2025年人教版八年級數(shù)學(xué)下冊同步訓(xùn)練：正方形（3個知識點+5類熱點題型+習(xí)題鞏固）解析版

第05講正方形

BI學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.熟悉正方形的定義，掌握正方形的性質(zhì)，并能夠熟練的應(yīng)用性質(zhì)。

①正方形的定義與性質(zhì)2.掌握正方形的判定方法，能夠熟練的選擇合適的判定方法判定正方

②正方形的判定形。

③中點四邊形3.掌握中點四邊形的定義,能夠熟練的根據(jù)四邊形的性質(zhì)判斷中點四邊

形的形狀。

f!H思維導(dǎo)圖

正方形利用正方形的性質(zhì)求線段長度

利用正方形的性質(zhì)求角的度數(shù)

利用正方形的性質(zhì)求點的坐標(biāo)

題型

正方形的判定與性質(zhì)綜合

圖形的中點四邊形

8!H知識清單

知識點01正方形的定義與性質(zhì)

I.正方形的定義：

四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形。

所以正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，還是特殊的菱形。

2.正方形的性質(zhì)：

同時具有平行四邊形、矩形以及菱形的一切性質(zhì)。

【即學(xué)即練1】

1.正方形有而矩形不一定有的性質(zhì)是（

A.四個角都是直角B.對角線相等

C.對角線互相平分D.對角線互相垂直

【分析】根據(jù)正方形與矩形的性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【解答】解：/、正方形和矩形的四個角都是直角，故本選項錯誤；

8、正方形和矩形的對角線相等，故本選項錯誤；

C、正方形和矩形的對角線互相平分，故本選項錯誤；

。、正方形的對角線互相垂直平分，矩形的對角線互相平分但不一定垂直，故本選項正確.

故選：D.

【即學(xué)即練2】

2.如圖，已知點E,點尸為正方形48co內(nèi)兩點，C,E,尸三點共線且滿足N2￡C=NCFD=90°,連接

OE并延長交8c于點G,若EG平分/BEC,AB=后則?！甑拈L為（）

A.1B.V2C.2D.2V2

【分析】先證明△BCE四△CD尸得CE=OR再證明△DEF為等腰直角三角形，設(shè)。B=x,在Rt/XCDF

中由勾股定理列出方程求得x,進(jìn)而由勾股定理求得DE.

【解答】解：：四邊形/BCD是正方形，

：.BC=CD,NBCD=90°,

■:/BEC=9Q°,

ZCBE+ZBCE=ZBCE+ZDCF=90°,

：.NCBE=ZDCF,

在△BCE和△CD尸中，

(/.BEC=乙CFD=90°

、乙CBE=ADCF,

IBC=CD

：.ABCE^ACDF(44S),

:.CE=DF,

；EG平分NBEC,

1

二/DEF=ZCEG=]LBEC=45°,

:,EF=DF=CE,

設(shè)EF=DF=CE=x,

9：CF2+DF2=CD2,

（2町2+）=（府2,

?1,

:.DE=7DF24-EF2=近,

故選：B.

【即學(xué)即練31

3.如圖，在正方形/BCD中，點尸為邊CD上一點，BF與AC交于點,E.若NCBF=20。，則N/ED的大

小為65度.

B-------------"C

【分析】根據(jù)正方形的對稱性可知，ZUBE與關(guān)于直線NC對稱，得到N4ED=N4EB,禾（I用三

角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角之和可解.

【解答】解：?..四邊形/BCD是正方形，且ZC為正方/8C。的對角線，

■與△/￡）￡■關(guān)于直線/C對稱，NACB=45°,

ZAED=ZAEB,

,/為△E8C的外角，

/.ZAEB=ZCBE+ZACB=200+45°=65°,

/.ZAED=65°,

故答案為：65.

【即學(xué)即練4】

4.如圖，將正方形。N8C放在平面直角坐標(biāo)系中，。是原點，A的坐標(biāo)為（百，1）,則點C的坐標(biāo)為（）

A.(―\/3)1)B.(-1,—\/3)C.(-1,V3)D.(1,—V3)

【分析】作N￡_Lx軸于￡,C/_Lx軸于凡證明△OCF絲△NOE,得出對應(yīng)邊相等。尸=NE=1,CF=OE

=百，即可求出結(jié)果.

【解答】解：作軸于E,CFLx軸于尸，如圖所示:

則NC尸。=/。及4=90°,

.".Zl+Z3=90°,

?..四邊形O4BC是正方形，

AOC=OA,ZAOC=90°,

.\Z1+Z2=9O°,

/.Z3=Z2,

(Z.CFO=Z.OEA

在△OCF和△ZOE中，｛N3=Z2,

WC=AO

:.△OCF烏LAOE(AAS),

：.OF=AE=\,CF=OE=?

點C的坐標(biāo)為(-1,V3);

故選：c.

【即學(xué)即練4】

5.如圖，已知點E在正方形4BCD內(nèi)，滿足N/￡2=90°,AE=6,BE=8,則陰影部分的面積是（）

AD

B

A.48B.60C.76D.80

【分析】先由/NEB=90°,AE=6,2E=8,根據(jù)勾股定理求得48=10,再分別求出正方形48CD的

面積和△工班的面積，即可由S陰影=S正方形"CD-SAJEB求出陰影部分的面積.

【解答】解：:NAEB=90°,4E=6,BE=8,

-,-AB=yjAE2+BE2=V62+82=10,

.四邊形48co是正方形，

?,S正方形力BCD='屏=10?=10°，

11

■:S4EB=W^E?BE6X8=24,

；?S陰影=S正方形ZBC。-^^AEB~100-24=76,

???陰影部分的面積是76,

故選：C.

知識點02正方形的判定

1.正方形的判定:

判定方法文字語言數(shù)學(xué)語言圖形

AB=BC=CD=AD

四條邊都相等且

/ABC=/BCD=NCPA=

直接判定四個角也相等的

ZDAB

四邊形是正方形

???四邊形/5CZ）是正方形

鄰邊相等的矩形;在矩形中，AB=AD

DC

矩形加特殊是正方形二四邊形ABC。是正方形

性對角線垂直的矩:在矩形48CD中，AC±BD

形是正方形二四邊形N8CD是正方形AXB

有一個角是直角的:在菱形/BCD中，/ABC=90°

菱形加特殊菱形是正方形二四邊形/BCD是正方形

性對角線相等的菱:在菱形/5CD中，4c=BD

形是正方形二四邊形/BCD是正方形

【即學(xué)即練1】

6.已知四邊形N2CD中，N/=/8=/C=90°,如果添加一個條件，即可推出該四邊形是正方形，那么

這個條件可以是（）

A./。=90°B.AB=CDC.AC=BDD.BC=CD

【分析】先判斷四邊形/BCD是矩形，由正方形的判定可直接判斷。正確.

【解答】解：在四邊形N2CC（中，

VZA=ZB=ZC=90°,

，四邊形為矩形，

而判斷矩形是正方形的判定定理為：有一組鄰邊相等的矩形是正方形，

故。正確，

故選：D.

【即學(xué)即練2】

7.在四邊形4BCD中，AB=BC=CD=DA,如果添加一個條件，即可推出該四邊形是正方形，那么這個條

件可以是（）

A.ACLBDB.AB//CDC.N/=90°D.N4=NC

【分析】利用菱形的判定方法結(jié)合正方形的判定進(jìn)而得出答案.

【解答】解：?.,在四邊形N8CO中，/B=BC=CD=ZM,

四邊形N3CD是菱形，

當(dāng)4=90°時，

菱形ABCD是正方形.

故選：C.

【即學(xué)即練3】

8.已知：如圖，在RtZk4BC中，ZACB=90°,CD是△/8C的角平分線，DE±BC,DF±AC,垂足分別

為點￡,F,求證：四邊形CED尸是正方形.

【分析】要證四邊形。功歹是正方形，則要先證明四邊形DKCF是矩形，已知CD平分N/CB,DEL

8C,。尸，/C,故可根據(jù)有三個角是直角的四邊形是矩形判定，再根據(jù)正方形的判定方法判這四邊形CEO尸

是正方形.

【解答】證明：:CD平分N4C8,DE±BC,DFLAC,

：.DE=DF,NDFC=9Q°,NDEC=9Q°,

又?.?//C8=90°,

...四邊形。EC尸是矩形，

,:DE=DF,

二矩形。ECF是正方形.

【即學(xué)即練4】

9.如圖，在Rta4BC中，/4CB=90°,。為中點，過點。作。EL42,交BC于點、E,過點/作/尸

//BE,交互）的延長線于點尸，連接NE,BF.

（1）判斷四邊形N班廠的形狀，并說明理由.

（2）當(dāng)RtA48C滿足條件AC=BC時,四邊形NE8尸是正方形.

【分析】(1)由”〃BE,得NFAD=NEBD,而ZADF=ZBDE,即可根據(jù)“N￡4”證明△

ADF冬△BDE,得AF=BE,則四邊形NE2尸是平行四邊形，因為即_L48,所以四邊形4E3尸是菱形；

(2)當(dāng)N/￡B=90°時，四邊形NE3尸是正方形，由NC=N/E8=90°,點C與點E重合，則NC=

AE=BE=BC,所以當(dāng)NC=2C或/48C=45°時，四邊形4EAF是正方形，于是得到問題的答案.

【解答】解：(1)四邊形/切廠是菱形，

理由：,:AF〃BE,

ZFAD=ZEBD,

:?D為4B中點，

：.AD=BD,

在△/￡＞尸和中，

(Z-ADF=乙BDE

\AD=BD,

JFAD=乙EBD

：?4ADFm/XBDE(ASA),

:,AF=BE,

二四邊形AEBF是平行四邊形，

?:DELAB,AF//BE,交皮)的延長線于點R

J.EFLAB,

四邊形/即尸是菱形.

(2)?.?四邊形/￡8尸是菱形，

:.當(dāng)NAEB=90°時，四邊形廠是正方形,

'：ZC=ZAEB=90°,

.,.點C與點E重合，

:.AC=AE=BE=BC,

...當(dāng)NC=8C時，四邊形/班尸是正方形，

故答案為：AC=BC.

注：答案不唯一，如：ZABC=45°.

知識點03中點四邊形

1.中點四邊形的定義：

連接四邊形各邊的中點得到的四邊形叫做中點四邊形。

2.中點四邊形的形狀：

①任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形。

②對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形。

③對角線相互垂直的四邊形的中點四邊形是矩形。

【即學(xué)即練1】

10.順次連接下列圖形的各邊中點，所得圖形為矩形的是（）

①矩形；

②菱形；

③對角線相等的四邊形；

④對角線互相垂直的四邊形.

A.①③B.②③C.②④D.③④

11

【分析】連接/C、BD,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到NC=AD,根據(jù)三角形中位線定理得到芯=/C,FG=~

11

BD,GH^-AC,EH^-BD,進(jìn)而得到訪=/G=G〃=￡〃，根據(jù)菱形的判定定理即可判斷①，進(jìn)而可

以判斷③；根據(jù)三角形中位線定理得到￡〃〃3D,FG//BD,進(jìn)而證明四邊形EFG"是平行四邊形，根

據(jù)矩形的判定定理即可判斷④，進(jìn)而可以判斷②.

【解答】解：如圖1,連接NC、BD,

.四邊形48co為矩形，

:.AC=BD,

■:點、E、F、G、8分別為/5、BC、CD、/D的中點,

1111圖1

：.EF=~AC,FG=~BD,GH=~AC,EH=~BD,

：.EF=FG=GH=EH,

.?.四邊形斯GX為菱形，故①不符合題意；

???矩形的對角線相等，

順次連接對角線相等的四邊形的中點，所得圖形為菱形，故③不符合題意;

如圖2,E,F,G,“分別是四邊形BC,CD,D4的中點，

J.EH//BD,FG//BD,

J.EH//FG,

同理，EF//HG,

二四邊形斯G8是平行四邊形,

'JACLBD,

C.EHLEF,

圖2

.?.四邊形斯G8是矩形，故④符合題意;

,??菱形的對角線互相垂直，

???順次連接菱形的各邊中點，所得圖形為矩形，故②符合題意;

故選：C.

04題型精講

題型01利用正方形的性質(zhì)求線段長度

【典例1］如圖，在正方形N8CD中，點G在8C邊上，連接NG,Z）E_L/G于點E,BTLL/G于點?若

BF=4,DE=9,則所的長為（)

C.12D.2

【分析】由正方形的性質(zhì)得/8=D4,/BAD=90°,由。E_L/G于點E,于點/，得NAFB=/

DEA=90°,則/比1P=NNDE=9O°-/DAE,即可根據(jù)“44S”證明得BF=AE=

4,AF=DE=9,則E尸=4尸-/￡=5,于是得到問題的答案.

【解答】解：：四邊形/BCD是正方形，

：.AB=DA,ZBAD=90°,

?.,￡（E_L/G于點E,AF_L4G于點尸，BF=4,DE=9,

:.NAFB=NDE4=90°,

/.ZBAF=ZADE=90°-ZDAE,

在△R4F和△/￡)￡中，

(/-BAF=Z.ADE

\LAFB=￡.DEA,

VAB=DA

:?△BAF/AADE(AAS),

:.BF=AE=4,AF=DE=9,

：.EF=AF-AE=9-4=5.

故選：A.

【變式1】如圖，在正方形/BCD中，。為對角線/C、AD的交點，E、尸分別為邊2C、CD上一點，且

OELOF,連接E尸.若//?！?150°,DF=?則E尸的長為（）

A.2B.2+y/2.C.2^2D.+1

【分析】由題意證明尸(4X4),所以O(shè)E=OR則△。斯是等腰直角三角形；過點尸作

FGLOD,解三角形OF。即可得出的長，進(jìn)而可求出斯的長.

【解答】解：在正方形45CQ中，/C和為對角線，

AZAOB=ZBOC=90°,ZOBC=ZOCD=45°,OB=OC,

VZAOE=15G°,

:?/BOE=60°；

?：OELOF,

：.ZEOF=ZBOC=90°,

/.ZBOE=ZCOF=60°,

:.△BOE/ACOF(ASA),

：?OE=OF,

???NJEF是等腰直角三角形;

過點尸作b如圖，

；?/OGF=/DGF=90°,

?；NODC=45°,

???ADGF是等腰直角三角形,

：.GF=DG=

：.OF=2GF=2,

:?EF=ypiOF=2近.

故選：C.

【變式2】如圖，正方形45CZ),點E為48邊上一點，AE=3,BE=1.N切。的平分線交5C于點尸,

點G是。E的中點，則G廠的長為(

A.2B.2.5C.3D.3.5

【分析】延長4月交45的延長線于點巴根據(jù)正方形的性質(zhì)得/A=/ABC=/

C=90°,AB//CD,則。E=5,根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得NCQF=NEr/=N〃，則EH=

DE=5,進(jìn)而得CZ>=8〃=4,證明△CD/和全等得W=8R則Gb是△￡)￡7/的中位線，然后根

據(jù)三角形中位線定理可得出G廠的長.

【解答】解：延長。月交力5的延長線于點〃，如圖所示:

?：AE=3,BE=T,

：.AB=AE+BE=4,

???四邊形Z8CO為正方形，

：?AD=AB=BC=CD=4,ZA=ZABC=ZC=90°,AB//CD,

在Rt/i/OE中，由勾股定理得：DE=yjAD2+AE2=5,

?；DF平分NECD,

：.ZCDF=ZEDF,

■:AB〃CD,

:?/CDF=/H,ZC=ZCBH=90°,

???ZEDF=/H,

：.EH=DE=5,

：.BH=EH-BE=5-1=4,

:?CD=BH=4,

在△0￡>/和△5/7F中，

fZC=乙CBH=90°

\CD=BH,

k^LCDF=乙H

:?△CDF"ABHF(ASA),

/.CF=BF,

?點G是。￡的中點，

GF是4DEH的中位線,

1

：.GF=~EH=2.5.

故選:B.

【變式3】已知正方形/BCD的邊長為4,點尸為線段/D上的動點（不與點/重合），點/關(guān)于直線2尸

的對稱點為點E,連接尸E,BE,CE,DE,當(dāng)△CDE是以CK為腰的等腰三角形時，NP的值為_8-4囪

【分析】當(dāng)△CDE是以CE為腰的等腰三角形時，有以下兩種情況：①當(dāng)CE=CD=4時，過點￡作￡河

。于點M,ME的延長線交8C于點N,則四邊形CDWN是矩形，進(jìn)而得MN=CD=4,AEBC是等

邊三角形，則EN=2百，Affi=4-2西，在四邊形/8EP中，/PEB=NBAD=90°,NABE=30°,

則//PE=150°進(jìn)而得/MPE=30°,則/P=P￡=8-4百；②當(dāng)CE=D￡時，過點E作EH_LCO,

HE的延長線交AB于點T,則“7是正方形ABCD的一條對稱軸，進(jìn)而得AE=BE=4,則△/BE是等邊

三角形，然后在RtA/3尸中可求出/尸=竽，綜上所述即可得出“尸的值.

【解答】解：：四邊形/BCD是正方形，且邊長為4,

:.AB=BC=CD=AD=4,ZABC=ZBCD=ZCDA=ZBAD=90°,

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得：PA=PE,AB=BE=4,ZPEB=ZBAD=90a,/PBA=NPBE,

當(dāng)△"）￡是以CE為腰的等腰三角形時，有以下兩種情況：

①當(dāng)C￡=CD=4時，過點￡作。于點"，ME的延長線交于點N,如圖1所示：

圖1

:.NNMD=NMNC=NBCD=NCDA=90°,

丁四邊形CDW是矩形，

:.MN=CD=4,

,:BE=BC=CE=4,

.?.△E2C是等邊三角形，

:.CN=12BC=2,NEBC=60°,

ZABE=NABC-ZEBC=30°,

在RtZ^ECN中，由勾股定理得：EN=y/cE2-CN2=V42-22=2V3，

：.ME=MN-EN=4-2^3,

在四邊形48EP中，NPEB=NBAD=90°,NABE=30°,

:.NAPE=90°-ZABE=150°,

：.ZMPE=180°-/APE=3Q°,

在Rt/XPME中，PE=2ME=8-4啦,

：.AP^PE=8-443；

②當(dāng)CE=D￡時，過點E作HE的延長線交N8于點T,如圖2所示:

圖2

：.DH=CH,

；.HT是CD的垂直平分線，

:.HT是正方形4BCD的一條對稱軸,

:.AE=BE=4,

是等邊三角形,

；.NABE=60°,

ZPBA=ZPBE=30°,

在RtZ\48尸中，BP=2AP,

由勾股定理得：AB=<BP2—AP2=百/P,

.華=爭”亨X4=?

綜上所述：當(dāng)△CDE是以CE為腰的等腰三角形時，NP的值為8-4省或?qū)W.

題型02利用正方形的性質(zhì)求角的度數(shù)

【典例1］如圖，正方形4BC￡>的對角線相交于點O,則的度數(shù)是（）

A\D

c

A.30°B.45°C.60°D.90°

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)對角線互相垂直可求解.

【解答】解：?.?四邊形為正方形，

：.AC±BD于點。，

A90°,

故選：D.

【變式1】如圖，在正方形/BCD外側(cè)，以/。為一邊向上作等邊三角形連接BE,AC,相交于點

F,則/3FC的度數(shù)是（）

【分析】根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)得NA4Z>=90°,ZBAC=45°,AB=AD=AE,ZDAE=

60°,進(jìn)而得/84E=150°,NABE=NE=15°,然后根據(jù)N8FC=NR4C+N4BE■即可得出答案.

【解答】解：???四邊形NBC。是正方形，

:.AB=BC=CD=AD,NBAD=90°,NR4C=45°,

?..△4DE是等邊三角形，

：.AD=AE=DE,ZDAE=60°,

：.AE=AB,ZBAE=ZBAD+ZDAE=150°,

11

：.ZABE^Z.E=~(180°-NBAE)=,x(180°-150°)=15°,

:.NBFC=NBAC+/ABE=45°+15°=60°.

故選：C.

【變式2】如圖，在正方形48co中，點￡,尸分別是對角線3。，NC上的點，連接CE,EF,DF,若EF

//BC,且/CE尸=a,則NNFD的大小為（)

AD

0

BC

A.aB.2aC.45°-aD.45°+a

【分析】設(shè)NC，AD相交于點。，先證明2￡=CF,進(jìn)而可證明△BCE和△(7￡)尸全等，則N8CE=NCDF

=a,進(jìn)而得NODB=45°-a,然后在RtZ\。。尸中，可求出/4FD的度數(shù).

【解答】解：設(shè)NC,8D相交于點。，如圖所示：

AD

BC

???四邊形4BCD是正方形，

：.BC=CD,OB=OC,ZEBC=ZFCB=ZFCD=ZCDB=Z45°,ZDOC=90°,

?:EF〃BC,

：,/OEF=/EBC=N45°,ZOFE=ZFCB=,/BCE=/CEF=a,

：.OE=OF,

：.OB-OE=OC-OFf

：.BE=CF,

在△5CE和△CD/中，

(BC=CD

、乙EBC=CFCD,

VBE=CF

:?△BCEQ/\CDF(SAS),

???NBCE=/CDF=CL,

：.ZODF=ZCDB-ZCDF=45°-a,

在RtZXOQ/中，ZDOC=90°,

AZAFD=90°-ZODF=90°-(45°-a)=45°+a.

故選：D.

【變式3】如圖，在正方形45CD中，E為5C延長線上一點，連接。E,F為BCk一點、,且EF=DE,連

接。EG為CD上一點，且。G=C3連接4G并延長交DE于點連接CM,若/DAM=oc,則N

DCM=()

A.2aB.45°+aC.90?！?aD.45°+~a

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)證得△NOG和△DC尸全等，得出/ZX4G=NC￡>F=a,于是得出尸=90°

-a,推出NDPC=NADF=90-a,再證△￡￡用是等腰三角形，即可得出/EZ)廠的度數(shù)，再根據(jù)三角形

內(nèi)角和定理求出出的度數(shù)，從而得出是等腰三角形，繼而推出△DCM是等腰三角形，從

而求出NDCM的度數(shù).

【解答】解：???四邊形45C。是正方形，

AZADC=ZDCB=90°,AD=DC,AD//BC,

(AD=DC

在△/OG和△OCF中，(乙4DG=zJ)CF,

WG=CF

:?△ADG/LDCF(SAS),

J/DAG=/CDF,

丁/D4G=a,

：.ZCDF=a,

VZADG=ZADF+ZCDF=90°,

???ZADF=90°-a,

■:AD〃BC,

：.ZDFC=ZADF=90-a,

?：EF=DE,

???△￡QF是等腰三角形，

ZEFD=ZEDF=90°-a,

???在△/￡)河中，/DAM=a,ZADM=ZADF+ZEDF=90-a+90°-a=180°-2a,

AZAMD=1SO°-a-(180°-2a)=a,

???ZDAM=/AMD,

???△4ZW是等腰三角形，

:?AD=DM,

：.DM=DC,

??.△DC"是等腰三角形，

1

AZDCM=ZDMC=-(180°-/CDM),

\uZCDM=ZADM-ZADC=1SO°-2a-90°=90°-2a,

1

：./DCM=5(180°-90°+2a)=45°+a,

故選:B.

題型03利用正方形的性質(zhì)求點的坐標(biāo)

【典例1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形O45C的頂點。，2的坐標(biāo)分別是（0,0）,（4,0）,則

A.(2,-2V2)B.(2五，-2V2)

C.(2,-2)D.(2五，-2)

【分析】根據(jù)NC、的互相垂直平分，且O3=4=/C,即有問題得解.

【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，正方形O4BC的頂點。，2的坐標(biāo)分別是（0,0）,（4,0）,如

圖，連接/C,交OB于點D,

：.AC,。8的互相垂直平分，且O2=4=/C,

：.OD=DB=DA=DC=2,OD±DC,

點坐標(biāo)(2,-2),

故選：C.

【變式1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形O/8C為正方形，點C坐標(biāo)為（3,2）,則點N的坐標(biāo)為

()

【分析】如圖所示，過點工作軸于點。，過點C作軸于點區(qū)根據(jù)正方形的性質(zhì)，可證

RtA^OD^RtAOCE(ASA),可得。O=EC,AD=OE,根據(jù)點C的坐標(biāo)可確定OE,CE的長，由此即

可求解.

：.OA=AB=BC=OC,ZAOC=90°,

：.ZAOD+ZEOC=90°,ZAOD+ZOAD=90a,

：.ZOAD=ZEOC,

在RtZ\/O。，Rtz^OCE中，

(Z-OAD=乙COE

\AO=CO,

VZ.ADO=Z.OEC=90°

ARtA^OZ)^RtAOC￡(ASA),

：.DO=EC,AD=OE,

VC(3,2),

：?OE=3,CE=2,

：.OD=2,AD=3,且點/在第二象限，

：.A(-2,3),

故選：B.

【變式2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形/BCD的頂點/(-2,0),3(0,1),則點。的坐標(biāo)是

C.(-3,V5)D.(-1,3)

【分析】由“44S”可證△4BO0ZXAD/A可得4O=DH=2,BO=AH=\,即可求解.

【解答】解：如圖，過點。作DHLx軸于點H,

、：點/(-2,0),8(0,1),

；?4O=2,50=1,

???四邊形4BCZ)是正方形,

:?AB=AD,ZDAB=90°=/AOB=/DHA,

AZABO+ZBAO=90°=ZBAO+ZDAHf

：.ZABO=ADAH,

在△ZBO和中,

(Z.A0B=乙DHA

\/.ABO=Z.DAH,

LAB=DA

：.AABO^ADAH(AAS),

.,.AO—DH—2,BO—AH—1,

點。(-3,2).

故選：B.

【變式3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形/BCD是正方形，點/的坐標(biāo)為(1,0)點B的坐標(biāo)為

(-2,4),點。在第一象限，則點C的坐標(biāo)為()

y

A.(2,8)B.(3,7)C.(1,8)D.(2,7)

【分析】過點5作BTUx軸，垂足為R過點。作C￡J_5R垂足為證明△4F52△BEC,得到

AF=2,CE=BF=4,計算E尸的長即可.

【解答】解：如圖，過點5作BFLv軸，垂足為R過點。作垂足為E,

.?.Z2+Z3=90°

???四邊形4BCD是正方形，點4的坐標(biāo)為(1,0),點夕的坐標(biāo)為(-2,4),

:?AB=BC,/ABC=90°,40=1,BF=4,OF=2,

：.AF=3fNl+N2=90°,

???N1=N3,

?；AB=BC,ZBFA=ZCEB=90°,

J△AFBQdBEC,

:?BE=AF=3,CE=BF=4,

???￡/=3+4=7,CE-OF=2,

???點。(2,7),

故選：D.

題型04正方形的判定與性質(zhì)綜合

【典例1］已知四邊形/BCD是平行四邊形，再從①，B=BC,②N/8C=90°,③AC=BD,@AC±BD

四個條件中，選兩個作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形/BCD是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中不正確的

是（）

A.①②B.②③C.①③D.②④

【分析】要判定是正方形，則需判定它既是菱形又是矩形，據(jù)此解答.

【解答】解：A,由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由②得有一個角是直角的平行四邊形是

矩形，所以平行四邊形/BCD是正方形，

故本選項不符合題意；

B、由②得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由③得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以不能得

出平行四邊形ABCD是正方形，

故本選項符合題意；

C、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由③得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以平行四

邊形48co是正方形，

故本選項不符合題意；

D、由②得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由④得對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以平

行四邊形/BCD是正方形，

故本選項不符合題意；

故選：B.

【變式1】如圖，在菱形中，對角線/C,50相交于點。添加下列條件，能使菱形成為正

A.4B=DBB.BD=0CC.AC=BDD.N4DC=120°

【分析】根據(jù)正方形的判定方法，一一判斷即可.

【解答】解：要使菱形成為正方形，只要菱形滿足以下條件之一即可，（1）有一個內(nèi)角是直角，（2）

對角線相等.即滿足條件

故選：C.

【變式2】如圖，在四邊形N8CO中，AD//BC,ZA=90°,AB=BC,ZZ）=45°,CD的垂直平分線交

CD于E,交4D于F,交2C的延長線于G,若4D=a.

（1）求證：四邊形48c尸是正方形；

（2）求2G的長.

【分析】(1)先根據(jù)=尸C=90°,判定四邊形N5C尸是矩形，再根據(jù)48=8C,即可得到

四邊形4BCF是正方形；

(2)先判定△CEGgZV)EF(44S),得出CG=FD,再根據(jù)正方形48cF中，BC=AF,即可得到/尸+尸￡>

=BC+CG,即4D=8G=a.

【解答】解：(1)：CD的垂直平分線交。于E,交4D于R

：.FC=FD,

ZD=ZFCD=45°,

.\ZCFD=90°,即N/PC=90°,

又"：ADHBC,ZA=90°,

AZ5=90°,

四邊形/5CF是矩形，

又；AB=BC,

四邊形48c尸是正方形；

(2)：PG垂直平分CD,

/.CE=DE,ZCEG=ZDEF=90°,

,JBG//AD,

：.ZG=ZEFD,

在△CEG和△￡>￡尸中，

fzG=乙EFD

\^CEG=Z.DEFf

VCE=DE

：./\CEG^ADEF(AAS),

:?CG=FD,

又???正方形/中，BC=AF,

:,AF+FD=BC+CG,

:,AD=BG=a.

B,------------￡-------------7G

D

F

【變式3】如圖，正方形4BCD中，48=4,點E是對角線NC上的一點，連接?！赀^點E作E尸，ED,

交48于點尸，以DE、斯為鄰邊作矩形。斯G,連接/G.

（1）求證：矩形DEFG是正方形;

（2）求/G+/E的值.

【分析】（1）如圖，作EALL/。于M,ENLAB于N.只要證明△￡1〃￡）段ZkENF即可解決問題;

（2）只要證明△/DG四△COE,可得/G=EC即可解決問題.

?.?四邊形/8C。是正方形，

ZEAD=ZEAB,

,.?EM_LAD于〃，EN1AB于N,

；.EM=EN,

VZEMA=ZENA=ZDAB=90°,

二四邊形NNEW■是矩形，

"：EF±DE,

：.ZMEN=ZDEF=90Q,

ZDEM=ZFEN,

VZEMD=ZENF=90°,

AEMD當(dāng)AENF,

：.ED=EF,

?..四邊形。EFG是矩形，

四邊形DEFG是正方形.

(2)解：：四邊形。EFG是正方形，四邊形/BCD是正方形,

：.DG=DE,DC=DA=AB=4,ZGDE=ZADC=90°,

NADG=/CDE,

:.AADG絲ACDE(SAS),

；.AG=CE,

：.AE+AG^AE+EC^AC=五AD=4瓜

【變式4】如圖，正方形4BCD中，48=4,點E是對角線NC上的一點，連接。E.過點E作斯，即,

交N2于點尸，以DE、E尸為鄰邊作矩形。斯G,連接/G.

(1)求證：矩形。斯G是正方形；

【分析】(1)如圖，作于M,EN工AB于N.只要證明△EM)也△瓦VF即可解決問題;

(2)只要證明△NOGgZ\C￡)E,可得/G=￡?。即可解決問題.

【解答】(1)證明：如圖，作于"，EN1AB于N.

;四邊形48CD是正方形，

/.ZEAD^ZEAB,

?；E"_L4Z>于M,ENJLAB于N,

：.EM=EN,

,?ZEMA=ZENA=ADAB=90°,

四邊形4NEM是矩形，

■:EFLDE,

ZMEN=ZDEF=90a,

NDEM=/FEN,

VZEMD=ZENF=90°,

AEMD烏AENF,

：.ED=EF,

?..四邊形。EFG是矩形，

四邊形DEFG是正方形.

(2)解：,??四邊形OEFG是正方形，四邊形4BCZ)是正方形,

:?DG=DE,DC=DA=AB=4,ZGDE=ZADC=90°,

ZADG=ZCDE,

：?4ADGQ/\CDE(SAS),

；?AG=CE,

AE+AG=AE+EC=AC=近AD=4瓜

題型05圖形的中點四邊形

【典例1］順次連接矩形各邊的中點所得的四邊形是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.不能確定

【分析】根據(jù)三角形的中位線定理和菱形的判定，順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是菱形.

【解答】解：如圖：E,F,G,〃為矩形的中點，則AH=HD=BF=CF,AE=BE=CG=DG,

在RtZXNE”與RtADG〃中，AH=HD,AE=DG,

AAEHmADGH,

：.EH=HG,

同理，AAEH冬ADGHqABEF咨ACGF咨4DGH

：.EH=HE=GF=EF,ZEHG=ZEFG,

???四邊形為菱形.

【變式1】順次連接四邊形/BCD各邊中點，得到四邊形EFG8,要使四邊形EFG8是菱形，應(yīng)添加的條

件是（）

A.AD//BCB.AC=BDC.ACLBDD.AD=AB

【分析】菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：

①定義；

②四邊相等；

③對角線互相垂直平分.

【解答】解：添加NC=BD

如圖，AC=BD,E、F、G、X分別是線段/5、BC、CD、4D的中點，

則瓦7、尸G分別是△48。、△BCD的中位線，EF、77G分別是△Z8C、△/CD的中位線，

11

EH=FG=~BD,EF=HG=~AC,

.,.當(dāng)NC=AD時，

EH=FG=FG=EF成立,

則四邊形EFG8是菱形.

故選：B.

【變式2】如圖，AC,3。是四邊形/BCD的對角線，點E,尸分別是AD,2C的中點，點跖N分別是

4C、的中點.若四邊形EM7W是菱形，則原四邊形/2C。應(yīng)滿足的條件是()

C.ACLBDD.ZABC+ZDCB=90°

11

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到FN=EM=~CD,則可證明四邊形為平行

四邊形，當(dāng)當(dāng)EN=FN,即Z2=CD,則此時平行四邊形EMFN是菱形，據(jù)此可得答案.

【解答】解：；E，F(xiàn),N,M分別是BC,BD,NC的中點，

：.AE=DE,BN=DN,AM=CM,BF=CF,

:.EN、NF、FM、EM分別為△BCD、AABC、△4CO的中位線，

11

：.EN^FM=~AB,FN^EM^-CD,

：.四邊形為平行四邊形，

當(dāng)EN=FN,即/3=CD,則此時平行四邊形瓦WFN是菱形，

故選:B.

【變式3】如圖，在四邊形48co中，E,尸分別是40,2C的中點，G,H分別是AD,NC的中點，順次

連接各點得到四邊形EGFH.

(1)求證：四邊形EG切是平行四邊形；

(2)若AB=CD,求證：口EGPH是菱形.

BFC

【分析】（1）由三角形中位線定理，得至UG尸〃EH,GF=EH,推出四邊形EGFX是平行四邊形;

（2）由三角形中位線定理得到尸G=FH,又四邊形EGFH是平行四邊形，推出口EGEH是菱形.

【解答】證明：（1）:點E與點8分別為40,4C的中點，

是△4DC的中位線，

1

：.EH//CD,EH--CD,

1

同理：GF//CD,GF=~CD,

J.GF//EH,GF=EH,

：..四邊形EG切是平行四邊形；

（2）:點/與點〃分別為5C,NC的中點，

；.FH是AABC的中位線，

1

1

"：FG=~CD,AB=CD,

：.FH=FG,

由