概率論第二章練習(xí)答案

...wd......wd......wd...《概率論》第二章練習(xí)答案一、填空題：1．設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=則用Y表示對(duì)X的3次獨(dú)立重復(fù)的觀察中事件(X≤)出現(xiàn)的次數(shù)，則P〔Y＝2〕＝。2.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為：ax+b0<x<1f(x)=0其他且EX＝，則a=_____-2___________，b=_____2___________。3.隨機(jī)變量X在[10，22]上服從均勻分布，則EX=16，DX=124.設(shè)5.X的密度為P〔〕=P(X>)，則=,b=聯(lián)立解得：6．假設(shè)f(x)為連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度，則＿＿1＿＿＿＿。7.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù)，則 P〔ξ=0.8〕=0；=0.99。8.某型號(hào)電子管，其壽命〔以小時(shí)記〕為一隨機(jī)變量，概率密度＝，某一個(gè)電子設(shè)備內(nèi)配有3個(gè)這樣的電子管，則電子管使用150小時(shí)都不需要更換的概率為＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。x≥100∴(x)=0其它P〔≥150〕=1－F(150)=1－[P(≥150)]3=()3=9.設(shè)隨機(jī)變量X服從B〔n,p〕分布，EX＝1.6，DX＝1.28，則參數(shù)n＝___________，P＝_________________。EX=np=1.6DX=npq=1.28，解之得：n=8，p=0.210.設(shè)隨機(jī)變量x服從參數(shù)為〔2，p〕的二項(xiàng)分布，Y服從參數(shù)為〔4，p〕的二項(xiàng)分布，假設(shè)P〔X≥1〕＝，則P〔Y≥1〕＝＿65/81＿＿＿＿＿＿。解：11.隨機(jī)變量X～N〔2，2〕，且P〔2＜X＜4〕=0.3，則P〔X＜0〕=＿＿0.2＿＿＿12.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則數(shù)學(xué)期望=___4/3________13.離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，則隨機(jī)變量Z=3X－2的期望E(Z)＝3EX-2=3x2-2=4。14．設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)則E(X)=__2_______.D(X)=__2___________.∴15.假設(shè)隨機(jī)變量ξ服從參數(shù)λ=0.05的指數(shù)分布，則其概率密度函數(shù)為：；Eξ=20；Dξ=400。16.設(shè)某動(dòng)物從出生活到10歲以上的概率為0.7，活到15歲以上的概率為0.2，則現(xiàn)齡為10歲的這種動(dòng)物活到15歲以上的概率為17.某一站為300個(gè)用戶(hù)服務(wù)，在一小時(shí)內(nèi)每一用戶(hù)使用的概率為0.01，則在一小時(shí)內(nèi)有4個(gè)用戶(hù)使用的概率為P3(4)=0.168031解：一小時(shí)內(nèi)使用的用戶(hù)數(shù)服從的泊松分布18通常在n比較大，p很小時(shí)，用泊松分布近似代替二項(xiàng)分布的公式，其期望為，方差為19．，則＝＿1.8＿＿＿＿，＝＿＿4＿＿＿＿。〔將X標(biāo)準(zhǔn)化后查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表〕二、單項(xiàng)選擇：1．設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：f(x)=4x3,0<x<1f(x)=其他則使P(x>a)=P(x<a)成立的常數(shù)a=(A)〔其中0<a<1〕A． B． C． D．1－解：根據(jù)密度函數(shù)的非負(fù)可積性得到：2．設(shè)F1〔X〕與F2〔X〕分別為隨機(jī)變量X1與X2的分布函數(shù)，為使F〔X〕＝aF1(x)－bF2(x)是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在以下給它的各組值中應(yīng)取〔A〕A．a(chǎn)=,b=－ B．a(chǎn)=,b=C．a(chǎn)=－,b= D．a(chǎn)=,b=－F(+)=aF1(+)-BF2(+)=13.隨機(jī)變量的分布函數(shù)為F〔x〕=A+Barctgx，則：〔B〕A、A=B=B、A=B=C、A=B=D、A=B=解：要熟悉arctgx的圖像4.設(shè)離散型隨機(jī)變量X僅取兩個(gè)可能值X1和X2，而且X1<X2，X取值X1的概率為0.6，又E〔X〕＝1.4，D〔X〕＝0.24，則X的分布律為 〔〕A.x01B.x12p0.60.4p0.60.4C.xnn+1D.xabp0.60.4p0.60.4①1.4=EX=0.6X1+0.4X2②DX=EX2-(EX)2聯(lián)系①、②解得X1=1，X2=25．現(xiàn)有10張獎(jiǎng)券，其中8張為2元，2張為5元，今某人從中隨機(jī)地?zé)o放回取3張，則此人得獎(jiǎng)金額的數(shù)學(xué)期望為 〔〕A．6元 B．12元 C．7.8元 D．9元設(shè)表示得獎(jiǎng)金額，則其分布律為：6〔3張2元的〕9〔2張2元，1張5元的〕12〔1張2元，2張5元的〕P故期望值為：7.86.隨機(jī)變量X的概率分布是：X1234Pab則：〔D〕A、a=,b=B、a=,b=C、a=,b=D、a=,b=7.以下可作為密度函數(shù)的是：〔B〕A、B、C、D、依據(jù)密度函數(shù)的性質(zhì)：進(jìn)展判斷得出：B為正確答案8.設(shè)X的概率密度為，其分布函數(shù)F〔〕，則〔D〕成立。A、B、C、PD、P9.如果，而，則P〔〕=〔C〕A、B、C、0.875D、10.假設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值充滿(mǎn)區(qū)間＿＿＿＿＿＿，那么Sinx可以作為一個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。 〔B〕A．[0，] B．[0.5,] C．[0,1.5] D．[,1.5]依據(jù)密度函數(shù)的性質(zhì)：進(jìn)展判斷得出：B為正確答案11.某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率為5%，每天從生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽5個(gè)檢驗(yàn)，記X為出現(xiàn)次品的個(gè)數(shù)，則E(X)為＿＿＿＿。〔D〕A．0.75 B．0.2375 C．0.487 D．0.25此題X服從二項(xiàng)分布b(5,0.05),EX=np=5*0.05=0.2512.設(shè)X服從二項(xiàng)分布，假設(shè)〔n＋1〕P不是整數(shù)，則K取何值時(shí)，P〔X＝K〕最大 〔D〕A．K＝〔n＋1〕P B．K＝〔n＋1〕P－iC．K＝nPD．K＝[〔n＋1〕P]解：根據(jù)二項(xiàng)分布的正態(tài)近似知，當(dāng)X接近于EX=np時(shí)取到最大值，由于〔n＋1〕P不是整數(shù)，因此需要尋找最接近np的整數(shù)。13．設(shè)X服從泊松分布，假設(shè)不是整數(shù)，則K取何值時(shí)，P〔X＝K〕最大 〔B〕A． B．[] C．－1 D．＋1解：根據(jù)二項(xiàng)分布的泊松近似，以及泊松分布的正態(tài)近似知：當(dāng)EX=時(shí)取到最大值，因?yàn)椴皇钦麛?shù)，而K必須為整數(shù)，因此需要對(duì)取整14.，Y=2X－1，則Y~〔C〕A、N〔0，1〕B、N〔1，4〕C、N〔-1，4〕D、N〔-1，3〕15.隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，則其標(biāo)準(zhǔn)差為：〔C〕A．2 B．1/4 C．1/2 D．隨機(jī)變量的參數(shù)為2，即方差為1/4，標(biāo)準(zhǔn)差則為1/216．當(dāng)滿(mǎn)足以下〔〕條件時(shí)，二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布更準(zhǔn)確?！睤〕A．n〔二項(xiàng)分布的泊松近似〕B．C．D．17.設(shè)～,，，則和的概率分別為[C]A.0.0228,0.1587B.0.3413,0.4772C.0.1587,0.0228D.0.8413,0.97725三、計(jì)算題：1.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)是連續(xù)型函數(shù)，其密度函數(shù)為：f(x)=AX0＜X≤1f(x)=B－X1＜X≤2其它試求：〔1〕常數(shù)A、B。〔2〕分布函數(shù)F〔x〕〔3〕P〔＜〕解：〔1〕由X為連續(xù)型隨機(jī)變量，①同時(shí)：②①、②式聯(lián)系解得：A=1，B=2〔2〕當(dāng);當(dāng);當(dāng)x>2時(shí)，F(xiàn)(x)=1.〔3〕2.設(shè)X~=，求：①P〔〕②F〔〕解：①②③3.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：ax0<x<2f(x)=cx+b2≤x≤4其他EX＝2，P〔1<X<3〕＝，求a、b、c的值解：〔1〕①②③4．假定在國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)某種出口商品的需求量是隨機(jī)變量X〔單位：t〕,X服從[2000,4000]上的均勻分布，設(shè)每出售這種商品1t，可為國(guó)家掙得外匯3萬(wàn)元，但假設(shè)銷(xiāo)售不出而囤積于倉(cāng)庫(kù)，則每噸需浪費(fèi)保養(yǎng)費(fèi)1萬(wàn)元，問(wèn)應(yīng)組織多少貨源，才能使國(guó)家的收益最大解：Y：每年該商品的出口量R：收益 X的密度函數(shù)：-，∴y=3500時(shí)，利益最大5．設(shè)某種商品每周的需求量X服從區(qū)間[10，30]上均勻分布，而經(jīng)銷(xiāo)商店進(jìn)貨量為[10，30]中的某一整數(shù)，商店每銷(xiāo)售一單位商品可獲利500元，假設(shè)供大于求，則削價(jià)處理，每處理一單位商品虧損100元，假設(shè)供不應(yīng)求，則可從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)一單位商品僅獲利300元，為使商店所獲利潤(rùn)期望值不少于9280元，試確定最小進(jìn)貨量解：設(shè)進(jìn)貨量為a,則利潤(rùn)為：即：-7.52+350+5250≥9280解得：20≤≤26∴取最小=21上式：6.某高級(jí)鏡片制造廠試制成功新鏡頭，準(zhǔn)備出口試銷(xiāo)，廠方的檢測(cè)設(shè)備與國(guó)外的檢測(cè)設(shè)備仍有一定的差距，為此，廠方面臨一個(gè)決策問(wèn)題：①直接進(jìn)口，②租用設(shè)備，③與外商合資。不同的經(jīng)營(yíng)方式所需的固定成本和每件的可變成本如表：自制進(jìn)口租賃合資固定成本〔萬(wàn)元〕1204064200每件可變成本〔元〕601008040產(chǎn)品出口價(jià)為200元/件，如果暢銷(xiāo)可銷(xiāo)3.5萬(wàn)件，中等可銷(xiāo)2.5萬(wàn)件，滯銷(xiāo)只售0.8萬(wàn)件，按以往經(jīng)歷，暢銷(xiāo)的可能性為0.2，中等的為0.7，滯銷(xiāo)的為0.1，請(qǐng)為該廠作出最優(yōu)決策。解：設(shè)銷(xiāo)量，，，，銷(xiāo)量暢銷(xiāo)3.5萬(wàn)件中等銷(xiāo)售2.5萬(wàn)件滯銷(xiāo)0.8萬(wàn)件概率0.20.70.1最優(yōu)決策的含義是：利潤(rùn)最大化總成本=固定成本+銷(xiāo)售量*可變成本為最優(yōu)方案，即租用設(shè)備。7.某書(shū)店希望訂購(gòu)最新出版的好書(shū)，根據(jù)以往的經(jīng)歷，新書(shū)銷(xiāo)售量規(guī)律如下：需求量〔本〕50100150200概率20%40%30%10%假定每本新書(shū)的訂購(gòu)價(jià)為4元，銷(xiāo)售價(jià)為6元，剩書(shū)的處理價(jià)為2元，試確定該書(shū)店訂購(gòu)新書(shū)的數(shù)量。解：分析：當(dāng)訂貨量大于需求量時(shí)，則多出的每本處理后虧損2元；當(dāng)訂貨量小于需求量的時(shí)候，則賣(mài)出去一本就可以獲利2元。針對(duì)不同的需求量和訂貨量的收益表如下：訂需求量y收益50100150200概率y150y2100y3150y42000.20.40.30.11001001001000200200200-100100300300-2000200400故訂100本較合理。8.假設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率是EX＝0.5，DX＝0.15，求系數(shù)a,b,c。解：解方程組得：9.五件商品中有兩件次品，從中任取三件。設(shè)ξ為取到的次品數(shù)，求ξ的分布律、數(shù)學(xué)期望和方差。解：ξ的分布律為ξ012P1/106/103/10Eξ=1.2；Dξ=0.3610.某次抽樣調(diào)查結(jié)果說(shuō)明，考生的外語(yǔ)成績(jī)〔百分制〕近似服從正態(tài)分布，平均成績(jī)72分，96分的以上的占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0至84分之間的概率。解：X~N〔72,2〕s 即：11.假設(shè)一電路有3個(gè)不同種電氣元件，其工作狀態(tài)相互獨(dú)立，且無(wú)故障工作時(shí)間都服從參數(shù)為>0的指數(shù)分布，當(dāng)三包元件都無(wú)故障時(shí)，電路正常工作，否則整個(gè)電路不能正常工作，試求電路正常工作的時(shí)間的概率分布。解：設(shè)Xi表示第i個(gè)電氣之元件無(wú)故障工作的時(shí)間，i=1,2,3,則X1X2X3獨(dú)立且同分布，分布函數(shù)為：設(shè)G〔t〕是T的分布函數(shù)。當(dāng)t<0時(shí)，G〔t〕=012.設(shè)從一批材料中任取一件測(cè)出這種材料的強(qiáng)度X