2025屆高考數(shù)學4月模擬預測卷（新高考1卷含解析）

新高考1卷

——2025屆高考數(shù)學4月模擬預測卷

【滿分：150分】

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合/={x|Y+x—2<0},5={-2,-1,1,2,3},則幺口5=()

A.{-2,-1,3}B.{-1,3}C.{-1}D.{2,3}

2.樣本數(shù)據(jù)89,84,98,74,68,88,79,81,90,92的中位數(shù)為()

A.68B.78C.84D.86

3.已知向量a—6=(—4,2),2a+3A=(2⑼，則口力=()

A.-lB.-2C.2D.1

4.當xe0占時，函數(shù)/(x)=a+3sin2x-g有兩個零點，則a的取值范圍是()

A.I-1,—2J

5.將1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個數(shù)填入如圖所示的九宮格中，每個格子

中只填入1個數(shù)，已知4個偶數(shù)分別填入有陰影的格子中，則每一行的3個數(shù)字

之積都能被3整除的概率為()

.-I

6.已知函數(shù)二］’若方程〃上取…)有兩個不相等的實數(shù)根,

則實數(shù)。的取值范圍為()

9

A.(0,99]B.[-99,+oo)C-Q9D.-99,—

10

7.如圖①是底面邊長為2的正四棱柱，直線/經(jīng)過其上、下底面中心，將其上底

面繞直線/順時針旋轉(zhuǎn)得到圖②，若跖為正三角形，則圖②所示的幾何體

外接球的表面積為()

圖①圖②

A.(8+272)71B.(8+40)兀C.12兀D.16兀

8.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,若/(x)是奇函數(shù)，且/(x)+/(2-x)22x,則下

列結(jié)論中一定正確的是()

A./(11)>240B./(12)<80C./(19)<180D./(20)>200

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中,

有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0

分.

9.已知復數(shù)Z1=3i,?2=1-2i(i為虛數(shù)單位)，貝!]()

A.zi=—3i

B.Z2的虛部為—2i

D.五在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限

io.已知數(shù)列｛%｝和｛4｝滿足％=1,4=0,%+]=%“一與+i,

2〃+I=|A-今T,則()

A.&-B.數(shù)歹(]｛%+24｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛an-2bn｝是等差數(shù)列D.an+l>an

11.已知拋物線C:x2=2py(p>0)的準線方程為y=-2,焦點為R。為坐標原點,

幺8(%,%)是C上兩點，則下列說法正確的是()

A.點尸的坐標為(0,2)

B.若14sl=16,則48的中點到x軸距離的最小值為8

C.若直線48過點(0,4),則以45為直徑的圓過點0

D.若直線OA與OB的斜率之積為-工，則直線AB過點F

4

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知角a是第二象限角，且sin['+a]=-;，則tan2a=.

22

13.已知過原點。的直線與雙曲線C:=-4=1(?>0,6>0)交于48兩點,

ab

其中點Z在第二象限，/為C的左焦點，點。為4F的中點，tanNNOD=L.若

2

△08E為等腰三角形，則。的離心率為.

14.已知函數(shù)/(》)=6"6-/1+#+(2-/卜，若對任意的》>0,/(x)W-l恒成

立，則實數(shù)。的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

15.(13分)已知△45C的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,

2

sin5=3sinC,JELZ?2-a2=—bc.

3

(1)求Z；

(2)若。為8C的中點，且幺。=6，求△4BC的面積.

22

16.(15分)已知橢圓。:=+二=l(a〉b〉0)的右焦點廠(1,0),且橢圓上任意一

ab

點到兩焦點的距離之和為4.

(1)求橢圓C的標準方程.

(2)過右焦點P的直線/與橢圓C相交于P,0兩點，點。關于x軸的對稱點

為白，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存

在，請說明理由.

17.(15分)如圖，在四棱臺Z5CQ—中，441，平面Z8C。，AC=2,

TT

BC=1,ZCAB=-.

(1)若4D_LBBi,證明：8C〃平面幺。。14；

(2)若ZDLZC,CD=不,AB=2AXBX=2AAX,求二面角8—C?！?。的正弦

值.

18.(17分)已知函數(shù)/(x)=[inx-機-gjx?+2x-2e”.

(1)當機=-g時，求曲線y=/(x)在點(1,/⑴)處的切線方程.

(2)若/(X)有兩個不同的極值點X],x2(西<》2).

(i)求實數(shù)機的取值范圍；

(ii)證明：InXj+Inx2<0.

19.(17分)定義：如果集合。存在一組兩兩不交(兩個集合的交集為空集時,

稱為不交)的非空真子集4，4，…，4(左eN*,k>2),且

4U4U…U4=u，那么稱子集族{4,4,…,4}為集合。的一個左劃分.已知

集合〃={1,2,3,-一,〃}(?eN*,n>2).

(1)若〃=4.

①寫出集合M的所有3劃分；

②從集合"的所有劃分中任取一個，求這個劃分恰好為3劃分的概率.

(2)設集合Z為集合/的非空子集，隨機變量X表示子集Z中的最大元素.若

P(X=n)=—,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望￡(X).

答案以及解析

1.答案：C

解析：由必+x—2<0,得一2<x<l,故/={x|—2<x<l},因止匕2口8={—1}.故

選C.

2.答案：D

解析：將數(shù)據(jù)從小到大排列為68,74,79,81,84,88,89,90,92,98,則

中位數(shù)為84+88=86.故選D.

2

3.答案：A

解析：由“—6=(—4,2),2a+30=(2⑼，解得a=(—2,3),6=(2,1),所以

。力=-2x2+3xl=-1.故選A.

4.答案：D

解柝由/(x)=0,得-1=sin[2x-1].函數(shù)/(x)=a+3sin[2x-1)有兩個零點,

即函數(shù)y=sin[2x-|J的圖象與直線y=-1?有兩個交點.作出y=sin[2x-g

的圖象，如圖.由圖象可知，^<--<1,解得-3<a<-故選D.

解析：易知5個奇數(shù)填入白色格子的試驗的基本事件總數(shù)為A；.若使每一行的3

個數(shù)字之積都能被3整除，則中間行必有一格填奇數(shù)3,9中的一個，另一個填

入不含6的一行，有2A；種方法，再排奇數(shù)1,5,7,有A；種方法，因此每一行

的3個數(shù)字之積都能被3整除的事件含有的基本事件數(shù)為2A；A；,所以每一行的

13

3個數(shù)字之積都能被3整除的概率p=卷7AA%=a.

6.答案：C

解析：因為/(x)=，%,當x<l時，/(X)=-22^+3,由指數(shù)函數(shù)單調(diào)

4-2x,x>l

性可知，/(x)在(-*1)上單調(diào)遞減，此時-l</(x)<3；當時，

/(x)=4-2x,由一次函數(shù)的單調(diào)性可知，/(x)在［1,+Q0)上單調(diào)遞減，此時

/(x)<2.因為方程/(x)=lg(x+a)有兩個不相等的實數(shù)根，所以函數(shù)了=lg(x+a)

的圖象與/(x)的圖象有兩個交點.因為函數(shù)了=lg(x+a)是增函數(shù)，當lg(l+a)=2

時，得a=99,當lg(l+a)=—1時，M?=---所以—二<aW99,所以實數(shù)a

1010

的取值范圍為1-2,99］，故選C.

I10J

7.答案：A

解柝如圖，設正四棱柱的上、下底面中心分別為點N,過點〃作跖

于點H,連接初，8N.易得四邊形肱VB8為直角梯形.因為△HEF是邊長為2的

正三角形，所以BHLEF,且BH=2義發(fā)=出,又MH=1,BN=41,所以

2

皿2=(")2_(&_i)2=20.設該幾何體外接球的球心為點0,半徑為R,則點

。為肱V的中點，故(W=&.連接OE,ME,在R3OME中，

2

R'OM'ME?=空+"52="+2,故該幾何體外接球的表面積為

42

(5、

47iT?2=4TTX—+2=(8+2后)兀.

解析:因為/(X)是奇函數(shù),所以/(因N/(x—2)+2x.在/(x)+/(2-x)22x中,

令x=l,得/⑴21,所以

/(2/7-1)>/(2〃—3)+2(2〃-1)>/(2M-5)+2(2〃—3)+2(2?-1)>---

>/(1)+2[(2?—1)+(2〃—3)+…+3]22/—1,

所以/(II)271,/(19)>199,故A不一定正確，C錯誤.

在/(x)+/(2—x)22x中，令x=2,M/(2)+/(0)>4,得/(2)N4,

所以/(2〃)>/(2〃-2)+4?>/(2〃-4)+2(2〃—2)+4〃2…

>/(2)+2[2?+(2?-2)+-??+4]>2?2+2?,所以)(12)284,/(20)2220,所以B

錯誤，D一定正確.故選D.

9.答案：AC

解析：A選項：由Z]=3i,則V=_3i，A選項正確；

B選項：的虛部為—2，B選項錯誤;

C選項：|zj=3,崗=Jl+(—2)2=#>，故㈤>"|，C選項正確;

_43i3i(l+2i)63.

D選項：」=----=-~~^―=——+-1其在復平面內(nèi)對應的點的坐標為

z2l-2i(l-2i)(l+2i)55

位于第二象限，D選項錯誤;

故選：AC.

10.答案：BCD

解析：由題意得出=1%—gl+1=：，2,2=T'l—1=一所以。2_262=3,

故A不正確；由%+1=1-4+1,2〃+1=.得

%+i+2〃+i=]“+〃=g(%+22),又4+2[=1,所以數(shù)列｛4+24｝是首項為

1,公比為工的等比數(shù)列，故B正確；由%+|=3%一%+1,2bn+l=-bn-^-l

24224

得2"+i=%-2〃+2,即(4+1-24+])-(4-2")=2,又％-24=1,所以

數(shù)歹U{%-24}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列，故C正確；易得

4+2%=an-2bn=l+2(n-l)=2n-l,所以+(2〃—1),所以

%一%

所以—［萬］+1〉0,貝！Ja“+i〉%成立，故D正確.

11.答案:AD

解析：對于A,因為拋物線C的準線方程是了=-2,所以5=2,解得p=4,

則拋物線。的方程為x=8y,焦點廠的坐標為（0,2）,A正確.對于B,易知48

的斜率存在，設直線Z5的方程為y=日+%，由片丘卡私得一一8日-8機=0,

x=8v

貝（J△=64k2+32機〉0,玉+々=8左，X［X2=-8m,所以

\AB|=71+A;2-［（再+々）2-4再/=J1+上2?464左2+32根=16,化簡得

掰=￡7-2-.易得幺產(chǎn)=4左，所以線段25中點的坐標為（4左,4公+加），即

又

"、a=2(l+陰+號-222^2(1^)^-2=6,當且僅當

2(1+k2)=3，即左=±i時等號成立，所以Z8的中點到x軸距離的最小值為

6,B錯誤.對于C,設45的方程為y=Ax+4,由選項B知

|AB|=71+F-764^+128=S^(l+k2)(k2+2),又Z8的中點為(4左,4人2+4),所

以中點到原點0的距離為J16芯+(4公+4『=4"4+3k2+1片子,所以以Z5

X；X；

為直徑的圓不過點。，C錯誤.對于D,若心8=上.強=蟲二_=以=_工，

%]x2xrx2644

則％1%2=-16,所以-8加=-16,m=2,所以45的方程為天=Ax+2,該直線過

點廠(0,2),D正確.

12.答案：苧

是第二象限角，sin[T+“=cosa=-g,所以

解析：方法一：因為角a

2日京小

則tana=絲鬼=—2后，所以

3cos。

2tana-40

1—tan?oi1—87

方法二：因為角a是第二象限角，sin[]+o]=cosa=-g,所以

13.答案：亞

解析：設/為雙曲線C的右焦點，連接4T,如圖.

因為點。為4F的中點，。為"'的中點，所以0D//4F'.

設雙曲線C的焦距為2c.因為△(：>即為等腰三角形，所以|Ob|=|O5|=c.由雙曲

線的對稱性可知，|O尸|=|08\=\OA\=c,則.由tan/幺0D=g得

sinNA0D=號,所以|ND|=gc,\0D\=^-c,所以|幺尸|=2|=竽。,

|4F[=2|0D|=￥c.由雙曲線的定義得4n=2°,所以竽C=2a,整

理得色=6，所以C的離心率為

a

14.答案:(—嗎2]

解析：由e〃4—j1+/+(2—/卜<—1,得e〃6—(x+iy,即

eflV；-(?V^)2<ex+1-(x+l)2.

令g(x)=eX-x2,則對任意的x>0,g(a6)Wg(x+l)恒成立.

xx

g\x)=c-2x,令(p(x)=c-2x,則(p\x)=ex-2,當x￡(-GO,In2)時,

(p\x)<0,當(In2,+oo)時,(p\x)>0,則0(x)在(-8,In2)上單調(diào)遞減,在

(ln2,+oo)上單調(diào)遞增，故/(%)=9(%)29(出2)=*2—21112=2(1—1112)〉0,所以

g(x)單調(diào)遞增.

所以a4x<x+l(x>0),

即+又4+二22,當且僅當x=l時等號成立,

所以。（2,即實數(shù)。的取值范圍為（-叫2].

15.答案：(1)A=-

3

⑵黑

解析：（1）由sinB=3sinC及正弦定理得b=3c,

2,2^bc+^bc]

。h24-2-2~bc-\-c

又〃-/=3秘，所以由余弦定理cos幺=?+c—a=3--------331

32bc2bc2bc-a

因為0＜幺＜兀，所以N=巴.

3

(2)由3=3c及〃-/=2兒，得f=b2-Lc=7/,所以4=不。

33

因為ZADB+ZADC=71,所以cosNADB+cosZADC=0,

、2[2

2222

C+(V3)-cC+(V3)-(3C)

即上

+口=0,

2x^cxV3

2x—xV3

22C

得%=6,得。浣,所以，二哈

所以△ABC的面積為工兒5由224。=工義窄義莖義立=迪

22V13V13213

16.答案：（1）二+匕=1

43

（2）△燈。的面積存在最大值，為平

解析：（1）易得c=1,2a=49即Q=2,

11

所以,2=a-c=4-1=3,

22

所以橢圓C的標準方程為土+匕=1.

43

（2）由題意知直線/的斜率存在且不為0,

所以設直線I的方程為、=叩+1（加。0）.

x=mj/+1,

22

由＜%y消去X得（3,?加2+4）歹2+6my-9=0.

彳=一

設。（西，%），尸（%，%），則01（n，一切），

所以％+%=—?\，%了2=4：2.

4+3機-4+3m

易得直線P2i的斜率k=—（f）=應

所以直線尸。的方程為v+必=A±A（X_X1）,

x2一再

令y=0,得x="必±_（二％+1）%+（優(yōu)切+1）X_23]%+（弘+8）

‘必+為Ji+y2Ji+y2

cl-91,-6m

=_14+3憶4+3M=4,即直線00]與x軸交于一個定點，記為〃（4,0）,

4+3m2

161m

貝JS^FP。=-\FM\\yl+y2\=--=——二-＜斗=述，當且僅當

△鵬2III-1，2|24+3/44G4

3|?|+,一.7

\m\

…苧時等號成立,

故△尸尸。的面積存在最大值，為丁.

17.答案：（1）證明見解析

3V154

m--------

44

解析：（1）在△NBC中，AC=2,BC=1,ZCAB=-,

6

71

由正弦定理得一--得sinN48c=1,

sinZABC-兀

sin—

6

故N48C=巴，即8CL4B.（另解：在△ZBC中，由余弦定理得

2

BC2=AC2+AB2-2AC-AB-cosZCAB,則1=4+一2百25,即

AB2-243AB+3=0,得AB=6,AC2AB2+BC~,則BC，A8)

因為24,平面48CO,4Du平面48CD,所以

又ADLBBi，44]與85]有交點，幺4聲片u平面幺8片4,所以，平面

ABB[A],

又48U平面4agi4，所以40,48,因此8C//4D,

又40u平面4aoi4,8cc平面4aoi4，所以BC〃平面幺。。/1.

(2)結(jié)合(1)可得48=道，根據(jù)zc=2,CD=S,ADVAC,可得

AD=JCD2-AC2=6.

n1

連接4G，因為48=24用=244],所以幺4=三，4G=-AC=l.

由題意知NC,AD,44]兩兩垂直，故以幺為坐標原點，AC,AD,441所在

直線分別為X,丹Z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

r

公

(萬、

則C(2,0,0),G1,0,口，。(0,百,0),B-小,

12J122)

__.(百)-.61)__

所以C1C=1,0,-—,BC=—,0,DC;=(2,-A0).

〔2JI22J

設平面BCCig的法向量為“2=(x,y,z),

則"55=°,即I2,取x=5則m=(后_1,2).

m-BC=O1V3八

、—x+——y=0

122.

設平面CCQQ的法向量為〃=伍,”c),

-_fG_

則］r"-二°,BPf-TC=0,取a=G則〃=(6,2,2).

"=。k-^=o

設二面角8-CG-。的大小為，，

則|c°s昨上血=詈辛=厚，

\m\-\n\V8xV1T44

因此二面角B-CC「D的正弦值為J1-cos?夕=『第2'=寫

18.答案：(1)(3—2e)x—y—1=0

(2)(i)(-oo9l-e)

(ii)證明見解析

解析：(1)當加二-g時，f(x)=x2Inx+2x-2ex,

貝(Jf(x)=2xlnx+x+2-2e\所以廣(1)=3—2e.

又/⑴=2-2e,所以曲線y=/(x)在點(1,/⑴)處的切線方程為

y-(2-2e)=(3-2e)(x-l),BP(3-2e)x-y-l=0.

(2)(i)/(x)的定義域為(0,+8),ff(x)=2xlnx-2mx+2-2cx,

由題意得玉，%為/'(%)的兩個零點，且0＜玉＜々，

即石，%為方程2%lnx-2加x+2-2d=0的兩個不同的根，

1x

即匹,馬為方程加=lnx+----e-的兩個不同的根.

XX

1Qx

設g(x)=lnx+-----(x>0),則直線y=加與g(x)的圖象有兩個交點.

XX

x(x-D(l-e1

g'^=^T-e(x-l)

因為x>0,所以l—e，<0,

所以當xe(O,l)時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，當xe(l,+co)時，g'(x)<0,g(x)

單調(diào)遞減，所以g(x)max=g6=l-e.

易知當X—0+時，g(x)-—CO,當Xf+co時，g(x)f-CO,

故要使直線y=加與g(x)的圖象有兩個交點，則加<1-e,

即實數(shù)機的取值范圍為(fo,l-e).

(ii)由(i)知g(xj=g(》2)=%，0<Xj<1<x2.

設/z(x)=g(x)-g

(x-1)1-e*-x+xex

IJ

令(p(x)=1-er-x+xex，

11A_1A

ttxxxX

貝(J當x￡(0,1)時，0'(x)=-e-1+e"——e=-e-1+----QX<0,

XX

所以0(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,則當(0,1)時，0(%)>0(1)=0,

所以當(0,1)時，h\x)<0,

所以在(0,1)上單調(diào)遞減,故當工￡(0,1)時,A(x)>A(l)=0,則當X￡(O,1)時,

g(x)>g

/、

(1>1,

所以g(xj>g—,即g(%)〉g—，

\x