2025年九年級中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：圓與三角函數(shù)綜合問題（含答案）

2025年九年級中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)圓與三角函數(shù)綜合問題

1.如圖，△ABC內(nèi)接于。。，A3是O。的直徑，過04上的點D作。交BC的延

長線于點E,交AC于點凡點G為所的中點，連接OC、CG.

(1)求證：CG與。。相切；

(2)AD—OD—4,tanA=7,求CG的長.

2.如圖，AB為。。的直徑，C為。。上一點，連接CB,過C作于點。，過C作

ZDCE,使NDCE=2/BCD,其中CE交A8的延長線于點E.

(1)求證：CE是OO的切線；

(2)如圖2,點尸是O。上一點，且滿足/尸。石=2/42。，連接AF并延長交EC的延

長線于點G.

①試探究線段CP與C。之間滿足的數(shù)量關(guān)系；

1

②若C￡>=4,tern乙BCE=專,求線段AF的長.

3.如圖，C、。是以A8為直徑的。。上兩點，連接AC,BD,滿足NC4B=2/A8。，作

OELCA交CA延長線于點E,連接。E.

(1)求證：1是。。的切線；

(2)若A8=3AE,

①求tanZABD的值；

AC

②求:37的值.

4.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。。，對角線AC是O。的直徑，過點C作AC的垂線交

的延長線于點E,P為CE的中點，連接8。，DF,BD與AC交于點、P.

(1)求證：。尸是。。的切線；

(2)若AC=2V^DE,求tan/ABQ的值；

4r2

(3)若P￡)2+PB2=除，求sin/OPC的值.

5.如圖1,AC為回A2CD的對角線，△ABC的外接圓。。交CD于點E,連結(jié)BE.

(1)求證：/BAC=NABE.

(2)如圖2,當A2=AC時，連結(jié)。4、OB,延長A。交BE于點G,求證△GOBs4

GBA.

(3)如圖3,在(2)的條件下，記AC、BE的交點為點R連結(jié)AE、OF.

①求證：BG2-GF1=GF'EF.

EF7

②當一=一時，求sin/E4G的值.

FG9

6.如圖，在Rt^ABC中，NABC=90°,以AC為直徑作O。，平分NA2C交。。于。，

交AC于點E,過點。作。。尸交2A的延長線于點R過點尸作尸G〃2D

交CA的延長線于點G.

(1)求證：4DAF沿4DCB；

1DE-

(2)如果tan/R!G=5，求—的值；

3BE

(3)寫出AG與CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

7.如圖，A8是。。的直徑，C是O。上的一個動點，延長AB至P,使BP=08,垂直

于弦BC,垂足為點B,點。在PC上.

(1)當尸C與O。相切時，求NPC8的度數(shù)；

PD1PD

(2)芳芳觀察后發(fā)現(xiàn)，丁的值為；，點點說丁的值隨動點C的變化而變化，你認為誰

CD2CD

的結(jié)論是正確的，請給予證明；

1

(3)設(shè)tcm/PCB=x,tan(^Z-POC')-y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

8.如圖1,四邊形ABO)中，ZADC=120°,ZABC=150°,5.AD1BD,BC=2A/2,

BD=4.

(1)求NOC2的度數(shù)；

(2)如圖2,連接AC,求AC2；

(3)如圖3,四邊形ABC。內(nèi)接于O。，NA=90°,而上存在點E,滿足瓶=前，

連結(jié)BE并延長交CD的延長線于點F,BE與AD交于點G,連結(jié)CCE,CE=BG.若AD=

a,tan乙ADB=*,用含字母。的式子表示的周長.

圖1圖2圖3

9.如圖，AC為平行四邊形的一條對角線，AB=AC,△ABC的外接圓。。與邊CO

交于點E(點￡不與點C,。重合)，過點E作于點"直線交BC的延長

線于點R連接AE.

(1)求證△ABCs△AE。；

(2)若OO的半徑為5,tan/3AC=*求DE的長；

ED-cc1

(3)若蒼=m，對于CE的任意長度，都有4E//2-5加(爐+今小的值是一個定值，求

這個定值.AN

10.如圖1,AC與。。相切于點C,48經(jīng)過。。上的點。，BC交。0于點E,DE//OA,

CE是。。的直徑.

(1)求證：是O。的切線；

(2)當AC=6,BD=4時，求O。的半徑長；

(3)在(2)的條件下，如圖2,若直線A。與O。分別交于尸、0兩點，連接PC,求

tanP.

11.如圖，為。。的直徑，C為。。上一點，。為8A延長線上一點，ZACD=ZB.

(1)求證：DC為。0的切線；

(2)若OO的半徑為5,sinBc，求C。和的長；

(3)在(2)的條件下，線段。尸分別交AC,BC于點、E,尸且NCEP=45°,求CP的

長.

c

12.如圖，在Rt^ABC中，NC=90°,平分NBAC交8C于點。，。為AB上一點,

經(jīng)過點A,。的。。分別交AB,AC于點E,F,連接。尸交于點G.

(1)求證：BC是。0的切線；

(2)求證：AD2=AB'AF；

(3)若BE=12,tan8=與，求AO的長.

13.如圖，AB為。。的直徑，。為54延長線上一點，過點。作。。的切線，切點為C,

過點B作BE1DC交DC的延長線于點E,連接BC.

(1)求證：BC平分NDBE；

E

(2)求證：BC2=AB-BE；

DA,

(3)若8C=4V^,tanr>=],求O。的半徑.

14.如圖，AB是。。的直徑，。是。。上一點，過點。作。。的切線交A8的延長線于點

C,DA=DC.

(1)求NC的度數(shù)；

(2)如圖2,P是線段BC上的動點，過點尸作A。的平行線，交。。于點E,

PE),連接BE,BF,AB=IO.

①當tanZFBA=l時，求BE的長；

BEEF

②當BP為何值時一=—.

15.已知RtA4BC中，ZC=90°,AB=20,且cos4=1,M為線段A8的中點，作。

A8,點尸在線段C8上，點。在線段AC上，以P。為直徑的。。始終過點且P。

交線段于點E.

(1)求線段的長度；

(2)求tan/PQW的值；(提示：連接CM)

（3）當是等腰三角形時，求出線段4。的長.

參考答案

1.【解答】（1）證明：為。。的直徑，

/.ZACB=9Q°,

.?.ZFCE=90°,

在RtZiECF中，G為EF的中點，

1

:?CG=FG=EG=^EF,

：.ZGCF=ZGFC.

又*：NGFC=ZAFD,

：.ZGCF=ZAFD.

'：DE±AB,

：.ZAZ)E=90°,

ZA+ZDFA=90°.

???O4=0C,

ZA=ZOCFf

：.ZOCA+ZFCG=90°,

：.ZOCG=90°,

???OCLCG.

又為。。的半徑，

???CG與。O相切.

(2)解：9：AD=OD=4,

：.OA=AD+OD=S.

：.OA=OB=8,

：.DB=OB+0。=8+4=12.

.,DFr3DF

在RtAADF中,tanA=彳即］=7-,

：.DF=3.

VZAF￡>+ZA=90°,ZCFG+ZE=90°,/CFG=NAFD,

：.ZA=ZE.

又丁NADF=/BDE,

：.AADF^AEDB,

ADDF43

—=—，sp—=—，

EDDBED12

.,.￡￡>=16,

：.EF=DE-DF=16-3=13,

2.【解答】(1)證明：如圖1,連接。C,/一y

-：OB=OC,,

ZOBC=ZOCB,(_/|、

CDLAB,&CO_DjBE

：.ZOBC+ZBCD^90°,/

■:NDCE=2NBCD,圖1

:.NBCE=NBCD,

：.ZOCB+ZBCE=9Q°,

即OCLCE,

，CE是O。的切線；

(2)解：①線段C尸與。之間滿足的數(shù)量關(guān)系是：CF=2CD,

理由如下：如圖2,過。作OHLCP于點X,連接C。，

:*CF=2CH,G

?：NFCE=2NABC=2NOCB,且NBCD=NBCE,

：./OCH=/OCD，

：OC為公共邊，/\\\

圖2

:?△COHQXCOD(A4S),

:?CH=CD,

：.CF=2CD；

②過點C作。尸，尸G,連接5R過點。作

TAB是。。的直徑，

ZAFB=90°,

1

NBCD=/BCE,tanZ-BCE=中

1

:.tan乙BCD=>

VCZ)=4,G

.*.BZ)=CZ)-tanZBCZ)=2,卜、

/.BC=>JCD2+BD2=2V5,PT

由①得：CF=2CD=8,

F

設(shè)OC=OB=x,則OD=x-2,尸-」/-：_

在Rt/XOOC中，6^2=。。2+0)2,ACoHDIBE

/.x2=(x-2)2+42,J

解得：x=5,即03=5,、,

VOCLGE,圖3

：.ZOCF+ZFCG=90°,

'：ZOCD+ZCOD=90°,/FC0=/0CD,

：.ZGCF=ZC0B.

???四邊形ABC廠為。。的內(nèi)接四邊形，

：.ZGFC=ZABCf

:?△GFCs^CBO,

.FGFCGC

??CB~BO~CO'

FG8GC

??=—―,

2V555

'：CP±FG,

：.PC=VCF2-PF2=J82-(喈)2=

ZCPF=ZPFB=ZCHF=900,

四邊形PPHC是矩形，

：.BH=VCB2-CH2=J(2圾2_(嗒)2=誓

：.AF=7AB2-BF2=J102-(3①=平

3?【解答】(1)證明：連接OD,

,：ZCAB=2ZABD,ZAOD=2ZABD,

：.ZCAB=ZAOD,

：.AC//OD9

VDE±CA,

：.OD±DE,

??,0。是。。的半徑，

???DE是。。的切線；

(2)解：@9：AB=3AE,

???設(shè)AE=x,AB=3x,

連接AZ),

TAB是。。的直徑，

AZADB=90°,

ZAD0+Z0DB=9Q°,

VZADE-^ZADO=9Q°,

ZADE=Z0DB,

?：0D=0B,

：.N0DB=N0BD,

：.ZADE=ZABD,

'：NE=/ADB,

：.AADE^AABD,

.ADAB

??=,

AEAD

.AD3x

?.=,

%AD

.\AD=V3x,

：.BD=y/AB2-AD2=V6x,

..zn_AD_V3x_72

..tan/4A8nD=前=底=7

②；NE=90°,

：.DE=yjAD2-AE2=&x,

?：NECD=NABD,ZE^ZADB=90°,

:.XECDS^DBA,

.CEDE

??—,

BDAD

.CEy[2x

**V6xWx'

.\CE=2x,

.\AC=CE-AE—2x-x=x,

tACxV6

DBy[bx6

4.【解答】(1)證明：如圖，連接0。，

〈AC是。。的直徑，

ZAZ)C=90°,

：.ZEDC=90°,

IF是EC的中點,

:?DF=FC,

：.ZFDC=ZFCD,

,.?oo=oc,

：.ZODC=ZOCD,

VACXCE,

：.ZOCF=90°,

：.ZODF=ZODC+ZFDC=ZOCD+ZFCD=ZOCF=90°,即DF±OD,

???O。是圓的半徑，

???。方是。。的切線；

(2)解：VZCAE+ZE=90°,ZCAE+ZACD=90°,

ZE=ZACDf

又NACE=NAZ)C=90°,

AACE^AADC,

ACAE,

—=—,即AC-^AD'AE.

ADAC

設(shè)DE=x,則AC=2小x,

即(2V5x)2=4。(AD+x).

整理，得4。2+4。.尤-2Q?=0.

圖

解得A￡)=4x或A￡)=-5x(舍去).1

：.DC=(2國?_(4%)2=2x.

A4丫

tanZABD=tanZACD=第=券=2;

(3)解：如圖，過點。作OGLB。于點G,

由垂徑定理，得BG=DG,

設(shè)BG=DG=m,則PD=m+PG,PB=m-PG,

'：PD2+PB2=/

“2

(m+PG)2+(m-PG)2=號圖2

2

整理，得2加2+2尸G2=竿-,

222

即m+PG=1i4C.

q

OG2+GD1=OD1=1AC2

???OG=PG,

OG±PG,

：.ZDPC=45°,

5.【解答】（1）證明：??,四邊形A5CD是平行四邊形,

J.AB//CD,

：.ZABE=ZBEC,

??,弧5。=弧3。，

；?NBAC=NBEC,

：.ZBAC=ZABE；

(2)證明：???A3=AC,AO經(jīng)過圓心，

：.ZBAG=ZCAG,

?：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBAf

'：ZBAC=ZABEf

：.ZOAB=ZOBA=ZOBG,

又/BGO=/AGB,

:?△GOBs4GBA；

(3)①證明：連接CG,

,:△GOBs8GBA,

.BGGO

??—,

GABG

：.BG1=GO*GA,

VAB=AC,ZBAG=ZCAG,AG=AG,

：.ABAG^ACAG(SAS),

:?BG=CG,ZABG=ZACG,

'：ZABG=ABEC,

：.ZGCF=ZGEC,

:?△GCFsAGEC,

.G￡GF_

GEGC

：.Gd=GF?GE,

：.GF^EF+GF2=GF(EF+GF)=GF^E=GC2=BG2,

/.BG2-GF2=GF?EF；

②解：延長AO交BC于點〃，

,?ZABE=NACE=NBEC,

：.EF=FC,

..EF7

?——，

FG9

設(shè)EF=CF=1a,

則FG=9a,GE=16a,

:.BG=CG=7GF?GE=12a,

..EF7

?——，

FG9

.SKEF_L

S^CGF9'

'/ZGCF=ZECF,即CF是/ECG的平分線，

???點F到NECG兩邊的距離相等，

.S&CEFCE7

?&CG「防=3'

ACE=竽。，

'：AB//CD,

.'.△CEF^AABF,

CEEF

??一，

ABBF

28

~Ta7a

即---=--------，

AB12a+9a

.9.AB=28af

BG0G

由（2）可知：OB是NA3G的平分線，同理一—,

BA0A

即生=-=—,

28。70A

：.G0=^0A,

設(shè)。。的半徑為R,

'：BG2=GO'GA,

：.（12a）2=^R.（R+舞），

解得：氏2=管a2,

即a2=備R2,

設(shè)OH=x,

在RtAABH和「△OBH中，（28a）2-（R+x）2=i?2-x2,

X2

整理得：一=一，

R3

OH2

即--二一，

0B3

?：/CAE=NCBE,ZCAG=ZOBG,

：.NEAG=NOBH,

sinZ-EAG=sinZ-OBH=勞g=&

6.【解答】（1）證明；???AC是OO的直徑，

ZABC=ZADC=90°,

又「瓦）平分NA5C,

AZABD=ZCBD=45°,

：.AD=CDf

?；DFLBD,

：.ZBDF=ZADC=90°,

???/ADF=/CDB,

???四邊形ABCD內(nèi)接于OO,

：.ZBCD+ZBAD=1SO°,

又,.,N5AO+ND4尸=180°,

：.ZDAF=ZDCB,

：.ADAF^/\DCB(ASA)；

(2)解：設(shè)A尸=〃，

由(1)ADAF”ADCB,

.\BC=AF=a,

9：ZFAG=ZCAB,

1

tanZE4G=tanZCAB=于

BC1

AB~3’

J.AB=3a,

在RtzMBC中，AC=y/AB2+BC2=V(3a)2+a2=V10a,

/o

在RtZXAOC中，AZ)=CZ)=AC-sin45°=同8芋=逐a,

過點B作BM±AC于點"，

AABC的面積=^AB*BC=%。?皿,

AB-BC3a?_3/10

：.BM=

AC7T^=~w~a

連接00,貝|0。=

???AACD是等腰直角三角形,

：.ODLAC,

J.OD//BM,

：,XODEsXMBE,

Vio

.DEOD5

"BE~BM~3同a—3：

10

(3)AG=CE,理由如下:

設(shè)。尸交。。于點N,在。尸上截取。尸=Z)E,連接B4,AN,PG,

由(1)知：/ADF=/CDB,AD=CDf

：.ADAP^ADCE(SAS),

：.AP=CE,NDAP=/DCE=45°,

ZB4C=ZDAP+ZDAC=90°,

.?.ZB4G=90°,

???四邊形ABDN內(nèi)接于OO,

AZABD+ZAND=1SO°,

又TNANr+NANZ)=180°,

ZANF=ZAB￡)=45°,

VZBZ)F=90°,ZABD=45°,

：.ZBFD=45°,

：.ZFAN=90°,AF=AN,

B

：.ZPAN=ZGAF,

又,：FG〃BD,

：.ZGFA=ZFBD=45°,

：.ZGFA=ZPNA=45°,

AAGF^AAPN(ASA),

：.AG=AP=CE.

7.【解答】解：(1)當PC是。。的切線時，則OCLPC,

：.ZOCP=9Q°,

?：BP=OB,

：?BC=BP,OP=2OB=2OC,

：.ZP=ZPCB.

*.*sinZ-P=-Qp=

：.ZPCB=ZP=30°；

(2)芳芳正確，如圖所示，連接AC,

TAB是。。的直徑，

ZACB=90°,

?；BDLBC,

：.AC//BD,

:?△PDBsApcA,

.PDPB

??—,

PCPA

?；BP=OB,

則B4=3BP,

PDPB1

即--=---=一,

PCPA3

.PD1

??—―,

CD2

???芳芳正確；

(3)如圖，連接AC,

「AB是。。的直徑，

ZACB=90°,

.八人BC

??tarizT.—rv，

1

ZA=勺/POC,

]BC

**?y=(P0C)=

VBZ)±BC,

：.ZCBD=90°,

BD

.\x=tanZ-PCB=旗，

.BCBDBD

■■Xy=AC'BC^AC,

：ZCBD=ZACB=90°,

\AC//BD,

??△BPDS&APC,

.BDBP

9AC~AP"

：BP=OB=OA,

\AP=OA+OB+BP=3BP,

.BD1

9AC~3’

1

8.【解答】解：（1）過3作引dCD于K,如圖:

/ZADC=120°,AD1BD,

\ZKDB=120°-90°=30°,

11

\BK=^BD=^x4=2f

在RtABC^中，

CK=VBC2-BK2=J（2V2）2-22=2,

：.CK=BK,

：.ZKBC=ZC=45°,

???NOC5的度數(shù)為45°；

（2）過。作CR_LA5交A5延長線于R,如圖：

由（1）知NOC3=45°,

：.ZDAB=36Q°-ZADC-ZDCB-ZABC=45°,

???AABD是等腰直角三角形，

：.AB=V2BD=4V2,

VZCB7?=180°-ZABC=30°,

1

：.CR=^BC=V2,BR=y/3CR=V6,

：.AR=AB+BR^442+瓜

在RtzXACR中，

AC2=AR2+CR2=（4^/2+V6）2+（V2）2=40+16次;

.,.AC2=40+16V3；

（3）連接DE,BD,如圖：

VZA=90°,

,瓦）為直徑，

；.NBED=90°,NDEF=90°,

rsAD

,?*tan^.ADB==彳AD=〃,

?*?AB=-g-〃，

'：AE=CD,

：.AD=CE,ZABE=ZCED,

：.AD=CE,

■:CE=BG,

：.AD=BG=CE=a.

.'.AG=yjBG2—AB2=Ja2_口)2=%,

11

DG=AD-AG=〃一嚴=/

AC1

?5乙48￡=第=右

ZABG=ZADE=30°=NCED,

：.GE=^DG=^afDE=WGE=￡a,

VZBGD=ZA+ZABE=90°+30°=120°,ZCEF=ZCED+ZDEF=120°,

:./BGD=/CEF,

在△3G。和中，

2GBD=乙ECD

BG=CE,

NBGD=乙CEF

:?ABGD義ACEF(ASA),

1

：.EF=DG=和，

DF=y/EF2+DE2-J&a)2+(字a)2=

:ADEF的周長=?！?石/+。尸=孚〃+噂〃="+/2〃.

9.【解答】(1)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

；?NB=ND,

???四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形，

：.ZB+ZAEC=1SO°,

VZAEC+ZAE￡)=180°,

：.ZB=ZAED,

VAB=AC,

ZB=ZACB=ZAED=NO,

AABC^AAED；

(2)解：如圖，連接AO,并延長AO交5C于點M,連接3。，

VAB=AC,

：.AB=AC,

：?OA1BC,人

A

：.BC=2.CM,ABAM=^BAC,

■:NBOM=2/BAM,(

；.NBOM=/BAC,\/z；\J

4

VtanZ-BAC—可

??tdTiZ-BOM=0M=

設(shè)5M=4%,0M=3x,

:?0B=5x,

???。。的半徑為5,

5x=5,BPx=l,

ABM=4,0M=3,

:?BC=2BM=8,AM=OA+OM=S,

：.AC=AB=y/BM2+AM2=4A/5,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

.'.AZ)=BC=8,

??????△ABCSLAED,

ACBC?4V58

—=—,即n---=—,

ADDE8DE

解得：DE=嗒；

(3)解：如圖，過點A作AGLOE于點G,

?IZAED=ND,

：.AD=AE,

:?DE=2DG,

??,四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD=BC,AB//CD,AB=CD,

：.AG±AB,

?；EH_LAB,

：.AG=EH,

ED

—=m,

CE

：.DE=mCE,

1

；?DG=^mCE,

：.AC=AB=CD=CE+DE=(m+1)CE,

9：AABC^AAED,

.ACBC(m+l)CEBC

—=—,即--------=-----,

ADDEADmCE

：.AD2=2+優(yōu)).以2,

1Q

：.AG2=AD2-DG2=(m2+m)CE2-(^mCE)2=Qm2+m)CE2,

HE2=(^m2+m)CE2,

4EH2—5m-CE2+ym2=4(^m2+rn)CE2—SmCE2+ym2=(3m2—m)CE2+

:對于CE的任意長度，者B有4E"2—5m-。產(chǎn)+:7n2的值是一個定值,

3m2-m—0>

解得：7n=g或0(舍去),

當m=1時,4EH2—5m-CE2+,病的值是一個定值，為百

10?【解答】（1）證明：連接O。，如圖1：

?：OE=OD,

：.ZOED=ZODE,

'：DE//OA.

：.ZOED=ZAOC,ZODE=ZAOD,

：.ZAOC=ZAOD.

：.AAOD^AAOC(SAS),

JZADO=ZACOf

???AC與OO相切，

AZADO=ZACO=90°,

TO。是。。的半徑，

???A5是。。的切線；

(2)解：TAB是。。的切線，AC與。0相切，AC=6,

.\AD=AC=6,ZACO=ZADO=ZBDO=90°,

VBZ)=4,

：.AB=AD+BD=10f

22

：.BC=y/AB-AC=8f

*：/B=/B,

：?4B0Ds&BAC,

0DBDOD4

--=---,即---=一,

ACBC68

解得：OD=3,

即。。的半徑長為3；

(3)連接C。，如圖2：

OQ=OC,

：.ZOQC=ZOCQ,

?:PQ為直徑,

：.ZP+ZOQC=90°,

〈AC與。0相切于點C,

：.ZOCA=90°,即NOCQ+NACQ=90°,

???ZACQ=ZP,

又NCAQ=NB4C,

AACQ^AAPC,

.AQACCQ

99AC~AP~CP'

由(2)可知，PQ=6,AC=6,

.AQ6

—=--------=tanP,

6AQ+6

令A(yù)Q為工

則有f+6x-36=0,

解得：x==—3±3V5,

又%>0,

'.x——3+3V5,

則tcmP=尚迪=匚野

11.【解答】(1)證明：為。。的直徑，

ZACB=ZBCO+ZOCA=90°,

?：OB=OC,

：.ZB=ZBCO,

ZACD=ZB,

?,.ZACD=ZBCOf

：.ZACD+ZOCA=90°,即NOCD=90°,

又??,oc是半徑，

???DC為。。的切線；

2AC

(2)解：RtZXACB中，AB=10,sinB=f=

.*.AC=6,

：.BC=7AB2_AC2=8,

VZACD=ZB./ADC=NCDB,

：.ACAD^/\BCD,

tACAD63

??BC~CD~8~4

設(shè)A￡)=3%,CZ)=4x,則OZ)=5+3x,

RtZXOC。中，0。2+。。2=。。2,

52+(4x)2=(5+3x)2,

.*.x=0(舍)或)=乎,

：.AD=y-,CD=苧;

(3)解：VZCEF=45°,ZACB=90°,

:?CE=CF,

設(shè)CF=a,

?.,ZCEF=ZACD+ZCDE,

/CFE=/B+/BDF,

:.NCDE=NBDF,

???ZACD=ZB.

:ACEDsABFD,

CEBF

CD~BD

a8~d

120,90,

10+—

77

24

??Cl-~7

12?【解答】解：（1）如圖1,

連接0。，則。4=0。，

：.ZODA=ZOAD,

???AO是N3AC的平分線，

：.ZOAD=ZCAD.

：.ZODA=ZCAD,

C.0D//AC,

：.ZODB=ZC=90°,

??,點。在OO上，

???5C是。。的切線；

（2）如圖2,

連接0。，DF,EF,

??,AE是。。的直徑，

ZAFE=90°=NC,

：.EF//BC,

：.ZB=ZAEF,

???ZAEF=ZADF,

：.ZB=ZADF,

由（1）知，ZBAD=ZDAF,

：.△ABDS^ADF,

.ABAD

??—,

ADAF

：.AD2=AB'AF；

（3）如圖3,

連接EE

在RtZXBOZ）中，tan8=,

?/OD2+BD2=OB2,設(shè)。。為5x,則BD為12尤,

由勾股定理得BO=y/BD2+OD2=13x,

..DOD5

設(shè)半徑為r,

：.AE^15,AB=AE+BE=27,

為直徑，

ZAFE=ZC=90°,

C.EF//BC,

：./AEF=/B,

AF5

sinX.AEF=

5575

：.AF=AEx==15x==3，

2

*：AD=AB*AFf

：.AD=y/ABxAF=)27x=

13.【解答】(1)證明：連接OC,

?「CD是OO的切線，

???OCLDE,

?：DE_LBE,

：.OC//BE,

:?/EBC=NOCB,

又?：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB,

：.ZOBC=ZEBC,

:?BC平濟NDBE.

(2)證明：連接AC,

TAB是直徑，

AZACB=90°,

'：BELCD,

，/BED=90°,

???AABCsACBE,

.BEBC

??—,

BCAB

:?Bd=AB?BE.

(3)解：設(shè)。。的半徑為r,

.3COr

?tanD=4F=萬

4

-r

：.CD3

：.D0=VCP2+CO2=jr,

8

-r

：.DB=DO+OB3

'：ZDCO=90°,ZBED=90°,

:.△DCOs^DEB,

—=—，即丁=w,

DODB--r

3r3

：.BE=^r,

VAB-BE=80,

2rx-^r=80,

n=5,n=~5（舍去），

???。0的半徑為5.

14.【解答】解：（1）連接0￡>,如圖：

9

：0A=0Df

：.ZOAD=ZODAf

：.ZCOD=2ZA,

??,。。是。。的切線，

???ODLCD,

：.ZC+ZCOD=90°,即NC+2NA=90°,

又,：DA=DC,

：.ZA=ZC,

AZC=30°；

（2）①連接AROF,如圖：

9：AB是直徑，

ZAFB=90°,

VtanZFBA=l,

AZFBA=45°,