四川省瀘州市瀘縣普通高中共同體高二下學(xué)期期中聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題

瀘縣普通高中共同體年春期高二半期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題數(shù)學(xué)試卷分為第I卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共4頁(yè)，滿分分.注意事項(xiàng)：答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)填寫在答題卷上相應(yīng)位置.選擇題答案使用鉛筆填涂在答題卷對(duì)應(yīng)題目號(hào)的位置上，填涂在試卷上無(wú)效.非選擇題答案請(qǐng)使用黑色簽字筆填寫在答題卷對(duì)應(yīng)題目號(hào)的位置上，填寫在試卷上無(wú)效.第I卷（選擇題共分）85分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在數(shù)列中，，且，則等于（）A.4B.6C.8D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件得到為公比為2的等比數(shù)列，從而求出答案.【詳解】因?yàn)?，，所以為公比?的等比數(shù)列，所以.故選：C2.雙曲線的一條漸近線斜率可以為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出給定的雙曲線漸近線方程即可得解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，第1頁(yè)/共16頁(yè)所以雙曲線的漸近線的斜率為或.故選：C3.拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A.2B.C.1D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線定義即可求解.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由得,故選：A.4.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E是棱的中點(diǎn)，則（）A.4B.5C.6D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，計(jì)算可求數(shù)量積.【詳解】.故選：B.5.已知直線l：與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，則（）A.B.5C.D.10第2頁(yè)/共16頁(yè)【答案】C【解析】【分析】求出圓心、半徑及圓心到直線的距離，再利用圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算得解.【詳解】圓C：的圓心，半徑，圓心C到直線l的距離，所以.故選：C6.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A.在處取得最大值B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C.在處取得極大值D.在區(qū)間上有2個(gè)極大值點(diǎn)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性，由此確定函數(shù)的極值.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：00非負(fù)遞增極大值遞減極小值遞增故選：C7.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）第3頁(yè)/共16頁(yè)A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.【詳解】由求導(dǎo)得，則，而，所以所求切線方程為.故選：A8.任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈，這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）.已知數(shù)列滿足：，，則（）A.5B.4C.3D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)“冰雹猜想”結(jié)合遞推關(guān)系，利用規(guī)律求解即可【詳解】,可知數(shù)列可看作從第8項(xiàng)起以3為周期的數(shù)列，因?yàn)椋?，故選：B6分在每小題給出的備選答案中，有多項(xiàng)符合題目要求的全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.取最小值時(shí)C.數(shù)列是等差數(shù)列D.第4頁(yè)/共16頁(yè)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定的前項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列逐項(xiàng)分析求解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，而滿足上式，因此，A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，數(shù)列單調(diào)遞增，由，得，即數(shù)列前5項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，第6項(xiàng)為0，從第7項(xiàng)起為正數(shù)，取最小值時(shí)或，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，數(shù)列是等差數(shù)列，C正確；對(duì)于D，，D正確.故選：ACD10.水量不超過(guò)的部分按照平價(jià)收費(fèi)，超過(guò)的部分按照議價(jià)收費(fèi)）.為了較為合理地確定出這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)抽樣獲得了40，，，制作了頻率分布直方圖，下列說(shuō)法正確的有（）A.第一組的頻率為0.1B.該市居民月均用水量的眾數(shù)的估計(jì)值為2.25C.如果希望86%的居民每月的用水量不超出標(biāo)準(zhǔn)，則月均用水量（噸）的最低標(biāo)準(zhǔn)的估計(jì)值為2.7D.在該樣本中月均用水量少于1噸的6個(gè)居民中用隨機(jī)抽樣的方法抽取22人月均用水量都不低于0.5噸的概率為0.4【答案】BCD【解析】第5頁(yè)/共16頁(yè)【分析】根據(jù)給定的頻率分布直方圖，結(jié)合眾數(shù)、百分位數(shù)判斷ABC；求出概率判斷D.【詳解】對(duì)于A，第一組的頻率為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間的頻率最大，該市居民月均用水量的眾數(shù)的估計(jì)值為2.25，B正確；對(duì)于C，樣本數(shù)據(jù)小于2.5的頻率，樣本數(shù)據(jù)小于3的頻率，，由，解得噸，因此月均用水量的標(biāo)準(zhǔn)定為噸，C正確；對(duì)于D，月均用水量在的人數(shù)為：人，記為，，月均用水量在的人數(shù)為：人，記為，，，，從此人中隨機(jī)抽取兩人所有可能的情況有：,,,,,,,,,,,,,,，共種，其中月均用水量都在的情況有：,,,,,，共種，因此兩人月均用水量都不低于噸的概率：，D正確.故選：BCD已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減，則B.當(dāng)時(shí)，若有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)或C.當(dāng)時(shí)，若，則D.若直線與曲線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，，，且，則【答案】ABD【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用給定單調(diào)區(qū)間求出范圍判斷A；把代入，求出極值，結(jié)合零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷B；求出單調(diào)區(qū)間判斷C；求出對(duì)稱中心判斷D.【詳解】對(duì)于A，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，得，，第6頁(yè)/共16頁(yè)則在時(shí)，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，又有2個(gè)零點(diǎn)，因此或，即或，B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知在上單調(diào)遞增，，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，由直線與曲線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，且，得點(diǎn)，即，，D正確.故選：ABD第卷（非選擇題共分）三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共分.12.已知導(dǎo)函數(shù)為，則______.【答案】【解析】【分析】求出代入可得答案.【詳解】，則.故答案為：.13.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則__________．【答案】63【解析】【分析】先由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合題意求出，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.第7頁(yè)/共16頁(yè)【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，所以故答案為：63.14.在數(shù)列中，的最小值______________.【答案】【解析】【分析】首先利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用函數(shù)的恒成立問(wèn)題和數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】由整理得，即，又，故數(shù)列是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，可得,不等式，可化為，令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，綜上，，所以，故最小值為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值.第8頁(yè)/共16頁(yè)【答案】（1）調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【解析】1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再解導(dǎo)函數(shù)大于0、小于0的不等式即得.（2）利用導(dǎo)數(shù)求出最大值.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由（1）得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，則，所以在區(qū)間上的最大值為.16.如圖，在三棱柱中，平面，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析.（2）【解析】1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質(zhì)、判定推理得證.第9頁(yè)/共16頁(yè)（2D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系正弦即可.【小問(wèn)1詳解】在三棱柱中，由底面,平面，得，由為等邊三角形，為的中點(diǎn)，得，而平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】取中點(diǎn)，連結(jié)，由為的中點(diǎn)，得，由（1）知平面，平面，則，而，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，而，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的余弦值為.17.已知數(shù)列滿足：，.第10頁(yè)/共16頁(yè)（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）由已知得出，再利用等差數(shù)列的定義可得答案；（2）利用裂項(xiàng)相消求和可得答案；（3）利用錯(cuò)位相減求和可得答案【小問(wèn)1詳解】由已知得，由得，即，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列，，即；【小問(wèn)2詳解】由（1），所以第11頁(yè)/共16頁(yè)；【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，所以，，兩式相減可得，可得.18.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明；（3）若對(duì)任意的不等正數(shù)，總有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析（3）【解析】1）求導(dǎo)后，分別在和的情況下，根據(jù)正負(fù)可得單調(diào)性；（2）由（1）可知，可知需證，將不等式轉(zhuǎn)化為；令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，由此可得結(jié)論；第12頁(yè)/共16頁(yè)（3，知在上單調(diào)遞增，即恒成立；采用分離變量的方法得到，利用導(dǎo)數(shù)可求得在上的最大值，根據(jù)可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意得：定義域?yàn)?，；?dāng)時(shí)，，，在上恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：；要證，只需證，即證；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；又，，即.第13頁(yè)/共16頁(yè)【小問(wèn)3詳解】不妨設(shè)，則由得：，即，令，則上單調(diào)遞增，在上恒成立，即，又，；令，則，令，解得：（舍）或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，解得：；的取值范圍為.19.在圓上任取一點(diǎn)作軸的垂線段的中點(diǎn)的軌跡為曲線（當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)圓與軸的交點(diǎn)時(shí)，規(guī)定點(diǎn)與點(diǎn)重合）.（1）求曲線的方程；（2）為曲線與軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)（與，與交于點(diǎn).（i）證明：點(diǎn)在定直線上；（ii）是否存在點(diǎn)使得，若存在，求出直線的斜率；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；第14頁(yè)/共16頁(yè)（2iii）.【解析】1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)代換法求出軌跡方程.i）設(shè)出直線的方程，與ii）由（i）及已知求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線方程，再與的方程聯(lián)立求出的坐標(biāo)即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由