湖北省黃石市部分學校2023-2024學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試卷 含解析

湖北省黃石市部分學校20232024學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試卷一、選擇題（每題5分，共30分）1.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}+\lnx\)的定義域是（）。A.\(x>0\)B.\(x<0\)C.\(x\geq0\)D.\(x\leq0\)2.已知\(a,b,c\)是等差數(shù)列，且\(a+b+c=12\)，則\(a^2+b^2+c^2\)的值為（）。A.24B.36C.48D.643.在直角坐標系中，點\(P(2,3)\)關(guān)于直線\(y=x\)的對稱點\(Q\)的坐標是（）。A.(3,2)B.(2,3)C.(3,2)D.(2,3)4.若\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(\alpha\)在第二象限，則\(\sin\alpha\)的值為（）。A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)5.已知函數(shù)\(f(x)=x^24x+3\)，則函數(shù)的零點個數(shù)是（）。A.0B.1C.2D.36.在三角形\(ABC\)中，已知\(AB=6\)，\(BC=8\)，\(AC=10\)，則三角形\(ABC\)的面積是（）。A.12B.15C.18D.20二、填空題（每題5分，共20分）7.若\(a=\sqrt{3}+1\)，\(b=\sqrt{3}1\)，則\(ab\)的值為__________。8.已知函數(shù)\(f(x)=2x^33x^2+x\)，則\(f(1)\)的值為__________。9.在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1=3\)，\(a_5=9\)，則該數(shù)列的公差\(d\)為__________。10.若\(\log_2x=3\)，則\(x\)的值為__________。三、解答題（每題10分，共30分）11.已知函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\)，求函數(shù)的定義域、值域及單調(diào)性。12.解不等式\(2x5>3x+1\)并寫出其解集。13.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，且\(a_1=2\)，\(a_3=8\)，求該數(shù)列的通項公式。四、綜合題（每題15分，共30分）14.已知\(a,b,c\)是等差數(shù)列，且\(a+b+c=12\)，求\(a^2+b^2+c^2\)的最小值。15.在直角坐標系中，已知點\(A(1,2)\)，\(B(4,5)\)，\(C(7,8)\)，求三角形\(ABC\)的重心坐標。解析部分：一、選擇題解析：1.正確答案：A解析：由于\(\lnx\)的定義域為\(x>0\)，因此\(f(x)\)的定義域為\(x>0\)。2.正確答案：B解析：等差數(shù)列的性質(zhì)是\(a+b+c=3b\)，所以\(3b=12\)，\(b=4\)。再利用等差數(shù)列的性質(zhì)\(a^2+b^2+c^2=3(b^2)\)，得\(3b^2=3\times4^2=48\)。3.正確答案：C解析：點\(P(2,3)\)關(guān)于直線\(y=x\)的對稱點\(Q\)的坐標為\((3,2)\)。4.正確答案：B解析：在第二象限，\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\)，因此\(\sin\alpha=\sqrt{1\cos^2\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。5.正確答案：C解析：函數(shù)\(f(x)=x^24x+3\)的零點由方程\(x^24x+3=0\)的解決定，解得\(x=1\)和\(x=3\)，故零點個數(shù)為2。6.正確答案：B解析：由勾股定理知\(AC^2=AB^2+BC^2\)，即\(10^2=6^2+8^2\)，故三角形\(ABC\)為直角三角形。面積\(S=\frac{1}{2}\timesAB\timesBC=\frac{1}{2}\times6\times8=24\)。二、填空題解析：7.答案：2解析：\(ab=(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}1)=31=2\)。8.答案：2解析：\(f(1)=2\times1^33\times1^2+1=23+1=0\)。9.答案：2解析：等差數(shù)列中，\(a_5=a_1+4d\)，所以\(9=3+4d\)，解得\(d=2\)。10.答案：8解析：由\(\log_2x=3\)得\(x=2^3=8\)。三、解答題解析：11.解答：定義域：\(x^2+1\neq0\)，即\(x\neq\pmi\)，故定義域為實數(shù)集。值域：由于\(x^2+1>0\)，所以\(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\)的值域為\((0,1]\)。單調(diào)性：對\(f(x)\)求導(dǎo)得\(f'(x)=\frac{2x}{(x^2+1)^2}\)，當\(x>0\)時，\(f'(x)<0\)，函數(shù)單調(diào)遞減；當\(x<0\)時，\(f'(x)>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增。12.解答：\(2x5>3x+1\)化簡得\(x>6\)，即\(x<6\)。解集為\(x\in(\infty,6)\)。13.解答：等比數(shù)列中，\(a_3=a_1\timesr^2\)，所以\(8=2\timesr^2\)，解得\(r=2\)。通項公式為\(a_n=a_1\timesr^{n1}=2\times2^{n1}\)。四、綜合題解析：14.解答：由等差數(shù)列的性質(zhì)，\(a^2+b^2+c^2=3b^2\)，又\(b=4\)，所以\(a^2+b^2+c^2=3\times4^2=48\)。這是\(a^2+b^2+c^2\)的最小值。15.解答：三角形重心的坐標公式為\(G=\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},