2025年高考數(shù)學(xué)重點題型訓(xùn)練：立體幾何平行垂直的證明和定義法求空間中線與角的問題（學(xué)生版+解析）

專題09立體幾何平行垂直的證明和定義法求空間中線與角的

問題

1.如圖，在多面體ABC—DEFG中，平面4BC||平面OEFG,底面4BC是等腰直角三角形，AB=BC=V2,

側(cè)面4CGD是正方形，DA_L平面ABC,且FB||GC,GE1DE.

(1)證明：AE1GE.

(2)若。是DG的中點，OE||平面BCGF,求直線OE與平面BDG所成角的正弦值.

2.如圖，在三棱柱4BC中，AB=BC,AB1=BrC.

(1)證明：AC1B]B；

⑵若力B=BBi=2,ABr=V6,乙4BC=120。，點E為AB1的中點，求三棱錐C—B/E的體積.

3.《九章算術(shù)?商功》：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉11.陽馬居二，鱉膈居一，不易

之率也.合兩鱉席三而一，驗之以茶，其形露矣.”劉徽注：“此術(shù)席者，背節(jié)也，或日半陽馬，其形有似鱉肘，

故以名云.中破陽馬，得兩鱉腌，鱉席之起數(shù)，數(shù)同而實據(jù)半，故云六而一即得

鱉膈

如圖，在鱉腌ABC。中側(cè)棱A3,底面

(1)若力B=LBC=2,CD=1,試求異面直線AC與8。所成角的余弦值.

(2)若BDLCD,力B=BD=CD=2,點尸在棱AC上運動.試求APB。面積的最小值.

4.如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形2BCD是正方形，PD=AD=1,PD1平面力BCD,點E是棱PC的

中點，點尸是棱PB上的一點，且

(1)求證：P4〃平面EDB；

⑵求點尸到平面EDB的距離.

5.如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，ZXCD=90°,AB=1,AD=2,四邊形4BEF為正

方形，平面ABEF_L平面ABCD,P為DF的中點，AN1CF,垂足為N.

⑴求證：AN1平面CDF；

(2)求異面直線8尸與PC所成角的正切值;

(3)求三棱錐B-CEF的體積.

6.如圖，在四棱錐P—2BC。中，PD=PB,底面4BCD是邊長為2的菱形.

⑴證明：平面PNC_L平面4BCD；

(2)若PD14B,P力1PC,且NB4D=會求四棱錐P—ABCD的體積

7.如圖，在三棱柱4BC-&當(dāng)。1中，側(cè)面BBiQC為菱形，ACBBr=60°,AB=BC=2,AC=ABr=V2.

(1)證明：平面4CB11平面BB1GC；

⑵求二面角力-&G—的余弦值.

8.如圖，在直三棱柱28C—4181cl中，AC1BC,且AC=BC,28=BB1=4,E為441的中點，尸為線段當(dāng)。

上一點，設(shè)CF=ACB1.

⑴當(dāng)4=斷寸，求證：EF||平面48c.

⑵當(dāng)三棱錐前-ABF的體積為削寸，求4的值.

9.如圖，四棱柱4BCD的側(cè)棱441，底面A8C。，四邊形48co為菱形，E,尸分別為CC「4久的

中點.

(2)若4B=AA±=2,EDAB=5求點A到平面BE/F的距離.

10.如圖所示，已知三棱臺ABC—AiBiQ中，ABr1BB「CBr1BB0^ABBr=zCBBt=60°,1BC,

BB1=1.

(2)設(shè)民F分別是棱AC,4G的中點，若平面4BC,求棱臺ABC—4B1Q的體積.

參考公式:臺體的體積公式為％體=|(S±++S下)h.

11.如圖，在四棱錐P—ABMN中，ZkANM是邊長為2次的正三角形，AN1NPfAN//BM,AN=3人

BM=遮,AB=2V6,C,。分別是線段48,NP的中點.

A

(1)求證：CD〃平面PBM；

(2)求四棱錐P-ABMN的體積.

12.如圖所示，在直四棱柱力BCD中，AB//CD,AB1AD,且2B=4。=1,CD=2,時是。。1的

中點.

(1)證明：BC1B]M；

(2)若1CM,求四棱柱力BCD的體積.

13.在四棱錐P—4BCD中，ABC。為等邊三角形，Z.DAB=120°,AD=AB=PD=PB=2,點E為PC的

中點.

p

⑴證明：BE〃平面P/W；

⑵已知平面PBDJ_平面4BCD,求三棱錐P-4BE的體積.

14.如圖，平面多邊形2BCDE,EA=ED=AD=2BC=2,BC//AD,CD1AD,4BAD=P將AADE沿

著2D翻折得到四棱錐P-力BCD,使得PB=逐，F(xiàn)、G分別是PB、CD的中點.

⑴證明：FG〃平面P4D；

⑵求點G到平面PAB的距離.

15.如圖，矩形A8CD所在的平面與平面ABE垂直，且4E1BE.已知4B=2AD=2BE=2.

⑴求證：BE1DE；

(2)求四棱錐E—ABC。的表面積.

16.已知四棱錐P—4BCD的底面是正方形，AC0BD=0,PA=PD=V5,PO=V3,AD=2,E是棱PC上任

一點.

(1)求證：平面BDE1平面PHC；

⑵若PE=2EC,求點力到平面BDE的距離.

17.在三棱錐?！?8C中，AB=BC=OB2,^ABC=120°,平面BC。J_平面ABC,S.OB1AB.

⑴證明:OB14C；

(2)若F是直線OC上的一個動點，求直線4F與平面2BC所成的角的正切值最大值.

18.如圖，在四棱錐P-4BCD中，平面P4B1平面4BCD,底面4BCD為菱形，AP4B為等邊三角形，且P4=2,

PC1CD,。為AB的中點.

⑴若E為線段PC上動點，證明：AB10E；

⑵求點B與平面PCD的距離.

19.如圖，在多面體A8CDEF中，四邊形48CD與48EF均為直角梯形，AD//BC,AF//BE,ZM1平面ABEF,

AB1AF,AD=AB=2BC=2BE=2,G在力F上，且AG=1.

⑴求證：BG〃平面DCE；

(2)若BF與CE所成的角為60。，求多面體48CDEF的體積.

20.如圖1,E、F、G分別是邊長為4的正方形的三邊力B、CD、4D的中點，先沿著虛線段FG將等腰直角三

角形FDG裁掉，再將剩下的五邊形4BCFG沿著線段EF折起，連接28、CG就得到了一個空間五面體，如圖2.

(1)若。是四邊形EBCF對角線的交點，求證：40〃平面GCF；

⑵若乙4EB=求三棱錐4-BEF的體積.

21.如圖，在梯形ABC。中，AB||CD,AD=DC=CB=1,4ABe=60°,四邊形ACFE為矩形，平面4CFE1

平面ABCD,CF=1.

⑴求證：BC1平面力CFE；

(2)求二面角2-BF-C的平面角的余弦值；

(3)若點M在線段EF上運動，設(shè)平面M4B與平面FCB所成二面角的平面角為火8W90。)，試求cos。的范圍.

22.直四棱柱ABC?！猌/IGA，ABIIDC,AB1AD,AB=2,AD=3,0c=4

⑴求證：4///面Dee/；

(2)若四棱柱體積為36,求二面角&一BD的大小.

23.如圖；在直三棱柱4BC-4當(dāng)。1中，AC=3,BC=AA1=4,AB=5,點。為AB的中點.

⑴求證AC1BG；

(2)求三棱錐&-CD/的體積.

24.如圖，在正四棱臺4BCD—418164中，AB=2A1B1,441=言，M,N為棱當(dāng)。］，如必的中點，棱48

上存在一點E,使得&E〃平面8MND.

⑴求笫

(2)當(dāng)正四棱臺ABCD的體積最大時，證明：

25.已知圓錐的頂點為S,底面圓心為。半徑為2,母線SA、S8的長為2a,"0B=90。且M為線段AB

的中點.

A

⑴證明：平面S0M1平面SA&

⑵求直線與平面SOA所成角的大小.

26.如圖，在三棱錐P-2BC中，PA=PB=V6,PA1PB,AB1BC,/.BAC=30°,平面P4B_1_平面ABC.

⑴求證：PA1BC；

(2)求PC的長度；

(3)求二面角P-AC-B的大小.

27.在圖1中，A4BC為等腰直角三角形，48=90。，AB=2夜，△2CD為等邊三角形，。為AC邊的中點,

E在BC邊上，5.EC=2BE,沿AC將△4CD進(jìn)行折疊，使點。運動到點廠的位置，如圖2,連接尸。，F(xiàn)B,

FE,OE,使得FB=4.

圖1圖2

(1)證明：F。！平面48C；

⑵求點4到平面OEF的距離.

28.如圖，在多面體力8CDEF中，四邊形A8CD是正方形，AE1平面48CD,AE//CF,AB=AE=2CF=2m.

⑴若G為4E的中點，求證：CG〃平面DEF；

⑵若多面體力BCDEF的體積為32,求m的值.

29.如圖，△力DM是等腰直角三角形，AD1DM,四邊形48CM是直角梯形，ABLBC,MC1BC,且28=

2BC=2CM=2,平面力DM1平面4BCM.

D

(1)求證：AD1BM；

(2)若點E是線段DB上的一動點，問點E在何位置時，三棱錐M-4DE的體積為年?

18

30.如圖，在幾何體4BCDEF中，矩形BDEF所在平面與平面力BCD互相垂直，且48=BC=8尸=1,AD=

CD=V3,EF=2.

⑴求證：BD1平面CDE；

(2)求二面角E-AC-D的平面角的余弦值.

31.如圖1所示，在長方形4BCD中，AB=2AD=2,M是DC的中點，將44DM沿4M折起，使得力。1BM,

如圖2所示，在圖2中.

(1)求證：BM_L平面力DM；

⑵求點C到平面BMD的距離.

32.如圖，四邊形A2CD為菱形，ED1平面ABC￡),FB||ED,BD=ED=2FB.

E

⑴求證：平面BDEF_1_平面MC；

(2)記三棱錐4-EFC的體積為明,三棱錐4-BFC的體積為彩，求3的值.

V2

33.在直角梯形48CD中(如圖一)，4B〃DC,4D1DC,AD=DC==2.將△2DC沿ZC折起，使4。1DB

(如圖二).

⑵設(shè)E為線段48的中點，求點E到直線CD的距離.

34.如圖，直角梯形4BCD中，AD//BC,乙84。=90。，AB=ADV2,BC=2立,將△48。沿BD翻折至

△4BD的位置，使得4B14c.

(2)若尸，H分別為BC,AC的中點，求三棱錐4—DFH的體積.

35.已知四棱錐P-4BCD中，底面力BCD為平行四邊形，ABIAP,平面PCD_L平面ABC。,PD=4D.

p

(1)若H為4P的中點，證明：4P1平面HCD；

(2)若力B=1,AD=V5,PA=2V2,求平面P4B與平面PCD所夾角的余弦值.

36.在圖1中，△力BC為等腰直角三角形，Z.B=90°,AB=2V2,△ACD為等邊三角形，。為AC邊的中

點，E在BC邊上，且EC=2BE,沿AC將△ACD進(jìn)行折疊，使點。運動到點產(chǎn)的位置，如圖2,連接尸O,

FB,FE,使得FB=4.

圖1圖2

⑴證明：F0

(2)求二面角E-FA-C的余弦值.

37.如圖，長方體ABC。-4B/GS的底面ABC。是邊長為2的正方形，A4/=4,點E為棱A4/的中點.

G

⑴求證：BE_L平面E8/G；

⑵求點A到平面CEBi的距離.

38.已知直棱柱2BCD的底面2BCD為菱形，且AB=4D=BD=2百,4&=3,點E為2區(qū)的

中點.

(1)證明：4E〃平面BDG；

(2)求三棱錐E-BDQ的體積.

39.在長方體4BCD—4/1GD1中，AD=DDr=1,AB=V3,E、F、G分別為A3、BC、好劣的中點.

(1)求三棱錐a-GEF的體積；

(2)點尸在矩形4BCD內(nèi)，若直線DiP〃平面EFG,求線段/P長度的最小值.

40.如圖，線段A41是圓柱0。1的母線，BC是圓柱下底面。。的直徑.

(1)若。是弦力B的中點，且荏=：麗\求證：DE〃平面4BC；

(2)若8c=2,N2BC=30。，直線4C與平面ABC所成的角為%求異面直線力］。與48所成角的大小.

專題09立體幾何平行垂直的證明和定義法求空間中線與角的

問題

1.如圖，在多面體4BC-DEFG中，平面力BC||平面DEFG,底面2BC是等腰直角三角形，AB=BC=V2,

側(cè)面ACGD是正方形，DA，平面ABC,且FB||GC,GE1DE.

(1)證明：AE1GE.

(2)若。是DG的中點，OE||平面BCGF,求直線OE與平面BDG所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵手

【分析】(1)利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證明即可；

(2)利用等體積法求得點E到平面BDG的距離％,再根據(jù)線面角的公式計算即可.

【詳解】(1)因為平面4BC,平面4BC||平面DEFG,所以_L平面DEFG,

又因為GEu平面DEFG,所以￡M_LGE,

因為GEIDE,DACtDE=D,DA,DEu平面ADE,

所以GE1平面ADE,

因為AEu平面ADE,

所以AE1GE.

(2)如圖，因為。是DG的中點，OE||平面BCGF,OEu平面。ETG,且平面OEFGC平面BCGF=GF,

所以O(shè)E||GF,

19/81

因為平面4BC||平面DEFG,

平面ABCn平面D4CG=AC,平面DEFGCl平面D4CG=DG,

平面ABCCl平面BCGF=BC,平面DETGCl平面BCGF=GF,

所以ACIIDG,BC||GF,

因為△ABC是等腰直角三角形，

所以NDOE=Z.DGF=^ACB=45°,

又因為AB=BC=<2,側(cè)面4CGD是正方形，

所以AC=CG=2,OE=^DG=1,

所以點E到DG的距離為。Esin45。='，

所以SADEG=[X2X￥=￥，則VB-DEG=|xyX2=y,

又BC=VXGC=2,所以BG=BD=病,。8=有，

所以SABCD=Ix2xV5=V5,

設(shè)點E到平面BDG的距離為h,

由力-DEG—%-BDG可得]X有X九=/,解得/l—駕,

所以直線。E與平面BDG所成角的正弦值為白=半.

OE5

2.如圖，在三棱柱4BC-&B1C1中，AB=BC,AB±=BrC.

20/81

(1)證明：ACIB/；

(2)若力B=BBi=2,AB、=瓜乙4BC=120。，點E為的中點，求三棱錐C-BB】E的體積.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)取AC的中點D,連接BD,BiD,即可證明AC1平面BB]D,從而得證；

(2)證明B]D1平面ABC,根據(jù)點E為AB1的中點得出體積的關(guān)系，最后應(yīng)用棱錐的體積公式計算即可.

【詳解】(1)取AC的中點D,連接BD,BiD,

vAB=BC,AB1=B]C,AC_LBD,AC1B]D,

又BDnB】D=D,BiDu平面BB]D,BDu平面BB1D,AC_L平面BB】D,

而BBiu平面BB]D,

???AC1BjB；

4G

B

(2)在AABC中，AB=BC=2,zABC=120°,

可得BD=|AB=1,AC=2AD=2V3,

在AABiC中，ABi=BiC=V6,AC=2V3,可得B1D==I=百，

在ABBiD中，BD=1,B1D=V^,BB1=2,

可得BD?+BID2=B$2,即BIDIBD,

由(1)知，AC1平面BBiD,ACu平面ABC,所以平面ABC1平面BB】D,

又平面ABCC平面BB】D=BD,BtDu平面BB】D,

???BtD，平面ABC,點E為AB1的中點，

三棱錐C-BB】E的體積

111111用「'

Vc-BBjE='V—BBIA=2VB「ABC=]xSABCxBtD=-x-x-x2x2x—xV3=-

3.《九章算術(shù)?商功》：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉席.陽馬居二，鱉腌居一，不易

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之率也.合兩鱉臊三而一，驗之以茶，其形露矣.”劉徽注：“此術(shù)腌者，背節(jié)也，或曰半陽馬，其形有似鱉肘,

故以名云.中破陽馬，得兩鱉腌，鱉腌之起數(shù)，數(shù)同而實據(jù)半，故云六而一即得

(1)若4B=1,BC=2,CD=1,試求異面直線AC與8。所成角的余弦值.

⑵若BD1CD,力B=BD=CD=2,點尸在棱AC上運動.試求APB。面積的最小值.

【答案】⑴?白

(2)V2.

【分析】(1)分兩種情況BC1CD,BD1DC討論，分別求解異面直線AC與BD所成角的余弦值.

(2)作PQ1BC于點Q,作QM_LBD于點M,連結(jié)PM,先證明PM_LBD,從而表示出面積〃PBD=2BD?PM,

最后通過平行線分線段成比例求解PM范圍，從而求解面積的最小值；

【詳解】(1)如圖，以DB,DC為臨邊作平行四邊形BDCE,連結(jié)AE,則異面直線AC和BD所成的角為NACE或

其補(bǔ)角，

當(dāng)BC1CD時，AB=1,BC=2,CD=1,

且由(1)可知，AE=Vl2+I2=V2,AC=Vl2+22=V5,EC=BD=<22+I2=近,

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AC2+EC2-AE24

△ACE中,cosZ.ACE=

2xACxEC5

所以異面直線AC和BD所成的角的余弦值為短

當(dāng)BD_LDC時，AE=V2,AC=V5,EC=BD=V22-l2=V3,

AC?+EC2-AE?_V15

△ACE中,cosZ.ACE=

2XACXEC5

所以異面直線AC和BD所成的角的余弦值為卓；

綜上可知，異面直線AC和BD所成的角的余弦值為（或號;

如圖，作PQ1BC于點Q,作QM1BD于點M,連結(jié)PM,

AABC中，AB,PQ都垂直于BC,所以AB〃PQ,

所以PQ_L平面BCD,且BDu平面BCD,所以PQ1BD,

又因為QM1BD,PQnQM=Q,PQ,QMu平面PQM,

所以BD1平面PQM,PMu平面PQM,所以PM_LBD,

設(shè)CQ=x,CB=2V2,由器=將=生=葉=,

"ABCB22V2

得PQ=/，（OWxW2夜），

QM2V2-XQM

△BCD中，—-------------------------

CD2V22

得QM=與

V2

PM=JPQ2+QM2=后+.早）=Vx2-2>/2x+4

2>V2，當(dāng)且僅當(dāng)x=企時，等號成立,

所以SAPBD=|BD-PM>|X2XA/2=V2.

所以△PBD面積的最小值是魚.

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【點睛】關(guān)鍵點睛：讀懂題意，第一問容易忽略一種情況，是本題的易錯點；第二問通過平行線分線段成

比例求解PM范圍時題目的難點和突破點.

4.如圖，在四棱錐P—HBCD中，四邊形力BCD是正方形，PD=AD=1,P。_L平面48CD,點E是棱PC的

中點，點尸是棱PB上的一點，且EF1PB.

(1)求證：P4〃平面EDB；

⑵求點尸到平面ED8的距離.

【答案】(1)證明見解析

⑵誓

【分析】(1)利用三角形中位線證明線線平行，即可由線面平行的判斷求證,

(2)根據(jù)垂直關(guān)系以及相似求解長度，即可利用等體積法求解.

【詳解】(1)連接AC交BD于G,連接EG,如圖所示.

因為四邊形ABCD是正方形，所以G是AC的中點，又點E是棱PC的中點，

所以EG是APAC的中位線，所以PA〃EG,

又PAC平面EDB,EGu平面EDB,所以PA〃平面EDB.

(2)因為PD1平面ABCD,DC,BCu平面ABCD,所以PD1DC,PD1BC,

XBC1CD,CDnPD=D,CD,PDu平面PCD,所以BCJ?平面PCD,

又PC,DEu平面PCD,所以PCIBC,DE1BC.

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在APDC中，PD1DC,PD=CD=1,E是PC的中點，所以PE=EC=DE=/,DE1PC,

又DE1BC,BCnPC=C,BC,PCu平面PBC,

所以DE,平面PBC,所以DE是三棱錐D—BEF的高.

在APBC中，PC1BC,PC=V2,BC=1,所以PB=g,

所以RtABCP?RtAEFP,所以安,

PCEPV3口「BCEPV62V3

得PF=,EF-——，BF=——,

BP63

VD-BEF="ABEF?DE=?x卜BF?EF?DE=2.

OoZlo

在ABDE中,BD=V2,DE=號,BE=VEC2+BC2=J(y)2+I2=y-

所以BD2=DE2+BE?,所以DEIBE,

所以SABDE=mDE.BE=f.

設(shè)點F到平面EDB的距離為h,所以VF-BDE=7^ABDEh=~h=VD_BEF=解得h=—

312lo9

即點F到平面EDB的距離為常

5.如圖所示的幾何體中，四邊形2BCD為平行四邊形，ZXCD=90°,48=1,XD=2,四邊形ABEF為正

方形，平面4BEF1平面ABC。，P為DF的中點，AN1CF,垂足為N.

⑴求證：AN1平面CDF；

(2)求異面直線BF與PC所成角的正切值;

(3)求三棱錐B-CEF的體積.

【答案】(1)證明見解析

25/81

【分析】(1)由AB1AF,CD1AF,可證得CD_L平面ACF,得CD1AN,又AN1CF,即可證得結(jié)論；

(2)設(shè)ACnBD=O,P為DF的中點，。是BD中點，得BF||P0,貝吐CPO是異面直線BF與PC所成角，即可求

解；

(3)可證得AF1平面ABCD,則三棱錐B-CEF的體積：VB_CEF=VC_BEF,計算即可.

【詳解】(1)?，四邊形ABEF為正方形，:AB_LAF,

???四邊形ABCD為平行四邊形，z_ACD=90。，

???CD1AC,AB||CD,CD1AF,

VAFnAC=A,AF.ACu平面ACF,:.CD1平面ACF,

???ANu平面AFC,CDIAN,

???AN1CF,CFnCD=C,CF,CDu平面CDF,???AN1平面CDF.

(2)?四邊形ABCD為平行四邊形，ZACD=90°,AB=1,AD=2,

???AC=VAD2-CD2=V4-1=V3,?-.AO=CO=y,

???四邊形ABEF為正方形，平面ABEF_L平面ABCD,平面ABEFCl平面ABCD=AC,zACD=90°,CDu平面ABCD,

CD1平面PAC,???PCu平面PAC,CD1PC,

VP為DF的中點，AP=CP=?D=|VAF2+AD2=|V1T4=y,

設(shè)ACnBD=O,???P為DF的中點，。是BD中點，BF||PO,

??.NCPO是異面直線BF與PC所成角，

sinZCPO=^=|=^.

2

???coszCPO=—,tanZCPO=—,

52

???異面直線BF與PC所成角的正切值為一.

(3)???平面ABEF1平面ABCD,平面ABEFC平面ABCD=AB,AF1AB,AFu平面ABEF,

AF_L平面ABCD,CA=VBC2-BA2=V3,

26/81

.??三棱錐B-CEF的體積：VB_CEF=VJBEF=^SABEFxCA=ixixlxlxV3=—

3326

6.如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD=PB,底面4BCD是邊長為2的菱形.

B

⑴證明：平面24C_1_平面48。0；

（2）^PDLAB,PA1PC,且求四棱錐P-ABC。的體積

【答案】（1）證明見解析

⑵竽

【分析】（1）連接DB交AC于點0,連接P0,根據(jù)ABCD是菱形，得到BD1AC,且。為BD的中點，再由PB=PD,

得到P01BD,進(jìn)而得到BD1平面APC,然后利用面面垂直的判定定理證明；

（2）解法一：由（1）知平面APC1平面ABCD,利用面面垂直的性質(zhì)定理得到BD，平面APC,從而由VP_ABCD=

2VB_PAC求解；解法二：易得三棱錐P-ABD是為棱長為2的正四面體，而它所對應(yīng)的正方體的棱長為近，

從而由Vp_ABCD=2Vp_ABD=2x：xv正方體求解;解法三:取AB中點M,連接DM交AC于點H,連接PH.由ZiABD

是等邊三角形，得到DM1AB,再由PD1AB,得到AB_L平面PDM,從而AB1PH,再由BD1PH,得到PH1

平面ABCD,然后由四棱錐的體積為V=（SABCD?PH求解.

【詳解】（1）證明：如圖所示：

連接DB交AC于點0,連接P0,

因為ABCD是菱形，所以BDLAC,且0為BD的中點,

27/81

因為PB=PD,所以PO1BD,

又因為AC,POu平面APC,且ACnPO=O,AC,POu平面APC,

所以BD1平面APC,

又BDu平面ABCD,所以平面APCJ_平面ABCD.

(2)解法一：由(1)可知，平面APC_L平面ABCD,

又平面APCCl平面ABCD=AC,BD1AC,BDu平面ABCD,所以BD1平面APC,

所以VP_ABCD=2VB_PAC，由已知可得AC=2V3,BD=2,

又APIPC,且。為BD的中點.所以0P=百,PD=2,

又PD_LAB,AB||CD,所以PD1CD,

所以PC=2夜,PA=2,

所以VP_ABCD=2VB.PAC=jxSAPACxBD=JxIx2x2V2x2=^.

解法二：由已知可得：△ABD為正三角形，且AC=2b,BD=2,

又APIPC,且。為BD的中點，

所以O(shè)P=1AC=g,PD=PB=2,又PD1AB,AB||CD,

所以PD1CD,

從而PC=2夜,PA=2,

所以三棱錐P-ABD是為棱長為2的正四面體，而它所對應(yīng)的正方體的棱長為魚,

所以Vp-ABCD=2Vp_ABD=2XWxV正方體=

解法三*如圖所示：

取AB中點M,連接DM交AC于點H,連接PH.

因為NBAD=g,所以△ABD是等邊三角形，所以DM1AB,

又因為PD1AB,PDClDM=D,PD,DMu平面PDM,

28/81

所以AB，平面PDM,PHu平面PDM,所以AB1PH,

由(1)知BD1PH,且ABCiBD=B,AB,BDu平面ABCD,所以PHJ_平面ABCD.

由ABCD是邊長為2的菱形，

在小ABC中，AH==—,A0=AB■cos30°=V3,

cos30°3

由AP_LPC,在AAPC中，PH?=AH-HC=￥X￥="所以PH=竽.

所以四棱錐的體積為V=j-SABCD?PH=：義2bX手=竽.

7.如圖，在三棱柱ABC—AjS1cl中，側(cè)面BBiQC為菱形，^CBBr=60°,AB=BC=2,AC=ABr=V2.

(1)證明：平面AC%1平面BBiGC；

(2)求二面角4-&的一當(dāng)?shù)挠嘞抑?

【答案】(1)證明見解析

(2)|

【分析】(1)先證明AD1平面BBigC,再根據(jù)面面垂直的判定可得平面ACB]，平面BBiJC；

(2)取AR1的中點E,連AJ,AE,B】E,可證NAEB1為二面角A-A1。-B]的平面角，計算可得結(jié)果.

【詳解】(1)連BCi、BiC交于D,則D為BQ、B]C的中點，連AD,

因為AC=AB「所以AD_LBiC,

因為側(cè)面BBigC為菱形，zCBBj=60",AB=BC=2,AC=AB1=V2,

所以BD=W,AD=1,所以AB?=BD2+AD?,即AD1BD,

因為B]CCBD=B,B]C,BDu平面BBiJC,

所以AD_L平面BBigC,因為ADu平面ACBi，

所以平面ACBi1平面BBigC.

29/81

A/i

(2)取AR1的中點E,連ACj,AE,B】E,

由(1)知，AD1BD,又BD=DC「所以AC】=AB=2,

又AAi=Cg=2,所以AElAiJ,同理得B】E_LA]C「

所以NAEBi為二面角A-A?-Bi的平面角,

在4AEBi中，AE=VAA?-AiE2=

B[E=JA]B,—A1E2=，AB】=v2,

AE2+BF-AB5

所以COSNAEBI=

2AE?B】E7

所以二面角A-AZ1—Bi的余弦值為意

8.如圖，在直三棱柱ABC-AiBiG中，ACLBC,且AC=BC,4B=BB1=4,E為A41的中點，F(xiàn)為線段B]C

上一點，設(shè)CF=4CBi.

（1）當(dāng)4=決寸，求證：EF||平面4BC.

⑵當(dāng)三棱錐的-4BF的體積為軻，求4的值.

【答案】（1）證明見解析

（2）入=；或入=:

【分析】（1）由題，取BC的中點G,連接GF,GA,通過證明四邊形EFGA為平行四邊形可證明結(jié)論；（2）注意

30/81

C「ABFAJBFA

到V=V-，AC為三棱錐A-BC】F的高，V_CC1B1=y=2VA_C1BF,則可得F到BJ的距離為C到BC1

的距離的點據(jù)此可得答案.

【詳解】(1)當(dāng))=［時，F(xiàn)為BE的中點，取BC的中點G,連接GF,GA,

有GF〃BBi，且GF=：BBi=2,在直三棱柱ABC—人送區(qū)1中，AAJ/BB1,

所以GF//AAr因為AE=1AAt=2,所以FG〃AE且FG=AE,

所以四邊形EFGA為平行四邊形，所以EF〃AG.

XEF<t￥ffiABC,AGciF^ABC,所以EF〃平面ABC.

(2)三棱錐J-ABF的體積相當(dāng)于三棱錐A-BC#的體積，

因為CCi1平面ABC,ACu平面ABC,所以Cg1AC,且AC1BC.

因為BCnCC］=C,BC,CCiu平面BCCiB］,所以AC1平面BCC】B「即AC為三棱錐A-BC#的高.

在平面BCQB］中，△8。(：的面積2><4*2夜=4/，

那么三棱錐A-BC】C的體積V=1x4V2x2V2=y=2VC1_ABF,

且這兩個三棱錐的高相等，可得SABGC=2SABC1F,

可得F到BJ的距離為C到BC1的距離的5

因此F為B】C的四等分點，即入=［或入=*

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9.如圖，四棱柱4BCD-a/iGA的側(cè)棱44」底面”。，四邊形A2C。為菱形，E,歹分別為CC「力久的

中點.

⑴證明:B,瓦％,尸四點共面；

(2)若4B==2/DAB=%求點A到平面呂石名尸的距離.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)取D]D的中點為G,通過證明FD/AG、AG//BE,進(jìn)而證明FD/BE即可.

(2)運用等體積法VA-BEF=VB_AEF即可求得結(jié)果.

【詳解】(1)取DID的中點為G,連接AG,GE,由E,G分別為CC「DD1的中點，

所以四邊形ABEG為平行四邊形，

故AG〃BE,

又因為F是AAi的中點，

所以FD/AG,

所以FD1//BE,故B,F,Di，E四點共面.

(2)易知四邊形BED#為菱形，且BE=V5,BD】=JBD?+Dp=V22+22=2vLEF=AC=2百，BD=

2,

32/81

所以菱形BED/的面積為（BDi?EF=|X2/X2百=2傷，

設(shè)點A到平面BEF的距離為d,點B到平面AEF距離為h,且〃AEF=jx1x2A/3=V3,

由，得：

VA-BEF=VB-AEFJSABEF-d--SAAEF-h,

因為AC1BD,AC//EF,

所以BD1EF,

又因為BD1AF,AFnEF=F,AF、EFu面AEF,

所以BDiffiAEF,

所以h=|BD=1,

所以1-2-\/6-d=V3-1=>d=曰.

故點A到平面BED#的距離為當(dāng)

「「乙

10.如圖所示，已知三棱臺ABC一力iBiQ中，ABr1BBCBX1BB^ABBX=CBB[=60°,AB1BC,

BBi=1.

（1）求二面角a-B1B-C的余弦值；

⑵設(shè)瓦F分別是棱AC,&C］的中點，若EF1平面4BC,求棱臺/BC-的體積.

參考公式：臺體的體積公式為％體=］（S上+Js上S下+S下）fi.

【答案】⑴-：

⑵等

【分析】（1）依題意NABiC為二面角A-BBi-C的平面角，利用余弦定理計算可得；

（2）將棱臺補(bǔ)全為三棱錐，依題意可得BBi1面AB1。即可得到BBi1EB「再由EE1平面ABC得到EF1EB,

即可得到F為OE的中點，最后根據(jù)丫=VO_ABC-VO-AIBIG=［VO-ABC計算可得.

【詳解】（1）因為ABi^BBi，CB1J.BB］，所以二面角A-BB1一C的平面角為/AB1&

33/81

因為NABBi=zCBBi=60°,BB1=1,所以AB】=CB1=V3,AB=CB=2.

因為ABIBC,所以AC=2a.

因為AC?=ABg+CB羊-2ABi?CBt-coszABtC,

所以COSNAB】C=—I，故二面角A—BBi—C余弦值為—

(2)因為ABC—AiBiCi是三棱臺，所以直線AAi、BB1、CJ共點，設(shè)其交點為0,

因為E、F分別是棱AC、AR1的中點，所以直線EF經(jīng)過點O.

因為AB11BB],CB11BBi，AB】nCBt=B1且AB】,CBiu面AB】C,所以BB11面AB?

又EBiu面AB]C,所以BBi1EB「

因為EB=&,BBi=1,所以NBiBE=45。.

因為EE1平面ABC,EBu平面ABC,所以EF1EB,

所以EF=BB「sin/EBBi=OE=EB=V2,故F為OE的中點.

二棱臺ABC—A]BiCi的體積V=VQ-ABC—VQ-ABC

=2x工xOExS=-x-xV2xix2x2--.

83△AAABDCL83212

11.如圖，在四棱錐P—ABMN中，ZkPNM是邊長為28的正三角形，AN1NP,AN//BM,AN=3V3,

BM=V3,AB=2V6,C,。分別是線段AB,NP的中點.

34/81

A

(1)求證：CD〃平面PBM；

(2)求四棱錐P-ABMN的體積.

【答案】(1)證明見解析

⑵12

【分析】(1)取MN中點Q,連接CQ,DQ,則由已知條件結(jié)合線面平行的判定可證得DQ||平面BMP,CQ||平

面BMP,貝lj平面CDQ||平面BMP,再由面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論；

(2)過B作BE||MN交AN于E,可證得AE1BE,則AN1NM,得AN1平面NMP,再由面面垂直的判定可得

平面ANMB1平面NMP,再利用面面垂直的性質(zhì)可得PQ_L平面ANMB,從而可求得結(jié)果.

【詳解】(1)證明：如圖，取MN中點Q,連接CQ,DQ,

因為D是線段NP的中點

所以DQIIMP,

因為DQC平面BMP,MPu平面BMP,

所以DQ||平面BMP.

因為在梯形ABMN中，Q為MN的中點，C是AB的中點,

所以CQ||MB,

因為CQU平面BMP,MBu平面BMP,

35/81

所以CQ||平面BMP,

因為DQnCQ=Q,DQ,CQu平面CDQ,

所以平面CDQ||平面BMP,

因為CDu平面CDQ,

所以CD||平面BMP；

(2)如圖，在梯形ABMN中，過B作BE||MN交AN于E,則四邊形MNEB為平行四邊形，

所以MN=EB=2V3,

在4AEB中，得AE=2V3,BE=2百，AB=2傷，

則AB?=AE2+BE2,所以AE_LBE,

因為BE||MN,

所以AN1NM,

又ANJ.NP,NMnNP=N,NM,NPu平面NMP,

所以AN1平面NMP,

又ANu平面ANMB,

平面ANMB，平面NMP,

連接PQ,因為APNM為等邊三角形，Q為MN的中點，

所以PQ_LMN,

又平面ANMBn面NMP=MN,PQu平面MNP,

所以PQ_L平面ANMB,

因為在等邊APNM中，MN=2V3,Q為MN的中點，

所以PQ=3,

所以四棱錐P-ABMN的體積為：

3xS梯形ABMNxPQ=]x5x(38+V3)x2v5x3=12.

12.如圖所示，在直四棱柱ABCD中，AB//CD,ABLAD,且AB=AD=1,CD=2,M是。劣的

中點.

36/81

(1)證明：BCIBiM；

(2)若1CM,求四棱柱力BCD的體積.

【答案】(1)證明見解析

(2)372

【分析】(1)連接BD,求出BD、BC,即可得到BC1BD,由線面垂直得到BB11BC,即可證明BC1平面BiBDD「

從而得證；

(2)設(shè)AAi=2a(a>0),利用勾股定理表示出JM?、CM2>BR2,再由B】M，CM求出a,最后根據(jù)柱體

體積公式計算可得.

【詳解】(1)如圖，連接BD,AB=AD=1,CD=2,AB//CD,AB1AD,

BD=VAB2+AD2=A/2,BC=y/12+(2-I)2=企，

BD2+BC2=CD2,BC1BD,

BBi1平面ABCD,BCu平面ABCD,:.BB]1BC,

又BB]CBD=B,BBi，BDu平面BiBDDi，BC_L平面B]BDD「

B]Mu平面B]BDDi，???BC1B1M.

(2)設(shè)AAi=2a(a>0),則由己知可得BiM?=+DiM2=2+a2,

CM2=CD2+MD2=4+a2,BjC2=BBg+BC2=2+4a2,

222

BtM±CM,BtM+CM=BiC,即2+a?+4+a?=2+4a?,

37/81

解得a=A/2(負(fù)值舍去)，,AA]=2&，

二四棱柱ABCD-AiBigDi的體積V=S梯形ABCD-AAt=|x(1+2)x1x2V2=3a.

13.在四棱錐P—ABC。中，ABCD為等邊三角形,^DAB-120°,力。=48=PD=P8=2,點E為PC的

中點.

（1）證明：BE〃平面PAD；

⑵己知平面PBD_L平面4BCD,求三棱錐P-4BE的體積.

【答案】（1）證明見解析

若

【分析】（1）作出輔助線，證明出面面平行，進(jìn)而得到線面平行；

（2）作出輔助線，由面面垂直得到POL平面ABCD,結(jié)合AD=AB=PD=PB=2,求出各邊長，利用線

段比例關(guān)系和等體積法求解三棱錐的體積.

【詳解】（1）證明：取CD的中點M,連EM,BM,

：E為PC中點，

/.EM//PD,

又EMC平面PAD,PDu平面PAD,；.EM〃平面PAD,

又BCD為等邊三角形，AMB±CD,

VzDAB=120°,AD=AB,

38/81

AzADB=ZABD=30°,zADC=zCDB+ADB=60°+30°=90°,

.-.AD±CD,

AMB//AD,

又MBC平面PAD,ADu平面PAD,

.二MB〃平面PAD,EMnMB=M,EM,MB

平面EMB〃平面PAD,

VEBu平面EMB,

；.EB〃平面PAD.

(2)連接AC交BD于O,連接PO,

因為BC=CD,AD=AB,AC垂直平分BD,

故O為BD中點，A