2023-2024學(xué)年山東省青島市黃島區(qū)高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1山東省青島市黃島區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將條形碼粘貼在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，請將答題卡上交.一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.6個人分5張無座足球票，每人至多分1張，而且票必須分完，那么不同的分法種數(shù)是（）A. B. C.5! D.【答案】A【解析】6個人分5張無座足球票，每人至多分1張，而且票必須分完，所以從6個人中選5人即可，所以共有種分法.故選：A2.已知隨機(jī)變量的分布列如下所示，且，則（）123A. B. C. D.【答案】B【解析】由分布列的性質(zhì)可得，，所以，又因?yàn)?，所以，即，?lián)立方程，解得，所以.故選：B.3.某工廠5月份生產(chǎn)3000個燈泡，實(shí)驗(yàn)得知燈泡使用壽命（單位小時）服從正態(tài)分布，已知，則工廠該月生產(chǎn)燈泡壽命在800小時以上個數(shù)約為（）A.2600 B.2700 C.2800 D.2900【答案】B【解析】因?yàn)闊襞菔褂脡勖▎挝恍r）服從正態(tài)分布，且，所以，所以，所以工廠該月生產(chǎn)燈泡壽命在800小時以上個數(shù)約為個.故選：B4.若，則（）A.244 B.242 C.122 D.121【答案】C【解析】令，得，令，得，兩式相加得，則.故選：C.5.根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到.已知，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，則（）A.與不獨(dú)立B.與不獨(dú)立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.05C.與獨(dú)立D.與獨(dú)立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.05【答案】C【解析】因?yàn)楦鶕?jù)，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)知：與獨(dú)立，C正確.故選：C.6.1080不同的正因數(shù)個數(shù)為（）A.32 B.36 C.48 D.50【答案】A【解析】由題意可知，則1080的正因數(shù)，因?yàn)榭扇。扇?，可取，所?080不同的正因數(shù)個數(shù)為.故選：A.7.若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，則（）A. B.10 C. D.11【答案】C【解析】，因?yàn)?，所以，解得，，，，，，，，所以的分布列?123456所以的分布列為0149162536所以.故選：C.8.在如圖所示的九宮格中填入數(shù)字和字母，已知三個字母：都填到九宮格中且不能在同一行同一列，其他每格只能從數(shù)字中選擇一個填入，有公共邊的兩個格數(shù)字不相同，則不同的填法種數(shù)為（）A.5230 B.3619 C.4758 D.5184【答案】D【解析】先填，對于，有9個位置可以選擇，除去所在的行和列，有4個位置可以選擇，再除去所在的行和列，只剩1個位置，故填共有種；再填1，2，3，如下圖，④⑤①⑥②③由于公共邊的兩個格數(shù)字不相同，從①號位置開始:①有3種選擇，②有2種選擇，③有2種選擇，④有3種選擇，⑤有2種選擇，⑥有2種選擇，故填1，2，3有種；所以共有種.故選：D.二?多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題.每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某研究小組用5組數(shù)據(jù)繪制了如下散點(diǎn)圖，若將第六組數(shù)據(jù)（點(diǎn)）加入后重新進(jìn)行回歸分析，則（）A.相關(guān)系數(shù)的絕對值越趨于1B.決定系數(shù)變小C.殘差平方和變小D.解釋變量與預(yù)報(bào)變量相關(guān)性變?nèi)酢敬鸢浮緽D【解析】從圖中可以看出點(diǎn)較其他點(diǎn)，偏離直線遠(yuǎn)，故加入點(diǎn)后，回歸效果會變差，所以相關(guān)系數(shù)的絕對值越趨于0，決定系數(shù)變小，故A錯誤，B正確；擬合效果變差，則殘差平方和變大，故C錯誤；解釋變量與預(yù)報(bào)變量相關(guān)性變?nèi)?，D正確.故選：BD.10.已知離散型隨機(jī)變量，其中，則（）A.若，則B.C.若，則D.若，則為奇數(shù)的概率為【答案】ABD【解析】對于A選項(xiàng)，若，則，，所以，故A正確；對于B選項(xiàng)，由，得，所以，故B正確；對于C選項(xiàng)，若則，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，即，故C錯誤；對于D選項(xiàng)，若則，所以，所以為奇數(shù)的概率為，故D正確.故選：ABD.11.已知事件，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】，則A正確；，則B錯誤；，故C錯誤；，則D正確.故選：AD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.______.【答案】【解析】.故答案為:.13.的展開式中的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）【答案】【解析】由題可知，所以展開式的通項(xiàng)公式為，所以的展開式中的項(xiàng)為，的展開式中的項(xiàng)為，所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.14.在一定的環(huán)境下，某種食品的保質(zhì)期為正整數(shù)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，它近似滿足以下規(guī)律：對任意正整數(shù)，保質(zhì)期恰好為的該食品在所有保質(zhì)期不小于的該食品中的占比為.記該食品的保質(zhì)期為為事件，該食品的保質(zhì)期不小于為事件：則______，______.【答案】0.9；【解析】設(shè)食品總數(shù)為，保質(zhì)期為年的食品數(shù)為，由題意，，則，即①；②；②①得，則,即得，因,則數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列，則.又由可得，，即，，于是，故.故答案為：；.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64.（1）若，求的值；（2）證明：為正整數(shù).解：（1）因展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，解得，，在中，取，得；（2）為整數(shù).16.已知甲箱中有2個白球和4個紅球，乙箱中有4個白球和2個紅球.質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，每次等可能的向左或向右移動一個單位，記事件“質(zhì)點(diǎn)移動6次，最終在2的位置”.（1）求事件發(fā)生的概率；（2）若事件發(fā)生，從甲箱中取一球，否則從乙箱中取一球.求取出的球是紅球的概率.解：（1）要使質(zhì)點(diǎn)移動次，最終在的位置，則需質(zhì)點(diǎn)向左移動次，向右移動次，所以或；（2）設(shè)取出的球是紅球?yàn)槭录?，則，又有題知：，，故根據(jù)全概率公式得.17.某固態(tài)電池密度（單位）區(qū)間為，假設(shè)每塊電池電容量相等，為測試電池性能，隨機(jī)抽取60塊電池進(jìn)行密度測試，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）估計(jì)這60塊電池密度的平均值（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）.（2）研發(fā)小組測試這60塊電池快速充電時間（電量30%到），將結(jié)果整理如下：充電時間能量密度小于不小于小于8不小于12根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為此固態(tài)電池能量密度與充電快慢有關(guān)？（3）根據(jù)大量測試數(shù)據(jù)，該款固態(tài)電池能量密度近似服從正態(tài)分布，用（1）中求得的樣本平均數(shù)作為的近似值，現(xiàn)任取一塊固態(tài)電池，求它能量密度大于的概率（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)）.附：①參考公式：，其中.下表是獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.0.10.050010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828②當(dāng)時，，解：（1）由頻率分布直方圖，估計(jì)這60塊電池密度的平均值為：；（2）根據(jù)題意補(bǔ)充列聯(lián)表，如下：充電時間能量密度總計(jì)小于不小于小于82432不小于161228總計(jì)243660零假設(shè)為：此固態(tài)電池能量密度與充電快慢無關(guān)，由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷零假設(shè)不成立，即能認(rèn)為此固態(tài)電池能量密度與充電快慢有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.05；（3）因?yàn)榻品恼龖B(tài)分布,，，則，所以現(xiàn)任取一塊固態(tài)電池，它能量密度大于的概率為0.16．18.肥胖不僅影響形體美，而且給生活帶來不便，此外還有關(guān)節(jié)軟組織損傷?心臟病?糖尿病?脂肪肝?痛風(fēng)等危害.小王通過運(yùn)動和節(jié)食進(jìn)行減肥，并將時間x（單位：周）和體重（單位：）記錄制作如下統(tǒng)計(jì)表：12346890.187.687.286.284.284.3（1）若和滿足經(jīng)驗(yàn)回歸模型，求；（2）求該模型的決定系數(shù),并判斷該經(jīng)驗(yàn)回歸方程是否有價(jià)值(認(rèn)為有價(jià)值)；（3）當(dāng)某組數(shù)據(jù)殘差的絕對值不超過0.3時，稱該組數(shù)據(jù)為“身材有效管理數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從這六組數(shù)據(jù)中任意抽取兩組，設(shè)抽取的“身材有效管理數(shù)據(jù)”的個數(shù)為，求的分布列和期望.附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，，參考數(shù)據(jù)：.解：（1）設(shè)則，因，則，又且經(jīng)驗(yàn)回歸直線過點(diǎn)，故得，，（2）由（1），12346890.187.687.286.284.284.3908886.88684.8840.010.160.160.040.360.0912.2510.360.165.765.29則，因,則該經(jīng)驗(yàn)回歸方程有價(jià)值；（3）經(jīng)計(jì)算，這六組數(shù)據(jù)中，殘差的絕對值不超過0.3的有三組，分別是第一組、第四組和第八組，故從這六組數(shù)據(jù)中任意抽取兩組,的可能值有，于是，,則的分布列為：012故數(shù)學(xué)期望為.19.已知獎箱共張獎券，其中一等獎張，其余都是二、三等獎.（1）不放回的每次抽取一張，求第二次抽到一等獎的概率；（2）若，且二、三等獎個數(shù)比例為.（i）不放回的每次抽取一張，抽完為止.求一等獎最先全部抽出的概率.（ii）游戲規(guī)定：初始分為0分，每次從獎箱中有放回的抽取一張，取到一等獎得1分,取到非一等獎得分，分?jǐn)?shù)為2分時或-2分時結(jié)束.求游戲結(jié)束時，抽取次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解：（1）記第二次抽到一等獎為事件,其他個一等獎在剩余的個獎券中隨機(jī)抽出，故.（2）（i）由題知，一、二、三等獎個數(shù)分別為，記最后一張獎券是二等獎為事件最后一張獎券是三等獎為事件，顯然事件與互斥，記一等獎最先全部抽出為事件，則，當(dāng)事件發(fā)生時，只需考慮所有一、三等獎最后被抽到的那一張是三等獎，則當(dāng)事件發(fā)生時，只需考慮所有一、二等獎最后被抽到的那一張是二等獎，則所以.（ii）從前兩輪看：所以山東省青島市黃島區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將條形碼粘貼在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，請將答題卡上交.一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.6個人分5張無座足球票，每人至多分1張，而且票必須分完，那么不同的分法種數(shù)是（）A. B. C.5! D.【答案】A【解析】6個人分5張無座足球票，每人至多分1張，而且票必須分完，所以從6個人中選5人即可，所以共有種分法.故選：A2.已知隨機(jī)變量的分布列如下所示，且，則（）123A. B. C. D.【答案】B【解析】由分布列的性質(zhì)可得，，所以，又因?yàn)椋?，即，?lián)立方程，解得，所以.故選：B.3.某工廠5月份生產(chǎn)3000個燈泡，實(shí)驗(yàn)得知燈泡使用壽命（單位小時）服從正態(tài)分布，已知，則工廠該月生產(chǎn)燈泡壽命在800小時以上個數(shù)約為（）A.2600 B.2700 C.2800 D.2900【答案】B【解析】因?yàn)闊襞菔褂脡勖▎挝恍r）服從正態(tài)分布，且，所以，所以，所以工廠該月生產(chǎn)燈泡壽命在800小時以上個數(shù)約為個.故選：B4.若，則（）A.244 B.242 C.122 D.121【答案】C【解析】令，得，令，得，兩式相加得，則.故選：C.5.根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到.已知，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，則（）A.與不獨(dú)立B.與不獨(dú)立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.05C.與獨(dú)立D.與獨(dú)立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.05【答案】C【解析】因?yàn)楦鶕?jù)，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)知：與獨(dú)立，C正確.故選：C.6.1080不同的正因數(shù)個數(shù)為（）A.32 B.36 C.48 D.50【答案】A【解析】由題意可知，則1080的正因數(shù)，因?yàn)榭扇?，可取，可取，所?080不同的正因數(shù)個數(shù)為.故選：A.7.若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，則（）A. B.10 C. D.11【答案】C【解析】，因?yàn)椋?，解得，，，，，，，，所以的分布列?123456所以的分布列為0149162536所以.故選：C.8.在如圖所示的九宮格中填入數(shù)字和字母，已知三個字母：都填到九宮格中且不能在同一行同一列，其他每格只能從數(shù)字中選擇一個填入，有公共邊的兩個格數(shù)字不相同，則不同的填法種數(shù)為（）A.5230 B.3619 C.4758 D.5184【答案】D【解析】先填，對于，有9個位置可以選擇，除去所在的行和列，有4個位置可以選擇，再除去所在的行和列，只剩1個位置，故填共有種；再填1，2，3，如下圖，④⑤①⑥②③由于公共邊的兩個格數(shù)字不相同，從①號位置開始:①有3種選擇，②有2種選擇，③有2種選擇，④有3種選擇，⑤有2種選擇，⑥有2種選擇，故填1，2，3有種；所以共有種.故選：D.二?多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題.每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某研究小組用5組數(shù)據(jù)繪制了如下散點(diǎn)圖，若將第六組數(shù)據(jù)（點(diǎn)）加入后重新進(jìn)行回歸分析，則（）A.相關(guān)系數(shù)的絕對值越趨于1B.決定系數(shù)變小C.殘差平方和變小D.解釋變量與預(yù)報(bào)變量相關(guān)性變?nèi)酢敬鸢浮緽D【解析】從圖中可以看出點(diǎn)較其他點(diǎn)，偏離直線遠(yuǎn)，故加入點(diǎn)后，回歸效果會變差，所以相關(guān)系數(shù)的絕對值越趨于0，決定系數(shù)變小，故A錯誤，B正確；擬合效果變差，則殘差平方和變大，故C錯誤；解釋變量與預(yù)報(bào)變量相關(guān)性變?nèi)?，D正確.故選：BD.10.已知離散型隨機(jī)變量，其中，則（）A.若，則B.C.若，則D.若，則為奇數(shù)的概率為【答案】ABD【解析】對于A選項(xiàng)，若，則，，所以，故A正確；對于B選項(xiàng)，由，得，所以，故B正確；對于C選項(xiàng)，若則，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，即，故C錯誤；對于D選項(xiàng)，若則，所以，所以為奇數(shù)的概率為，故D正確.故選：ABD.11.已知事件，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】，則A正確；，則B錯誤；，故C錯誤；，則D正確.故選：AD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.______.【答案】【解析】.故答案為:.13.的展開式中的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）【答案】【解析】由題可知，所以展開式的通項(xiàng)公式為，所以的展開式中的項(xiàng)為，的展開式中的項(xiàng)為，所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.14.在一定的環(huán)境下，某種食品的保質(zhì)期為正整數(shù)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，它近似滿足以下規(guī)律：對任意正整數(shù)，保質(zhì)期恰好為的該食品在所有保質(zhì)期不小于的該食品中的占比為.記該食品的保質(zhì)期為為事件，該食品的保質(zhì)期不小于為事件：則______，______.【答案】0.9；【解析】設(shè)食品總數(shù)為，保質(zhì)期為年的食品數(shù)為，由題意，，則，即①；②；②①得，則,即得，因,則數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列，則.又由可得，，即，，于是，故.故答案為：；.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64.（1）若，求的值；（2）證明：為正整數(shù).解：（1）因展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，解得，，在中，取，得；（2）為整數(shù).16.已知甲箱中有2個白球和4個紅球，乙箱中有4個白球和2個紅球.質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，每次等可能的向左或向右移動一個單位，記事件“質(zhì)點(diǎn)移動6次，最終在2的位置”.（1）求事件發(fā)生的概率；（2）若事件發(fā)生，從甲箱中取一球，否則從乙箱中取一球.求取出的球是紅球的概率.解：（1）要使質(zhì)點(diǎn)移動次，最終在的位置，則需質(zhì)點(diǎn)向左移動次，向右移動次，所以或；（2）設(shè)取出的球是紅球?yàn)槭录?，則，又有題知：，，故根據(jù)全概率公式得.17.某固態(tài)電池密度（單位）區(qū)間為，假設(shè)每塊電池電容量相等，為測試電池性能，隨機(jī)抽取60塊電池進(jìn)行密度測試，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）估計(jì)這60塊電池密度的平均值（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）.（2）研發(fā)小組測試這60塊電池快速充電時間（電量30%到），將結(jié)果整理如下：充電時間能量密度小于不小于小于8不小于12根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為此固態(tài)電池能量密度與充電快慢有關(guān)？（3）根據(jù)大量測試數(shù)據(jù)，該款固態(tài)電池能量密度近似服從正態(tài)分布，用（1）中求得的樣本平均數(shù)作為的近似值，現(xiàn)任取一塊固態(tài)電池，求它能量密度大于的概率（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)）.附：①參考公式：，其中.下表是獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.0.10.050010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828②當(dāng)時，，解：（1）由頻率分布直方圖，估計(jì)這60塊電池密度的平均值為：；（2）根據(jù)題意補(bǔ)充列聯(lián)表，如下：充電時間能量密度總計(jì)小于不小于小于82432不小于161228總計(jì)243660零假設(shè)為：此固態(tài)電池能量密度與充電快慢無關(guān)，由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷零假設(shè)不成立，即能認(rèn)為此固態(tài)電池能量密度與充電快慢有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.05；（3）因?yàn)榻品恼龖B(tài)分布,，，則，所以現(xiàn)任取一塊固態(tài)電池，它能量密度大于的概率為0.16．18.肥胖不僅影響形體美，而且給生活帶來不便，此外還有關(guān)節(jié)軟組織損傷?心臟病?糖尿病?脂肪肝?痛風(fēng)等危害.小王通過運(yùn)動和節(jié)食進(jìn)行減肥，并將時間x（單位：周）和體重（