2025年中考數(shù)學復習：瓜豆原理最值模型

瓜豆原理最值模型

1如圖，點A,B的坐標分別為A（2,0）,B（0,2），點C為坐標平面內(nèi)一點,BC=1,點M為線段AC的中點，連接O

M,則OM的最大值為（）

C.2V2+1D.2V2

2如圖，在平面直角坐標系中，Q是直線y=-jx+2上的一個動點，將Q繞點P（l,0）順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到

點Q1,連接OQ',則OQ'的最小值為（）

3.如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，。/=OB=點C為平面內(nèi)一動點，BC=連接AC,點M是

線段AC上的一點，且滿足CM:MA=1：2,當線段OM取最大值時，點M的坐標是（）

A聯(lián)）“咨W）C.（H）蟲第管）

4.如圖，已知AB弧的半徑為5，所對的弦AB長為8,點P是AB弧的中點，將AB弧繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。后

得至UAB瓠,則在該旋轉(zhuǎn)過程中，點P的運動路徑長是（）

B'

AB

X.yTTB.yjSnC.2V57TD.2兀

5如圖，已知在矩形ABCD中，AB=1,BC=低點P是AD邊上的一個動點，連接BP,點C關(guān)于直線BP

的對稱點為Ci,當點P運動時，點Ci也隨之運動.若點P從點A運動到點D,則線段CCi掃過的區(qū)域的面積是

（）

.C1

3遮

D.2兀

6.如圖，在矩形ABCD中，AB=5,BC=5百點P在線段BC上運動（含B、C兩點），連接AP,以點A為中

心，將線段AP逆時針旋轉(zhuǎn)60。到AQ,連接DQ,則線段DQ的最小值為（）

AA.-5B.5V2D.3

2

7.如圖，在等腰RtAABC中，AC=BC=2應，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點.當點P沿半

圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長是（）

C.2V2D.2

8.如圖，在Rt△4BC中，4ACB=90"C=8,BC=6,點P是平面內(nèi)一個動點，且AP=3,Q為BP的中點，

在P點運動過程中，設(shè)線段CQ的長度為m,則m的取值范圍是,

9.如圖,M是正方形ABCD邊CD的中點,P是正方形內(nèi)一點,連接BP,線段BP以B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)（90。

得到線段BQ,連接MQ.若AB=4,MP=1,則MQ的最小值為.

10.如圖，正方形ABCD的邊長為4,E為BC上一點，且BE=1,F為AB邊上的一個動點，連接EF,以EF

為邊向右側(cè)作等邊△EFG,,連接CG,則CG的最小值為.

11如圖，的直徑AB=2,C為0O上動點，連結(jié)CB，將CB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到CD,連結(jié)OD,則

OD的最大值為.

D

12如圖，在△ABC中，ABAC=30。,乙4c8=45。,AB=2,點P從點A出發(fā)沿AB方向運動，到達點B時

停止運動，連結(jié)CP,點A關(guān)于直線CP的對稱點為.4,連結(jié)4C,4P.在運動過程中，點4到直線AB距離的最大

值是；點P到達點B時，線段4P掃過的面積為.

13如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的。0與x軸的正半軸交于點A,點B是。0上一動點，點C

為弦AB的中點，直線y=5“-3與x軸、y軸分別交于點D、E,則△CDE面積的最小值為.

14如圖，線段AB=2,點C為平面上一動點，且/ACB=90。，將線段AC的中點P繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線

段AQ,連接BQ,則線段BQ的最大值為.

15如圖，在平面直角坐標系中，A(-3,0),點B是y軸正半軸上一動點，以AB為邊在AB的下方作等邊△A

BP,點B在y軸上運動時，連接OP,求OP的最小值.

16如圖，正方形ABCD中，AB=2V5,O是BC邊的中點，點E是正方形內(nèi)一動點，0E=2,連接DE，將線

段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90。得DF,連接AE,CF.

(1)求證：AE=CF;

⑵若A,E,O三點共線，連接OF,求線段OF的長.

⑶求線段OF長的最小值.

17已知正方形ABCD與正方形AEFG,正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)一周.

⑴如圖①，連接BG、CF,求名的值；

(2)當正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時，連接CF、BE,分別取CF、BE的中點M、N,連接MN、試探究：MN與

BE的關(guān)系,并說明理由；

(3)連接BE、BF,分別取BE、BF的中點N、Q,連接QN,AE=6,請直接寫出線段QN掃過的面積.

18在數(shù)學興趣小組活動中，小亮進行數(shù)學探究活動.

(1)A4BC是邊長為3的等邊三角形,E是邊AC上的一點，且AE=1,,小亮以BE為邊作等邊三角形BEF,

如圖1.求CF的長；

(2)AABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個動點，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF,如圖2.

在點E從點C到點A的運動過程中，求點F所經(jīng)過的路徑長；

(3)AABC是邊長為3的等邊三角形，M是高CD上的一個動點，小亮以BM為邊作等邊三角形BMN,如圖

3.在點M從點C到點D的運動過程中，求點N所經(jīng)過的路徑長；

(4)正方形ABCD的邊長為3,E是邊CB上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以B為頂

點作正方形BFGH,其中點F、G都在直線AE上，如圖4.當點E到達點B時，點F、G、H與點B重合.則點H

所經(jīng)過的路徑長為點G所經(jīng)過的路徑長為.

1.解：如圖.：點C為坐標平面內(nèi)一點BC=1,；.C在。B上,且半徑為1,連接BA,取AB的中點D,連接！M

D,OD,0D=^AB=V2

AM=CM,AD=BD,DM是4ABC的中位線，DM=\BC=點為定值，二點M就在以D為圓心，稱為半徑

的圓上運動，當M在0D延長上時，0M最大，此時0M=DO+DM=&+和0M的最大值為a+與故選：

B.

2解:由直線ABDE解析式，可得A(0,2)、B(4,0),將點A繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90。，得A(3,1),將點B繞點P順時

針旋轉(zhuǎn)90。,得BTl,-3),作直線AE,易證△PB'Q,^APBQ,

:點Q在直線AB上運動，

點Q'在直線AB上運動。

當OQUAE時，有最小值，OE即為所求.

先求直線AB的解析式為y=2x-5.設(shè)直線AB與y軸交于點D,與X軸交于點F.

.\D(0,-5),F(|,0),.,.DE=5V52

/?利用三角形面積法：|xjx5=1x^xO￡

OE=通，即OQ的最小值是店.故選B.

3..解：?/點C為平面內(nèi)一動點，BD=\,：.點C在以點B為圓心，|為半徑的0B上，在x軸的負半軸上取

點D（一手0）,連接BD,分別過C、M作CF±OA,MEXOA,垂足為F、E,。4=0B=30.4。=。。+。4=

9V5.04_2

2'-3’

〃n〃n,4ycOA2CM

CM:MA=1:2,?.?一=-=—」

AD3AC

VZOAM=ZDAC,.'.AOAM^ADAC,

OMOA22

—=—=OM=-CD

CDAD33

當CD取得最大值時，OM取得最大值，結(jié)合圖形可知當D,B,C三點共線，且點B在線段DC上時，CD

取得最大值，

0A=0B=3乘,0D=乎,

??.BD=7OB2+OD2=*：.CD=BC+BD=9,

OM2?..,

—=0M=6,

：y軸J_x軸,CFXOA,/.ZDOB=ZDFC=90°,

,/ZBDO=ZCDF,AABDO^ACDF,

l15

3V5_yBO_BDgm解得CF=噌，同理可得，△AEM^AAFC,

CF-9'CF一CD，

ME_AM_2日［1ME_2

???左=就=9刈頡=9

5

解得ME=等,.?.OE=yJOM2-ME2=

當線段OM取最大值時，點M的坐標是（唱胃），故選D.

4解如圖，設(shè)AB弧的圓心為O,連接OP,OA,AP',AP.AB；:?圓0半徑為5,所對的弦AB長為8,點P是AB弧

的中點,

根據(jù)垂徑定理，得AC=\AB=4,P。1AB,OC=<OA2-AC2=3,PC=OP-OC=5-3=2,

???AP=y/AC2+PC2=2V5,

???將AB弧繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。后得到AB強，

???^PAP'=乙BAB'=90°,PP'運動軌跡就是以點A為圓心，AP為半徑的一段圓弧。

Lpp，=爺空=逐兀.則在該旋轉(zhuǎn)過程中，點P的運動路徑長是V5K.故選：B.

180

B'

5.解：如圖，當P與A重合時，點C關(guān)于BP的對稱點為Cz,當P與D重合時，點C關(guān)于BP的對稱點為C

...點P從點A運動到點D,則線段CCi掃過的區(qū)域為：扇形BCiC2和4BCC],

在4BCD中.???乙BCD=90°,BC=V3,CO=1,

tanzDBC=晝=苧,乙DBC=30°,

ZCBCi=60°，:BC=BC\,.?.△BCCi為等邊三角開么，

5=:'”由=作cF±BC于p

底形BCXC2360

ABCCi為等邊三角形，；.BF=\BC=與BC,

QF=tan60°x—=

122

SABCCI=?X百X：=亭.線段CC1掃過的區(qū)域的面積為：兀+竽故選：B.

NN44

6解：如圖,將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得AB；作直線BQ交AD于點E,過點D作DH_LQE于H.

VZBAB'=ZPAQ=60°,ZBAP=ZB'AQ,BA=B'A,PA=QA,

在小BAP和AB'AQ中，易證ABAP^AB'AQ(SAS),

ZABP=ZAB'Q=90°,

點Q就是在垂直AB，的直線B，E上運動

???^.B'AE=90°-60°=30°,

???乙4EB'=90°-30°=60°,

VAB=AB'=S,AE=AF-rcos30°=—,

'3'

；?點Q在射線B'E上運動，?：AD=BC=5V3,

DE=AD-AE

3，

VDH±EF,ZDEH=ZAEB'=60°,

：.DH=DE-sin60°=—x—=

322

根據(jù)垂線段最短可知，當點Q與H重合時，DQ的值最小，最小值為故選：A.

7解：如圖,取AB的中點O、AC的中點E、BC的中點F,連接OC、OP、OM、OE、OF、EF,

:在等腰RtAABC中，AC=BC=2V2,AB=42.BC=4,OC=^AB=2,0P=^AB=2,：.OA=OC=OP,

即A、C、P共圓.圓心是。點，：M為PC的中點，，0乂心（2（垂徑定理），.?./CMO=90。，

，點M在以O(shè)C為直徑的圓上，點P點在A點時,M點在E點;點P點在B點時,M點在F點，易得四邊形C

EOF為正方形，EF=OC=2,M點的路徑為以EF為直徑的半圓，；.點M運動的路徑長=之x2兀x1=兀

故選B.

8解：如圖,取AB的中點M,連接QM,CM,在RSABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,

AB=10,：點M是AB的中點AM=BM=CM=/B=5,?..點Q是PB的中點，點M是AB的中點，，Q

M是4APB的中位線，QM=1AP=I，

在4CMQ中，CM-MQ<CQ<CM+MQ,

<ni<￡,：,點C,點M是定點，點Q是動點，且點Q以點M為圓心，QM長為半徑的圓上運動，

當點C,M,Q三點共線，且點Q在線段CM上時，m取得最小值［當點C,M,Q三點共線，且點Q在

射線CM上時，m取得最大值￡，綜上，m的取值范圍為：?機W章故答案為：|<m<^,

9解:連接BM,將BM繞B逆時針旋轉(zhuǎn)90。得BF,連接MF,QF,如圖:

.?./PBQ-NMBQ=NMBF-NMBQ,；./PBM=/QBF由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得PB=QB,MB=FB,

.,.△BPM絲△BBQF(SAS),/.MP=QF=1,

；.Q點是以F為圓心，1為半徑的弧上運動，

當M、Q、F三點共線，且Q點在線段FM上時，即為所求的MQ最小值.

MQ最小值即為此時FM-QF的值.

?.?將BM繞B逆時針旋轉(zhuǎn)90。得BF,

ABFM是等腰直角三角形，F(xiàn)M=在RtABCM中，BC=4,MC=2,

BM=<BC2+MC2=V42+22=26

???FM=V2BM=V2X2V5=2V10

AMQ的最小值為2V10-1.

故答案為：2y/10—1.

10解：將AEFB繞點E旋轉(zhuǎn)60。，使EF與EG重合，得到△EFB^^EHG,從而可知△EBH為等邊三角形，點

G在垂直于HE的直線HN上，作CMLHM則CM即為CG的最小值作EPLCM,可知四邊形HEPM為矩形，

則CM=MP+CP=HE+^EC^1+1=*故答案為j

11解：如圖，以O(shè)B為邊在AB的下方作等腰直角三角形OBE,連接CE,BD,

:將CB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得至UCD,.,.BC=CD,/DCB=90。，.,.NDBC=45。，BD=V2BC,

「△OBE是等腰直角三角形，

0E=BE,LOBE=45°,OB=五BE=1,二BE=OE=y,

'：ZDBC=ZOBE,/.ZOBD=ZCBE,又?:—=—=V2,AADBO^ACBE,.,.OD/CE=BB/=V2OD=

，'CBBEz2

V2CE,/.當CE有最大值時，OD有最大值，當點C,點O,點E三點共線時，EF就是CE有最大值為1+當AO

D的最大值為V2+1,

12.解：如圖左中，過點B作BHLAC于H.

在RtAABH中，BH=^AB=1,AH=WBH=百,在RtABCH中，ZBCH=45°,/.CH=BH=1,

C4="=1+瓜當CA'±AB時，點A'到直線AB的距離最大，設(shè)CA」AB交于AB的延長線于K.在

RtAACK中，CK=1AC=等，

.?.AK=S，_CK=l+6-萼=萼.

如圖右中，點P到達點B時，

線段A'P掃過的面積=S扇形AM2SAABC=%*戶一2x打(1+仔)x1=(1+多?！?—何

故答案為：等,(1+引兀一1一代

4，A9

力;

A

CAH

13解：如圖，連接OB,取OA的中點M,連接CM,過點M作MNLDE于N.?.?AC=CB,AM=OM,/.MC=

。8=1,?,?點C的運動軌跡是以M為圓心，1為半徑的。M,設(shè)。M交MN于C.

???直線y=-3與x軸、y軸分別交于點D、E,

AD(4,0),E(0,-3),.'.OD=4,OE=3,

...DE=V32+42=5,

VZMDN=ZODE,NMND=NDOE,AADNM^ADOE,

MNDMMN3…79

???一=—,???一=一，???MN=-

OEDE355

當點c與C重合時，C'N最小，此時△CDE的面積最小，△CDE的面積最小值=|x5x(|-l)=2,故答案

為2.

14解：如圖，取AB的中點D,連接CD,過點A作AEJ_AB,使4E=|TW=|,連接QE、BE.

"?ZACB=90°,D為AB的中點，CD=^AB=1,

VZQAC=90°,ZEAB=90°,AZQAE=ZCAD,

?.?絲=:處=ADCA2EQ,.?.笠=絲=QE=-CD=-,■：乙EAB=90°,

AC2"AD2rCOAC2'"22’

EB=y/AE2+AB2=乎，當點Q、E、B三點共線時，BQ最大為|+^=呼.

故答案為：空N

15解：如圖，以O(shè)A為對稱軸作等邊4ADE,連接EP,并延長EP交x軸于點F,

Z.AED-60*AO=V3OE=3,OE=V3,

:△ADE和4ABP是等邊三角形，

???AB=AP,AD=AE,ZBAP=ZDAE=60°,

JNBAD=NPAE,

在4ADB和4AEP中，易證△AEP之△ADB(SAS),

AZAEP=ZADB=120°,：.ZOEF=60°,

??.OF=WOE=31OFE=30。,???點P在直線EF上運動，當OP±EF0tOP有最小值，OH即為所求

???OH=\OF=I，則OP的最小值為|

16(1)證明：由旋轉(zhuǎn)得：ZEDF=90°,ED=DF.

;四邊形ABCD是正方形，.,.NADC=90。，AD=CD,

/.ZADC=ZEDF,gpZADE+ZEDC=ZEDC+ZCDF,

/.ZADE=ZCDF,在AADE和△CDF中，易證△ADE絲Z\CDF(SAS),.,.AE=CF;

⑵解：如圖2,過F作OC的垂線，交BC的延長線于P,是BC的中點，且.AB=BC=2低

；A,E,。三點共線，OB=V5,

由勾股定理得：AO=5,?/OE=2,.\AE=5-2=3,由

(1)知：AADE^ACDF,.,.ZDAE=ZDCF,CF=AE=3,

VZBAD=ZDCP,.,.ZOAB=ZPCF,

VZABO=ZP=90°,.'.AABO^ACPF,

.AB_BO_AO_5

??CP-PF-CF-3’

2%5V556%rn3V5

CP3PF355

又：OP=CO+CP=Vs+—=喑

在RtAPOF中，由勾股定理得：

OF=7FP2+OP2=V26,

⑶解：如下圖，由于0E=2,所以E點可以看作是以0為圓心,2為半徑的半圓上運動，連接DO,將DO繞點

D逆時針旋轉(zhuǎn)90。得DOhDOEg△□￡)「，.?.OEMCTFMZ,由題意.點F在以點0為圓心,OF為半徑的圓上運動，

則OM即為所求，0M=00'-O'M=5V2-2,即OF的最小值是5或-2,

17解：⑴如圖1,連接AF,AC,四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形一?.AC=近AB,AF=技1G,N

ACAFCFi-

CAB=ZGAF=45°7,ZBAD=90°7,/.ZCAF=ZBAG,7—AD=—ACf,CAFABAG,'???—or=V2;，

(2).BE=2MN,MN±BE,理由如下：如圖2,連接ME,過點C作CH〃EF,交直線ME于H,連接BH,設(shè)CF

與AD交點為P,CF與AG交點為R,

???CH〃EF,???NFCH=NCFE,???點M是CF的中點,

???CM=MF,又???ZCMH=ZFME,

:?△CMH之△FME(ASA),.*.CH=EF,ME=HM,

???AE=CH,VCH//EF,AG〃EF,JCH〃AG,

AZHCF=ZCRA,VAD^BC,AZBCF=ZAPR,

???ZBCH=ZBCF+ZHCF=ZAPR+ZARC,

VZDAG+ZAPR+ZARC=180°,ZBAE+ZDAG=180°,

AZBAE=ZBCH,

又；BC=AB,CH=AE,△BCH0△BAE(SAS),

；.BH=BE,ZCBH=ZABE,AZHBE=ZCBA=90°,

：MH=ME,點N是BE中點，

；.BH=2MN,MN〃BH,；.BE=2MN,MNXBE;

(3)如圖3,取AB中點O,連接ON,OQ,AF,：AE=6,AF=6/，：點N是BE的中點點Q是BF的中點，

點O是AB的中點，

0Q=^AF=3V2,ON=^AE=3,

...點Q在以點O為圓心，3a為半徑的圓上運動，點