中考數(shù)學幾何模型歸納訓練專題07 三角形中的重要模型-等積模型（原卷版）

專題07三角形中的重要模型-等積模型

三角形的面積問題在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位，等積變形是中學幾何里面一個非常重要的

思想，下面的五大模型也都是依托等積變形思想變化而成的，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容。本專題就三

角形中的等積模型（蝴蝶（風箏）模型，燕尾模型，鳥頭模型，沙漏模型，金字塔模型）進行梳理及對應

試題分析，方便掌握。

模型1.等積變換基礎(chǔ)模型

1）等底等高的兩個三角形面積相等；

如圖，當，則；反之，如果，則可知直線。

1AB//CDS△ACDS△BCDS△ACDS△BCDAB//CD

圖1圖2圖3

2）兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比。

如圖2，當點D是BC邊上的動點時，則S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。

如圖3，當點D是BC邊上的動點，BE⊥AD，CF⊥AD時，則S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。

1

例1．（山東省臨沂市2023-2024學年八年級月考）如圖，BD是ABC邊AC的中線，點E在BC上，BEEC，

2

△ABD的面積是3，則BED的面積是（）

A．4B．3C．2D．1

例2．（河北省石家莊市2023-2024學年八年級月考）如圖，BD是ABC的邊AC上的中線，AE是△ABD

的邊BD上的中線，BF是ABE的邊AE上的中線，若ABC的面積是32，則陰影部分的面積是（）

A．9B．12C．18D．20

例3．（湖北十堰五校聯(lián)考2023-2024學年八年級月考）如圖，點G為ABC的重心，D，E，F(xiàn)分別為BC，

CA，AB的中點，具有性質(zhì)：AG:GDBG:GECG:GF2:1．已知AFG的面積為2，則ABC的面積為．

例4．（浙江省杭州市2023-2024學年八年級上學期10月月考數(shù)學試題）如圖，CD是ABC的一條中線，

E為BC邊上一點且BE2CE，AE、CD相交于F，四邊形BDFE的面積為6，則ABC的面積是．

例5．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期中）基本性質(zhì)：三角形中線等分三角形的面積．

1

如圖1，AD是ABC邊BC上的中線，則S△S△S△．

ABDACD2ABC

理由：因為AD是ABC邊BC上的中線，所以BDCD．

111

又因為SBDAH，SCDAH，所以SSS．

ABD2ACD2△ABD△ACD2△ABC

所以三角形中線等分三角形的面積．

基本應用：在如圖2至圖4中，ABC的面積為a．

如圖，延長的邊到點，使，連接．若的面積為，則（用

(1)2ABCBCDCDBCDAACDS1S1

含a的代數(shù)式表示）；

(2)如圖3，延長ABC的邊BC到點D，延長邊CA到點E，使CDBC，AECA，連接DE．若DEC的

面積為S2，則S2（用含a的代數(shù)式表示）；

(3)在圖3的基礎(chǔ)上延長AB到點F，使BFAB，連接FD，F(xiàn)E，得到DEF（如圖4）．若陰影部分的面

積為S3，則S3（用含a的代數(shù)式表示）；

拓展應用：

(4)如圖5，點D是ABC的邊BC上任意一點，點E，F(xiàn)分別是線段AD，CE的中點，且ABC的面積為8a，

則△BEF的面積為（用含a的代數(shù)式表示），并寫出理由．

例6．（2023春·上?！ぞ拍昙壠谥校┙獯鹣铝懈黝}

(1)如圖1，已知直線m∥n，點A、B在直線n上，點C、P在直線m上，當點P在直線m上移動時，總有

______與ABC的面積相等．

(2)解答下題．①如圖2，在ABC中，已知BC6，且BC邊上的高為5，若過C作CE∥AB，連接AE、

BE，則BAE的面積為______．

②如圖3，A、B、E三點在同一直線上，BHAC，垂足為H．若AC4，BH21，ABCACB60，

GGBF60，求△ACF的面積．

(3)如圖4，在四邊形ABCD中，AB與CD不平行，ABCD，且S△ABCS△ACD，過點A畫一條直線平分四

邊形ABCD的面積（簡單說明理由）．

模型2.蝴蝶（風箏）模型

蝴蝶模型（定理）提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑。通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則

四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應的對角線的比例關(guān)系。

蝴蝶定理：任意四邊形中的比例關(guān)系

如圖，結(jié)論：①或；②。

1S1:S2S4:S3S1S3S2S4AO:OCS1S2:S4S3

梯形蝴蝶定理：梯形中比例關(guān)系

如圖，結(jié)論：①22；②22；③梯形的對應份數(shù)為2。

2S1:S3a:bS1:S3:S2:S4a:b:ab:abSab

例1．在四邊形ABCD中，AC和BD互相垂直并相交于O點，四個小三角形的面積如圖所示．則陰影部分

三角形BCO的面積為．

例2、如圖，S△ACB＝24平方厘米，S△ACD＝16平方厘米，S△ABD＝25平方厘米，則S△COB為平方厘米。

例3、如下圖，梯形ABCD的AB平行于CD，對角線AC，BD交于O，已知△AOB與△BOC的面積分別

為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形ABCD的面積是________平方厘米．

AB

25

35

O

DC

例4、如圖，梯形ABCD中，AOB、COD的面積分別為1.2和2.7，則梯形ABCD的面積為．

AB

O

DC

例5、梯形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AB垂直AC，并且已知AO＝6厘米，BO＝10厘米，則三

角形DOC的面積是平方厘米。

例6、圖中大平行四邊形被分成若干小塊，其中四塊的面積已經(jīng)標出，則中間的四邊形GQHS的面積為。

模型3.燕尾（定理）模型

條件：如圖，在△ABC中，E分別是BC上的點，G在AE上一點，結(jié)論：S1:S2S3:S4S1+S3:S2+S4BE:EC。

例1、如圖，△ABC中，M、N分別是BC、AC邊上的三等分點，AM、BN相交于點O，已知△BOM的面

積為2，則四邊形MCNO的面積為。

例2．（2023·山東·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，已知點P、Q分別在邊AC、BC上，BP與AQ相交

于點O，若△BOQ、△ABO、△APO的面積分別為1、2、3，則△PQC的面積為（）

A．22B．22.5C．23D．23.5

例3．如下圖，三角形ABC中，AF:FBBD:DCCE:AE3:2，且三角形GHI的面積是1，則三角形ABC

的面積為．

例4．（2023江蘇淮安九年級月考）已知ABC的面積是60，請完成下列問題：

(1)如圖1，若AD是ABC的BC邊上的中線，則△ABD的面積______ACD的面積．（填“>”“<”“=”）

(2)如圖2，若CD、BE分別是ABC的AB、AC邊上的中線，求四邊形ADOE的面積可以用如下方法，連

接AO，由ADDB得：SADOSBDO，同理：SCEOSAEO，設S△ADOx，S△CEOy，則SBDOx，SAEOy

112xy30

由題意得：SABESABC30，SADCSABC30，可列方程組為：，解得______，則可得

22x2y30

四邊形ADOE的面積為______．(3)如圖3，AD:DB1:3，CE:AE1:2，則四邊形ADOE的面積為______．(4)

如圖4，D，F(xiàn)是AB的三等分點，E，G是CA的三等分點，CD與BE交于O，且S△ABC60，則四邊形ADOE

的面積為______．

模型4.鳥頭定理（共角定理）模型

圖1圖2

共角三角形：兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形。

共角定理：共角三角形的面積比等于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比。

如圖，在△ABC中，D,E分別是AB,AC上的點(如圖1)或D在BA的延長線上，E在AC上(如圖2)，則

S△ABC:S△ADE(ABAC):(ADAE)

例1、如圖，在三角形ABC中，D、E是AB,AC上得點，且AD：AB=2:5，AE：AC=4：7，三角形ADE的

面積是16平方厘米，則ABC的面積為。

例2．（2023·山西晉中·九年級統(tǒng)考階段練習）閱讀理解

如果兩個三角形中有一組對應角相等或互補，那么這兩個三角形叫做共角三角形，共角三角形的面積比等

于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比，

SADAE

例：在圖1中，點D，E分別在AB和AC上，ADE和ABC是共角三角形，則ADE

SABCABAC

證明：分別過點E，C作EG⊥AB于點G，CF⊥△AB于點△F，得到圖2，

EGAE

∵∠AGE=∠AFC，又∵∠A=∠A，∴△GAE∽△FAC，∴

CFAC

1

ADEG

SS△ADEGADAES△ADAE

又△ADE2ADE即ADE

S1S△ABCFABACS△ABAC

△ABCABCFABCABC

2

SADAE

任務：（1）如圖3，已知∠BAC+∠DAE=180°，請你參照材料的證明方法，求證：ADE

SABCABAC

S△1AD1

（2）在（1）的條件下，若ADE,,AB9,則AE=．

S△ABC6AC4

例3．（2023·重慶·九年級專題練習）問題提出：如圖1，D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，連接DE，

已知線段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，則SADE，SABC和a，b，c，d之間會有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

△△

問題解決：探究一：（1）看到這個問題后，我們可以考慮先從特例入手，找出其中的規(guī)律．如圖2，若DE∥BC，

ac

則∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：而根據(jù)相似三角形面積之

abcd

2

SADEa

比等于相似比的平方．可得2．根據(jù)上述這兩個式子，可以推出：

SABCab

2

SADEaaaacac

2．

SABCababababcdabcd

（2）如圖3，若∠ADE＝∠C，上述結(jié)論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；著不成立，請說明理由．

SADEac

探究二：回到最初的問題，若圖1中沒有相似的條件，是否仍存在結(jié)論：？方法回顧：

SABCabcd

兩個三角形面積之比，不僅可以在相似的條件下求得，當兩個三角形的底成高具有一定的關(guān)系時，也可以

1

BDAH

SBD

解決．如圖4，D在△ABC的邊上，做AH⊥BC于H，可得：ABD2．借用這個結(jié)論，請

S1DC

ADCDCAH

2

你解決最初的問題．

延伸探究：（1）如圖5，D、E分別在△ABC的邊AB、AC反向延長線上，連接DE，已知線段AD＝a，AB

S

＝b，AE＝c，AC＝d，則ADE．（2）如圖6，E在△ABC的邊AC上，D在AB反向延長線上，連

SABC

S

接DE，已知線段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，ADE．

SABC

結(jié)論應用：如圖7，在平行四邊形ABCD中，G是BC邊上的中點，延長GA到E，連接DE交BA的延長線

于F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2，?ABCD的面積為30，則△AEF的面積是．

模型5.金字塔與沙漏模型

金字塔模型沙漏模型

ADAEDEAF22

條件：①；②S△:S△AF:AG。

ABACBCAGADEABC

例1．（2023秋·遼寧沈陽·九年級?？茧A段練習）如圖，已知點D、E分別是AB、AC邊上的點，且

△ADE∽△ABC，面積比為1：9，AGBC交DE于點F．則AF:AG（）

A．1：3B．3:1C．1：9D．9：1

例2．（2023·福建龍巖·九年級?？茧A段練習）如圖，ABC中，DE∥BC，BE與CD相交于點F．如果

DF:FC1:3，那么SADE:SABC等于（）

A．1:9B．1:3C．2:3D．1:8

例3．（2023·江蘇·模擬預測）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點，AC與BD相交

于點O，則ABO的面積與CDO的面積的比為（）

A．1：2B．2:2C．1：4D．2:4

例4．（2023春·北京海淀·九年級校考開學考試）如圖，ABC是等邊三角形，被一矩形所截，AB被截成

三等分，EH∥BC，若圖中陰影部分的面積是6，則四邊形BCGF的面積為（）

A．8B．9C．10D．11

例5．（2023·遼寧·九年級?？计谥校┤鐖D，EB為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點P處與地面BE的距離為1.6

米，車頭FACD可近似看成一個矩形，且滿3FD2FA，盲區(qū)EB的長度是6米，車寬FA的長度為米．

例6．（2023·四川成都·九年級成都實外?？计谥校┤鐖D，ABC中，點PQ分別在AB，AC上，且PQ∥BC，

PMBC于點M，QNBC于點N，ADBC于點D，交PQ于點E，且AD:BC2:3，連接MQ，若ABC

的面積等于75，則MQ的最小值為．

例7．（2022秋·河南鄭州·九年級?？计谥校┤鐖D，矩形EFGH內(nèi)接于ABC（矩形各頂點在三角形邊上），

E，F(xiàn)在BC上，H，G分別在AB，AC上，且ADBC于點D，交HG于點N．

(1)求證：△AHG∽△ABC(2)若AD3，BC9，設EHx，則當x取何值時，矩形EFGH的面積最大？

最大面積是多少？

課后專項訓練

12

1．（2023山西八年級期末）如圖在ABC中，D、E分別是邊BC、AD的中點．CFEF，S△12cm，

2ABC

則圖中陰影部分的面積為（）

A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm2

2．（2023·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期末）如圖，一個矩形分成4個不同的三角形，綠色三角形面積占矩形

面積的15%，黃色三角形面積是21平方厘米，則矩形面積為平方厘米．

2

3．（2023安徽蕪湖八年級期中）如圖，在ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AD，CE的中點，且SABC8cm，

則S陰影．

4．（浙江省杭州2023-2024學年九年級上學期10月月考數(shù)學試題）如圖，CD是ABC的一條中線，E為BC

邊上一點且BE2CE，AE、CD相交于F，四邊形BDFE的面積為6，則ABC的面積是．

5．（廣東省寶安區(qū)文匯學校2023-2023學年九年級上學期月考數(shù)學試題）如圖，ABC的面積為40cm2，

DE2AE，CD3BD，則四邊形BDEF的面積等于cm2．

6.如圖，在ABC中，已知M、N分別在邊AC、BC上，BM與AN相交于O,若AOM、ABO和BON

的面積分別是3、2、1，則MNC的面積是．

A

M

O

C

BN

如圖，，，求梯形的面積．

7.S22S34

S1

S2S4

S3

8.四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O(如圖所示)。如果三角形ABD的面積等于三角形BCD的面積

1

的，且AO2，DO3，那么CO的長度是DO的長度的_________倍。

3

AD

O

BC

9.如圖，△ABC三邊的中線AD，BE，CF的公共點為G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，則圖中陰影部

分的面積是．

10．如圖，三角形ABC的面積是1，E是AC的中點，點D在BC上，且BD:DC1:2，AD與BE交于點F．則

四邊形DFEC的面積等于．

11、如圖所示，在△ABC中，BD＝2DA，CE＝2EB，AF＝2FC，那么△ABC的面積是△GHI面積的幾倍？

12、如圖，S△ACB＝48平方厘米，S△ACD＝32平方厘米，S△ABD＝45平方厘米，則S△COB為多少平方厘米？

13、圖中大平行四邊形被分成若干小塊，其中四塊的面積已經(jīng)標出，那么中間的四邊形GQHS的面積是多

少？

14如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD，被對角線AC、BD分成四個部分，△AOB面積為1平方千米，

△BOC面積為2平方千米，△COD的面積為3平方千米，公園由陸地面積是6．92平方千米和人工湖組成，

求人工湖的面積是多少平方千米？

C

B

O

AD

15．（2023春·北京西城·七年級?？计谥校╅喿x與理解：

三角形的中線的性質(zhì)：三角形的中線等分三角形的面積，即如圖1，AD是ABC中BC邊上的中線，則

1

SSS．

ABDACD2ABC

111

理由：BDCD，SABDBDAHCDAHSACDSABC，

222

即：等底同高的三角形面積相等．

操作與探索：在如圖2至圖4中，ABC的面積為a．

如圖，延長的邊到點，使，連接．若的面積為，則

(1)2ABCBCDCDBCDAACDS1S1___________

（用含a的代數(shù)式表示）；

(2)如圖3，延長ABC的邊BC到點D，延長邊CA到點E，使CDBC，AECA，連接DE．若DEC的

面積為S2，則S2___________（用含a的代數(shù)式表示），并寫出理由；

(3)在圖3的基礎(chǔ)上延長AB到點F，使BFAB，連接FD，F(xiàn)E，得到DEF（如圖4)．若陰影部分的面

積為S3，則S3___________；（用含a的代數(shù)式表示）

拓展與應用：(4)如圖5，已知四邊形ABCD的面積是a，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中

點，連接FH,EG交于點O，求圖中陰影部分的面積？

16．（2022秋·陜西西安·七年級西安益新中學校考期中）探索：在圖1至圖3中，已知ABC的面積為a，

(1)如圖1，延長ABC的邊BC到點D，使CDBC，連接DA.若ACD的面積為S1，則S1=______.(用含a

的代數(shù)式表示)

(2)如圖2，延長ABC的邊BC到點D，延長邊CA到點E，使CDBC，AECA，連接DE.若DEC的

面積為S2，則S2=______.(用含a的代數(shù)式表示)

(3)在圖2的基礎(chǔ)上延長AB到點F，使BFAB，連接FD，F(xiàn)E，得到DEF（如圖）若陰影部分的面積為

S3，則S3=______.(用含a的代數(shù)式表示)

(4)發(fā)現(xiàn)：像上面那樣，將ABC各邊均順次延長一倍，連接所得端點，得到△DEF(如圖3)，此時，我們稱

ABC向外擴展了一次．可以發(fā)現(xiàn)，擴展一次后得到的DEF的面積是原來ABC面積的______倍．

(5)應用：要在一塊足夠大的空地上栽種花卉，工程人員進行了如下的圖案設計：首先在ABC的空地上種

紅花，然后將ABC向外擴展三次(圖4已給出了前兩次擴展的圖案).在第一次擴展區(qū)域內(nèi)種黃花，第二次

擴展區(qū)域內(nèi)種紫花，第三次擴展區(qū)域內(nèi)種藍花．如果種紅花的區(qū)域(即ABC的面積是10平方米，請你運用

上述結(jié)論求出：①種紫花的區(qū)域的面積；②種藍花的區(qū)域的面積．

17．（2022·河南鄭州·?？级＃┬∶靼l(fā)現(xiàn)，若一個三角形中，中線的存在會和三角形的面積有一定的關(guān)系．

如圖1，ABC中，CD為AB邊的中線，可得ADBD，過點C作CMAB于M，則

11

S△ADCMBDCMS

ADC22△BDC

在持續(xù)研究中，小明發(fā)現(xiàn)，這個研究可以運用到很多問題解決中，請你幫助小明完成下列任務：

(1)如圖2，矩形ABCD中，點M，N分別為CD，AB上的動點，且DMAN，AM與DN交于點E．連

接CE．①判斷DAE與DME的面積關(guān)系；②若AD3，AB4，當點M為CD的中點時，求四邊形BCEN

的面積；(2)ABC中，A30，AB6，點D為AB的中點，連接CD，將ACD沿CD折疊，點A的對

1

應點為點E，若ECD與ABC重合部分的面積為ABC面積的，直接寫出ABC的面積．

4

ACBC

18．（2022秋·浙江·九年級專題練習）如圖1，點C將線段AB分成兩部分，如果，那么稱點C為

ABAC

線段AB的黃金分割點．

某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線

SS

12

l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2，如果，那么稱直線l為該圖形

SS1

的黃金分割線．

（1）研究小組猜想：在ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點（如圖2），則直線CD是ABC的黃金

分割線．你認為對嗎？為什么？

（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？

（3）研究小組在進一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點C任作一條直線交AB于點E，再過點D作直線DF∥CE，交AC

于點F，連接EF（如圖3），則直線EF也是ABC的黃金分割線．請你說明理由．

（4）如圖4，點E是YABCD的邊AB的黃金分割點，過點E作EF∥AD，交DC于點F，顯然直線EF是

YABCD的黃金分割線．請你畫一條YABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過YABCD各邊黃金分割點．

19．（2023春·江蘇南京·七年級?？茧A段練習）【數(shù)學經(jīng)驗】三角形的中線，角平分線，高是三角形的重要

線段，同時，我們知道，三角形的3條高所在直線交于同一點．

(1)①如圖1，ABC中，A90，則ABC的三條高所在直線交于點；

②如圖2，ABC中，BAC90，已知兩條高BE、AD，請你僅用一把無刻度的直尺（僅用于過任意兩

點作直線、連接任意兩點、延長任意線段）畫出ABC的第三條高．（不寫畫法，保留作圖痕跡）

【綜合應用】(2)如圖3，在ABC中，ABCC，AD平分BAC，過點B作BEAD于點E．

①若ABC80，C30，則EBD；②請寫出EBD與ABC，C之間的數(shù)量關(guān)系，并

說明理由．

【拓展延伸】(3)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，如果兩個三角形的高相同，則它們的面積

△ABM的面積BM

比等于對應底邊的比．如圖4，ABC中，M是BC上一點，則有．如圖5，ABC中，

△ACM的面積CM

1

M是BC上一點，且BMBC，N是AC的中點，若ABC的面積是m，請直接寫出四邊形CMDN的面

3

積．（用含m的代數(shù)式表示）

20．（2023春·江蘇鹽城·七年級統(tǒng)考期末）【問題情境】

蘇科版數(shù)學課本七年級下冊上有這樣一道題：如圖1，AD是ABC的中線，ABC與△ABD的面積有怎樣

的數(shù)量關(guān)系？

=

小旭同學在圖1中作BC邊上的高AE，根據(jù)中線的定義可知BDCD．又因為高AE相同，所以SABDSACD，

于是S△ABC2S△ABD．據(jù)此可得結(jié)論：三角形的一條中線平分該三角形的面積．

【深入探究】（1）如圖2，點D在ABC的邊BC上，點P在AD上．

①若AD是ABC的中線，求證：S△APBS△APC；②若BD3DC，則S△APB:S△APC______．

【拓展延伸】（2）如圖3，分別延長四邊形ABCD的各邊，使得點A、B、C、D分別為DH、AE、BF、

CG的中點，依次連結(jié)E、F、G、H得四邊形EFGH．

①求證：S△HDGS△FBE2S四邊形ABCD；②若S四邊形ABCD3，則S四邊形EFGH______．

21．（2023秋·廣西柳州·八年級?？奸_學考試）閱讀下面資料：