2023-2024學年河南省開封市五校高二下學期4月期中聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1河南省開封市五校2023-2024學年高二下學期4月期中聯(lián)考數(shù)學試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版必修第一冊，必修第二冊，選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊，選擇性必修第三冊第六章~第七章.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，則.故選：D.2.展開式中的常數(shù)項為（）A.-20 B.-15 C.15 D.20【答案】C【解析】因為的展開式通項公式為，令，得，所以，即展開式的常數(shù)項為15.故選：C3.從集合中任取兩個不同的數(shù)組成復數(shù)，其中虛數(shù)有（）A.16個 B.20個 C.12個 D.15個【答案】A【解析】若復數(shù)為虛數(shù)，則任意，由題意，從集合中任取兩個不同的數(shù)組成復數(shù)，其中虛數(shù)有個.故選：A.4.將9個志愿者的名額分配給4個班，每班至少一個名額，則不同的分配方法的種數(shù)為（）A.504 B.126 C.112 D.56【答案】D【解析】取9個小球排成一排形成8個空檔，在8個空檔中放入3個擋板，把9個小球分成4部分，每一部分的小球個數(shù)即為分配到4個班的名額數(shù)，所以不同的分配方法的種數(shù)為.故選：D5.已知是一個隨機試驗中的兩個事件，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，.故選：D.6.甲辰龍年春節(jié)哈爾濱火爆出圈，成為春節(jié)假期旅游城市中的“頂流”．甲、乙等6名網(wǎng)紅主播在哈爾濱的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亞教堂、音樂長廊4個景點中選擇一個打卡游玩，若每個景點至少有一個主播去打卡游玩，每位主播都會選擇一個景點打卡游玩，且甲、乙各單獨1人去某一個景點打卡游玩，則不同游玩方法有（）A.96種 B.132種 C.168種 D.204種【答案】C【解析】依題意其余位主播有兩種情況：①位主播去一個景點，位主播去另外一個景點；②分別都是位主播去一個景點；所以不同游玩方法（種）.故選：C7.兩組各有3人獨立的破譯某密碼，組每個人成功破譯出該密碼的概率為，組每個人成功破譯出該密碼的概率為，記兩組中成功破譯出該密碼的人數(shù)分別為，若，則下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可知：服從二項分布，所以.同理：服從二項分布，所以.因為，所以，所以.對于二次函數(shù)，對稱軸，所以在上函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時，有，即.故選：C8.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，此定理講的是關(guān)于同余的問題.用表示整數(shù)被整除，設(shè)且，若，則稱與對模同余，記為.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由二項式定理，得，因為能夠被7整除，被7除余3，則，又2030除以7余0，2031除以7余1，2032除以7余2，2033除以7余3，所以.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若且，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由組合數(shù)的性質(zhì)知，故A錯誤；因為，，故，故B正確；由，得，故C正確；，故D錯誤.故選：BC.10.若，則下列說法正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】令，則，令，可得，即，故A正確；令，可得，又，所以，故B正確；令，所以，所以，所以，故C錯誤；由題可知1798，故D正確.故選:ABD.11.如圖，在三棱錐中，和均為邊長為2的等邊三角形，則下列說法正確的是（）A.B.當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的體積為C.當二面角的余弦值為時，D.若二面角的大小為，且時，直線PB與AC所成角的余弦值最大為【答案】ACD【解析】在三棱錐中，和均為邊長為2的等邊三角形，取的中點，連接，如圖，則，又平面，則平面，又平面，所以，A正確；平面，則有平面平面，又平面平面，于是點在平面上的射影在直線上，點到平面的距離，當且僅當時取等號，而面積為定值，即最大時三棱錐的體積最大，此時平面平面，且平面，平面，令的中心分別為，三棱錐外接球球心為，則平面，平面，于是，四邊形是矩形，，，因此三棱錐的外接球半徑，所以三棱錐的外接球的體積，B錯誤；由選項A知，為二面角的平面角，即，因為，所以，因此，C正確；二面角的大小為，即，于是，記直線與所成角的大小為，則，當時,，，因此，則，所以的最大值為，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則的值為______.【答案】【解析】.故答案為:.13.一個袋子中共有6個大小相同的球，其中3個紅球，3個白球，從中隨機摸出2個球，設(shè)取到白球的個數(shù)為X，則的方差為______．【答案】【解析】由題意，X滿足超幾何分布，且X取值為0，1，2，則，，，，，所以．故答案為：14.在某市舉辦的城市運動會的跳高比賽中，甲、乙兩名跳高運動員一次試跳2米高度成功的概率分別是0.7，0.6，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響,若甲、乙各試跳兩次，兩人中恰有一人第二次才成功的概率為_______.【答案】【解析】記“甲第i次試跳成功”為事件，“乙第i次試跳成功“為事件，依題意得，，且，相互獨立．“甲第二次試跳才成功”為事件，且兩次試跳相互獨立，，故甲第二次試跳才成功的概率為0.21，同理，可求得乙第二次試跳才成功的概率為，故兩人中恰有一人第二次才成功概率為，故答案為：．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.根據(jù)張桂梅校長真實事跡拍攝的電影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某數(shù)學組有3名男教師和2名女教師相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．求：（1）2名女教師必須坐在一起的坐法有多少種？（2）2名女教師互不相鄰的坐法有多少種？解：（1）根據(jù)題意，先將2名女教師排在一起，有種坐法，將排好的女教師視為一個整體，與3名男教師進行排列，共有種坐法，由分步乘法計數(shù)原理，共有種坐法．（2）根據(jù)題意，先將3名男教師排好，有種坐法，再在這3名男教師之間及兩頭的4個空位中插入2名女教師，有種坐法，由分步乘法計數(shù)原理，共有種坐法．16.某市高二年級期末統(tǒng)考的物理成績近似服從正態(tài)分布，規(guī)定：分數(shù)高于分為優(yōu)秀．（1）估計物理成績優(yōu)秀的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；（2）若該市有名高二年級的考生，估計全市物理成績在內(nèi)的學生人數(shù)．參考數(shù)據(jù)：若，則，，．解：（1）設(shè)學生的物理得分為隨機變量，則，所以，，所以，，所以物理成績優(yōu)秀的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例為．（2）由題意，得，，即，，所以，，所以．又，所以全市物理成績在內(nèi)的學生人數(shù)估計為人．17.已知橢圓的上頂點與左?右焦點連線的斜率之積為.（1）求橢圓的離心率；（2）已知橢圓的左?右頂點分別為，且,點是上任意一點（與不重合），直線分別與直線交于點為坐標原點，求.解：（1）根據(jù)題意可得橢圓的上頂點的坐標為，左?右焦點的坐標分別為，由題意可知，即，又，所以，即，可得橢圓的離心率.（2）由，得，即，所以橢圓的方程為.如圖所示：設(shè)，則，即，又，則直線的方程為，直線的方程為；因為直線分別與直線交于點，可得，所以.即.18.在某大學組織農(nóng)村專項招生考試面試環(huán)節(jié)，共設(shè)置4道面試題目，每道題5分.已知某學生對于前3道題，每道題答對的概率均為；對于第4道題，答對的概率為.記該學生的總得分為.（1）求該學生前3道題至少答對2道題的概率；（2）求的分布列及數(shù)學期望.解：（1）記該學生前3道題答對道為事件，前3題中至少答對2道題為事件，則，，，所以.（2）依題意，的取值可能為，，，，，.所以的分布列為：05101520數(shù)學期望.19.給出定義：設(shè)是函數(shù)的導函數(shù)，是函數(shù)的導函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的.“固點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“固點”，且該“固點”也是函數(shù)的圖象的對稱中心.根據(jù)以上信息和相關(guān)知識回答下列問題：已知函數(shù).（1）當時，試求的對稱中心.（2）討論的單調(diào)性；（3）當時，有三個不相等的實數(shù)根，當取得最大值時，求的值.解：（1），，，令，，，故的對稱中心為.（2），令，則，，當時，，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，在，上，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，，在，上，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3），，令，，，所以對稱中心為，當和時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；；，要使得有三個解，故，，且，，是方程的根，由于對稱性，為了簡化研究，只研究的情況，，根據(jù)常數(shù)項知：，根據(jù)對稱性知：，，且，故，即，.當時，取得最大值，此時.河南省開封市五校2023-2024學年高二下學期4月期中聯(lián)考數(shù)學試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版必修第一冊，必修第二冊，選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊，選擇性必修第三冊第六章~第七章.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，則.故選：D.2.展開式中的常數(shù)項為（）A.-20 B.-15 C.15 D.20【答案】C【解析】因為的展開式通項公式為，令，得，所以，即展開式的常數(shù)項為15.故選：C3.從集合中任取兩個不同的數(shù)組成復數(shù)，其中虛數(shù)有（）A.16個 B.20個 C.12個 D.15個【答案】A【解析】若復數(shù)為虛數(shù)，則任意，由題意，從集合中任取兩個不同的數(shù)組成復數(shù)，其中虛數(shù)有個.故選：A.4.將9個志愿者的名額分配給4個班，每班至少一個名額，則不同的分配方法的種數(shù)為（）A.504 B.126 C.112 D.56【答案】D【解析】取9個小球排成一排形成8個空檔，在8個空檔中放入3個擋板，把9個小球分成4部分，每一部分的小球個數(shù)即為分配到4個班的名額數(shù)，所以不同的分配方法的種數(shù)為.故選：D5.已知是一個隨機試驗中的兩個事件，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，.故選：D.6.甲辰龍年春節(jié)哈爾濱火爆出圈，成為春節(jié)假期旅游城市中的“頂流”．甲、乙等6名網(wǎng)紅主播在哈爾濱的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亞教堂、音樂長廊4個景點中選擇一個打卡游玩，若每個景點至少有一個主播去打卡游玩，每位主播都會選擇一個景點打卡游玩，且甲、乙各單獨1人去某一個景點打卡游玩，則不同游玩方法有（）A.96種 B.132種 C.168種 D.204種【答案】C【解析】依題意其余位主播有兩種情況：①位主播去一個景點，位主播去另外一個景點；②分別都是位主播去一個景點；所以不同游玩方法（種）.故選：C7.兩組各有3人獨立的破譯某密碼，組每個人成功破譯出該密碼的概率為，組每個人成功破譯出該密碼的概率為，記兩組中成功破譯出該密碼的人數(shù)分別為，若，則下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可知：服從二項分布，所以.同理：服從二項分布，所以.因為，所以，所以.對于二次函數(shù)，對稱軸，所以在上函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時，有，即.故選：C8.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，此定理講的是關(guān)于同余的問題.用表示整數(shù)被整除，設(shè)且，若，則稱與對模同余，記為.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由二項式定理，得，因為能夠被7整除，被7除余3，則，又2030除以7余0，2031除以7余1，2032除以7余2，2033除以7余3，所以.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若且，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由組合數(shù)的性質(zhì)知，故A錯誤；因為，，故，故B正確；由，得，故C正確；，故D錯誤.故選：BC.10.若，則下列說法正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】令，則，令，可得，即，故A正確；令，可得，又，所以，故B正確；令，所以，所以，所以，故C錯誤；由題可知1798，故D正確.故選:ABD.11.如圖，在三棱錐中，和均為邊長為2的等邊三角形，則下列說法正確的是（）A.B.當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的體積為C.當二面角的余弦值為時，D.若二面角的大小為，且時，直線PB與AC所成角的余弦值最大為【答案】ACD【解析】在三棱錐中，和均為邊長為2的等邊三角形，取的中點，連接，如圖，則，又平面，則平面，又平面，所以，A正確；平面，則有平面平面，又平面平面，于是點在平面上的射影在直線上，點到平面的距離，當且僅當時取等號，而面積為定值，即最大時三棱錐的體積最大，此時平面平面，且平面，平面，令的中心分別為，三棱錐外接球球心為，則平面，平面，于是，四邊形是矩形，，，因此三棱錐的外接球半徑，所以三棱錐的外接球的體積，B錯誤；由選項A知，為二面角的平面角，即，因為，所以，因此，C正確；二面角的大小為，即，于是，記直線與所成角的大小為，則，當時,，，因此，則，所以的最大值為，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則的值為______.【答案】【解析】.故答案為:.13.一個袋子中共有6個大小相同的球，其中3個紅球，3個白球，從中隨機摸出2個球，設(shè)取到白球的個數(shù)為X，則的方差為______．【答案】【解析】由題意，X滿足超幾何分布，且X取值為0，1，2，則，，，，，所以．故答案為：14.在某市舉辦的城市運動會的跳高比賽中，甲、乙兩名跳高運動員一次試跳2米高度成功的概率分別是0.7，0.6，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響,若甲、乙各試跳兩次，兩人中恰有一人第二次才成功的概率為_______.【答案】【解析】記“甲第i次試跳成功”為事件，“乙第i次試跳成功“為事件，依題意得，，且，相互獨立．“甲第二次試跳才成功”為事件，且兩次試跳相互獨立，，故甲第二次試跳才成功的概率為0.21，同理，可求得乙第二次試跳才成功的概率為，故兩人中恰有一人第二次才成功概率為，故答案為：．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.根據(jù)張桂梅校長真實事跡拍攝的電影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某數(shù)學組有3名男教師和2名女教師相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．求：（1）2名女教師必須坐在一起的坐法有多少種？（2）2名女教師互不相鄰的坐法有多少種？解：（1）根據(jù)題意，先將2名女教師排在一起，有種坐法，將排好的女教師視為一個整體，與3名男教師進行排列，共有種坐法，由分步乘法計數(shù)原理，共有種坐法．（2）根據(jù)題意，先將3名男教師排好，有種坐法，再在這3名男教師之間及兩頭的4個空位中插入2名女教師，有種坐法，由分步乘法計數(shù)原理，共有種坐法．16.某市高二年級期末統(tǒng)考的物理成績近似服從正態(tài)分布，規(guī)定：分數(shù)高于分為優(yōu)秀．（1）估計物理成績優(yōu)秀的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；（2）若該市有名高二年級的考生，估計全市物理成績在內(nèi)的學生人數(shù)．參考數(shù)據(jù)：若，則，，．解：（1）設(shè)學生的物理得分為隨機變量，則，所以，，所以，，所以物理成績優(yōu)秀的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例為．（2）由題意，得，，即，，所以，，所以．又，所以全市物理成績在內(nèi)的學生人數(shù)估計為人．17.已知橢圓的上頂點與左?右焦點連線的斜率之積為.（1）求橢圓的離心率；（2）已知橢圓的左?右頂點分別為，且,點是上任意一點（與不重合），直線分別與直線交于點為坐標