2025年新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)卷02（解析版）

2025年新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)收官卷02

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

I.設(shè)集合/={1,3},5={x|x2-3x+m=0）,若Nc8={l},則集合8=（）

A.{1,-2}B.{1,2}C.{1,0}D.{1,5}

【答案】B

【解析】由/c8={l}可知『-3+機(jī)=0n加=2,

當(dāng)機(jī)=2時，x2-3x+2=0,解得：x=l或x=2,即3={1,2}.

故選：B

2.若復(fù)數(shù)品在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（2,2）B.（0,2）

C。，2）D.（2,-2）

【答案】C

【解析】因?yàn)槿?：i（j；）.、=l+2i,其對應(yīng)的坐標(biāo)為（1,2）,

故選：C.

3.已知平面向量獲滿足向=2團(tuán)=2,若打（”3，貝情與B的夾角為（）

71?！?兀571

A.—B.—C.—D.—

6336

【答案】B

【解析】由題設(shè)〃,（。一否）=〃-a-S=0,而

所以1一2cos（a,=0=>cos（a,b}=—,,

所以(。,弓=71

3

故選：B

的展開式第3項(xiàng)的系數(shù)是60,則展開式所有項(xiàng)系數(shù)和是()

A.-1B.1C.64D.36

【答案】B

【解析】由題意C：(-2)2=2"("-1)=60,注意到"是正整數(shù)，所以解得〃=6,

則展開式所有項(xiàng)系數(shù)和是(1-2)6=1.

故選：B.

5.已知函數(shù)〃x)='i詞+cosx,對于/(無)有四個結(jié)論：①/(x)為偶函數(shù)；②/⑴的最小正周期是兀：③

/(X)在上單調(diào)遞增；④f(x)的最小值為-1.則四個結(jié)論正確的是()

A.①②B.②③C.①③D.①④

【答案】D

【解析】對于①，因?yàn)?'(-x)=Mn(-x)|+cos(-x)=binx|+cosx,

所以”-x)=〃x),故①正確;

對于②，/(X+71)=|sin(X+71)|+cos(X+7T)=|sinx|-COSXf(x),

所以兀不是的周期，故②錯誤;

對于③，當(dāng)尤1寸，sinx>0,

71

所以/(x)=|sinx|+cosx=sinx+cosx=41sinX+~

又彳€(0,多所以x+?71e71371

4了

所以由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得/(X)在［o,上不是單調(diào)的，

故③錯誤；

對于④，由于/(x+271)=|sin(x+2K)|+cos(x+2K)=|sinx|+cosx=f(x),

所以2兀是/(x)的一個周期，

又xw[0,兀]時，sinx>0,則/(x)=|sinx|+cosx=sinx+cosx=V2sinx+—

又x+(e，所以sin[x+：]e-卓1，/(x)e[T，@;

當(dāng)工￡(兀,2兀)時，sinx<0,貝U/(x)=biiu|+cosx=-sinx+cosx=V^cosx+—

又x+所以cos[x+；]e-暫/，/(x)e(-l,V2)；

綜上可得/(x)e[T,&],所以/'(x)的最小值為-1,故④正確;

故選：D.

6.如圖所示，六氟化硫分子結(jié)構(gòu)是六個氟原子處于頂點(diǎn)位置，而硫原子處于中心位置的正八面體，也可將

其六個頂點(diǎn)看作正方體各個面的中心點(diǎn).若正八面體的表面積為126，則正八面體外接球的體積為()

C.1271D.36兀

【答案】B

【解析】如圖正八面體，連接/C和3。交于點(diǎn)。,

因?yàn)镋4=EC,ED=EB,

所以EO_L/C,EOVBD,又/C和2。為平面4BCD內(nèi)相交直線，

所以EO_L平面/8C。，所以。為正八面體的中心，

設(shè)正八面體的外接球的半徑為尺，因?yàn)檎嗣骟w的表面積為8X亭45=12k，所以正八面體的棱長為

V6，

所以EB=EC=BC=y[6,0B=OC=yp3,E0=^EB2—OB2=V3,

則R=73y=*R3=會x3VI=46兀.

故選：B.

7.已知log2a（4〃2+l）<log244a<0,則（）

c111

A.0<6Z<—B.—<Q<一

442

1V3V3

Cr.—<a<——Dn.——<a<

222

【答案】B

【解析】因?yàn)閷?shù)的定義域，得0<2“<1或2a>1,

又因?yàn)?/+1-4。=（2a-以>0,所以442+1>4°,

因?yàn)閎g2a（41+l）<log2a4a<0,所以可得0<2。<1,

因?yàn)镮og204a<0=log23可得4a>1,

所以

42

故選：B.

8.已知過拋物線C:/=2px（p>0）的焦點(diǎn)尸且傾斜角為］的直線交C于42兩點(diǎn)，M是48的中點(diǎn)，點(diǎn)P

是C上一點(diǎn)，若點(diǎn)”的縱坐標(biāo)為1,直線/：3x+2y+3=0,則尸到C的準(zhǔn)線的距離與尸至!］/的距離之和的最

小值為（）

“3而n5而C3A/Bn9A/13

26261326

【答案】D

【解析】由題得c的焦點(diǎn)為尸［點(diǎn),0）設(shè)傾斜角為］的直線N8的方程為y=x-^,

22

與c的方程>2=2px（聯(lián)立得y-2py-p=0f

設(shè)%%］）］）,/々）?），則%+%=22=2,2=1,故C的方程為V=2x,尸.

由拋物線定義可知點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)廠的距離，

聯(lián)立拋物線C:/=2x與直線/：3x+2y+3=0,化簡得9X2+10X+9=0,

由A=100-4x9x9=-224<0得C與/相離.

Q,S,尺分別是過點(diǎn)P向準(zhǔn)線、直線/：3x+2y+3=0以及過點(diǎn)尸向直線/:3無+2y+3=0引垂線的垂足，連接

FP,FS,

所以點(diǎn)尸到C的準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)P到直線/的距離之和|尸。|+陷|=|尸刊+\PS\>陷|^R|,等號成立當(dāng)且僅

當(dāng)點(diǎn)P為線段網(wǎng)與拋物線的交點(diǎn),

所以尸到C的準(zhǔn)線的距離與尸到/的距離之和的最小值為點(diǎn)尸/可到直線/：3x+2y+3=0的距離，即

3xl+0+3

29屈.

A/32+2226

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某機(jī)械制造裝備設(shè)計(jì)研究所為推進(jìn)對機(jī)床設(shè)備的優(yōu)化，成立48兩個小組在原產(chǎn)品的基礎(chǔ)上進(jìn)行不同方

向的研發(fā)，A組偏向于智能自動化方向，8組偏向于節(jié)能增效方向，一年后用簡單隨機(jī)抽樣的方法各抽取6

臺進(jìn)行性能指標(biāo)測試（滿分：100分），測得A組性能得分為：91,81,82,96,89,73,8組性能得分為:

73,70,96,79,94,88,則（）

A.A組性能得分的平均數(shù)比B組性能得分的平均數(shù)高

B.A組性能得分的中位數(shù)比8組性能得分的中位數(shù)小

C.A組性能得分的極差比5組性能得分的極差大

D.8組性能得分的第75百分位數(shù)比A組性能得分的平均數(shù)大

【答案】AD

91+81+82+96+89+73℃

【解析】由題意可得A組性能得分的平均數(shù)為--------------------------------?85.3,

6

73+70+96+79+94+88

3組性能得分的平均數(shù)為?83.3

6

所以A組性能得分的平均數(shù)比3組性能得分的平均數(shù)高，A說法正確;

X2+89

A組性能得分73,81,82,89,91,96的中位數(shù)為=856,

79+88

B組性能得分70,73,79,88,94,96的中位數(shù)為=83.5,

2

所以A組性能得分的中位數(shù)比B組性能得分的中位數(shù)大，B說法錯誤；

A組性能得分的極差為96-73=23,8組性能得分的極差為96-70=26,

所以A組性能得分的極差比5組性能得分的極差小，C說法錯誤；

B組性能得分70,73,79,88,94,96共6個數(shù)據(jù)，6x0.75=4.5,

所以8組性能得分的第75百分位數(shù)為94,比A組性能得分的平均數(shù)大，D說法正確；

故選：AD

10.中國結(jié)是一種手工編織工藝品，因?yàn)槠渫庥^對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾

的習(xí)俗和審美觀念，故命名為中國結(jié).中國結(jié)的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一

個側(cè)面，也是數(shù)學(xué)奧秘的游戲呈現(xiàn).它有著復(fù)雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條.其中的八

字結(jié)對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.曲線。：，+/）2=9,-爐）是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（）

A.曲線c的圖象關(guān)于v=x對稱

B.曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離都不超過3

C.曲線C經(jīng)過7個整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）

D.若直線了=履與曲線C只有一個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為（-。,-1］口［1,+。）

【答案】BD

【解析】對于A項(xiàng)，把（y,x）代入（Y+y2）2=9（尤2一/）得（/+丁）2=9（/_/）,

顯然點(diǎn)⑶，x）不滿足雙紐線方程，

所以曲線C的圖象不關(guān)于歹=尤對稱，故A項(xiàng)錯誤；

對于B項(xiàng)，由（/+/）2=9（/一/）可得/+必=嗎12?=9一二"V9,

x十yx十

所以曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離1=次1了W3,即都不超過3,故B項(xiàng)正確：

對于C項(xiàng)，令尸。解得》=0或苫=±3,即曲線經(jīng)過（0,0）,（3,0）,（-3,0）,

由題意可知，-3<x<3,

令工=±1,得-11；炳<］,

令x=±2,得與跡<2,

因此曲線C只能經(jīng)過3個整點(diǎn)（0,0）,（3,0）,（-3,0）,故C項(xiàng)錯誤；

對于D項(xiàng)，直線了=履與曲線（/+/）2=9（x2-/）一定有公共點(diǎn)（o,o）,

若直線>=履與曲線C只有一個交點(diǎn)，

所以,（*+必）=9（/-力，整理得J。+公）2=9/1_/），只有一個解》=0,

y=kx

BP1-A：2<0,解得后e,故D項(xiàng)正確.

故選：BD.

11.對于任意實(shí)數(shù)x，V,定義運(yùn)算“十"x十>=|x—M+x+y,則滿足條件。十6=6十C的實(shí)數(shù)a,仇C的值可能

為（）

03

A.a=-log050.3,b=O.4,C=log050.4

03

B.a=O,4,=log050.4,C=0.3

-…，10

C.q=0.09,b=.,c=In—

e0nJ9

0.1,10…

D.ci=.,67=In—,c=0.09

e0nJ9

【答案】BD

［解析］由Q十6=6十c,可得,一4+Q+6=0—+b+c,即—4一二c—Q,

若aWb,cWb,可得J"4T6_c|=c_q,符合題意，

若aMb,c>b,可得=26-a-c,不符合題意，

若a>b,cMb,可得,-耳-|6-c|=a-c,不符合題意，

若a>b,c>b,可得|a-b|-|6-c|=c+a-26,不符合題意，

綜上所述。-640，b-c2Q,a\^b>a,b>c,

故只需判斷四個選項(xiàng)中的6是否為最大值即可.

對于A,B,由題知-logosO.3=logoff<logo/=0,而0<0.4°3<0.4。=1,

03

logo50.4>10go.$0.5=1,所以-logo50.3<0.4<10go50.4.

（點(diǎn)撥：函數(shù)J=bgo.5X為減函數(shù)，了=0.甲為減函數(shù)）,

對于A,a<b<c-對于B,c<a<b,故A錯誤，B正確.

^22=O.9eol=(l-O,l)e01

對于C,D,

e0,1

（將0.9轉(zhuǎn)化為1—0.1,方便構(gòu)造函數(shù)）構(gòu)造函數(shù)〃x）=（l-x）e*,xe[0,l）,

則/''（x）=-xe，,因?yàn)閤e[0,l）,所以/''（x）V0J（x）單調(diào)遞減，因?yàn)?（0）=1,所以

即?！?lt;1,所以。。9<”（若找選項(xiàng)中的最大值，下面只需判斷7T與方的大小即可）

0.1,100.1,AI=1+1*=1+叭1-0」%

構(gòu)造函數(shù)力(x)=/+ln(l-x),xe［0,l),則/(x)=一^—^—=(；；］—二,

因?yàn)閤e[0,l）,所以e，（l-x）>0,令。（無）=（1,則方（力=一2（1-力一小,

當(dāng)xe[0,l）時，/（x）<0,磯x）單調(diào)遞減，因?yàn)?（0）=0,

所以0（x）VO,即/z'（x）W0,〃（x）單調(diào)遞減，又"0）=0,所以〃（0.1）<0,

即+。，所以

eey

綜上，0.09<-^-<ln—.對于C,a<b<c?,對于D,c<a<b,故C錯誤，D正確.

e'9

(提醒：本題要比較0.09與In午的大小關(guān)系的話可以利用作差法判斷，

即0.09一1吟=0.1x0.9一Inj.=(1-0.9)x0.9+ln0.9,

構(gòu)造函數(shù)8(切=(1-力》+欣/€(0,1],

貝Ug[x)=1一2x+L-2/+X+1=(2x+l)(r+l),

XXX

因?yàn)閤e(O,l],所以g'(x)N0,g(x)單調(diào)遞增,因?yàn)間⑴=0,所以g(0.9)<0,

即0.09-ln午<0,所以0.09<ln?)

故選：BD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知函數(shù)了=/(；苫+1]的定義域是[2,4],則函數(shù)g(x)=的定義域?yàn)?/p>

【答案】(2,3).

【解析】因?yàn)楹瘮?shù))=/](工+1)的定義域是[2,4],

所以2Vx44,故2WL+1V3,

2

/\/(x)

因?yàn)間X=有意義,

2<x<3

所以<%-2〉0,所以2Vx<3,

ln(x-2)w0

/\/(x)

所以函數(shù)g(x)=1ntM的定義域?yàn)?2,3).

故答案為：(2,3).

425X

13.已知尤>0/>0,尤+2/=8且一++2m恒成立，則實(shí)數(shù)掰的取值范圍為_

X1OJ

【答案】-3<加<1

[解析]因?yàn)閤+2y=8,所以x=8_2y,

所以33+全型425_25

X16yX16yx2y8

因?yàn)?+至」仁+竺〕(x+2y)=g29+>-

x2y2y)8

當(dāng)且僅當(dāng)肛=爭，即4y=5x,即x==,y==時取得等號，

X2y77

42525

所以一+----1有最小值為3,

x2yQ

425x2c一

因?yàn)橐?h>加+2M恒成立，所以3>加2+2優(yōu)，即加2+2〃?一3<0,

xlby

解得一3〈/<1,

故答案為：-3<m<1.

14.已知函數(shù)〃力=62”-"國("0)有3個極值點(diǎn)％,x2,x3(Xj<x2<x3),則。的取值范圍是

若存在i"e{l,2,3},使得土>3,則%的取值范圍是.

xi

【答案】(2e,+”)

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=e2。閡城xwO),

2x

所以，當(dāng)上<0時,/(x)=e2x+ax2,/r(x)=2e2r+2ax,令以(x)=0得〃=----,

x

2x

2x22x

所以，當(dāng)x>0時，f(x)=e-axff(x)=2e-2ax,令/⑺=0得〃=二

e2x(21熄

—,x〉0,x>0

所以，令g(x)=］x2'

，則g'(x)=，

e(21封,：.X

---,x<0—,x<0

、xX2

所以，當(dāng)x<0時g'(x)>0,0<x<g時，g,(x)<0,x>1■時，g,(x)>0,

所以，函數(shù)g(x)在(-8,0)和g,上單調(diào)遞增，在心］上單調(diào)遞減；

因?yàn)楹瘮?shù)/(力=/-辦忖(加0)有3個極值點(diǎn)”［,馬，%(再<%2〈尤3)，

所以，函數(shù)g(x)與了=。有三個交點(diǎn)，

因?yàn)?，?dāng)XV0時g(%)>0,當(dāng)x>0時g(%)>0,g［；［=2e,

作出函數(shù)g(x)與y圖象如圖，

由圖可知，函數(shù)g（x）與＞有三個交點(diǎn)，貝!1滿足4＞2e且X]＜0＜彳2,

所以，當(dāng)存在"?{1,2,3},使得2＞3,只需滿足三＞3,

占X2

所以，毛的取值范圍即為遍的取值范圍.

令土=?>3,則迅=出，

X2

因?yàn)轳R，與為函數(shù)/(x)=e2"-"卜|卜>0)的極值點(diǎn)，

2%2r2x32x22x3

所以/'(12)=2e-2ax2=0,/(x3)=2e-2ax3=0,即e=ax2,e=ax3,

所以，2%=InQ+In馬，2X3=InQ+In/

所以Ina=2X2-Inx2=2x3-Inx3=2tx2-InZ-Inx2,即=為%，

所以，、2="，故令咐=/,‘>3，

1-i+ln-

I1--I--IIn/

所以,h'S=:、，

2(1)一

11—Y

令,=]_%+InX,貝Uy，=_]+—=,

XX

所以，當(dāng)0<x<l時，歹=1—X+Inx單調(diào)遞增，當(dāng)x〉l時，歹=1—x+lnx單調(diào)遞減,

所以，^=l-x+lnx<l-l+lnl=O,即1—x+lnxVO,

所以，“⑺=」____:一L_L?o,即函數(shù)校）在，＞3時單調(diào)遞減,

2”1）22（^-1）2

所以，0＜〃（/）＜以3）=（，即馬的取值范圍為（0,野；

故答案為：（2e,+s）；]

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組，為測量學(xué)校附近正在建造中的某建筑物的高度，在學(xué)校操場選擇了同一條直線

上的A,B,C三點(diǎn)，其中NC=40m,點(diǎn)8為/C中點(diǎn)，興趣小組組長小王在A,B,C三點(diǎn)上方5m處

的4，B1,G觀察已建建筑物最高點(diǎn)E的仰角分別為a,B,Y,其中tana=l,tan尸=2,tan/=3,點(diǎn)。

為點(diǎn)E在地面上的正投影，點(diǎn)。為上與4，B>G位于同一高度的點(diǎn).

E

(1)求建造中的建筑物已經(jīng)到達(dá)的高度DE;

sinZ4Di^

⑵求sin/BQG的值.

【解析】(1)如圖，設(shè)￡，=〃，因?yàn)樵?，片，G處觀察已建建筑物最高點(diǎn)E的仰角分別為a,B,

Y,且tana=1,tan/=2,tan7=3,

所以An=h,BQ=；,cn=g,又4G=40,4是4G的中點(diǎn),

h2i

400+——h?

在中，由余弦定理得到cosZ442=4

2x20x-

2

400+---

在中，由余弦定理得到cosN￡4,49

2x20x-

2

Z,2人272

400+---h2400+-----

又+NGq，=兀，所以-----+-----------一一=o,

hh

2x20x-2x20x-

22

整理得到空=800,解得〃=坦巫，所以DE=5+坦ML(9分)

181111

(2)在“42中，由正弦定理知42

sin/424sin/44。］①,

耳GCR②，由⑴知黑用A=NC42,

在中，由正弦定理知

AG42sin/CQAsin/GBQ

sinZA,D,B,C,D,1

由②+①得到MB本笈FI”分）

E

16.（15分）

如圖，四邊形/8CO與四邊形4DE尸均為等腰梯形，BCHAD,EFIIAD,AD=4,AB=亞,

BC=EF=2,AF=Vil，F(xiàn)B±ABCD,〃為/￡）上'點(diǎn)，且尸NJ.4D,連接20、BE、BM.

FE

BC

（1）證明：8c_1平面引物■；

⑵求平面ABF與平面DBE的夾角的余弦值.

【解析】（1）因?yàn)槭?_L平面/BCD,又NOu平面/BCD,

所以尸8_L/。.又尸A/_L4D,S.FBC\FM=F,

所以4D_L平面ARW.因?yàn)?c7/4D,所以2C_L平面ARW.（5分）

（2）作EN工AD,垂足為N,則FM//EN又EF//AD,

所以四邊形fW化是平行四邊形，又ENLAD,

所以四邊形月團(tuán)VE是矩形，又四邊形工。叱為等腰梯形，且/。=4,EF=2,

所以⑷1=1.

由（1）知4。_L平面毋須，所以AW_L4D.又48=血，

所以^8^=1.在RtZk/FA/中，F(xiàn)M=ylAF2-AM2=V10.

在KAFMB中，：,FB=dFM2_BM。=3-

由上可知，能以敏，BC,SF所在的直線分別為無軸、：y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則4-1,-1,0),3(0,0,0),F(0,0,3),￡>(-1,3,0),￡(0,2,3),所以，ZB=(1,1,0),麗=(0,0,3),

50=(-1,3,0),麗=(0,2,3),設(shè)平面尸的法向量為而=(*,%,zj,

m-AB=0;工廠可取…，"?⑴分)

由<—,得

m-BF=0

設(shè)平面BDE的法向量為萬=(x2,y2,z2),

n-BD^O

由，一，得可取力=(9,3,-2).

aBE=Q2y2+3Z2=0,

m-n9-33V47

因此,cos<m,n>=

\m\-\n\Vl+1-J81+9+447

依題意可知，平面48方與平面。55的夾角的余弦值為士巨.(15分)

47

17.(15分)

已知函數(shù)/(x)=e*+acosx在x=0處的切線方程為y=x+2.

⑴求實(shí)數(shù)。的值;

⑵探究/(x)在區(qū)間(-1,+s

內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)，并說明理由.

【解析】(1)由題可知「(x)=e，-asinx,

由x=0處的切線方程為歹=x+2,;"=/'(O)=e°=1,

把點(diǎn)(0,2)代入得e°+acosO=2,:.a=l.(6分)

(2)由(1)可知/(力=-+(：0監(jiān)；.='(.)=廿-5位,

令g(x)=7'(x),g'(x)=e*-cosx,

時，,則在區(qū)間當(dāng)

g(x)>0,g(x)1-，一兀上單調(diào)遞增.

-1<0且(-兀)=尸>0,

，由零點(diǎn)存在定理可知，存在,使得即。

，一兀g(xo)=O,e*=sinx'0(,

.〔當(dāng)時，則在區(qū)間(-371)

f'(x)<0,/(x)5,xj上單調(diào)遞減;

當(dāng)xe(xo，-7i)時，/<x)>0,則/'(x)在區(qū)間伍,-兀)上單調(diào)遞增,

3兀3兀3兀

又???/e2+cos>0,/(-7i)=e^-l<0,

2

???由零點(diǎn)存在定理可知f(x)在區(qū)間1-兀)上有且僅有一個零點(diǎn).(11分)

當(dāng)xe[-兀,0)時，f'(x^-ex-sinr>0；

當(dāng)xe[0,+oo)時，f'{x}=-situ>e°-1>0：

???/(X)在區(qū)間[-兀,+s)上單調(diào)遞增.

又?."(-兀)=尸-l<0J(0)=e°+l>0,

..?由零點(diǎn)存在定理可知，存在唯一零點(diǎn)X2?[-71,0),使得/(%)=0,

綜上可得，f(x)在區(qū)間(T/。[有且僅有兩個零點(diǎn).(15分)

18.(17分)

22「4百)

如圖，已知雙曲線C:5-勺=1(°>0,6>0)的離心率為2,點(diǎn)、一,2在C上，A,2為雙曲線的左、

ab

右頂點(diǎn)，P為右支上的動點(diǎn)，直線/尸和直線x=l交于點(diǎn)N,直線NB交C的右支于點(diǎn)0.

(1)求C的方程；

(2)探究直線尸0是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，請說明理由;

(3)設(shè)S”S?分別為A42N和△NPQ的外接圓面積，求居的取值范圍.

【解析】(1)因?yàn)殡x心率0=g=2,

a

所以c=2a,b2=3/

22

雙曲線的方程為鼻-4=1,

a23a~

將點(diǎn)手,2代入雙曲線方程得薨-J=1，

4

所以靛=14=4萬=12,

22

所以雙曲線。的方程為土-匕=1.（4分）

412

（2）直線尸。過定點(diǎn)（4,0）,理由如下:

設(shè)尸（七,%）,0。2，%）,

直線PQ的方程為X=""+",

//-1

聯(lián)立412

x=my+n

22

整理得(3m—1)y2+6mny+3n-12=0f

6mn3?2-12

則A〉0ji+%=一?)nr-\，y'y2~3m2-1（6分）

直線/P：y=(x+2),

西+2

所以N1,

又N,B,。三點(diǎn)共線,

%3%

所以凝°=凝?，即

工2—2M+2

即%(%+2)+3%(》2-2)=0,

即%(加為+〃+2)+3%(my?+〃-2)=0.(8分)

因?yàn)?3〃2_12)(%+%)=-6mnyTy2,

(3M2-12

所以myiy2=

-6n

代入上式得（〃一2乂〃一4）必-（"一4）（“+2）%=0,

所以”=4.所以P。過定點(diǎn)（4,0）.（10分）

（3）設(shè)a/BN和△NP。的外接圓半徑分別為凡,為

由正弦定理可得—T2居,1^21

=2耳，

sinNPNQ

又sinNANB=sinNPNQ,

所以亡R,高\(yùn)AB,\即1岳_6_|叫

父元=西，

設(shè)直線PQ的方程為x=my+4,

x=my+4

與。的方程聯(lián)立,二_仁_

彳一II一

整理得（3加2-1）/+24叼+36=0,(13分)

24m36

貝以+%3m2-l，y，y2~3m2-l

3/-IwO3加2一1。0

A>0A>0

即《

（加y+4）（即2+4）>0

xxx2>0

西+9>0（加歹+14）+（my2+4）>0

解得0</<:，

又因?yàn)閨尸。|=12?注」,