2025年中考數學復習：費馬點最值模型

費馬點最值模型

1如圖，已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,點M為矩形內一點點E為BC邊上任意一點則MA+MD+ME的最小

值為（）

4.3+2V2B.4+3V3C.2+2V13D.10

2.如圖，在△ABC中,NACB=90o,/BAC=30。，AB=2若點P是△ABC內一點則PA+PB+PC的最小值為

3兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD,如圖所示.若/a=30。,則對角線BD上的動點P到A,B,C

三點距離之和的最小值是.

4已知到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點.如果△ABC是銳角（或直角）三角形，則其費

馬點P是三角形內一點，且滿足/APB=/BPC=/CPA=120。.（例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）.

⑴.若AB=AC=yH.BC=2痘1P為4ABC的費馬點，貝!]PA+PB+PC=_;

⑵.若AB=2V3,BC=2,AC=4,P為4ABC的費馬點，貝!IPA+PB+PC=_.

5問題背景如圖1將△4BC繞點A逆時針旋轉60。得到△ADE,DE與BC交于點P,可推出結論：P4+PC

=PE.

問題解決：如圖2,在△MNG中，MN=6/M=75°,MG=4a.點。是△MNG內一點，則點。到，△MNG

三個頂點的距離和的最小值是.

6如圖，已知正方形ABCD內一動點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為1+則這個正方形的邊長

為.

7如圖，已知，在△4BC中，AC=BCjACB=90°.A力BC內一動點E到A、B、C三點的距離之和的最小

值為2,求AC的長.

A

8在△ABC中，若其內部的點P滿足乙APB=Z.BPC=4CPA=120。，，則稱P為△ABC的費馬點.如圖所示，

在4ABC中，已知，Z5XC=45。,設P為△ABC的費馬點，且滿足APBA=45°,PA=4,則△P4C的面積為一

9已知，在小ABC中，ZACB=30°

⑴如圖1,當AB=AC=2,求BC的值；

(2)如圖2,當AB=AC,點P是4ABC內一點，且1PA=2,PB=EPC=3,求/APC的度數;

⑶如圖3,當AC=4,4B=b(CB)C4),點P是4ABC內一動點，則PA+PB+PC的最小值為.

10如圖，點P是正方形ABCD內一點，并延長AP與DC相交于點Q.

(1)若PA=?PB=3,PD=求/DPQ的大小；

⑵若PA+PB+PD的最小值為V6+VX請直接寫出正方形ABCD的邊長.

ADAD

備用圖

11如圖.RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點D是BC邊上一動點連接AD,把AD繞點A逆時針旋轉9

0°,得至！JAE,連接CE,DE.點F是DE的中點，連接CF.

(1)求證：CF=-AD;

(2)如圖2所示，在點D運動的過程中，當BD=2CD時，分別延長CF,BA,相交于點G,猜想AG與BC存在的

數量關系，并證明你猜想的結論；

(3)在點D運動的過程中，在線段AD上存在一點P,使PA+PB+PC的值最小.當PA+PB+PC的值取得最小值

時，AP的長為m,請直接用含m的式子表示CE的長.

12如圖，在平面直角坐標系中，點A,點B分別是y軸，x軸正半軸上的點，且0A=葦8差^^。是等邊三

角形，且點C在第二象限，M為乙40B平分線上的動點，將OM繞點O逆時針旋轉(60。得到ON,連接CN,AM,

BM.

(1)求證：AAMO=ACNO;

(2)若A點坐標為(0,4);

①當AM+BM的值最小時,請直接寫出點M的坐標；

②當AM+BM+OM的值最小時，求出點M的坐標，并說明理由.

13⑴【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1,將AABC繞點A順時針旋轉(60*得到AADE,連接BD,則AABD=一度

(2)【類比探究】如圖2,在等邊三角形ABC內任取一點P,連接PA,PB,PC,求證：以PA,PB,PC的長為

三邊必能組成三角形.

(3)【解決問題】如圖3,在邊長為V7的等邊三角形ABC內有一點P,ZAPC=90°,ZBPC=120°,求△APC

的面積.

(4)【拓展應用】如圖4是A,B,C三個村子位置的平面圖，經測量AC=4,BC=5,ZACB=30°,P為△AB

C內的一個動點，連接PA,PB,PC.求PA+PB+PC的最小值.

14閱讀材料：平面幾何中的費馬問題是十七世紀法國數學家、被譽為業(yè)余數學家之王的皮埃爾彳惠?費馬提出的

一個著名的幾何問題.1643年，在一封寫給意大利數學家和物理學家托里拆利的私人信件中，費馬提出了下面這個

極富挑戰(zhàn)性和趣味性的幾何難題，請求托里拆利幫忙解答：

給定不在一條直線上的三個點A,B,C,求平面上到這三個點的距離之和最短的點P的位置.

托里拆利成功地解決了費馬的問題.后來人們就把平面上到一個三角形的三個頂點A,B,C距離之和最小的點

稱為△ABC的費馬-托里拆利點，也簡稱為費馬點或托里拆利點.

問題解決：

⑴費馬問題有多種不同的解法，最簡單快捷的還是幾何解法.如圖1,我們可以將△BPC繞點B順時針旋轉60°

得到ABDE，連接PD，可得△BPD為等邊三角形，故PD=PB,由旋轉可得DE=PC,因此PA+PB+PC=PA+PD+DE,

由可知，PA+PB+PC的最小值與線段..的長度相等；

(2)如圖2,在直角三角形△ABC內部有一動點P,/BAC=9(T,/ACB=30。,連接PA,PB,PC,若AB=2,求PA+PB

+PC的最小值:

⑶如圖3,菱形ABCD的邊長為4,NABC=60。,平面內有一動點E,在點E運動過程中，始終有NBEC=90。,

連接AE、DE,在4ADE內部是否存在一點P,使得PA+PD+PE最小，若存在，請直接寫出PA+PD+PE的最小值；

若不存在，請說明理由.

E

圖3

圖1圖2

15.1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A,B,C,求平面

上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費

馬點’或“托里拆利點’，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：(其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②

處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三角形的某個

頂點)當4ABC的三個內角均小于120。時如圖1>AAPC繞點C順時針旋轉60。得到△APC,連接PP油PC=P'

C,APCP'=60。,可知△PCP為_____三角形，故PP'=PC,又P'A'=PA,故PA+PB+PC=P'A'+PB+PP'>

slantA'B,由可知，當B,P,P\A在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，

如圖2,最小值為A'B,此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有NAPC=NBPC=乙4PB=_;

已知當△ABC有一個內角大于或等于120。時，“費馬點為該三角形的某個頂點如圖3,若4BAC>120。,則

該三角形的“費馬點”為點.

(2)如圖4,在ANBC中三個內角均小于120°,且AC=3,BC=4,ZACB=30。,已知點P為△ABC的“費馬點”,

求PA+PB+PC的值；

⑶如圖5,設村莊A,B,C的連線構成一個三角形，且已知.AC=4km,BC=2^km,^ACB=60。.現(xiàn)欲建一

中轉站P沿直線向A,B,C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A,B,C的鋪設成本分別為a元/km,a元

/km,V2a元/km,選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為元.(結果用含a的式子表示)

16問題探究：將幾何圖形按照某種法則或規(guī)則變換成另一種幾何圖形的過程叫做幾何變才零精攀超是幾何變

換的一種基本模型.經過旋轉，往往能使圖形的幾何性質明白顯現(xiàn).題設和結論中的元素由分散變?yōu)榧?，相互之間

的關系清楚明了，從而將求解問題靈活轉化.

問題提出：如圖1,△ABC是邊長為1的等邊三角形，P為△ABC內部一點，連接PA、PB、PC,求PA+PB+

PC的最小值.

方法分析：通過轉化，把由三角形內一點發(fā)出的三條線段（星型線）轉化為兩定點之間的折線（化星為折），再利用

“兩點之間線段最短”求最小值（化折為直）.

問題解決：如圖2,將△BPA繞點B逆時針旋轉60。至△BPA,連接PP'、AC,記AC與AB交于點D,易知］B

A'=BA=BC=1,Z.A'BC=LA!BA+乙ABC=120°.由BP'=BPjP'BP=60。,可知△P'BP為正三角形，有PB=

P'P.

故PA+PB+PC=P'A'+P'+P+PCA'C=遍.因此當A\P;P、C共線時，PA+PB+PC有最小值是V3.

學以致用：

(1)如圖3,在AABC中,ZBAC=30°,AB=4,CA=3,P為AABC內部一點，連接PA、PBSPC,則PA+PB+P

C的最小值是.

(2)如圖4,在4ABC中,.Z.BAC=45°,AB=2vxe4=3,P為小ABC內部一點，連接PA、PB、PC,求V2PA

+PB+PC的最小值.

(3)如圖5,P是邊長為2的正方形ABCD內一點，Q為邊BC上一點，連接PA、PD、PQ,求PA+PD+PQ的最

小值

1.解：WAAMD繞點A逆時針旋轉60。，得到AAMD',MD=M'D',易得到△AMM為等邊三角形，；.AM

=MM',

MA+MD+ME=MM'+D'M'+ME,

、M、E四點共線時，且當D，ELBC時有最小值，DF即為所求。

止匕時,D'F=DH+HF=3V3+4,

/.MA+MD+ME的最小值為3舊+4.故選：B.

2解：以點A為旋轉中心，順時針旋轉△APB至!UAPB,旋轉角是60。，連接BB，、PP',如圖:

貝ll/PAP，=60°,AP=AP',PB=P'B',

/.AAPP,是等邊三角形，...AP=PP,

；.PA+PB+PC=PP+P'B'+PC,

PP'+P'B'+PC>CB',PP'+P'B'+PC的最小值就是CB'的值，即PA+PB+PC的最小值就是CB'的值,

VZBAC=30°,ZBAB'=60°,AB=2,

ACAB'=90°,AB'=2,AC=AB-coszBXC=2xcos30°=2x曰=低

CB'=y/AC2+B'A2=V7,故答案為：V7.

3解：如圖，作DELBC于E,ffiAABP繞點B逆時針旋轉60。得到△ABP,：Na=30。，DE=3cm,

CD=2DE=6cm,同理：BC=AD=6cm,

由旋轉的性質,A'B=AB=CD=6cm,BP'=BP,A'P'

=AP,ZP'BP=60。，ZA'BA=60°,

AAP'BP是等邊三角形，，BP=PP,

根據兩點間線段距離最短，可知當PA+PB+PC=AC時最短，連接AC,與BD的交點即為P點，即點P至!JA,

B,C三點距離之和的最小值是A'C.

,-?ZABC=ZDCE=Za=30°,ZA'BA=60°,

^A'BC=90°,A'C=6&(cm),因此點P到A,B,C三點距離之和的最小值是6夜cm,故答案為642cm.

4.解：(1).如圖1,過A作ADXBC,垂足為D,過B,C分另!]作NDBP=NDCP=30。,貝!]PB=PC,P為公ABC的費

馬點，AB=AC=V7,BC=2V3,

：.BD=DC=\BC

?PD

??tan30°80-3'

APD=1,???PB=2PD=2,

AD=7AB2-BD2=2,.-.PA+PB+PC=5;

⑵如圖2:：AB=2V3,BC=2,AC=4,/.AB2+BC2=16,AC2=16,AB2+BC2=AC2,/.ABC=90°,VBC/A

C=/?./BAC=30。,將△APC繞點A,逆時針旋轉60。，由旋轉可得：AAPC^AAP'C,

/.AP'=AP,PC=P'C',AC=AC,ZCAC'=ZPAP'=60°,

.,.△APP,是等邊三角形，；.NBAC=90。，

：P為△ABC的費馬點，即B,P,P,C四點共線時,PA+PB+PC=BC,

PA+PB+PC=BP+PP'+P'C=BC=yjAB2+AC'2=2近,故答案為：5,2V7

5(1)如圖，在EP上截取EP'=CP,易證AAEP啜ZkACP(SAA)，,AP'=AP,ZEAP'=ZCAP,

.-,乙PAP'=/.CAP+/.CAP'=^EAP'+/.CAP'=60°

??.△PAP是等邊三角形,.PP'=PA

PP'+P'E=PEPA+PC=PE

⑵解：如圖：以MG為邊作等邊三角形△MGD,以OM為邊作等邊△OME.連接ND作DFXNM,交NM的

延長線于F.VAMGD和^OME是等邊三角形

/.OE=OM=ME,ZDMG=ZOME=60°,MG=MD,ZGMO=ZDME,

在△GMO和△DME中：易證△GMO名△DME(SAS),；.OG=DE,...NO+GO+MODE+OE+NO

.?.當D、E、0、N四點共線時，N0+G0+M0值最小，

ZNMG=75°,/GMD=60°,；./NMD=135°,

ADMF=45",MG=4V2.MF=DF=4,

.?.NF=MN+MF=6+4=10,

ND=VNF2+DF2=2V29,

.?.MO+NO+GO最小值為2后，故答案為：2國,

6.解：以A為旋轉中心，將^ABE順時針旋轉60。得到△AMN,連NE,MC,過M作MP±BC交BC的延長

線于P點，如圖，

；.MN=BE,AN=AE,ZNAE=60°,

.,.△ANE為等邊三角形，；.AE=NE,

AE+EB+EC=MN+NE+EC,

當AE+EB+EC取最小值時，折線MNEC成為線段MC,則MC=1+V3,VAB=AM,ZBAM=60°,AAABM

為等邊三角形，ZMBC=150°,則/PBM=30。,在RtAPMC中，設BC=x,PM=|x,

???（1+遍）2=G9+（?x+久），，久=BC=V2,即正方形的邊長為V2,故答案為：V2

7.解：（2）如圖中，將4BCE繞點B逆時針旋轉60。得到△BGF,連接EF.AG,過點G作GHXAC交AC的

延長線于點H.；.EC=FG

VEB=BF,ZEBF=60°,4EBF是等邊三角形,

BE=EF,AE+EC+EB=AE+FG+EF>AG,

當A,E,F,G共線時，AE+EC+EB的值最小，它最小值為即為AG=2.

同理可得：△BCG是等邊三角形，貝!|NBCG=60o,；.NHCG=30。

設AC=BC=CG=m,則HG=|m,CH=AH=m+ym,

(m+Ym)+(|m)=22,

m=V6—四(負根已經舍去),AC=V6—V2;

8.解：如圖延長BP交AC于D,：/BAC=NPBA=45。，；./ADB=90。,AD=BD,

VP為4ABC的費馬點，；.ZAPB=ZCPA=120°,

???Z.BAP=180°—120°-45°=15°,

ZPAC=45°-15°=30°,.,.ZAPD=60°,RtZkPAD中.：PA=4,；.PD=2,AD=2V3

VZAPC=120°,AZCPD=120°-60°=60°,R3PDC中,ZPCD=30°,；.CD=2V3,/.AC=AD+CD=2

V3+2V3=4V3,.-.APAC的面積為|ACXPD=|X4V3x2=4四故答案為：4代.

9.解：⑴如圖1中，作AD_LBC于D.

VAB=AC,AD_LBC,；.BD=DC,在RtAACD中,

VAC=2,ZC=30°,；.AD=1,；.DC=V3

BC=2DC=2V3.

(2)如圖2中，將AAPB繞點A逆時針旋轉120。得至點QAC.：AB=AC,ZC=30°,ZBAC=120°,

；.PA=AQ=2,PB=QC=Vn,VZPAQ=120°,

PQ=2V3,???PQ2+PC2=QC2,-.4QPC=90。，

VZAPQ=30°,/.ZAPC=30°+90°=120°.

(3).如圖3中，將△BCP繞點C逆時針旋轉60。得到△CB，P',連接PP,AB',則NACB'=90。.

PA+PB+PC=PA+PP'+P'B',.：.當A,P,PB四點共線時,PA+PB+PC的值最小,AB的長即為所求

的最小值，由AB=V7,AC=4,/C=30°,可得BC=CB'=3次,AB'=y/AC2+B'C2=V43

故答案為V43.

10解(1)如圖1,將△PAD繞點A逆時針旋轉90。得AEAB,：PA=AE=V2,ZEAP=90°,BE=PD=V5PB=

3,PE=y/AE2+AP2=2,

BE2+PE2=5+4=9.PB2=32=9,PB2=BE2+PE2,

：.ZPEB=90°,VZAEP=ZAPE=45°,

^APD=乙AEB=45°+90°=135°,

/.ZDPQ=180°-ZAPD=45°.

(2).如圖2,將△ABP繞點B順時針旋轉60。得△EBQ,連接PQ,AE,作EFJ_DA交DA的延長線于F.

當E、Q、P、D四點共線時，PA+PB+PD最小，這個最小值就是線段ED的長DE=V6+V2,

VBE=BA,/ABE=60°,;.△ABE是等邊三角形,NEAB=60°，,AE=AB=AD,ZEAD=150°,ZEAF=30°,設

正方形邊長為a,RtAAEF中，：ZF=90°,AEa,LEAF=30",EF=^a,AF=fa,在RtAEFD中，???EF2+F

D2=ED2,

???(|a)+(a+fa)=(V6+V2)2,

；.a2=4,：a>0,，a=2,.?.正方形ABCD邊長為2.

130.證明:(1)VAB-AC,ZBAC=90°,

/.ZABC=ZACB=45°，:把AD繞點A逆時針旋轉90。，得至!JAE,AD=AE,ZDAE=90°=NBAC,

/.ZBAD=ZCAE,DE=V2AD,又：AB=AC,

.,.△BAD^ACAE(SAS),AZABD=ZACE=45°,

/BCE=NBCA+NACE=90。，：點F是DE的中點，

CF^-DE=—AD;

22

⑵力G=￡BC,理由如下：如下圖，連接DG,由(1)可知，ZDCE=90°.又：/DAE=90。，

:.A、D、C、E四點共圓，連接AF,；.AF=DF=CF

；.AF=CF=FG=DF,AADCG四點共圓，,NGDC=90。

VZB=45°,ABDG是等腰直角三角形；.BG=&BO又?；BD=2CD,BD=抑

BG=V2x|fiC=^BC,又：AB=^BC

(3).如下圖,將ABPC繞點B順時針旋轉60。得到△BNM,連接PN,BP=BN,PC=NM,ZPBN=60°,.\ABP

N是等邊三角形，，BP=PN,

；.PA+PB+PC=AP+PN+MN,.?.當A,P,N,M四點共線時，PA+PB+PC值最小，此時，連接AM,AM即為PA

+PB+PC的最小值.

連接MC,WABPC繞點B順時針旋轉60。得到△BNM,；.BP=BN,BC=BM,ZPBN=60°=ZCBM,

ABPN是等邊三角形，△CBM是等邊三角形，

ZBPN=ZBNP=60°,BM=CM,

VBM=CM,AB=AC,；.AM垂直平分BC,

VADXBC,ZBPD=60°,.\BD=V3PD,

VAB=AC,ZBAC=90°,AD±BC,；.AD=BD,

???V3P￡>=PD+AP,PD=BD=V3PD=呼小，由（1）可知：CE=BD=等孤

11.(1)證明：：0M平分/AOB,；./AOM=45。,由旋轉的意義可知：ZMON=60°,OM=ON,

AZNOA=ZMON-ZAOM=60°-45°=15°,

:△AOC為等邊三角形，.?.0人=0(：,ZCOA=60°,

ZCON=ZCOA-ZNOA=60°-15°=45°,

ZAOM=ZCON,

OM=ON

在△AMO和△CNO中,｛乙40M=NCON,；.△AMOdCNO(SAS).

OA=OC

(2)解：點M的坐標為(2,2)，理由如下：

???點M為/AOB平分線上的動點，

.?.當AM+BM為最小時，點A、M、B在同一條直線上，當點A、M、B在同一條直線上時，

:點A的坐標為(0,4),OA=OB,；.OA=OB=4,

YOM平分/AOB,.?.點M為為AB的中點，

；?點M的坐標為(2,2).

⑶解：點M的坐標為(匕衿，匕衿)，理由如下：連接MN,過點M作MEM軸于點E,作線段BM的垂直平

分線交x軸于點F,則BF=MF,

由(1)可知：△AMO四△CNO,；.AM=CN,由轉轉的性質可知：OM=ON,ZMON=60°,

AOMN為等邊三角形，OM=MN,

；.AM+BM+OM=CN+BM+MNNCB,.,.當點B,M,N,C在同一條直線上時，CB即為AM+BM+OM的最小值

???乙OMB=180°-60°=120°,

：OM平分/AOB,；.BOM=45。，

乙OBM=180°-45°-120°=15°,又MF=BF,ZFMB=ZOBM=15°,

ZMFE=ZFMB+ZOBM=30°，設ME=OE=a,

在RtAMEF中，ME=a,ZMFE=30°,

；.MF=2ME=2a,EF=V3

；.FB=FM=2a,

OB=OE+EF+FB=a+V3a+2a,

又：OB=0A=4,.'.a+V3a+2a=4,解得：

；?點M的坐標為(手，等1).

12.(1)【操作發(fā)現(xiàn)】解：如圖，連接BD.;△ABC繞點A順時針旋轉60。，得至以ADE".AD=AB,ZDAB=6

0。，.二△DAB是等邊三角形,；./ABD=60。故答案為60.

(2)【類比探究】證明：如圖2中，以PA為邊長作等邊△PAD,使P、D分別在AC的兩側，連接CD.

NBAC=/PAD=60。，ZBAP=ZCAD,

VAB=AC,AP=AD,AAPAB△ACD(SAS),

；.BP=CD,在APCD中，：PD+CD>PC,又：PA=PD,；.AP+BP>PC.；.PA,PB,PC的長為三邊必能組成三角

(2)【解決問題】解：如圖3中，?.?將AAPB繞點A按逆時針方向旋轉60。，得到AAPC,.\AAPP'是等邊

三角形,^AP'C=乙4PB=360°-90°-120°=150°,

.*.PP'=AP,ZAP'P=ZAPP'=60°,

:.乙PP'C=90。,NP，PC=30°,PP'=三PC,即AP=yPC,vAAPC=90°,AP2+PC2=AC2^

2

gpc)+PC2=(V7)2,.-.PC=2,

AP=V3,SAAPC=|XP,PC=|xV3X2=V3.

(4)【拓展應用】解：如圖4中，將4APC繞點C順時針旋轉60。,得到△EDC,連接PD、BE,則PC=CD,PA=DE.

VWAAPC繞點C順時針旋轉60。，得到AEDC,

.?.△APC0Z\EDC(旋轉的性質)，.,.NACP=/ECD,AC=EC=4,/PCD=60。，4PCD是等邊三角形

；.PD=PC,；.PA+PB+PC=PA+PD+DE,當BPDE四點共線時，有最小值，BE即為所求.

ZACP+ZPCB=ZECD+ZPCB,

ZECD+ZPCB=ZACB=30°,

AZBCE=ZECD+ZPCB+ZPCD=30°+60°=90°,

在RtABCE中，：ZBCE=90°,BC=5,CE=4,

BE=7s2+42=V41,

PA+PB+PC的最小值為V41;

13解：(1)將ABPC繞點B順時針旋轉60。得到ABDE,連接PD,可得△BPD為等邊三角形，故PD=PB,

由旋轉可得DE=PC,因此PA+PB+PC=PA+PD+DE,由兩點之間線段最短可知，PA+PB+PC的最小值與線段AE

的長度相等.故答案為：兩點之間線段最短，AE.

(2)如圖2,將小ACP繞點C逆時針旋轉60。得到△A'CP'連接PP',AP,則AP=AP,A'C=AC

：\\

1\、

C

圖2

由旋轉性質可得，CP'=CP,乙P'CP=60。貝必PCP是等邊三角形，PP'=PC

???PA+PB+PC=A'P'+PB+PP'>A'B

當A\P\P、B四點共線時,A，B即為所求的最小值.

在R3ABC中,NBAC=90。，/ACB=30。,AB=2,

；.AC=2V3,CB=4,；.AC=AC=2V3

又；乙A'CB=600+30°=90°

A'B=ylA'C2+BC2=J（2V3）2+42=2A/7

??.PA+PB+PC的最小值為2位.故答案為2V7.

（3）如圖3中，將AADP繞點A逆時針旋轉60。得到ATAH,連接PH,DT,CT.

,四邊形ABCD是菱形，；.AB=BC=CD=AD,

ZABC=60°,AAABC,AADC者B是等邊三角形，

???/BEC=90。，.?.點E在以BC為直徑的。O上運動，連接OT,OE,貝!]OE=\BC=2,

由旋轉的性質可知，△PAH,△ADT都是等邊三角形，

PA=PH,HT=PD,

,/OE+PE+PH+TH>OT,PE+PA+PD>OT-OE,

；.TE即為所求的最小值.

：TA=TD=AC=CD=AD=4,CT±AD,

VAD/7BC,/.CTIBC,CT=4V3

OT=J22+（4V3）2=2V13,

PE+PA+PD2V13-2,

APA+PD+PE的最小值為2履-2.

14.解：(1)?PC=PC,ZPCP'=60°,

.?.△PCP為等邊三角形，

.\PP'=PC,NPPC=NPPC=60。，又：P'A，=PA,；.PA+PB+PC=PA，+PB+PP2AB,根據兩點之間線段最短可知，當

B、P、P、A，在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，最小值為A，B,此時的P點為該三角形的“費馬點"

.,.ZBPC+ZP'PC=180°,ZA'P'C+ZPP'C=180°,

/.ZBPC=120°,ZA'P'C=120°,

?.?將△APC繞點C順時針旋轉60。得到△A'P'C,

AAPC^AA'P'C,AZAPC=ZAP'C=120°,

.-./.APB=360°-120°-120°=120°,

ZAPC=ZBPC=ZAPB=120°,

VZBAC>120°,ABOAC,BC>AB,

.\BC+AB>AC+AB,BC+AOAB+AC,

；?三個頂點中頂點A到另外兩個頂點的距離和最小，又???已知當4ABC有一個內角大于或等于120。時，“費馬

點”為該三角形的某個頂點，

該三角形的“費馬點”為點A.