2024冀教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第九章 因式分解（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)＋7類題型突破）含答案

第九章因式分解

01思維導(dǎo)圖

因式分解的定義提公因式法因式分解

因式分解

公因式公式法因式分解

02知識(shí)速記

一、因式分解的定義

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.

要點(diǎn)詮釋：（1）因式分解只針對(duì)多項(xiàng)式，而不是針對(duì)單項(xiàng)式，是對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式的整體，而不是部分，因式

分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.

（2）要把一個(gè)多項(xiàng)式分解到每一個(gè)因式不能再分解為止.

（3）因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運(yùn)

算.

二、公因式

多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式，那么這個(gè)相同的因式就叫做公因式.

要點(diǎn)詮釋：（1）公因式必須是每一項(xiàng)中都含有的因式.

（2）公因式可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)字母，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式.

（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項(xiàng)

中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.

三、提公因式法因式分解

把多項(xiàng)式加a+成）+沱分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式加，另一個(gè)因式是

（a+b+c）,即冽a+”力=而（a+b+c）正好是冽a+”必+用r除以加所得的商，這

種因式分解的方法叫提公因式法.

要點(diǎn)詮釋：（1）提公因式法分解因式實(shí)際上是逆用乘法分配律,

即”;3+mb+me-n：fa+b+cJ.

（2）用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.

（3）當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“一”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時(shí)多

項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).

（4）用提公因式法分解因式時(shí)，若多項(xiàng)式的某項(xiàng)與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項(xiàng)變

為：“+1”或“一1”，不要把該項(xiàng)漏掉，或認(rèn)為是0而出現(xiàn)錯(cuò)誤.

四、公式法因式分解

1.公式法一一平方差公式

兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即：

cT_爐=

要點(diǎn)詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的多項(xiàng)式分解因式.

（2）平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的平方，且符號(hào)相反，右邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的和與這兩

個(gè)數(shù)（整式）的差的積.

（3）套用公式時(shí)要注意字母a和b的廣泛意義，a、6可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.

2.公式法一一完全平方公式

兩個(gè)數(shù)的平方和加上（減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方.

即a2+2ab+b2=（a+b）~a2-2ab+b2

22

形如儲(chǔ)+2a〃+",a-2ab+b的式子叫做完全平方式.

要點(diǎn)詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項(xiàng)式分解因式；

（2）完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是

兩數(shù)的和（或差）的平方.

（3）完全平方公式有兩個(gè)，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.

（4）套用公式時(shí)要注意字母。和》的廣泛意義，a、6可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.

03題型歸納

題型一判斷是否是因式分解

例題：（2024上?山東濟(jì)寧?八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（）

A,（〃+3）2=4+6Q+9B.a?—4〃+4=4）+4

C.54一5緲2=5〃（%+丁）（1_?。〥.a^a-\）=al-a

鞏固訓(xùn)練

1.(2024上?河北保定?八年級(jí)統(tǒng)考期末)下列各式從左邊到右邊的變形中，屬于因式分解的是（）

A.(a+l)(a—1)=a?_1B./—2a+3=a（a—2）+3

C.x1-5x=5x3D.4X2-4X+1=（2X-1）2

2.(2024上.山東威海.八年級(jí)統(tǒng)考期末)下列由左邊到右邊的變形，是因式分解的是（）

A.m(a+b)=am+bmB.4%2-2x=x（4x-2）

C.y2-l-3y=(y+l)(y-l)-3yD.m1—16=+4）—4）

題型二已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)

例題：（2024上?重慶南川?八年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的多項(xiàng)式尤2+,依一2可以分解為（彳+2）（彳-1）,則常數(shù)

m=.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024上?湖北孝感?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知二次三項(xiàng)式/一4%+”有一個(gè)因式是x+3,則機(jī)的值為.

2.多項(xiàng)式2/+5+2;/可以因式分解為（2尤-y）（x-2y）,則系數(shù)左=.

題型三已知因式分解中錯(cuò)題正解

例題：甲、乙兩個(gè)同學(xué)分解因式f+〃時(shí)，甲看錯(cuò)了加，分解結(jié)果為（》+9）。-2）；乙看錯(cuò)了"，分解結(jié)

果為（x-5）（尤+2）,則正確的分解結(jié)果為—.

鞏固訓(xùn)練

1.在分解因式尤2+辦+萬(wàn)時(shí)，小明看錯(cuò)了b,分解結(jié)果為（x+2）（x+4）；小張看錯(cuò)了a,分解結(jié)果為（x-l）（x-9）,

求a,b的值.

題型四公因式

例題：多項(xiàng)式Y(jié)a"+246"一12°362c的公因式是（）

A.—6ab2cB.—ab1C.—6ab2D.-6a3b2c

鞏固訓(xùn)練

1.下列各式中，沒(méi)有公因式的是（）

A.3x-2與6x?-4xB.ab-ac與ab-bcC.a'b與ab"D.a—b與（a-b），

2.多項(xiàng)式-8fy3z+i2孫2z3—24x3yz2的公因式是（）

A.一個(gè)zB.-8x2/C.-4xyzD.-2x2y2z2

題型五判斷能否用平方差或完全平方公式因式分解

例題1：（2024上?湖北襄陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列多項(xiàng)式能用平方差公式分解因式的是（）

A.%~+y2B.~x~+C.—x~-y-D.

例題2式2024下.全國(guó)七年級(jí)假期作業(yè)）下列各式:①T+2a+4；②儲(chǔ)+2q—L*③M+Za+h④_/+2々+1；

⑤-@a2-2a-l.其中能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的有（）

A.2個(gè)8.3個(gè)C.4個(gè)D5個(gè)

鞏固訓(xùn)練

1.（2024上?重慶江津?八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）

A.X2-9B.-4-m2C.nr—trD.9x2-4

2.（2024上?河北唐山?八年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于下列多項(xiàng)式，能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（）

①/+//②片一/③一片+^④

A.①②B.①④C.③④D.②③

3.（2024上?廣東廣州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）己知多項(xiàng)式/+?+16可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解，則”的

值為（）

A.4B.8C.-8D.±8

4.（2024上?山東泰安?八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各多項(xiàng)式中，能運(yùn)用公式法分解因式的有（）

（1）x2-4y2（2）9a2b2-3ab+l（3）-x2-2xy-y2（4）r+/

A.1個(gè)艮2個(gè)C.3個(gè)D4個(gè)

題型六綜合提公因式和公式法因式分解

例題：（2024上?山東東營(yíng).八年級(jí)統(tǒng)考期末）因式分解：

⑴3彳-12/

(2)-。36+1()。7一25"

(3)94(x-y)+4Z?2(y-x)

鞏固訓(xùn)練

1.(2024上?山東臨沂?八年級(jí)統(tǒng)考期末)分解因式:

(l)ox2+2axy+ay2；

(2)x2-(/-2y+l).

2.(2024上?湖北黃石?八年級(jí)統(tǒng)考期末)分解因式:

(1)ab-a^b+—ab；

4

(2)a2(x+y)-42%+y).

題型七運(yùn)用因式分解求多項(xiàng)式的值

例題：（2024上?上海普陀?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如果x-2y+2=0,那么!尤2一2一3的值是（）

4'

A.-2B.-1C.1D.0

鞏固訓(xùn)練

1.長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為a,b,若長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為16,面積為12,貝Udb+a"值為.

2.（24-25八年級(jí)上?遼寧大連?期末）已知劭=-2,°+6=-3,則/+2^2+蘇=.

3.（24-25八年級(jí)上?湖北孝感?期末）已知x-y=5,貝|尤2一/一I。〉的值是.

4.（2024八年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí)）先分解因式2（2機(jī)-〃7-5n^n-2m）",再求值.其中2m-n=3,4m-7n=l.

參考答案與試題解析

第九章因式分解

01思維導(dǎo)圖

因式分解的定義提公因式法因式分解

因式分解

公因式公式法因式分解

02知識(shí)速記

一、因式分解的定義

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.

要點(diǎn)詮釋：（1）因式分解只針對(duì)多項(xiàng)式，而不是針對(duì)單項(xiàng)式，是對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式的整體，而不是部分，因式

分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.

（2）要把一個(gè)多項(xiàng)式分解到每一個(gè)因式不能再分解為止.

（3）因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運(yùn)

算.

二、公因式

多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式，那么這個(gè)相同的因式就叫做公因式.

要點(diǎn)詮釋：（1）公因式必須是每一項(xiàng)中都含有的因式.

（2）公因式可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)字母，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式.

（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項(xiàng)

中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.

三、提公因式法因式分解

把多項(xiàng)式切a+或+爾分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式加，另一個(gè)因式是

（a+6+c）,即/na+?ib+/nc=?r（a+b+c）,而（a+b+c）正好是冽a+”必+怯除以加所得的商，這

種因式分解的方法叫提公因式法.

要點(diǎn)詮釋：（1）提公因式法分解因式實(shí)際上是逆用乘法分配律，

即，“口+"4（a+b+c）.

（2）用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.

（3）當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“一”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時(shí)多

項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).

（4）用提公因式法分解因式時(shí)，若多項(xiàng)式的某項(xiàng)與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項(xiàng)變

為：“+1”或“一1”，不要把該項(xiàng)漏掉，或認(rèn)為是0而出現(xiàn)錯(cuò)誤.

四、公式法因式分解

1.公式法一一平方差公式

兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即：

/―匕-=

要點(diǎn)詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的多項(xiàng)式分解因式.

（2）平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的平方，且符號(hào)相反，右邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的和與這兩

個(gè)數(shù)（整式）的差的積.

（3）套用公式時(shí)要注意字母a和b的廣泛意義，小6可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.

2.公式法一一完全平方公式

兩個(gè)數(shù)的平方和加上（減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方.

a2+2ab+b2=（。+5）-a2—2ab+b2=（a-b）~

即，.

22

形如a?+2a〃+〃，a-2ab+b的式子叫做完全平方式.

要點(diǎn)詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項(xiàng)式分解因式；

（2）完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是

兩數(shù)的和（或差）的平方.

（3）完全平方公式有兩個(gè)，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.

（4）套用公式時(shí)要注意字母a和b的廣泛意義，a、6可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.

03題型歸納

題型一判斷是否是因式分解

例題：（2024上?山東濟(jì)寧?八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（）

A.（a+3）2-a2+6a+9B.a1-4o+4=?（a-4）+4

C.5依2—5做2=5a（x+y）（%_y）D.a^a-\^=al-a

【答案】C

【分析】本題考查了因式分解的意義，因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式.

【詳解】解：A.(。+3)2=/+6°+9,是整式的乘法，不是因式分解；

B.儲(chǔ)一44+4=。,-4)+4,結(jié)果不是積的形式，不是因式分解；

C.5ax2-5ay2=5a(x+y)(x-y),是因式分解；

D.?(o-l)=a?-a,是整式的乘法，不是因式分解；

故選C.

鞏固訓(xùn)練

1.(2024上?河北保定?八年級(jí)統(tǒng)考期末)下列各式從左邊到右邊的變形中，屬于因式分解的是()

A.(a+l)(a—1)=a?-1B.〃—2a+3=a(a-2)+3

2322

C.X-5X=5XD.4X-4X+1=(2X-1)

【答案】D

【分析】本題考查了因式分解的意義，把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積.根據(jù)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)

化成幾個(gè)整式積，可得答案.

【詳解】解：4是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的整式乘法，不是因式分解，故A錯(cuò)誤；

8、沒(méi)把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積，不是因式分解，故B錯(cuò)誤；

C、屬于整式乘法運(yùn)算，不是因式分解，故C錯(cuò)誤；

D,把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積，屬于因式分解，故。正確；

故選：D.

2.(2024上.山東威海.八年級(jí)統(tǒng)考期末)下列由左邊到右邊的變形，是因式分解的是()

A.m(a+b)=am+bmB.4x?-2x=x(4x-2)

C.y2—1—3y=(y+l)(y—1)—3yD.m2—16=(zu+4)(??—4)

【答案】。

【分析】此題考查因式分解：將一個(gè)多項(xiàng)式寫(xiě)成幾個(gè)整式乘積的形式，叫因式分解，熟練掌握因式分解的

定義及分解方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A加(。+6)=。m+勿M不是因式分解，故不符合題意；

B.4X2-2X=2X(2X-1),錯(cuò)誤，不符合題意；

C.y2-1-3y=(y+l)(y-1)-3y不是因式分解，故不符合題意;

D*-16=(9+4)(%-4)是因式分解,符合題意；

故選：D.

題型二已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)

例題：(2024上?重慶南川.八年級(jí)統(tǒng)考期末)若關(guān)于無(wú)的多項(xiàng)式可以分解為(x+2)(x-l),則常數(shù)

m=.

【答案】1

【分析】本題考查了因式分解的意義，利用因式分解得出相等整式是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)整式合并后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等即可解答.

【詳解】解：\?關(guān)于x的多項(xiàng)式*2+〃a_2可以分解為(x+2)(x-l),

x2+mx—2=X2+X—2I

??YYl—1.

故答案為：1.

鞏固訓(xùn)練

1.(2024上?湖北孝感?八年級(jí)統(tǒng)考期末)已知二次三項(xiàng)式/一八+”有一個(gè)因式是x+3,則機(jī)的值為.

【答案】-21

【分析】設(shè)另一個(gè)因式為(x+。)，得機(jī)=@+3乂了+〃)，根據(jù)整式的乘法運(yùn)算法則即可求解.

本題考查因式分解的意義，解題關(guān)鍵是對(duì)題中所給解題思路的理解，同時(shí)要掌握因式分解與整式乘法是相

反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式.

【詳解】解：設(shè)另一個(gè)因式為(x+p),得％2-4x+機(jī)=(x+3)(x+p),

貝［|%2-4x+〃z=x2+(3+p)x+3p

.jT=3+p

\m=3p，

P=-7

解得

m=—21

.??另一個(gè)因式為(x-7),加的值為_(kāi)21.

故答案為：-21.

2.多項(xiàng)式2f+切+2/可以因式分解為(2x-y)(x-2y),則系數(shù)左=.

【答案】-5

【分析】利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則將(2x-y)Q-2y)展開(kāi)，即可得到人的值.

【詳解】解：(2x-_y)(x-2y)=2x2-4xy-xy+2y2=2x2-5xy+2y2,

:多項(xiàng)式2x2+"y+2y2可以因式分解為(2x-y)(x-2y),

：.k=-5.

故答案為：-5.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了因式分解的定義和整式乘法，利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則將(2尤-y)(x-2y)正確展開(kāi)

是解題關(guān)鍵.

題型三已知因式分解中錯(cuò)題正解

例題：甲、乙兩個(gè)同學(xué)分解因式犬+,加+〃時(shí)，甲看錯(cuò)了加，分解結(jié)果為(無(wú)+9)(x-2)；乙看錯(cuò)了”，分解結(jié)

果為(》-5)(尤+2),則正確的分解結(jié)果為—.

【答案】(%—6)(尤+3)

【分析】根據(jù)題意分別運(yùn)算。+9)(尤-2)和(x-5)(x+2),確定機(jī)、"的值，然后進(jìn)行因式分解即可.

【詳解】解：：甲看錯(cuò)了小，分解結(jié)果為0+9)0-2),

.,.由(x+9)(x-2)=尤2+7x-18,可知〃=-18,

又???乙看錯(cuò)了〃，分解結(jié)果為(x-5)(x+2),

??.由(x-5)(x+2)=尤2—3x-10,可知〃z=-3,

x2+mx+n=x2—3x-18,

JC2-3x-18=(x-6)(x+3),

；?正確的分解結(jié)果為(x-6)(x+3).

故答案為：(尤-6)(尤+3).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式乘法運(yùn)算以及因式分解的知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是理解題意，求出加、〃的值.

鞏固訓(xùn)練

1.在分解因式無(wú)2+辦+6時(shí)，小明看錯(cuò)了6,分解結(jié)果為(x+2)(x+4)；小張看錯(cuò)了a,分解結(jié)果為(x-1)@-9),

求a,b的值.

【答案】。=6,b=9

【分析】根據(jù)題意甲看錯(cuò)了b,分解結(jié)果為(x+2)(x+4),可得。系數(shù)是正確的，乙看錯(cuò)了a,分解結(jié)果為

(x-l)(x-9),6系數(shù)是正確的，在利用因式分解是等式變形，可計(jì)算的參數(shù)。、6的值.

【詳解】解：：(x+2)(x+4)=x2+6x+8,小明看錯(cuò)了b,

??a=6,

(x—l)(x—9)=x2—10x+9,小張看錯(cuò)了a,

；.b=9,

a=6,b=9.

【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解的系數(shù)計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于弄清哪個(gè)系數(shù)是正確的.

題型四公因式

例題：多項(xiàng)式-6a62+24a%2_i2a362c的公因式是()

A.—6ab2cB.—ab~C.—6ab2D.—6a3b2c

【答案】C

【分析】本題考查公因式，找出多項(xiàng)式中各項(xiàng)的系數(shù)的最大公約數(shù)，以及相同字母的最低指數(shù)次幕，即可

得到答案.

【詳解】解：?系數(shù)的最大公約數(shù)是-6,相同字母的最低指數(shù)次幕是成2,

二公因式為-6a/.

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

1.下列各式中，沒(méi)有公因式的是()

A.3x-2與6f-4xB.ab-ac與ab-bcC.a%與ab"D.a-b與(a—bf

【答案】B

【分析】根據(jù)公因式的定義逐一分析即可.

【詳解】解：A、6f_4x=2x(3x—2),3x—2與6d-4x有公因式3%-2,故本選項(xiàng)不符合題意；

B、H-ac=a(6-c)與仍-A=b(a-c)沒(méi)有公因式，故本選項(xiàng)符合題意；

C、/b與而2有公因式而，故本選項(xiàng)不符合題意;

D、與（a-/?）?有公因式a-匕，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了公因式的含義，熟記公因式的定義與公因式的確定是解題的關(guān)鍵.

2.多項(xiàng)式-8x2y3z+12;<yz3一24無(wú)3yz2的公因式是（）

A.一個(gè)zB.-8.x2/C.-4xyzD.-2x2y2z2

【答案】C

【分析】本題考查了確定多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式，可概括為三“定”：①定系數(shù)，即確定各項(xiàng)系數(shù)的最大公約

數(shù)；②定字母，即確定各項(xiàng)的相同字母因式（或相同多項(xiàng)式因式）；③定指數(shù)，即各項(xiàng)相同字母因式（或相

同多項(xiàng)式因式）的指數(shù)的最低次幕.按照公因式的確定方法，公因式的系數(shù)應(yīng)取T,字母尤取無(wú)，字母y

取y,字z取z.

【詳解】：多項(xiàng)式-8尤2y%+120223-24x3yz?中，

各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的最大公約數(shù)是4,

各項(xiàng)相同字母x的最低次幕是X,

各項(xiàng)相同字母y的最低次募是》

各項(xiàng)相同字母Z的最低次暴是Z,

多項(xiàng)式-8x2y3z+12j^y2z3-24x3yz2的公因式是-4孫z.

故選：C.

題型五判斷能否用平方差或完全平方公式因式分解

例題1：（2024上?湖北襄陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列多項(xiàng)式能用平方差公式分解因式的是（）

A.r+y2B.—x2,+y?C.—x?—y~D.x3—y3

【答案】B

【分析】本題考查了運(yùn)用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的形式％2-丁=@+日卜一丫）是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得：只有B選項(xiàng)能用平方差公式分解因式，

故選：B

例題2:（2024下?全國(guó)?七年級(jí)假期作業(yè)）下列各式:①a?+2。+4;②a?+2。-1；③/+2a+l;@-a2+2a+1；

⑤一/一？。-：!；⑥/一2a-l.其中能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的有（）

A.2個(gè)8.3個(gè)C.4個(gè)O.5個(gè)

【答案】A

【解析】略

鞏固訓(xùn)練

1.（2024上.重慶江津.八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）

A.X2-9B.-4-nrC.m2-n2D.9x2-4

【答案】B

【分析】本題考查了平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差；用字母表示為

（a+b）（a-b）=a2-b2,本題利用平方差公式判斷即可.

【詳解】A、f_9=（x+3）（x-3）,可以用平方差公式分解因式，故不符合題意；

8、不可以用平方差公式分解因式，故符合題意；

C,m2-n2=（m+n）（m-n）,可以用平方差公式分解因式，故不符合題意；

D、9x2-4=（3x）2-22=（3x+2）（3x-2）,可以用平方差公式分解因式，故不符合題意.

故選：B.

2.（2024上?河北唐山?八年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于下列多項(xiàng)式，能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（）

①/+〃②/一/③一標(biāo)+廿―力

A.①②B.①④C.③④D.②③

【答案】D

【分析】本題考查了多項(xiàng)式的因式分解，根據(jù)平方差公式的形式：1-從=（4-3（4+為逐項(xiàng)判斷即得答案.

【詳解】解：①/+〃不能用平方差公式進(jìn)行因式分解，

②"一/=（4+與（4-切，能用平方差公式進(jìn)行因式分解，

③-/+廿=4）（尻。）,能用平方差公式進(jìn)行因式分解，

④-4一〃不能用平方差公式進(jìn)行因式分解，

故選：D.

3.（2024上?廣東廣州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知多項(xiàng)式Y(jié)+依+16可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解，則。的

值為（）

A.4B.8C.-8D.±8

【答案】D

【分析】本題考查因式分解，熟知完全平方公式/±2必+62=(“±92是解答的關(guān)鍵.

【詳解】解：：多項(xiàng)式丁+依+16可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解，

,由尤2+ox+16=x2±2尤?4+4。得a=±8,

故選：D

4.(2024上?山東泰安?八年級(jí)統(tǒng)考期末)下列各多項(xiàng)式中，能運(yùn)用公式法分解因式的有()

(1)/-4y°(2)9a2b2-3ab+l(3)-x2-2xy-y2(4)x1+y2

A.1個(gè)8.2個(gè)C.3個(gè)O.4個(gè)

【答案】B

【分析】本題考查了因式分解中的公式法，涉及完全平方公式以及平方差公式，據(jù)此逐項(xiàng)分析，即可作答.

【詳解】解：x2-4/=(x+2j)(x-2y),故(1)符合題意；

91廿一3必+1不能運(yùn)用公式法分解因式，故(2)不符合題意；

—尤2—2肛—y?=—(J+2沖+/)=_(》+丫)，故(3)符合題意；

f不能運(yùn)用公式法分解因式，故(4)不符合題意；

所以能運(yùn)用公式法分解因式的有(1)和(3),

故選：B

題型六綜合提公因式和公式法因式分解

例題：(2024上?山東東營(yíng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末)因式分解：

(l)3x—12x2

(2)-10^—25。。

(3)9片(x-y)+4b2(y_X)

【答案】⑴3x(1-4尤)

⑵-叫a-5)2

(3)(x-y)(3a+2b)(3a-2b)

【分析】本題主要考查因式分解：

(1)采用提公因式法求解；

(2)先提公因式，再采用公式法求解;

(3)先提公因式，再采用公式法求解.

【詳解】(1)原式=3x(1—4”；

(2)原式=-ab(a2-10a+25)

=—ab^a—5^；

(3)原式=9〃2(x-y)-4/(x-y)

—462)

=(x-y)(3a+2b)(3a-2Z?).

鞏固訓(xùn)練

1.(2024上.山東臨沂.八年級(jí)統(tǒng)考期末)分解因式：

(l)ox2+2axy+ay2；

(2)x2-(/-2y+l).

【答案】(l)〃(x+y)2；

⑵(x+yT(x-y+l).

【分析】本題主要考查了因式分解，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握提公因式法分解因式，運(yùn)用公式法分解因

式.

(1)先提公因式，再用完全平方公式分解因式；

(2)先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式.

【詳解】(1)解：ax2+2axy+ay2=a(x2+2xy+y2)=a{x+y)2

2.(2024上.湖北黃石.八年級(jí)統(tǒng)考期末)分解因式：

(1)ab-a'b+—ab；

4

(2)a2Cx+y)-4Z?2(X+y).

【答案】⑴ab

(2)(x+y)(a+2b)(a—2b)

【分析】此題考查因式分解，

(1)先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可;

(2)先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可.

【詳解】(1)解：ab-a2b+-ab

4

——Q+—

=Q/?(Q—g)2；

(2)解：/(%+y)-4/(x+y)

=(x+yXa?-4Z?2)

=(x+y)(a+2b)(a-2b).

題型七運(yùn)用因式分解求多項(xiàng)式的值

例題：(2024上.上海普陀?七年級(jí)統(tǒng)考期末)如果x-2y+2=0,那么一>2.3