr+t，乃+八）（勺>0,t>0）在y=-x+

4x上,h=3t,求h的值.

考點(diǎn)二代值后再配方

【典例2]（2024福建）已知二次函數(shù)y=/一2ax+a（a豐0）的圖象經(jīng)過(guò)A^>y1],B（3a,y2）兩點(diǎn)，則下列判

斷正確的是（）

A.可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)a,使得yi>aB.無(wú)論實(shí)數(shù)a取什么值，都有y.>a

C.可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)a，使得.y2<0D.無(wú)論實(shí)數(shù)a取什么值，都有%<0

變式1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)在第一象限,且經(jīng)過(guò)（0,1）、（-1,。）兩點(diǎn),若s=a+b+c,則s的

取值范圍（）

A.O<s<lB.0<s<2C.l<s<2A.-l<s<l

變式2.（2024.大連）如圖，菱形OABC邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上拋物線y=a/過(guò)點(diǎn)B,若/AOC=60。,則a

專題講練2圖象信息（二）-----多結(jié)論問(wèn)題⑴

題型-結(jié)合圖象并注意頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的運(yùn)用求解

【典例1】如圖，拋物線y^ax2+bx+c（a豐0）與y軸的交點(diǎn)在（0,-2）的下方，對(duì)稱軸是直線x=l,下列四

個(gè)結(jié)論：（①a+b+3c<0;②b2-4ac<8a;③at2-bNa-bt;④3b-2c<0.其中正確的是_______.（填序號(hào)）

【方法】⑴與x軸交點(diǎn)信息，代值；

⑵頂點(diǎn)縱坐標(biāo)信息，最大或最??；

（3）注意等式與不等式相結(jié)合，將等式代入不等式得新的不等關(guān)系.

變式.拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)）的頂點(diǎn)在第二象限，且a+b+c=0.下列四個(gè)結(jié)論:①b<0;②a-b+c>0;③

a-b-c>0;④若￡<-3,則當(dāng)x<-l時(shí)，y隨x的增大而增大.其中正確的結(jié)論是______（填序號(hào)）.

考點(diǎn)二注意代值法的理解（過(guò)兩點(diǎn)代入相減）

【典例2】（2022.武漢）已知拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)）開(kāi)口向下，過(guò)A（-l,0）,B（m,0）兩點(diǎn)且l<m<2.下

列四個(gè)結(jié)論:①b>0;②若m=|,則3a+2c<0;③若點(diǎn)在拋物線上，xi<久2,且與+久2>1，則為>

為；④當(dāng)a<-l時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c^1必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.其中正確的是________（填寫

序號(hào)）.

專題講練3圖象信息（三）——多結(jié)論問(wèn)題（2）

考點(diǎn)一數(shù)形結(jié)合，二次函數(shù)與方程、方程組

【典例】（2024.武漢）已知拋物線y=ax2+bx+c（a）0）與x軸交于點(diǎn)（m,0）,（2,0）,其中下列結(jié)論:①bc>0;

②2b+3c<0;③不等式ax2+bx+c<-^x+c的解集為0<x<2;④若關(guān)于x的方程a(x-m)(x-2)=-l有實(shí)數(shù)根，則b2-

4ac>4a.其中正確的是________.（填寫序號(hào)）

【方法】（1）開(kāi)口方向與坐標(biāo)軸交點(diǎn)信息確定a,b,c符號(hào)；

（2）與x軸交點(diǎn)信息，代值；

⑶將方程解轉(zhuǎn)化為直線與拋物線交點(diǎn).

考點(diǎn)二絕對(duì)值函數(shù)，注意兩種情形畫圖理解

變式1.（2023?武漢）拋物線y=a/+法+c（a；b）c是常數(shù),c<0）經(jīng)過(guò)（1,1）,（111,0）,（11,0）三點(diǎn)，且吟3.下列四個(gè)結(jié)論：

①b<0;②4ac-b2<4a;③當(dāng)n=3時(shí)，若點(diǎn)（2,t）在該拋物線上，則t>l]④若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=x

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則0<64點(diǎn)

其中正確的是_________（填序號(hào)）.

變式2.（2023?武漢四調(diào)）函數(shù)y=x2+b\x\-4（b為常數(shù)）有下列結(jié)論：

①無(wú)論b為何值該函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)（0,-4）;②若b=2則當(dāng)x<l時(shí),y隨x增大而減?、墼摵瘮?shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

④當(dāng)b>0時(shí)，該函數(shù)的最小值是-4.

其中正確的結(jié)論是（填序號(hào)）.

專題講練4圖象信息（四）——多結(jié)論問(wèn)題⑶

考點(diǎn)一數(shù)形結(jié)合與換元法運(yùn)用

【典例】（2024.武漢）拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù),a<0）經(jīng)過(guò)（-1,1）,（111,1）兩點(diǎn)且0<m<L下列四個(gè)結(jié)論：

①b>0;②若0<x<l,Jl!］（a（x-l）2+b（x-1）+c>1;③若a=-l,則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c-2無(wú)

實(shí)數(shù)解；④點(diǎn)4（久1，%）,33少2）在拋物線上，若久1+%2>->%2總有71<乃廁0<m4點(diǎn)

其中正確的是.

考點(diǎn)二注意圖象的增減性

變式.（2023?永春月考）已知拋物線y^ax2+bx+c（a*0）經(jīng)過(guò)（—3,0）,,頂點(diǎn)是（-1，球且n<0,,下列四個(gè)

結(jié)論：①abc<0;②4a+2b+c<0;③ax?+bx>0的解集是x<-2或x>0;④點(diǎn)（t-2，y。（t+1，%）在拋物線上，當(dāng)《2

時(shí)，月〉月?其中正確的是________（填序號(hào)）.

專題講練5圖象信息（五）一多結(jié)論問(wèn)題⑷

考點(diǎn)一注意數(shù)形結(jié)合與特殊點(diǎn)的函數(shù)值

【典例】（2024?武漢）已知拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù),0<a<c）經(jīng)過(guò)點(diǎn)其中m<0.下列結(jié)論：

①b>0；②關(guān)于x的一元二次方程a/+法+?=o一定有一個(gè)根是小于1的正數(shù)；

③當(dāng)x<l時(shí)，y隨x的增大而減小；④分式。的值小于3.

D—CL

其中正確的結(jié)論是_______（填序號(hào)）.

考點(diǎn)二注意函數(shù)的對(duì)稱性，并注意頂點(diǎn)、交點(diǎn)、對(duì)稱軸三大信息

變式.（2023?江夏月考）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，a?0）的圖象開(kāi)口向下，與x軸交于（1,0）和（m,0）,

且-2<m<-1..有下列結(jié)論:①abc>0;②2a+c<0;③若方程a（x-m）（x-1）-1=。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則

4ac-b2<4a;④當(dāng)m=-弼，若方程Ia/+bx+c|=1有四個(gè)根，則這四個(gè)根的和為一點(diǎn)其中，正確結(jié)論的一

專題講練6圖象信息（六）——二次函數(shù)中新定義

考點(diǎn)一待定系數(shù)法與判別式問(wèn)題

【典例】（2023.南安模擬）定義：如果兩個(gè)函數(shù)圖象上至少存在一對(duì)點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為

“關(guān)聯(lián)函數(shù)’，這對(duì)對(duì)稱的點(diǎn)稱為“關(guān)聯(lián)點(diǎn)'，例如：點(diǎn)P（-3,9）在函數(shù)y=/上，點(diǎn)Q（3,-9）在函數(shù)y=-2x-3上，點(diǎn)P與

點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此時(shí)函數(shù)y=/和y=-2x-3互為“關(guān)聯(lián)函數(shù)L點(diǎn)M與點(diǎn)N則為一對(duì)，關(guān)聯(lián)點(diǎn)L已知函數(shù)丫=

/+2"口y=4x+n-2022互為“關(guān)聯(lián)函數(shù)，，則n不可能是（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

考點(diǎn)二不經(jīng)過(guò)某點(diǎn)問(wèn)題

2

變式1.(2023?洪山月考)若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a，拋物線y=ax+ax-2a總不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0-2%0-6),則符合條

件的點(diǎn)P()

A.有且只有1個(gè)B.有且只有2個(gè)

C.有且只有3個(gè)D.有無(wú)窮多個(gè)

變式2.(2023?岳陽(yáng))若一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足(k,2k),我們將這樣的點(diǎn)定義為“倍值點(diǎn)”.若關(guān)于x的二次函數(shù)y=(t

+l)x2+(t+2)x+s(s,t為常數(shù)，字-1)總有兩個(gè)不同的倍值點(diǎn)，則s的取值范圍是()

A.s<-lB.s<0C.0<s<lD.-l<s<0

二次函數(shù)圖象信息

專題講練1圖象信息(一)——代值法

【典例1]B

解:由圖知A(-l,0),C(0,l)代入y=ax2+bx+c中得

產(chǎn)一力+c=0,

tc=1,

a-b=-l.故選B.

變式1.D

解:過(guò)點(diǎn)B作MNLx軸作AMLMN于點(diǎn)M,

CN±MN于點(diǎn)N,；.Z\AMB04BNC,

(m+l=2-n,

、八—1),

設(shè)[〃+2=m—1,

2b+C=1,

???{cc=0,

=>b717b+,c=-1.

22

(Vi=-X\-vlx\,

變式2.解：,,,

\yi+3f=-(zi+^)2+4(xi+f)，

2

???3t=—t—2xrt+2/+4t,

(t-l)(t+2%D=0,

vt+2%iH0,??.t=1,h=3.

【典例2]C

解yi=-fa2+a,72=3a2+a,故答案為C.

4

變式1.B

解：易知｛很h=2b,

a=b-1

又x=-b<a>0,a<0,0<b<1,故0<s<2.

變式2.-1

專題講練2圖象信息(二)——多結(jié)論問(wèn)題⑴

【典例1】①③④

解:①\*x=1時(shí),y=a+b+c<0,c<0,

a+b+3c<0,①對(duì)';

②頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于-2,

4"<—2=>b2—4ac>8a,②錯(cuò)；

4a一"

③x=l,y最小,③對(duì)；

@Vx=-l時(shí)y>0,

CL—Z)+c>0n------b+c>0,

2

???3b-2c<0,(D孌t.

變式.①②

解:①過(guò)(1,0),-白<0,故a<0nb<0;

2a

②由圖象知x=-l,y>0;

③由a-b-c=2a-(a+b+c)=2a<0;

④???/=10打?冷=：<-3=犯V—3.

【典例2]①③④

解：①%=-菖>0nb>0;

②Xi-x2=-1=：=3a+2c

=0;

③代入相減易知；

(c)

④頂點(diǎn)縱坐標(biāo)y=4。/=-°-=>-a<c<-2a,又V-2<-x2<-1,7>-a,故y>l.

專題講練3圖象信息(三)一多結(jié)論問(wèn)題⑵

【典例】②③④

解:(l)b<0,c>0,bc<0①錯(cuò)；

g、Aa+2b+c=0一、入"/八

(2),八=2b+3c<0;

-la+b+c<0

⑶由圖象知③對(duì)；

(4)y=ax2+b%+c=a(%—m)(x—2)=—1有實(shí)根,

即y=a/+f+c有交點(diǎn)，

y=-1

□ri4ac—匕21

即-----《一1=>/一4ac>4a.

4a

變式1.②③④

解：①畫出草圖，開(kāi)口向下，頂點(diǎn)在第一象限，

-->0b>0;

2a

②4"：：">1今4ac-b2<4a;

③t-l=3a+b,又xr+x2>3,

.??一2>3今3a+b>0,t>1;

a

Gra+b+c=1

?kb-iy-4ac=0=>a=c'

mn=l=>n>3=>m<|,0<m<|.

變式2.①③④

解:①x=0,y=4過(guò)點(diǎn)(0,-4);

②b=-2時(shí)，y=%2-2|%|-4=

x2—2x—4(x>0)

x2+2x—4(x<O'

兩段拋物線的對(duì)稱軸X=l,x=-1;

③對(duì);④b>0,函數(shù)圖象為

專題講練4圖象信息(四)—多結(jié)論問(wèn)題⑶

【典例】②③④

解：①對(duì)稱軸%=^,-l<x<0,b<0,故①錯(cuò)誤；

②令x-l=t，則由圖象知y^at2+bt+c>l,故②正確；

③y=—%2+bx+c過(guò)(-l,l),c=b+2,頂點(diǎn)縱坐標(biāo)y=-b2+b+2=-+1,TI—1<b<0,y<2故③正

確；

?y2-yi=。(必-xf)+/>(x2-/)

=(x2-x1)[a(x1+x2)+b]>0,

>x2,???a(%i+%2)+b<0,

^i+^2>-;)-l+m=2x(-￡)=-5

1、1I

-->一1+犯

0<m<

2

變式.①③④

解：：拋物線經(jīng)過(guò)(-3,0),頂點(diǎn)是(-1,n),且n<0,

頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，即拋物線開(kāi)口向上，a>0,

由拋物線的對(duì)稱性可得拋物線經(jīng)過(guò)(I,0),

-3<x<l時(shí),y<0,

?*-x=0時(shí)，拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸下方，即c<0,

=—1,b—2a>0,

2a

abc<0,①正確.

當(dāng)x>l時(shí),y>0,

x=2時(shí),y=4a+2b+c>0,②錯(cuò)誤.

b=2a,

???ax2+bx=ax2+2ax=ax(x+2),

..?拋物線y=ax2+bx與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),(-2,0),

Va>0,拋物線開(kāi)口向上，

/?x<-2或x>0時(shí),y>0,③正確.

當(dāng)t<-2時(shí),t-2<-4,t+l<-i,

Vx<-1時(shí),y隨x增大而減小，

-yi>y2，④正確.

故答案為:①③④.

專題講練5圖象信息(五)—多結(jié)論問(wèn)題(4)

【典例】②③④

解：①根據(jù)題意畫圖知，對(duì)稱軸為X=-^>0fb<0,①錯(cuò)誤；(

。卜!一

②與X軸交點(diǎn)0<X1<1,X2>1,故②正確；加手

③a+b+c=m<0,，-b=a+c-m,???對(duì)稱軸x=-—=°+'一僧>2a~m>1,???％vl時(shí)，y隨x的增大而減??；

2a2a2a

@a+b+c-4a-2b+c

b-a-----3--=-----b-a,

當(dāng)x=-20^,y=4a-2b+c>O,b-a<O,

_|_i_4a-2b+c八a+b+c八

故

變式.①②③

解:①v拋物線開(kāi)口向下,?,.a<0,

???-2<m<-1,/.-i<—<0,

22

—<-----V0,bV0,

22a

：(111,0),(1,0),在丫軸左右兩側(cè)，

..?拋物線與y軸交點(diǎn)在X軸上方，即c>o,

abc>0,①正確.

(2)—<-----<0,a<0,b<0,

」22a

b>a,

;拋物線經(jīng)過(guò)(1,0),

a+b+c=0,

/.a+c=-b

2a+c=a-b<0,②正確.

③??,拋物線開(kāi)口向下，，拋物線與直線y=l有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)大于1,

2

即4℃一”>1,4ac—b<4a,

4a

，方程a(x-