2025年中考數(shù)學復(fù)習：隱形圓最值模型

隱形圓最值模型

1如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=夜動點P在矩形的邊上沿B—CTD-A運動.當點P不與點A、B

重合時，將仆ABP沿AP對折，得到△力夕P,連接則在點P的運動過程中，線段CB，的最小值為.

2如圖，在正方形ABCD中.點E、F分別是DC、AD邊上的動點，且AE1BF,垂足為P,連接CP.若正方形

的邊長為1,則線段CP的最小值為（）

3如圖.在矩形ABCD中，AD=5,AB=3百，點E在AB上，柒述矩形內(nèi)找一點P,使得/BPE=6。。，則線

段PD的最小值為（）

X.2V7-2B.2V13-4C.4D.2V3

4設(shè)0為坐標原點，點A、B為拋物線y=/上的兩個動點，目OALOB.連接點A、B,過0作OC±AB于點

C,則點C到y(tǒng)軸距離的最大值（）

A.-B.—C.-D.1

222

5如圖,在矩形ABCD中，已知AB=3,BC=4,點P是BC邊上一動點（點P不與B,C重合）,連接AP,作點B關(guān)于

直線AP的對稱點M，則線段MC的最小值為（）

A.2B.|C.3D.V10

6如圖,正方形OABC中，A(8,0),B(8,8),點D坐標為(-6,0),連接CD,點P為邊OA上一個動點，連接CP,

過點D作DE±CP于點E,連接AE,當AE取最小值時，點E的縱坐標為()

A3-季甌艮4-震母4

7已知：如圖，在RtAABC中，BC=AC=2,點M是AC邊上一動點，連接BM,以CM為直徑的。O交BM于

N,則線段AN的最小值為.

8如圖，在4ABC中，BC=2,點A為動點，在點A運動的過程中始終有Z.BAC=45。狽必ABC面積的最大

值為.

9如圖,四邊形ABCD中,AB\\CD,AABC=60°,AD=BC=CD=4,,點M是四邊形ABCD內(nèi)的一個動點，

滿足^AMD=90°,,則點M至I」直線BC的距離的最小值為.

10如圖，在等邊△4BC中，AB=6,點D,E分別在邊BC,AC上,且BD=CE,,連接AD,BE交于點F,

連接CF,則CF的最小值是.

11如圖，在RSABC中，/-ACB=90。,48=4,,點D,E分另在邊AB,AC上,且DB=2AD,AE=3EC,連接B

E,CD,相交于點O,則4ABO面積最大值為.

12如圖，在RtAAOB中,（OB=28,乙4=30°?00的半徑為1,點P是AB邊上的動點，過點P作。O的一

條切線PQ（其中點Q為切點），則線段PQ長度的最小值為.

Q

B

13如圖,四邊形ABCD中，AB^AC=ADBO/DBC=15。,貝!］乙BDC=

14如圖，在矩形ABCD中，E為AB的中點，P為BC邊上的任意一點，把△PBE沿PE折疊，得到△PFE,連

接CF.若AB=10,BC=12,則CF的最小值為.

15如圖.在矩形ABCD中，AB=1,AD=V3,P為AD上一個動點，連接BP,線段BA與線段BQ關(guān)于BP所

在的直線對稱，連接PQ,當點P從點A運動到點D時，線段PQ在平面內(nèi)掃過的面積為.

B

16在△ABC中，ZXBC=90°,AB=2,BC=3.點D為平面上一個動點，乙ADB=45。,則線段CD長度的最

小值為.

11如圖，已知正方形ABCD的邊長為6,點F是正方形內(nèi)一點，連接CF,DF,且AADF=乙DCF,點E是A

D邊上一動點，連接EB,EF廁EB+EF長度的最小值為.

18如圖，在四邊形ABCD中，.AABC=^BAD=90。,AB=5,4。=4,AD<BC,點E在線段BC上運動，點F

在線段AE上,^ADF=乙BAE,,則線段BF的最小值為.

19如圖，等邊△ABC中，AB=3,點D,點E分別是邊BC,CA上的動點且BD=CE,連接AD、BE交于點F,

當點D從點B運動到點C時，則點F的運動路徑的長度為.

20如圖,在矩形ABCD中，AB=6,BC=5,點E在BC上，且(CE=48與點M為矩形內(nèi)一動點，使得乙CME

=45。,連接AM,則線段AM的最小值為.

21⑴【學習心得】

于彤同學在學習完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題

變得非常容易.

如圖1,在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,D是△ABC夕L點，且；4。=AC,求/BDC的度數(shù).若以點A為

圓心，AB為半徑作輔助。A,則點C、D必在。A上,ZBAC是。A的圓心角，而/BDC是圓周角，從而可得到.

乙BDC=

(2)【問題解決】

如圖2,在四邊形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,ZBDC=25°,求NBAC的數(shù).

(3)【問題拓展】

如圖3,如圖，E,F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE=DF.連接CF交BD于點G,連接BE交A

G于點H.若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是.

1.解：在矩形ABCD中,AB=2,AD=夕

BC=AD=近，連接AC,

貝！1AC=>JBC2+AB2=J(⑺之+22=Vil,

如圖1所示，當點P在BC上時，

；AB，=AB=2,"在A為圓心,2為半徑的弧上運動，當A,B',C三點共線時，CB最短,

止匕時CB'=AC-AB'=Vil-2,

當點P在DC上時,如圖2所示，此時CBr>Vn-2,

當P在AD上時，如圖3所示，此時CB'>V11-2,

B'

綜上所述，CB，的最小值為V11-2,

故答案為：V11—2.

2.解：：AE，BF交于點P,且/APB=90。，則點P的軌跡為以AB為直徑的；圓上，連接AC、BD,交于點連

接CP,此時CP即為所求的最小值，

VBC=AB=1,?.AC=VX：AP=PC,；.CP的最小值=內(nèi),故選：B.

3.解：如圖，在BE的上方，作AOEB,使得OE=OB,/EOB=120。，因為/BPE=60。,所以P在以0為圓心,0B為

半徑的圓上運動。連接DO,與圓的交點，即為DP最小值時的P點

VAB=3V3,AE:EB=1:2,；.BE=2A/3

VOE=OB,ZEOB=120°.\EF=BF=V3ZEOQ=ZBOQ=60°,.*.OF=1,OE=2,作OG_LAD于點G,作OF_LAB

于點F,

四邊形AFOG是矩形

AG=OG=1,GO=AG=2V3

：AD=5,DG=AD-AG=4,

.?.在RtADOG中，OD=VDG2+GO2=2小,

.,.PD的最小值=0D-OP=247-2,故選：A.

4.解：如圖，分別作AE、BF垂直于x軸于點E、F,設(shè)OE=a,OF=b,由拋物線解析式為y=/廁AE=a2,BF

=b2,連接AB交y軸于點D,設(shè)點D(0,m)/AOB=90。，；./AOE+/BOF=90。,又/AOE+/EAO=90。，/B

OF=/EAO,又/AEO=/BFO=90°,AAEO^AOFB.

祭=第即y=*化簡得ab=1.b=：設(shè)AB的解析式為y=nx+m,把"(-a，a2).B代入得：m

=1,說明直線AB過定點D,D點坐標為(0,1).

,/ZDCO=90°,DO=1,.?.點C是在以DO為直徑的圓上運動，，當點C到y(tǒng)軸距離為抄。=|時，點C到y(tǒng)

軸的距離最大.故選：A.

5.解：連接AM,：點B和M關(guān)于AP對稱，

；.AB=AM=3,；.M在以A圓心，3為半徑的圓上,...當A,M,C三點共線時，CM最短,

在RtAABC中，由勾股定理可得：

AC=5,AM=AB=3,；.CM=5-3=2,故選：A.

6.解：：DE±CP,.,.ZDEC=90°,

C(o,8),D(-6,0)，，由勾股定理得CD=10取CD的中點F(-3,4),則點E在以點F為圓心，F(xiàn)E=FD=FC=

5為半徑的圓上運動.

連接AF,交OF與點E,此時為AE的值最小.

過點F做FMXxffl,過點E作EN”軸于點N,則FM為△COD的中位線，

FM=^C0=4,AM^OA+OM=11,在RtAAFM中，AF=VFM2+AM2=V42+ll2=V137.

AEAF-FEV137-5

ZFMA=ZENA=90°,

4EENV137-5EN

???FM\\EN,???—=—,???一?=—

11AFFMV1374

EN=4--V137

137

；?點E的縱坐標為4-^-V137,故選B.

7.解：如圖，連接CN,：CM是。。的直徑，

.?./CNM=90。，...NCNB=90。，.?.點N在以BC為直徑的。O上，；。01的半徑為1,.?.當點0,、N、A共線

時，AN最小，在RtAAO'C中，

VO'C=l,AC=2,：,O'A=V5

???AN=AO'-O'N=V5-1,

即線段AN長度的最小值為V5-1.故答案為V5-1.

8.解：如圖，△ABC的外接圓。0,連接OB、OC,VZBAC=45°,AZBOC=2ZBAC=2x45°=90°,

過點O作OD_LBC,垂足為D,；OB=OC,；.BD=CD=|fiC=l.vZ.BOC=90°,OD1BC,：-OD=^BC=1,

OB=y/OD2+BD2=V2,vBC=保持不變，；.BC邊上的高越大，則4ABC的面積越大，當高過圓心時，最大，此

時BC邊上的高為：V2+1,

AABC的最大面積是：|x2x(V2+l)=V2+1.故答案為：V2+1.

9.解：取AD的中點O,連接0M,過點M作MELBC交BC的延長線于E,過點0作OFLBC于F,交C

D于G,則0M+ME>0F.

1

,/ZAMD=90°,AD=4,OA=OD,OM=-AD=2,

VAB//CD,.\ZGCF=ZB=60°,

AZDGO=ZCGF=30°,

VAD=BC,AZDAB=ZB=60°,

.*.ZADC=ZBCD=120°,.\ZDOG=30°=ZDGO,

???DG=DO=2,,.?CD=4,

CG=2".OG=20D?cos30°=GF=V3/OF=3V3,ME>OF-OM=3V3-2,???當O,M,E共線時,ME

的值最小，最小值為3V3-2.

解法二：M在以AD為直徑的圓上運動，過點0作OFLBC于點F,則可以求出最小值.

10.解：如圖，:△ABC是等邊三角彩

；.AB=BC=AC,ZABC=ZBAC=ZBCE=60°,

VBD=CE,AABD^ABCE（SAS）NBAD=/CBE,又：ZAFE=ZBAD+ZABE,

/.ZAFE=ZCBE+ZABE=ZABC,ZAFE=60°,

ZAFB=120°,/.點F的運動軌跡是O為圓心，

OA為半徑的弧上運動（（NAOB=120。，OA=2舊）,連接OC交。。于P,當點F與P重合時，CF的值最小，

最小值：=0C—OP-4V3—2V5=2V3.

故答案為2V3.

11.解：如圖，過點D作DF〃AE廁E=署=|

AEBA3

"1?

-^-,.：DF=2EC,.：DO=2OC,.：DO^-DC,

22

，^LADO=^LADC>^LBDO=^LBDC>

S-BO=|SMBC，??,N2CB=90°,AC在以AB為直徑的圓上，設(shè)圓心為G,當CGXAB時，△ABC的面積

最大為：|x4x2=4,

止匕時△ABO的面積最大為：|x4=|.故答案為：|92.解：連接OP、OQ,：PQ是。。的切線，.?.OQUQ,PQ

="p2-OQ2=70P2—1,當OP最小時，線段PQ的長度最小，當OPLAB時，OP最小,

作OP，AB于P1,OP'即為OP的最小值，

在RtAAOB中，Z-A=30°,OA=用OB=6,

在RtAAOP'中，N4=30。,；.OP'=\OA=3,

線段PQ長度的最小值=V32-1=2V2,

故答案為：2叵

13.解：；AB=AC=AD=BO,.?.點B、C、D在以A點為

圓心，AB為半徑的圓上，；.NBAC=2NBDC,

ZCAD=2ZDBC=2xl5°=30°,

設(shè)/BDC=x,貝!]NBAC=2x,：BO=BA,

/.ZBOA=2x,,/ZBOA=ZOAD+ZADO,

AZADO=2x-30°,VAC=AD,

AADC=AACD=I(180°-30°)=75°,即2x-30°+x=75°,解得x=35°,即NBDC=35°.故答案為35°.

14.解：如圖所示，點F在以E為圓心EA為半徑的圓上運動，當E、F、C共線時時，此時CF的值最小，

根據(jù)折疊的性質(zhì)，AEBP^AEFP,.*.EF±PF,EB=EF,

是AB邊的中點，AB=10,.\AE=EF=5,

：AD=BC=12,；.CE==13,

.,.CF=CE-EF=13-5=8.故答案為：8.

15.解：?.?當點P從點A運動到點D時，PQ=PA,.?.點Q運動軌跡是圓弧，如圖，陰影部分的面積即為線段

PQ在平面內(nèi)掃過的面積，

:矢巨形ABCD中,AB=1,AD=V3,.\ZABC=ZBAC=ZC=ZQ=90°./.ZADB=ZDBC=ZODB=ZOBQ=30°,

.?.ZABQ=120°,

由矩形的性質(zhì)和軸對稱性可知，△BOQ^ADOC,SAABD=SABQD,；.S陰影部分=S四邊形ABQD-S扇

形ABQ=2SAABD-S扇形ABQ,=S矩形ABCD-S扇形ABQ=1X百—？故答案為：W—

36U3

71

31

16.解：如圖.：NADB=45。，AB=2,作△ABD的外接圓0（因求CD最小值，故圓心。在AB的右側(cè)），連接O

C,當0、D、C三點共線時,CD的值最小.

ZADB=45°,ZAOB=90°,AAOB為等腰直角三角形，AO=BO=—xAB=V2.

,/ZOBA=45°,ZABC=90°,NOBE=45。，作OE_LBC于點E,.,.△OBE為等腰直角三角形.

OE=BE=OB*=1,：.CE=BC-BE=3-1=2,在RtAOEC中，OC=VOE2+CE2=逐.當O、D、

C三點共線時,CD最小為CD=OC-OD=V5-V2故答案為：V5-V2.

17.解：：四邊形ABCD是正方形，；./ADC=90。,

ZADF+ZFDC=90°,VZADF=ZFCD,

/.ZFDC+ZFCD=90°,/.ZDFC=90°,

點F在以DC為直徑的半圓上移動，

GV

如圖，設(shè)DC的中點為0，作正方形ABCD關(guān)于直線AD對稱的正方形AB'C'D,則點B的對應(yīng)點是G,連接

GE,AF,GO.\GE=BE,/.BE+EF+AF>GO

；.BE+EFNGO-AF,即當G、E、F、O四點共線時，BE+EF有最小值。過點。作OH^AB于點H,在RtAGO

H中，G。=s/GH2+HO2=3g,，EB+FE的長度最小值為3舊-3,故答案為：3辰-3.

18.解：VZBAD=90°,AZBAE+ZDAE=90°,

,/ZADF=ZBAE,/.ZADF+ZDAE=90°,

/.ZDFA=90°,

.?.點F在以AD為直徑的半圓O上運動，當點F運動到OB與。O是交點F時，線段BF即為所求最小值，

1

???AD=4,.-.AO=OF'=^AD=2,

???BO=yjAB2+AO2=V52+22=V29,

；?線段BF的最小值為BF'=BO-OF'=42^-2,故答案為：回-2.

19.解：:△ABC是等邊三角形，

；.AB=BC=AC,ZABC=ZBAC=ZBCE=60°,

.?.在△ABD和4BCE中，易證△ABD名△BCE(SAS),

ZBAD=ZCBE,VZAFE=ZBAD+ZFBA=ZCBE+ZFBA=ZABC=60°,.,.ZAFB=120°,