2025年高考數(shù)學(xué)大題突破訓(xùn)練：解三角形（6大題型）學(xué)生版+解析

培優(yōu)專題01解三角形

暗植墨嚏!特鋼?布塞提下

題型1中線、角平分線、垂線條件的應(yīng)用

|.TXTATXTXTJiTATXTXT4iTATATXTAiTATATXT4iTATJiTJiTJiTJiTATATXTXT4iTAT4iTATXTXTXTATXTJlTXTXTATAT4iTAT4iT4iT4iTJiT4iTAiTAT4iTJbTAT4iTJiTXTJiTJiTATXTXTATXTXTXTXTATXTXTATJiTATATJiTJiTJiTJ

占

一、中線問題

如圖，△ABC中，AD為BC的中線，己知AB,AC,及/A,求中線AD長.

C

②向量法：通+碼，平方即可;

③余弦定理：鄰補(bǔ)角余弦值為相反數(shù)，即cos乙4DB+cos/ADC=0

注：若或?qū)l件“AD為BC的中線”換為“處=4”則可以考慮方法②或方法③.

CD

二、角平分線問題

△ABC中，AD平分/BAC.

①角平分線定理：條二黑

證法（等面積法）也=處&_AB?比得理=理

12一，

ACACCD

SACDCD%-a

注：4為A到BC的距離，為為D到AB,AC的距離.

證法2（正弦定理）

,罰ABBDACCD工.八.八?〃.人如丁山/口ABBD

如圖，-=-,—=-,|TijsmZl=smZ2,sinZ3=sinZ^4,整理得=

sinN3sinNlsinN4sinN2ACCD

②等面積法

11A1A

S^BC=S^BD+5，AAZ）C=>—xACxsinA=—ABxADxsin——F—ACxADxsin一

三、垂線問題

①等面積法：ADBC=ABAC-sinZBAC

②AD=AB?sinZABD=AC-sinZACD

@a=c-COSB+bCOSC

一、解答題

1.(2025?河南鄭州?一模)記VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊為a,b,c,已知從+/_/=^bc,2sin(C-A)=sinB.

⑴求sinC;

⑵設(shè)BC=10,求3c邊上的高.

2.(24-25高三上?湖北武漢?期末)在VABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,點(diǎn)。為線段AC的

中點(diǎn)，A,C滿足(sinA-sin。？=sin2(A+C)-sinAsinC.

⑴求5

(2)若VA3C的面積為石，b=岳,求中線8。的長.

3.(24-25高三下?湖南婁底?階段練習(xí))在VA3C中，點(diǎn)D在線段2C上，AD平分

(1)嘗試?yán)玫让娣e法或者正弦定理證明角平分線定理，即請(qǐng)證明：—=—；

ACZ-xCz

(2)若畫=U葉2,ABAC=1，則畫是多少?

4.(2025?河北?模擬預(yù)測(cè))在VA3C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,A=120°,。為BC邊上一

點(diǎn).

b2

(1)若NAOC=60",一=大，求幻〃NBA。的值；

c3

(2)若。=&?,AD是角A的平分線，且=求6+c的值.

5.(23-24高三下?福建?開學(xué)考試)在VABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且

c(5cosA-cos2A)sinB=3&sinC.

⑴求A;

(2)過點(diǎn)A作A3的垂線與3C的延長線交于點(diǎn)。，BC=3CD,的面積為2石，求VABC的周長.

6.(2024?廣西?模擬預(yù)測(cè))VABC的內(nèi)角A,dC的對(duì)邊分別為電仇c,已知(sin3+sinC)2=sin2A+sinBsinC.

⑴求A；

(2)若°=若，NBAC的角平分線交BC于點(diǎn)。，求線段長度的最大值.

7.(24-25高三下?山西?開學(xué)考試)在銳角VA3C中，角AB,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,

a(2-cosC)=c(2cosB+cosA),b=y/3.

⑴求C；

(2)記。為AC的中點(diǎn)，求的取值范圍.

題型2面積、周長、邊角的最值與范圍問題

一、三角形面積和周長的最值、范圍問題

(1)求周長：三角形周長等于三邊和，但是有的時(shí)候需要轉(zhuǎn)化

周長=Q+Z7+C=(a+Z7)+C=Q+(Z7+C)=(Q+C)+Z7

(2)面積公式：S.ABC=—absinC=—bcsinA=—acsinB

A222

SAABC=黑=：(a+6+c)/(r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算R,r.)

(3)求周長的模型：

222

a=b-\-c-2bccosA99

<=>(b+c)=a+2bc+2bccosA

(b+c)2=b2+2bc+c2

(4)基本不等式

①a,bwR+n>4ab②abW(包心了(當(dāng)且僅當(dāng)?！〞r(shí)取“=”號(hào))

22

(5)利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為內(nèi)角A、B、C有關(guān)的三角函數(shù)。

①和差角公式：sin(a±J3)=sinacos(3±cosasin[3cos(cr±/?)=cosacos，干sinasin(3

②輔助角公式：asina+bcosa=yla2+b2sin(a+cp)

/七*4.bab、

(其中sin。=i——，cos(p=.,tan^>=—).

、^a2+b2J/+廬a

二、解題思路步驟

J2.22/1.12r\i2

①利用基本不等式：cosA=--S_Z￡_=.0一0一a,再利用6+cN2癡及b+c>a,求出j

2bc2bc

*2_2,八_〃2

b+c的取值范圍或者利用cosA=——>

2bc2bc

②利用三角函數(shù)思想：b+c=2RsmB+2RsmC=2RsinB+2Rsin(A+B),結(jié)合輔助角公式及三角函j

數(shù)求最值

一、薜答窗

1.(2025?江西贛州?一模)記VABC的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為。，&c,已知tanAtanB=(2tanA-tanZ?)tanC.

(1)求證：a2+c2=2b1;

⑵已知6=2,當(dāng)角8取最大值時(shí)，求VABC的面積.

2.(24-25高三上?海南省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí))在銳角VA3c中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

S為VABC的面積，且2S=〃一儂一op.

(1)求sinA+2cosA的值；

(2)已知a=2,求VA3C的面積的最大值.

3.(2025高三?全國?專題練習(xí))已知VA3C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,且5a+4b=5ccos3.

(1)求cosC；

(2)若2a+b=4sinA+2sin5,求VA3C周長的最大值.

4.(24-25高三下?全國?開學(xué)考試)在銳角三角形A3c中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,己知

5cosA—3=cos2A.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若a=3,求VABC的周長/的取值范圍.

5.(2025?貴州遵義?模擬預(yù)測(cè))已知VABC的內(nèi)角A、3、C的對(duì)邊分別為，，b,。，且其COS3=QCOSC+CCOSA.

⑴求tanB；

冗7T

(2)若Ae,且。=1,求6+c的取值范圍.

6.(24-25高三上?山東青島?期末)已知丫43。內(nèi)角48,€'的對(duì)邊分別為久反￡',&2=c(a+c).

(1)證明：B=2C；

2sinA

⑵求------1-----的最小值.

cosCsinB

7.(24-25高三上?貴州黔南?期末)在①cos28=cos(A+C),②加inA=acos[B-%J,③6bsiti<4+acosB=2a

這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解決該問題.

問題：已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,.

⑴求B；

(2)若。=8,求VABC面積的取值范圍.

4

8.(24-25高三上?四川成都?階段練習(xí))在三角形A3C中，內(nèi)角A氏C的對(duì)邊分別為瓦c,且ccos3+i=a.

⑴求cosC；

(2)若a=2,且/+。2<4,求+的取值范圍.

題型3解三角形與三角函數(shù)交匯

點(diǎn)

一、降塞公式

.1.八.21-cos2a21+cos2a

sinacosa=—sm2a\sina=------------;cosa=------------

222

二、輔助角公式

；asina+Z?cose=J/+/2sin(a+0)(其中sin0=1-----cos0=1-------------^,tan夕=一).

7h+r6+-a

;三、三角形角的關(guān)系

ABCJT

(1)AABC中，A+B+C=7i,-+-+—=-

；32222

(2)sin(A+3)=sin(=—C)=sinC,cos(A+B)=cos(^-C)=-cosC

.A+B.,7iC,CA+B,7iC..C

■sin--------=sin(----------)=cos-cos--------=cos(----------)=sin一

!(3)222212222

一、w

1.(24-25高三上?安徽六安?階段練習(xí))設(shè)三角形ABC的內(nèi)角A&C的對(duì)邊分別為仇。且

LA

sin(B+C)=2V3sin2y.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若匕=3,3C邊上的高為《石，求三角形ABC的周長.

2.(23-24高三上?云南曲靖?階段練習(xí))已知向量正=(cosx,-l),〃=1百sinx,-；］,設(shè)函數(shù)

/(尤)=(根+〃)?根一2.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間及其圖象的對(duì)稱軸方程；

⑵已知a,b,c分別為三角形ABC的內(nèi)角AB,C對(duì)應(yīng)的三邊長，A為銳角，a=l,c=^3,且/'(A)恰是函數(shù)

/(x)在。胃上的最大值，求三角形ABC的面積.

71

3.(2024?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè))已知VABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，6,c,/(x)=4cosxsinx--

的最大值為〃A).

⑴求角A；

⑵若點(diǎn)。在BC上，滿足3c=3￡>C,且AD=?,AB=0解這個(gè)三角形.

4.(2024?河北衡水?一模)在VABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,6,c,三角形面積為S,若。為AC邊

上一點(diǎn)，滿足AB，8ZZBD=2,且/=一2叵s+"cosC.

3

⑴求角B;

5.（2024?上海奉賢?三模）已知三角形ABC的三個(gè)角對(duì)應(yīng)的邊分別為。、b、c

（1）求證：存在以sinAsin3,sinC為三邊的三角形；

⑵若以sin2Asin2氏sin2c為三邊的三角形為等腰直角三角形，求三角形ABC的最小角.

題型4幾何圖形中的解三角形

、公式的相關(guān)應(yīng)用

（1）正弦定理的應(yīng)用

①邊化角，角化邊oa::c=sinA:sin5:sinC

②大邊對(duì)大角大角對(duì)大邊

A>5osinA>sin3ocosAvcos5

a+b+c

③合分比:

sinA+sinB+sinCsinA+sinBsin5+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)AABC內(nèi)角和定理：A+5+C=?

?sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin3oc=acosB+fecosA

②—cosC=cos(A+B)=cosAcosB—sinAsinB；

③在AA5c中，內(nèi)角AB,C成等差數(shù)列=生,A+C=2.

33

二、余弦定理的應(yīng)用

如圖設(shè)應(yīng)>=DC,

在△ABD中，由余弦定理得AB?=4)2+即2-2><40*80/8$44￡>3,①

在△AC。中，由余弦定理得AC?=AE>2+OC2-2XADXOCXCOSNAOC,②

因?yàn)閆AA/B+ZAMC=7i,所以COSZADB+8SZA￡)C=0

所以①+②式即可

一、解答題

1.（24-25高三上?安徽?期中）如圖，在平面四邊形ABCD中，AC與。3的交點(diǎn)為E,08平分/ADC,

AB-BC=CD=2,AD>2.

⑴證明：%>2=2（AD+2）；

37rDF

（2）若=求".

4BE

2.（24-25高三上?浙江?階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，AB=1,CD=AD=2,BC=3,ZBAD+ZBCD=n.

⑴求Z54D；

（2）尸為邊3C上一點(diǎn)，且△PCD的面積為e，求AAB尸的外接圓半徑.

3.（2024?江西新余?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，40=4,DC=5,cosB=0,cosC=-,cosD=-.

72

⑴求cosA；

⑵求四邊形ABCD的面積.

4.(24-25高三下?寧夏石嘴山?階段練習(xí))如圖，尸是邊長為2的正三角形VABC所在平面上一點(diǎn)(點(diǎn)A、8、

C、尸逆時(shí)針排列)，且滿足CP=C4,記NC4P=9.

⑴若Y，求的長;

(2)用。表示M的長度；

(3)求的面積S的取值范圍.

5.(24-25高三上?遼寧大連?期中)在平面四邊形ABCD中，AT)_LAC,且相＞=AC.

(l)VABC中，設(shè)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,若tanB=3tanA.

①當(dāng)a=4時(shí)，求心的值；

COS5

②當(dāng)。=4時(shí)，求QC的最大值.

(2)若AB=2BC=4,當(dāng)入山。變化時(shí)，求5。長度的最大值.

題型5解三角形與三角形的“四心”

一、三角形的重心

1.定義：三角形三條中線的交點(diǎn)為三角形的重心，重心為中線的三等分點(diǎn);

2.重心的性質(zhì)：①重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.

②重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等.

在平面向量的應(yīng)用：(1)設(shè)點(diǎn)6是仆ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)6是小ABC的重心時(shí)，有

國+而+GC=G或Pd=g(P無+函+定)(其中P為平面內(nèi)任意一點(diǎn))；

(2)在向量的坐標(biāo)表示中，若G、A、B、C分別是三角形的重心和三個(gè)頂點(diǎn)，且分別為G(x,y)、

A(x「%)、B(x2,y2),C(x3,y3),則有G(3土產(chǎn)二義號(hào)士為).

二、三角形的外心

1.定義：三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)為三角形的外心，外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；

2.外心的性質(zhì)：①“接”是說明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn).

②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在

三角形的外部.

③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而

一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè).

3.外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓.

在平面向量的應(yīng)用：若點(diǎn)0是△ABC的外心，則五|=|而|=|0七|或

(OA+OB)BA=(OB+OC)CB=(OC+OA)AC=0；

三、三角形的內(nèi)心

1.定義：三角形三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)為三角形的內(nèi)心

2.內(nèi)心的性質(zhì)：①三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等

②三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角.

3.內(nèi)切圓

與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做

圓的外切三角形

在平面向量的應(yīng)用：若點(diǎn)【是小ABC的內(nèi)心，則有?阮|-iX+|b|-i§+|Ag|-￡=o

四、三角形的垂心

1.定義：三角形三邊上的高或其延長線的交點(diǎn)為三角形的垂心；

在平面向量的應(yīng)用：若H是△ABC的垂心，則前.而=而=瓦.前或

---->2----?2-------2------>2------包------>2

\HA+BC=HB+AC=HC+AB

i

一、藕就

1.(2025?寧夏銀川?一模)在VA3C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,瓦c,若asinB=66cosA.

⑴求A；

⑵若6=6,c=2,BC,AC邊上的兩條中線AM,3N相交于點(diǎn)尸，求cos/MPN.

2.(2024高三下.山西大同?期中)在VABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。,6,c,〃是VABC內(nèi)的一點(diǎn)，且

AH=-AB+-AC.

43

(1)若H是VABC的垂心，證明：7c2-7片=4；

(2)若H是VABC的外心，求NBAC.

3.(2024?全國?模擬預(yù)測(cè))已知VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,sinC=sinB(4asinC-^c).

(1)求A;

(2)若。是VABC的內(nèi)心，a=2,且6?+^>4,求AOBC面積的最大值.

4.(2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測(cè))在VA3C中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且sitrf-sinC：in2=「

cosB-cosA

(1)求角A的大?。?/p>

⑵若VABC為銳角三角形，點(diǎn)/為VABC的垂心，AF=6,求b+3尸的取值范圍.

5.(2025?廣東肇慶?二模)在①sin'.+：inC=②曜這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面

sinAb—ccosn2a-b

的橫線上，并解答.記VABC的內(nèi)角AB,C所對(duì)的邊分別是a,6,c,已知.

⑴求C.

(2)設(shè)。為VA3C的內(nèi)心(三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn))，且滿足48=5,4。2+8。2=17,求AABO的面

積.

6.(23-24高三下?福建福州?期末)在VABC中，角A,B,6所對(duì)的邊分別為b,c,c-acosB=b-^asinB.

⑴求A；

(2)若VABC的面積為46，內(nèi)角A的角平分線交邊BC于E,b=4,求AE的長；

⑶若叫7’邊BC上的中線A八半'設(shè)點(diǎn)。為VMC的外接圓圓心，求M布的直

7.(24-25高三上?廣東?階段練習(xí))在VABC中，角A,3,C的對(duì)邊分別為a,b,c,VABC的面積為S=6,

且4+4A國=("c)2刀是A2的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AC上且AE=2EC,線段C。與線段BE交于點(diǎn)〃(如

下圖)

(1)求角A的大小:

(2)^AM=xAB+yAC,求》+>的值;

⑶若點(diǎn)G是VABC的重心，求線段GM的最小值.

題型6解三角形中的新定義問題

TATJiTXTJ.TATATJiTATATATATATATATATATXT4iTATATATATATATJiTATATATXTdbTJiTJiT4iTdbTJiTATXTATATJiTATATJiT4iTdbTATdbT4iTATdiTJiTJiTATJiTATATJiTXTXT4iTXTXTXTATATdiTJiTATATJiTATdkT4>TATATJiTJ

點(diǎn)

1、理解新定義：

首先，需要仔細(xì)閱讀題目中的新定義，理解其含義和所涉及的數(shù)學(xué)概念。

將新定義與已知的三角函數(shù)或解三角形的方法聯(lián)系起來，找出其中的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。

2、利用三角函數(shù)性質(zhì)：

應(yīng)用三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、同角關(guān)系式、和差化積公式等，將問題轉(zhuǎn)化為已知的三角函數(shù)問題。

利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，如周期性、奇偶性、單調(diào)性等，來分析和解決問題。

3、應(yīng)用解三角形的方法：

使用正弦定理、余弦定理等解三角形的基本方法，將三角形的邊和角聯(lián)系起來。

通過作輔助線、構(gòu)造特殊三角形等方式，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題。

4、結(jié)合圖形分析：

在解題過程中，結(jié)合圖形進(jìn)行分析，可以更直觀地理解問題。

利用圖形的對(duì)稱性、相似性等性質(zhì)，簡化計(jì)算過程。

5、注意特殊值和極端情況：

在解題時(shí)，要注意考慮特殊值和極端情況，如角度為0°、90。、180。等。

這些特殊值往往能提供更簡單的解題路徑或用于驗(yàn)證答案的正確性。

6、綜合應(yīng)用多種方法：

在解題過程中，可能需要綜合運(yùn)用多種方法，如代數(shù)法、幾何法、三角法等。

靈活轉(zhuǎn)換不同的解題方法，以適應(yīng)不同的問題情境。

可以使用不同的方法或代入特殊值進(jìn)行驗(yàn)證，以確保答案的正確性。

二福籥”

1.（2024.云南.模擬預(yù)測(cè)）對(duì)平面向量正，n,定義運(yùn)算：,x^=|而卜inO,其中同，,分別表示正，?

的模長，。是而與3的夾角.在VABC中，已知|通義正卜4月，AB.AC=4.

（1）是否存在滿足條件的VABC,使得2|荏|+|園=6?若存在，求?。的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

DBxDA

⑵若斗網(wǎng)+時(shí)卜8O是線段AC上一點(diǎn)，旦屈BD=^AD,求——■

CBxCD

2.（2024?福建廈門?二模）定義：如果三角形的一個(gè)內(nèi)角恰好是另一個(gè)內(nèi)角的兩倍，那么這個(gè)三角形叫做

2S

倍角三角形.如圖，VABC的面積為S,三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且sinC=7^

（1）證明：VABC是倍角三角形；

⑵若c=9,當(dāng)S取最大值時(shí)，求tanB.

3.（23-24高三下?湖北?階段練習(xí)）射影幾何學(xué)中，中心投影是指光從一點(diǎn)向四周散射而形成的投影，如圖,

光從。點(diǎn)出發(fā)，平面內(nèi)四個(gè)點(diǎn)￡￡G,a經(jīng)過中心投影之后的投影點(diǎn)分別為A,B,C,D.對(duì)于四個(gè)有序點(diǎn)

A,B,C,D,若國=義屈，DA=^DB,定義比值尤=7叫做這四個(gè)有序點(diǎn)的交比，記作（ABCD）.

11m

（1）當(dāng)x=-l時(shí)，稱A,2,c,。為調(diào)和點(diǎn)列，若仁尸蔓育=n耳，求"?的值；

ACA/JAn

⑵①證明：（EFGH）=（ABCD）；

②已知（MGH）=g,點(diǎn)8為線段AD的中點(diǎn)，\AC\=y/3\OB\^3,求|Q4|,|OC

2sinZAOB211

培優(yōu)專題01解三角形

題型1中線、角平分線、垂線條件的應(yīng)用

rXTATXTATXTXTXTATXTATXT^TXTXTXTXTATXTXTXTXTXTXTATATXT^TXTATXTATXTATXTXTXTXTXTXTXTXTXTXTXTXTXTXTXTATXTXTXTXTATXTATXTATXTAT^TAT^TATXTATXT^TXT^TXTXTXTXTXTXI

點(diǎn)

一、中線問題

如圖，△ABC中，AD為BC的中線，已知AB,AC,及/A,求中線AD長.

②向量法：而=：（醺+而）平方即可；

③余弦定理：鄰補(bǔ)角余弦值為相反數(shù)，即cosNADB+cosNADC=0

注：若或?qū)l件“AD為BC的中線”換為“些=3'則可以考慮方法②或方法③.

CD

二、角平分線問題

△ABC中，AD平分NBAC.

①角平分線定理：條二黑

證法（等面積法）也=處&_AB?比得理=理

12一，

ACACCD

SACDCD%-a

注：4為A到BC的距離，為為D到AB,AC的距離.

證法2（正弦定理）

,罰ABBDACCD工.八.八?〃.人如丁山/口ABBD

如圖，-=-,—=-,|TijsmZl=smZ2,sinZ3=sinZ^4,整理得=

sinN3sinNlsinN4sinN2ACCD

②等面積法

11A1A

S^BC=S^BD+5，AAZ）C=>—xACxsinA=—ABxADxsin——F—ACxADxsin一

三、垂線問題

①等面積法：ADBC=ABAC-sinZBAC

②AD=AB?sinZABD=AC-sinZACD

@a=c-COSB+bCOSC

一、解答題

1.（2025?河南鄭州?一模）記VA3C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊為a,b,c,已知。+c?一副=血"，2sin（C—A）=sinB.

⑴求sinC;

⑵設(shè)3c=10,求3c邊上的高.

【答案】（1）嚕

⑵12

【分析】（1）先利用余弦定理求出A=:,再由2sin（C-A）=sinB,結(jié)合平方關(guān)系可求sinC的值;

（2）結(jié)合（1）可得sinB=sin（A+C）=手，再利用三角形面積相等可求得BC邊上的高.

【詳解】（1）在VA3C中，

_777nr,./+/—a?yf2,bc

?/b+c—a=yjZbc，，cosA=--------------=--------=-----，

2bc2bc2

TT

而A為三角形內(nèi)角，??.A=：.

4

2sin(C-A)=sinB,

/.2sinfC-：)=sin5

6

整理得0(sinC-cosC)=-^-(cosC+sinC),得sinC=3cosC,

又side+cos2c=1,且sinC>0,sin。=3

10

（2）由正弦定理得色=善

sinAsine

,RBC.103A/10,

得sinA010，

T

rh/1\ZH.k3"X/F0_?-JlO

由(1)得，sin(7-.........,tanC>0,cosC-........

1010

25/5

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

設(shè)8C邊上的高為h,貝!|/z=ABxsinB=6Ax2^=12,

3C邊上的高為12.

2.（24-25高三上?湖北武漢?期末）在VABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,點(diǎn)。為線段AC的

中點(diǎn)，A,。滿足(sinA—sinC)?=sin2(A+C)—sinAsinC.

⑴求5

(2)若VA3C的面積為石，b=岳,求中線2。的長.

【答案】(1)3=60。

⑵叵

2

【分析】(D根據(jù)正弦定理將已知的正弦關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再利用余弦定理求出角5。

(2)先由三角形面積公式求出的值，再結(jié)合余弦定理求出的值，最后利用向量關(guān)系求出中線BD

的長。

【詳解】（1）因?yàn)锳+8+C=7i,所以，sin2A-2sinAsinC+sin2C=sin2（71-B）-sinAsinC.

bc

又因?yàn)?--=

sinAsinBsinC

所以，a2-2ac+c2=b2—ac9^b2—a1+C1—ac9

/+C2—/CLC1

所以，由余弦定理得cosB=------————f

2aclac2

又B為三角形內(nèi)角,

所以，8=60：

(2)因?yàn)閂ABC的面積為G，b=屈,2=60",

所以，gacsinB=6，所以改=4,又〃+c2=b2+ac=17f

因?yàn)锽D為VABC的中線，所以，BD=

所以，|而F=；（c2+a2+2accosB17+2x4x121

T

所以師卜g

3.(24-25高三下?湖南婁底?階段練習(xí))在VABC中，點(diǎn)。在線段BC上，AD平分/B4C.

⑴嘗試?yán)玫让娣e法或者正弦定理證明角平分線定理，即請(qǐng)證明：黑嘿

⑵若畫=1,國=2,ABAC=1，則畫是多少?

【答案】⑴證明見解析

⑵空

3

【分析】（D分別在△4犯和AWC中，利用正弦定理得出等式，借助于誘導(dǎo)公式化簡，將兩式作比即

得；

（2）根據(jù)（1）推得=由向量運(yùn)算得到+再利用向量模的運(yùn)算律計(jì)算即得.

【詳解】（1）利用正弦定理證明：設(shè)/AZ）3=。，貝!）乙位＞。=冗-6,ZBAD=ZCAD=a,

在△AB。中，由正弦定理，笆=處，

sin8sina

,一ACDC

在八4。。中，由正弦定理，—~—=--,

sin（K-，）sma

因sin（兀一。）=sin。，兩式相比，可得：—=—；

ACDC

DrjAoi__1ki__k

（2）由（1）得標(biāo)=方=彳，故麗=￡瑟，于是

LzCzAC23

______.__,,1__1__________.__k2__?1__.

AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-（AC-AB）=-AB+-AC,

3333

__.2__?i__.4_?4_?__?1_.441194

兩邊平方得：IAD|2=（-AB+-AC）2=-1AB|2+-AB-AC+-|AC|2=-+-xl+-x4=—,

3399999993

故畫譽(yù).

4.（2025?河北?模擬預(yù)測(cè)）在VABC中，內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,c,A=120°,D為BC邊上一

點(diǎn).

b2

（1）若NAOC=60。，一求NBA。的值；

c3

（2）若〃=，?,AD是角A的平分線，且AD=t，求b+c的值.

【答案】（l）tan/A4O=±8

7

⑵Z?+c=5

【分析】（1）設(shè)Zfi4D=。，可得ZA5c=60。-6,ZBCA=3,在VABC中應(yīng)用正弦定理即可求解;

（2）由余弦定理可得19=伍+。）2-歷，根據(jù)％BC=%CD+SAW，結(jié)合面積公式即可求解.

【詳解】（1）設(shè)=所以ZABC=60。-。，ZBCA=0,

bc

在VA3C中，由正弦定理得sin（60-。）=高7,

所以2=2=sin（60；/）,

c3sin。

--------=—f

2tan823

解得tan。=上回，即tan/3AD=38;

77

(2)由余弦定理得片=廿+，+A，即19=伍+。2—?dú)v，

由SAABC=SAACD+S^ABD，得gbcsinl20°=g。?AZ)sin60°+gc?ADsin600，

又因?yàn)锳D=t，所以兒=：(6+c),

9A10

所以19=(力+c)--(Z?+c),解得6+c=5或b+c=—二(舍),

故b+c=5.

5.(23-24高三下?福建?開學(xué)考試)在VABC中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,c,且

c(5cosA-cos2A)sinB=3Z?sinC.

⑴求A;

(2)過點(diǎn)A作A3的垂線與BC的延長線交于點(diǎn)。，BC=3CD,△"￡>的面積為2TL求VA3C的周長.

【答案】⑴Y

⑵3+36

【分析】(D由題利用正弦定理將條件式角化邊，再結(jié)合二倍角公式求出cosA得解；

3

(2)根據(jù)題意得=3S“ACD，結(jié)合AABD的面積為2石，可求得AB,AD,又由5AABC=-SAABfl,求得AC,

在VABC中，由余弦定理求得BC,得解.

【詳解】(1)因?yàn)閏(5cosA-cos2A)sinB=3〃sinC,

由正弦定理得Z?c(5cosA-cos2A)=3bc.兩邊除以be,

得5cosA-cos2A=3,

由二倍角公式，有5cosA-(2cos%-l)=3,

整理為2cos2A-5cosA+2=0,

上式因式分解為(2cosA-l)(cosA-2)=0,

解得cosA=g或cosA=2(舍去)，

7T

又由。VA<TT,可得A=§；

(2)由鉆_LAD.<ZCAD=y,

6

又由BC=3cD,可得S—BC=3SAAC0,—ABxACsin—=3x—ADxACsin—,可得A5=A/^AD,

2326

又由△ABD的面積為2石及/BAO=5,有：A8xAD=2g,

代入A2=6A。，可得AD=2,AB=26,

又由=aS^ABD，有彳ABxACsin§=^*2石，代入AB=26，可得AC=C，

在VABC中，由余弦定理，有BC=dAB、AC2-ABxAC=42+3-26x6=3,

有VA3c的周長為26+6+3=3+36.

D

A

6.（2024?廣西?模擬預(yù)測(cè)）VABC的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知（sin8+sinC）2=sin2A+sinBsinC.

⑴求A；

（2）若a=VLNBAC的角平分線交BC于點(diǎn)。，求線段AD長度的最大值.

兀

【答案】（l）A=g2.

⑵！?

【分析】（1）根據(jù)正余弦定理邊角互化即可求解，

（2）由余弦定理可得3=〃+/+a，即可利用等面積法得4。=工，結(jié)合基本不等式，即可求解.

【詳解】（D由題設(shè)及正弦邊角關(guān)系可得：S+c）2=/+6c,貝11〃+°2-4=一歷，

而cosA='2且Ae（0,7r）,則4=生.

2bc23

（2）因?yàn)椤?6,A=等，所以由余弦定理得“2=62+C2-26CCOSA,^3=b2+c2+bc,

^3=b2+c2+bc>2bc+bc=3bc,即bcWl（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=l時(shí)，等號(hào)成立），

]2兀171171

ABC=S^ABD+\ACD，所以]xcx6xsin丁=/xcxA。xsin§+3x6xA。xsin§,

解得4。=勺，因?yàn)閎+cN2癡（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=l時(shí)，等號(hào)成立），

b+c

bebe1/1]

所以=3癡4彳（當(dāng)且僅當(dāng)匕=c=l時(shí)，等號(hào)成立），所以AD長度的最大值為

b+c2<bc222

A

7.(24-25高三下?山西?開學(xué)考試)在銳角VABC中，角AB,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,

a(2-cosC)=c(2cosB+cosA),b=6.

⑴求C；

(2)記。為AC的中點(diǎn)，求8。的取值范圍.

【答案】

【分析】(1)應(yīng)用正余弦定理以及兩角和正弦公式計(jì)算得出cosC=g,進(jìn)而可求角C；

(2)結(jié)合正弦定理及余弦定理，再應(yīng)用銳角三角形求出最后結(jié)合正切值域及二次函數(shù)值域得

出AD的范圍.

【詳解】(1)因?yàn)椤?2-cosC)=c(2cos_B+cosA),由正弦定理可得sinA(2