2025年中考數(shù)學復習：阿氏圓最值模型

阿氏圓最值模型

L如圖，在△ABC中，ZACB=90°,BC=12,AC=9,以C為圓心，6為半徑的圓上有一動點D,連接AD、BD、C

D,貝+BD的最小值為()

X.3V15B.4同C.5V5D.6V3

2如圖，在。O中，點A、點B在。O上，ZAOB=90°,OA=6,點C在0A上，且OC=2AC,點D是OB的中點,

點M是劣弧AB上的動點，則CM+2DM的最小值為.

3如圖，在R3ABC中，ZC=90°,AC=9,BC=4,以點C為圓心，3為半徑做OC,分別交AC,BC于D,E

兩點點P是。C上一個動點，則1P4+PB的最小值為.

4如圖在RtAABC中，AB=AC=4,點E,F分別是AB,AC的中點，點P是扇形AEF的EF弧上任意一點,

連接BP,CP,則”P+CP的最小值是.

B

5如圖，已知菱形ABCD的邊長為8,NB=60。,圓B的半徑為4,點P是圓B上的一個動點，則PD-的

最大值為.

6.如圖，在.△ABC中，乙4cB=90。,BC=12,AC=9,,以點C為圓心，6為半徑的圓上有一個動點D.連接

AD、BD、CD,貝2AD+3BD的最小值是

7如圖，在直角坐標系中，以原點O為圓心作半徑為4的圓交x軸正半軸于點A,點M的坐標為(6,3),點N

的坐標為(8,0),點P在圓上運動則PM+.N的最小值是.

8如圖泮圓的半徑為1,AB為直徑，AC、BD為切線，AC=1,BD=2,P為弧AB上一動點，孝PC+PD的最小

值是()

D

4迪B.2V2C.V5D.V5-1+—

9如圖，在平面直角坐標系中,A(2,0)、B(0,2)、C(4,0)、D(3,3),P是△AOB外部的第一象限內(nèi)一動點，且

乙BPA=135。,則2PD+PC的最小值是.

10已知：等腰RSABC中，ZACB=90°,AC=BC=8,0是AB上一點，以。為圓心的半圓與AC、BC均相切，P

為半圓上一動點，連PC、PB,如圖，則PC的最小值是.

11(1)初步思考：如圖1,在仆PCB中，已知PB=2,BC=4,N為BC上一點且BN=1,試證明：PN=

⑵問題提出：

如圖2,已知正方形ABCD的邊長為4,圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動點，求PD+巳PC的最小值

(3)推廣運用：

如圖3,已知菱形ABCD的邊長為4,ZB=60°,圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動點，求PD-搟PC的

最大值.

12如圖1,在平面直角坐標系中，直線y=-5x+5與x軸,y軸分別交于A,C兩點,拋物線yx2+bx

+c經(jīng)過A,C兩點，與x軸的另一交點為B.

(1)求拋物線解析式及B點坐標；

(2)若點M為x軸下方拋物線上一動點，連接MA、MB、BC,當點M運動到某一位置時，四邊形AMBC面積

最大，求此時點M的坐標及四邊形AMBC的面積；

(3)如圖2,若P點是半徑為2的。B上一動點，連接PC、PA,當點P運動到某一位置時，PC+扔4的值最

小，請求出這個最小值，并說明理由.

13如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點C(2,-3),且與x軸交于原點及點B(8,0).

(1).求二次函數(shù)的表達式；

(2).求頂點A的坐標及直線AB的表達式；

⑶.判斷△4B。的形狀,試說明理由；

(4).若點P為0O上的動點，且。O的半徑為2Vx—動點E從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿線段A

P勻速運動到點P,再以每秒1個單位長度的速度沿線段PB勻速運動到點B后停止運動，求點E的運動時間t

的最小值.

B

如圖，拋物線y=a/+bx+5與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,AB=4.拋物線的對稱軸久=3與

經(jīng)過點A的直線y=依-1交于點D,與x軸交于點E.

(1).求直線AD及拋物線的表達式；

(2).在拋物線上是否存在點M，使得△2DM是以AD為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點M的坐標；

若不存在，請說明理由；

(3)以點B為圓心，畫半徑為2的圓，點P為。B上一個動點，請求出PC+的最小值.

15.如圖所示,在△4BC中,Z.B=90°,BA=BC=2,,以B為圓心作圓B與AC相切,點P是圓B上任一

動點，連接PA、PC,則.y[2PA+PC的最小值為.

16.閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務(wù).

已知平面上兩點A、B，則所有符合=k(?0且辱1)的點P會組成一個圓.這個結(jié)論最先由古希臘數(shù)學家阿波

羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.

阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.

【問題】如圖1,在平面直角坐標系中，在x軸，y軸上分別有點C(m,0),D(0,n),點P是平面內(nèi)一動點，

且OP=r,設(shè)蕓=k，求PC+kPD的最小值.

阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：

第一步如圖1,在OD上取點M,使得OM:OP=OP:OD=k;

第二步：證明kPD=PM-；第三步：連接CM,此時CM即為所求的最小值.

下面是該題的解答過程倍B分)：

解：在OD上取點M,使得OM:OP=OP:OD=k,

又：NPOD=NMOP,/?△POM^ADOP.

【任務(wù)】

(1)將以上解答過程補充完整.

(2)如圖2,在RtAABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,D為AABC內(nèi)一動點，滿足CD=2,利用(1)中的結(jié)

論，請直接寫出力。+|BD的最小值.

17.如圖，點A,B在。0上且(。2=0B=12,團08,點C是OA的中點，點D在學習筆記：OB上,

且OD=10,動點P在。。上，求PC+廣。的最小值.

18.問題提出：如圖①，在RtAABC中2C=90。，CB=4,CA=6,?C的半徑為2,P為圓上一動點，連接AP、BP,求

4P+aBP的最小值.

(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP,在CB上取一點D,使CD=1,

則詈=m=|XZPCD=ZBCP,所以APCDABCP.所以\'"所以PD=；PB,所以AP+1BP=AP+

PD請你完成余下的思考，并直接寫出答案：4P+卷BP的最小值為

(2)自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求+BP的最小值；

⑶拓展延伸：如圖3,已知在扇形COD中，ZCOD=90°,OC=6,OA=3,OB=5,P是CD弧上一點求2PA+PB

的最小值.

圖1圖2圖3

19如圖，在平面直角坐標系中，已知4(—4,—4)、5(0-4)、C(0,一6)、￡>(0--l),AB與x籥浪,以點E

為圓心，ED長為半徑作圓，點M為。E上一動點，求+CM的最小值.

20.如圖所示，拋物線與x軸交于A(-l,0),B(3,0)兩點與y軸交于點C(0,3),D為拋物線的頂點.

(1).求該二次函數(shù)拋物線解析式；

(2).坐標平面內(nèi)一點M到點B的距離為1個單位，求DM+的最小值.

1.解:在CA上截取CM,使得CM=4,連接DM,BM.：CD=6,CM=4,CA=9,.*Zk=CM=|,VZDCM=ZACD,

.'.△DCM^AACD,

DMCD22g

—=—=一,：?DM=—AD,

ADAC33

.■.IAD+BD=DM+BD,vDM+BD>s/cmtBM,即當B、D、M三點共線時，有最小值，MB即為所求.

在RtACBM中，：ZBCM=90°,CM=4,BC=12,BM=4V10,???|/W+BD>4V10,???^AD+BD的最小值為

4VTU.故選：B.

2解：延長OB至[]E,使得BE=OB,連接ME,CE.VOM=6,OD=DB=3,OE=12,.,.OM2=ODOE,

???一=—乙MOD=Z.EOM,

ODOM

???AMODAEOM,.ME=2DM,

MEOE2'

CM+2DM=CM+ME>CE,

又；在RtAOCE中，ZCOE=90°,OC=4,OE=12,

/.由勾股定理得：CE=4V10,CM+2,DM>4VTU,

；.CM+2DM的最小值為WiU,.,.答案為4V10.

3.解：在AC上截取CQ=1,連接CP,PQ,BQ,：AC=9,CP=3,.??華=[???CP=3,CQ=1,.??2=[.?.△4CP△

xlC4>3C/LO

PCQ,.-.PQ=^AP,

.?]。2+「8=。<2+。323(2,二當鳳Q、p三點共線時，

(P4+PB的值最小，在R3BCQ中，BC=4,CQ=1,

QB=V17,.-.1PA+PB的最小值V17,

故答案為：V17.

B

4.解：在AB上取一點D,使得AD=1,連接PD,PA,CD.；PA=2.AD=1,AB=4,；.PAD=ABPA=2,；/PAT=

ZPAB,.?.△PAD^ABAP,

.PD_AP_1

??PB~AB~2’

；.PD=|PB,!PB+CP=CP+PD,?/PC+PD>DC,

在RSACD中，：NCAD=90。，AD=1,AC=4,

CD=|PB+PCNV17,

.《PB+PC的最小值為g.故答案為V17.

5.解：連接PB,在BC上取一點G,使得BG=2,連接PG,DG,過點D作DHLBC交BC的延長線于H.

c：r?PB=A4n,/-B?G=o2r-?,z-?BCcBGPB1

?=8,PB——=BC—=2-

又?.?NPBG=NCBP,???△PBGs/XCBP,

PG=?C,；四邊形ABCD是菱形，，AB〃CD,AB=CD=BC=8,ZDCH=ZABC=60°,

在RtACDH中，CW=1XC￡?=4,

DH=V3CH=4V3,.,.GH=CG+CH=6+4=10,

???DG=y/GH2+DH2=2V37,

???PD-^PC=PD-PG<DG,：.PD-^PC<2V37,PD一2PC的最大值為2V37.

6.解：由題意知：2AD+3BD=3+BD),當\AD+B。取最小值時，2AD+3BD的值最小.

c

A------------------

如圖，在CA上截取CM,使CM=4,連接DM,BM,vCD=6,CM=4,CA-9,.■.—=—=:又：ZDCM=ZA

CDCA3

CD,/.ADCM^AACD,

—=—=DM=-AD,.-.-AD+BD=DM+BD,；.當DM+BD取最小時，2AD+3BD最小.

ADCA333

當B、D、M三點共線時，BM即為DM+BD的最小值，在RtACBM中，：NMCB=90。，CM=4,BC=12,

BM=4V10,???1AD+BD>4V10,

■-IAD+BD的最小值為4V10,

.?.2AD+3BD的最小值是12VIU.故答案為：12dm

7.解：如圖,取0A的中點D,連接OP,PD,.\0D=2,0P=4,嚕=1需/嚕=焉

又NP。。是公共角,.-.APOD?△NOP,|^=|,PD=\PN,：.PM+^PN=PM+PD

：.當M、P、D在三點共線時，PM+PD最小,MD即為所求作MB回。N于B,貝UBM=3,。8=6,

在RtADMB中,MD=V42+32=5,故答案是5.

8.解:連接OC、OP,在OC上中點E,VAC是切線,???乙4=90。,二0C=V2,0E=亨，?薄=號器=*:

—=—4EOP=/.POC,

OCOP

△OPEAOCP,.?.案=案=今.?.PE=yPC,"-PC+PD=PE+PD,當P、D、E三點共線時,PE+PD最

小，DE即為最小值.

作EF_LOA于F,EQI2B。于Q,

13

...EF=BQ=：,EQ=BF=1

DQ=泄△DEQ中，由勾股定理得:

DE=乎,故選：A.

9.解：如圖，由題意可知，P在以。為圓心，半徑為2的圓上運動，取0A的中點E,則*=3差=漢?：

乙POE="0C,.必POE△COP,：.^=|,PE=\PC,：.2PD+PC=2(PD+|?C)=2(PD+PE)=2DE,當PD+P

E最小時，即當D、P、E三點共線時,2PD+PC有最小值過點D作DF回0C于點F

在Rt△中,DE=V22+32=V13,

2PD+PC的最小值是2舊,故答案為：2g.

10.解：連接OP、OC,取OB的中點F,連接PF、CF,???Rt△48c等腰直角三角形，CO平分A.ACB,CO1AB

AC=BC=8,Z.ACB=90°,AB=8Vx

OC=OA=OB=^AB=4Vx

OP=OD=OE=171C=|BC=4,貝!]OF=^OB=2Vx.?.黑=壺=VX器=學=VX在△OPF和A

OBP中,—=—,ZPOF=Z.BOP,.-.AOPF-AOBP,.?.竺="=返

OFOPPBOP2

PF='P8,二PC+與PB=PC+PF>CF,當且僅當C、P、F三點共線時，PC+fPB取得最小值，??.CF

Dnr-iBP1T-7??ccccnrcccPNBN1

11.(1)證明：PB=2,BC=4,BN=1,.嚼=：靛=5.又.NB=NB,?必BPNjBCP.-

1

PN=^PC；

⑵.如圖2,在BC上取一點G,使得BG=1,

BG_1PB_1BG_PB

PB-2'BC-PB~BC

又二乙PBG=乙PBC,PBG?△CBP

*造fPG=|PC

PD+^PC=PD+PG>DG,當DPG三點共線時，PD+：PC有最小值，DG即為所求，在Rt△DCG中，

DG=VDC2+GC2=5,.-.PD+[PC的最小值是5.

⑶同⑵中證法，如圖3,

當點P在DG的延長線上時，DG即為。。-：。。的最大值,在RtADGF中，最大值為DG=V37.

12.解：(1)直線y=-5x+5,x=0時，y=5,，C(0,5),

當y=?5x+5=0時,解得：x=l；.A(l,0)

???拋物線”-+c經(jīng)過A,C兩點L二

解得：｛b'16;拋物線解析式為y=/-6X+5

當y=/-6%+5=0時,解得：Xi=1,x2=5,.*.B(5,0).

⑵如圖1,過點M作MHJ_x軸于點H.

11

VA(1,0),B(5,0),C(0,5),.\AB=5-1=4,OC=5,SLABC=^AB-OC=|x4x5=10

，?,點M為x軸下方拋物線上的點，，設(shè)M(m,m2-6m+5)(l<m<5),MH=|m2-6m+5|=-m2+6m-5

???^LABM=[AB-MH=|x4(—m2+6m—5)

=-2m2+12m-10=—2(m—3)2+8,

四邊形

SAMBC=S-BC+S^ABM=10+[-2(m-3)斗8]

=-2(m-3)2+18

???當m=3,即M(3,-4)時,四邊形AMBC面積最大，最大面積等于18.

(3)如圖2,在x軸上取點D(4,0),連接PD、CD

.?.8。=5—4=1,??.AB=4,BP=2,..?處=處=-VZPBD=ZABP,APBD^AABP,PD

BPAB2'5APBP2

=\AP,：.PC+^PA=PC+PD：.當點C、P、D在同一直線上時，PC+=PC+PD有最小值，CD即為所求.

CD=Voc2+OD2=V41PC+的最小值為V41

13.解：(1):二次函數(shù).y=ax2+bx+c(a豐0)的圖象經(jīng)過C(2,-3),且與x軸交于原點及點B(8,0),.*.c=

0，二次函數(shù)表達式可設(shè)為：y=a/+bx(a中0),將C(2,-3),B(8,0)代入y=a/+bx得方程，并解得：a=：,

b=-2

二次函數(shù)的表達式為y=[/_2%；

(2)?；y=一2%=一4尸—4,.,.拋物線的頂點A(4,-4),設(shè)直線AB的函數(shù)表達式為丫=kx+m,將A(4,

44

-4),B(8,0)代入，得：｛4。丁=二4解得：k=1直線AB的函數(shù)表達式為y=x-8;(3)AABO是等腰直角三

8fc+m=0m=—8

角形.

方法1：過點A作AFXOB于點F,則F(4,0),

ZAFO=ZAFB=90°,OF=BF=AF=4,

△AFO、△AFB均為等腰直角三角形”

OA=AB=4V2,ZOXF=ABAF=45。，

NOAB=90。，AABO是等腰直角三角形.

方法2:?.?△ABO的三個頂點分別是O(O,O),A(4,-4),B(8,0),AOB=8,OA=4<2,AB=4億?.滿足O

B2=OA2+AB2,.?.△ABO是等腰直角三角形;

(3)如圖，以0為圓心，2a為半徑作圓，則點P在圓周上，依題意知：動點E的運動時間為t=：AP+PB,

在0A上取點D,使0D=/,連接PD,則在△APO和4PDO中，滿足：*=|,ZAOP=ZPOD,/.AAPO^AP

DO,.-.PDAP=OP/A=工從而得：PD=-AP,.-.t=-AP+PB=PD+PB,：.當B、P、D三點共線時，PD+PB取得

,,2022

最小值，過點D作DGLOB于點G,由于。。=VX且△ABO為等腰直角三角形，則有DG=1,/DOG=45。...動點

E的運動時間t的最小值為：

t=DB=VDG2+GB2=5V2.

14.解(1)解：:拋物線的對稱軸x=3,AB=4,.,.A(1,0),B(5,0),

將A(l,0)代入直線丫=kx-l狷k-l=0,解得k=l,

直線AD的解析式為y=x-l;

將A(1,0),B(5,0)代入y=ax2+bx+5,得：

ra+b+5=0解得?.a=1

125a+5b+5=0'蝌守,%=—6

；?拋物線的解析式為y=%2-6%+5;

(2)存在點M,

,直線AD的解析式為y=x-l,拋物線對稱軸x=3與x軸交于點E,...當x=3時,y=x-l=2,；.D(3,2).現(xiàn)在分兩種

情況討論：

①當NDAM=90。時,設(shè)直線AM的解析式為y=-x+c,將點A坐標(1,0)代入得-l+c=0,解得c=l,

直線AM的解析式為y=-x+l,

聯(lián)立方程組得：｛y=-久+ly=/一6%+5,

解得｛；［；(即為A點坐標)或｛x=4y=-3,

點M的坐標為(4,-3);

②當/ADM=90。時，設(shè)直線DM的解析式為y=-x+d,將D(3,2)代入，得-3+d=2,解得d=5,.?.直線DM的解

析式為y=-x+5,

?V*^30

聯(lián)立方程組得｛y=-x+5y=x12-6x+5,解得0=5或｛乂=5y=0,

.??點M的坐標為(0,5)或(5,0),

綜上，點M的坐標為(4,-3)或(0,5)或(5,0);

(3)如圖，在AB上取點F,使BF=1,連接CF,

BF1PB21BFPB

PB=2.—=-.,?*—=-=-,；?—=—>

PB2AB42PBAB

又丁ZPBF=ZABP,JAPBF^AABP,

PFBF11.

—=—=一,R即nPF=-nPA,

PAPB22

1

PC+^PA^PC+PF>CF,

.??當點C、P、F三點共線時，的值最小，

.??線段CF的長即為所求的最小值，

VOC=5,OF=OB-1=5-1=4,

CF=VOC2+OF2=7s2+42=V41,

PC+的最小值為V41.

15.解:過B作BHXAC于H,取BC的中點D,連接PD,PB,AD,VAC為切線，；.BH為。B的半徑，

,/ZB=90°,AB=CB=2,；.AC=V2BA=2V2

BH=-AC=V2,.-.BP=V2,/.—=——=—,ifoZPBD=ZCBP,.".△BPD^A=

2BC2BP2BCBPPCBC

y,.-.PD=yPC,BCP,

PA+^PC=PA+PD,當A、P、D共線時，有最小值，AD即為所求.而AD=V22+l2=?:.PA+P。的

最小值為V5,BPP4+孝PC的最小值為有則偽M+PC的最小值VTU..故答案為：V10.

16.解(1)在0D上取點M,使得OM:OP=OP:OD=k,XVZPOD=ZMOP,AAPOM^ADOP.

AMP:PD=k,；.MP=kPD,；.PC+kPD=PC+MP,當PC+kPD取最小值時，PC+MP有最小值，即C,P,M三點共

線時有最小值，利用勾股定理得：

CM=VOC2+OM2—y/m2+(fcr)2=Vm2+k2r2

⑵如圖，???AC=4,*=I，在CB上取一點M，使得CM=：CD=\,.證得4CDM-ACBD,

DC333

黑=黑=”MD=|BD,AD+lBD=AD+MD.?.當A、D、M三點共線時，有最小值，AM即為求.

DL)CDD33

在Rt△ACM中，AM=yJCM2+AC2=字AD+的最小值為苧.

17.解：如圖延長OC至￡使(OE=24,連接DE,OP,

在RADOE中，OD=10,OE=24,

知唱母，又：NPO—POK

PCOP1

POC-AEOP,PE=2PC,

PD+2PC=PD+PE>DE=26,

.?.當D、P、E共線時，DE即為PD+PE最小值在RtADOE中，DE=yjEO2+DE2=26,

.,.PD+2PC的最小值=26,

-11

???PC+^PD=1(PD+2PC),

.?.PC+^PD的最小值=13.

18.解：(1)如圖1,連接AD,

???AP+^BPAP+PD,要使AP+(BP最小，

AP+AD最小，當點A,P,D在同一條直線時,AP+AD最小，即：4P+^BP最小值為AD,在RtAACD中.CD

=1,4C=6,.-.AD='AC?+CD2=V37,AP+的最小值為后，故答案為：V37;

(2)如圖2,連接CP,在CA上取點E,使CE=|,二ff乙PCE=乙4CP,?必PCE△ACP,.-.喘=

PE=|TIP,1AP+BP=BP+PE,連接BE，則BE即為所求的最小值.同⑴的方法得出+BP的最小值為BE

_2歷.

一3'

(3)如圖3,延長0