高三第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案-導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用A

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(1)---導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用(教案)A知識梳理1、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：利用導(dǎo)數(shù)研究多項式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟:求;確定在內(nèi)符號;若在上恒成立，則在上是增函數(shù)；若在上恒成立，則在上是減函數(shù)①為增函數(shù)（為減函數(shù)）.②在區(qū)間上是增函數(shù)≥在上恒成立；在區(qū)間上為減函數(shù)≤在上恒成立.極大值：一般地，設(shè)函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有的點，都有，就說是函數(shù)的一個極大值，記作極大值，是極大值點.極小值：一般地，設(shè)函數(shù)在附近有定義，如果對附近的所有的點，都有就說是函數(shù)的一個極小值，記作極小值，是極小值點.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值請注意以下幾點：（）極值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小.并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小.（）函數(shù)的極值不是唯一的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極xs大值或極小值可以不止一個.（）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點，是極小值點，而>.（）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點.當(dāng)在點連續(xù)時，判別是極大、極小值的方法:若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點，是極小值.求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟:確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)求方程的根用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么在這個根處無極值.如果函數(shù)在某些點處連續(xù)但不可導(dǎo)，也需要考慮這些點是否是極值點.函數(shù)的最大值和最小值:一般地，在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上必有最大值與最小值．說明：在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值；函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的．函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟:由上面函數(shù)的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以得出函數(shù)的最值了．設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則求在上的最大值與最小值的步驟如下：求在內(nèi)的極值；將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值p（二）題型探究：探究1．研究函數(shù)的圖象例1、（屆云南平遠(yuǎn)一中五模）函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為 例2．已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖象如圖所示，則不等式xf′(x)<0的解集為()A．(-∞，eq\f(1,2))∪(eq\f(1,2),2)B．(－∞，0)∪(eq\f(1,2)，2)C．(－∞，eq\f(1,2)∪(eq\f(1,2)，＋∞)D．(－∞，eq\f(1,2))∪(2，＋∞)解析：選B.由f(x)圖象單調(diào)性可得f′(x)在(－∞，eq\f(1,2))∪(2，＋∞)大于0，在(eq\f(1,2)，2)上小于0，∴xf′(x)<0的解集為(－∞，0)∪(eq\f(1,2)，2)．例3、作出函數(shù)的草圖題型2：討論函數(shù)的單調(diào)性例4：設(shè)函數(shù)，試討論函數(shù)的單調(diào)性探究2：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值和最值例5：設(shè)函數(shù)，其中求函數(shù)的最大值和最小值。例6：已知函數(shù)(1)、求的最小值；（2）、若對所有的，都有，求實數(shù)a的取值范圍。題型2：已知函數(shù)的極大值和最值，求參數(shù)的值或取值范圍。例6：函數(shù)，（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）若關(guān)于的方程有個不同實根，求實數(shù)的取值范圍.（Ⅲ）已知當(dāng)時，≥恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（屆高三浙江上虞市調(diào)研）已知，那么

在區(qū)間上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增問題3．（天津）已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．問題4．（湖北）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．（Ⅰ）用表示，并求的最大值；（Ⅱ）求證：≥（）．問題5．利用導(dǎo)數(shù)求和：（,）.（）.三、方法提升1、求參數(shù)范圍的方法：①分離變量法；②構(gòu)造（差）函數(shù)法.2、構(gòu)造函數(shù)法是證明不等式的常用方法：構(gòu)造時要注意四變原則：變具體為抽象，變常量為變量，變主元為輔元，變分式為整式.3、通過求導(dǎo)求函數(shù)不等式的基本思路是：以導(dǎo)函數(shù)和不等式為基礎(chǔ)，單調(diào)性為主線，最(極值）為助手，從數(shù)形結(jié)合、分類討論等多視角進(jìn)行綜合探索.四、反思感悟：五、課后作業(yè)：已知函數(shù)，則方程在區(qū)間上的根有個個個個（鄭州一中等四校聯(lián)考）若函數(shù)在上可導(dǎo)且滿足不等式恒成立，且常數(shù)滿足，則下列不等式一定成立的是3、（屆高三陜師大附中八模）如果是二次函數(shù),且的圖象開口向上,頂點坐標(biāo)為,那么曲線上任一點的切線的傾斜角的取值范圍是4、（屆廈門雙十中學(xué)高三月考）如圖，是函數(shù)的大致圖像，1,3,5則等于1,3,5 5、（天津）函數(shù)的定義域是開區(qū)間,導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點個個個個6、（屆高三哈爾濱第三中學(xué)第一次月考）函數(shù)的圖象如圖所示，且，則有 7、求滿足條件的的范圍：使為上增函數(shù)，則的范圍是使為上增函數(shù)，則的范圍是使為上增函數(shù)，則的范圍是8、已知：，證明不等式：9、設(shè)恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定的取值范圍，并求出這三個單調(diào)區(qū)間六、走向高考：1.【2012高考重慶文8】設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)，且函數(shù)在處取得極小值，則函數(shù)的圖象可能是【答案】C2.【2012高考浙江文10】設(shè)a＞0，b＞0，e是自然對數(shù)的底數(shù)A.若ea+2a=eb+3b，則a＞bB.若ea+2a=eb+3b，則a＜bC.若ea-2a=eb-3b，則a＞bD.若ea-2a=eb-3b，則a＜b【答案】A3.【2012高考陜西文9】設(shè)函數(shù)f（x）=+lnx則（）A．x=為f(x)的極大值點B．x=為f(x)的極小值點C．x=2為f(x)的極大值點D．x=2為f(x)的極小值點【答案】D.4.【2012高考遼寧文8】函數(shù)y=x2㏑x的單調(diào)遞減區(qū)間為（A）（1,1]（B）（0,1]（C.）[1，+∞）（D）（0，+∞）【答案】B5.【2102高考福建文12】已知f（x）=x3-6x2+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.現(xiàn)給出如下結(jié)論：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0.其中正確結(jié)論的序號是A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】C．6.【2012高考遼寧文12】已知P,Q為拋物線x2=2y上兩點，點P,Q的橫坐標(biāo)分別為4，2，過P,Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的縱坐標(biāo)為(A)1(B)3(C)4(D)8【答案】C7.【2012高考新課標(biāo)文13】曲線y=x(3lnx+1)在點處的切線方程為________【答案】8.【2012高考上海文13】已知函數(shù)的圖像是折線段，其中、、，函數(shù)（）的圖像與軸圍成的圖形的面積為【答案】。9【2102高考北京文18】（本小題共13分）已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(1,c)處具有公共切線，求a,b的值；當(dāng)a=3,b=-9時，若函數(shù)f(x)+g(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28，求k的取值范圍。【答案】10.【2012高考江蘇18】（16分）若函數(shù)在處取得極大值或極小值，則稱為函數(shù)的極值點。已知是實數(shù)，1和是函數(shù)的兩個極值點．（1）求和的值；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的極值點；（3）設(shè)，其中，求函數(shù)的零點個數(shù)．【答案】解：（1）由，得。∵1和是函數(shù)的兩個極值點，∴，，解得。（2）∵由（1）得，，∴，解得：?！弋?dāng)時，；當(dāng)時，，∴是的極值點?！弋?dāng)或時，，∴不是的極值點?！嗟臉O值點是－2。（3）令，則。先討論關(guān)于的方程根的情況：當(dāng)時，由（2）可知，的兩個不同的根為I和一2，注意到是奇函數(shù)，∴的兩個不同的根為一和2。當(dāng)時，∵，，∴一2,－1，1，2都不是的根。由（1）知。①當(dāng)時，，于是是單調(diào)增函數(shù)，從而。此時在無實根。②當(dāng)時．，于是是單調(diào)增函數(shù)。又∵，，的圖象不間斷，∴在（1,2）內(nèi)有唯一實根。同理，在（一2，一I）內(nèi)有唯一實根。③當(dāng)時，，于是是單調(diào)減兩數(shù)。又∵，，的圖象不間斷，∴在（一1，1）內(nèi)有唯一實根。因此，當(dāng)時，有兩個不同的根滿足；當(dāng)時有三個不同的根，滿足?，F(xiàn)考慮函數(shù)的零點：(i）當(dāng)時，有兩個根，滿足。而有三個不同的根，有兩個不同的根，故有5個零點。(11）當(dāng)時，有三個不同的根，滿足。而有三個不同的根，故有9個零點。綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)有5個零點；當(dāng)時，函數(shù)有9個零點?！究键c】函數(shù)的概念和性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?！窘馕觥浚?）求出的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)1和是函數(shù)的兩個極值點代入列方程組求解即可。（2）由（1）得，，求出，令，求解討論即可。（3）比較復(fù)雜，先分和討論關(guān)于的方程根的情況；再考慮函數(shù)的零點。11.【2012高考天津文科20】（本小題滿分14分）已知函數(shù)，x其中a>0.（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）若函數(shù)在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍；（III）當(dāng)a=1時，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M（t），最小值為m（t）,記g(t)=M(t)-m(t),求函數(shù)g(t)在區(qū)間上的最小值。【答案】12.【2012高考廣東文21】（本小題滿分14分）設(shè)，集合，，.（1）求集合（用區(qū)間表示）（2）求函數(shù)在內(nèi)的極值點.【答案】【解析】（1）令，。當(dāng)時，，方程的兩個根分別為，，所以的解集為。因為，所以。②當(dāng)時，，則恒成立，所以，綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時，。（2），令，得或。當(dāng)時，由（1）知，因為，，所以，所以隨的變化情況如下表：0↗極大值↘↗所以的極大值點為，沒有極小值點。②當(dāng)時，由（1）知，所以隨的變化情況如下表：00↗極大值↘極小值↗所以的極大值點為，極小值點為。綜上所述，當(dāng)時，有一個極大值點，沒有極小值點；當(dāng)時，有一個極大值點，一個極小值點。13.【2102高考福建文22】（本小題滿分14分）已知函數(shù)且在上的最大值為，（1）求函數(shù)f(x)的解析式；(2)判斷函數(shù)f(x)在（0，π）內(nèi)的零點個數(shù)，并加以證明。【答案】14.【2012高考四川文22】(本小題滿分14分)已知為正實數(shù)，為自然數(shù)，拋物線與軸正半軸相交于點，設(shè)為該拋物線在點處的切線在軸上的截距。（Ⅰ）用和表示；（Ⅱ）求對所有都有成立的的最小值；（Ⅲ）當(dāng)時，比較與的大小，并說明理由。命題立意：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力、邏輯推理能力、分析問題與解決問題的能力和創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化由特殊到一般等數(shù)學(xué)思想【答案】【解析】15.【2012高考湖南文22】本小題滿分13分）已知函數(shù)f(x)=ex-ax，其中a＞0.（1）若對一切x∈R，f(x)1恒成立，求a的取值集合；（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A（x1,f(x1)）,B(x2,f(x2))(x1<x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈（x1,x2）,使恒成立.【答案】解：令.當(dāng)時單調(diào)遞減；當(dāng)時單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取最小值于是對一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).①令則當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.故當(dāng)時，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)時，①式成立.綜上所述，的取值集合為.（Ⅱ）由題意知，令則令，則.當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.故當(dāng)，即從而，又所以因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使即成立.【解析】【點評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R，f(x)1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合；第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.16.【2012高考新課標(biāo)文21】（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)=ex－ax－2(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間(Ⅱ)若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x>0時，(x－k)f′(x)+x+1>0，求k的最大值【答案】17.【2012高考重慶文17】（本小題滿分13分）已知函數(shù)在處取得極值為（1）求a、b的值；（2）若有極大值28，求在上的最大值．【解析】（Ⅰ）因故由于在點處取得極值故有即，化簡得解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，得當(dāng)時，故在上為增函數(shù)；當(dāng)時，故在上為減函數(shù)當(dāng)時，故在上為增函數(shù)。由此可知在處取得極大值，在處取得極小值由題設(shè)條件知得此時，因此上的最小值為18.【2012高考湖北文22】（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)，n為正整數(shù)，a,b為常數(shù)，曲線y=f(x)在（1，f(1)）處的切線方程為x+y=1.（1）求a,b的值；（2）求函數(shù)f(x)的最大值（3）證明：f(x)<.【答案】【解析】本題考查多項式函數(shù)的求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值以及證明不等式等的綜合應(yīng)用.考查轉(zhuǎn)化與劃歸，分類討論的數(shù)學(xué)思想以及運算求解的能力.導(dǎo)數(shù)的幾何意義一般用來求曲線的切線方程，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一般用來求解函數(shù)的極值，最值，證明不等式等.來年需注意應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值以及求解極值，最值等；另外，要注意含有等的函數(shù)求導(dǎo)的運算及其應(yīng)用考查.19.【2012高考安徽文17】（本小題滿分12分）設(shè)定義在（0，+）上的函數(shù)（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若曲線在點處的切線方程為，求的值。【解析】（=1\*ROMANI）（方法一），當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值為。（=2\*ROMANII）由題意得：，=1\*GB3①，=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②得：。20.【2012高考江西文21】（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=（ax2+bx+c）ex在上單調(diào)遞減且滿足f(0)=1，f(1)=0.（1）求a的取值范圍；（2）設(shè)g(x)=f(-x)-f′(x)，求g(x)在上的最大值和最小值。【答案】