2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試（B）卷參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

1一本題滿分40分）如圖，▽ABC的外心為O，在邊AB上取一點(diǎn)D，延長OD至點(diǎn)E，使得A,O,B,E四點(diǎn)共圓．若OD=2,AD=3,BD=4,CD=5，證明：▽ABE與▽CDE的周長相等.OO·CA···BDEOCA···BDE證明：由A,O,B,E共圓得AD.BD=OD.DE，又OD=2,AD=3,BD=4，所以DE=6．……………10分由OA=OB得7OAD=7OEA，故▽OAD∽▽OEA，故.所以O(shè)A2=OD.OE=2×(2+6)=16，得OA=4.進(jìn)而AE=AD.=2AD=6.同理可得▽OBD∽▽OEB，BE=2BD=8．……………20分由于OC2=OA2=OD.OE，故▽OCD∽▽OEC．……………30分由OD=2,OE=OD+DE=8知OC=4，又CD=5，故EC=2CD=10.AB+AE+BE=7+6+8=21，CD+DE+EC=5+6+10=21，即▽ABE與▽CDE的周長相等．……………40分二本題滿分40分）設(shè)m,n是給定的整數(shù)，m≥n≥3.求具有下述性質(zhì)的最小正整數(shù)k：若將1,2,…,k中的每個(gè)數(shù)任意染為紅色或者藍(lán)色，則或者存2的數(shù)y1,y2,…,yn，有y1+y2+…+yn–1≥n–1≥yn，上對k<mn–n，可在上述例子中刪去大于k的數(shù)，則得到不符合要求的例子．因此所求k≥mn–n+1．………………10分下面證明k=mn–n+1具有題述性質(zhì).假設(shè)可將1,2,…,mn–n+1中的每個(gè)數(shù)染為紅色或藍(lán)色，使得結(jié)論不成立.情形一：若1是紅色的數(shù)，則紅色的數(shù)均不超過m–1，否則可取一個(gè)my12n–1n有y12n*）情形二：若1是藍(lán)色的數(shù)，則同情形一可知藍(lán)色的數(shù)均不超過n–1，故與（*）類似，可得矛盾.故k=mn–n+1時(shí)結(jié)論成立.綜上，所求最小的正整數(shù)k=mn–n+1．………………40分證明你的結(jié)論.解：記S=1≤iaiaj不妨設(shè)0<a1≤a2≤…≤a2023≤1，則將1≤iai—aj去掉絕對值后，ak當(dāng)1≤k≤1011時(shí)，由基本不等式知當(dāng)1012≤k≤2023時(shí)，由于fk在上單調(diào)增，故3這意味者不存在a1,a2,…,a2023滿足條件．四本題滿分50分）設(shè)正整數(shù)a,b,c,d同時(shí)滿足：證明：abcd是2023的倍數(shù).2是2023的倍數(shù)，故a+b,a+c,a+d中至少有一個(gè)是7的倍數(shù)．……………10分由對稱性，不妨設(shè)a+b是7的倍數(shù)，則c+d=2023–(a+b)也是7的倍a22的倍數(shù)，這表明a,b,c,d都是7的倍數(shù)． 是172的倍數(shù)，或者其中有兩個(gè)因子是17的倍數(shù).數(shù)知，a+b是2023=7×172的倍數(shù)，但這與a+b+c+d=2023及a,b,c,d是正整倍數(shù)，那么b+d也是17的倍數(shù)，由2知，2a2是17的倍數(shù)，故a是17的倍數(shù).因此a,b,c,d