河南省許平汝名校2025屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題 含解析

高三數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可知，是方程的根，求出的值，可求出集合，再利用并集的運(yùn)算可求得集合.【詳解】因?yàn)?，，，所以是方程的根，則，解得，故，合乎題意，故.故選：C2.已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，再得出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，得到復(fù)數(shù)和，再進(jìn)行減法運(yùn)算.【詳解】在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，而關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，則，所以.故選：D3.如果是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】將兩個(gè)條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.【詳解】當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則.而當(dāng)時(shí)，可能，此時(shí)，而.綜上所述“”是“”的充分不必要條件.【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查絕對(duì)值的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.4.已知是減函數(shù)，則函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得，當(dāng)時(shí)根據(jù)函數(shù)解析式可得函數(shù)的圖象，即可求解.【詳解】因?yàn)槭菧p函數(shù)，且是增函數(shù)，所以，因?yàn)?，又?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象是對(duì)稱(chēng)軸為直線，頂點(diǎn)為，開(kāi)口向上的拋物線的一部分，只有選項(xiàng)B符合題意.故選：B.5.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】法1：確定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可求解，法2：分參，得到，確定的單調(diào)性，進(jìn)而可求解.【詳解】法1：因?yàn)椋?，解得或；令，解得，所以在上單調(diào)遞增，要滿(mǎn)足函數(shù)在區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則，，解得.故選：C.法2：由題意，關(guān)于的方程在內(nèi)僅有一個(gè)解，而，，令，解得或；即在上單調(diào)遞增，原問(wèn)題等價(jià)于.故選：C6.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別是棱，的中點(diǎn)，若為側(cè)面內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取中點(diǎn)，根據(jù)線面平行的判定定理，證得平面，平面，進(jìn)而證得平面平面，得到當(dāng)時(shí)，平面，所以點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的軌跡為線段，在中，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，，，正方體中，可得且，因?yàn)?，分別是棱的中點(diǎn)，則且，所以四邊形為平行四邊形，則，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可證：平面，因?yàn)?，且平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫妫?dāng)時(shí)，則平面，所以平面，所以點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的軌跡為線段，因?yàn)檎襟w的邊長(zhǎng)為，可得，，在中，可得，且，則，所以的最小值為.故選：B.7.張某經(jīng)營(yíng)、兩家公司，張某隨機(jī)到公司指導(dǎo)與管理，已知他第1個(gè)月去公司的概率是.如果本月去公司，那么下個(gè)月繼續(xù)去公司的概率為；如果本月去公司，那么下個(gè)月去公司的概率為，如此往復(fù).設(shè)張某第個(gè)月去公司的概率為，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)全概率公式得到數(shù)列的遞推公式，再根據(jù)遞推公式求通項(xiàng)公式，可求.【詳解】設(shè)表示第個(gè)月去公司，則，，根據(jù)題意，得，，由全概率公式，得，即，整理得，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，則.故選：A8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，漸近線方程為，過(guò)且斜率為的直線與在第一象限的交點(diǎn)為，的角平分線與線段交于點(diǎn)，若，則的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)雙曲線的半焦距為，結(jié)合雙曲線的漸近線方程為，可得，設(shè)，結(jié)合雙曲線定義，余弦定理列關(guān)系式可得，結(jié)合角平分線性質(zhì)求結(jié)論.【詳解】設(shè)的半焦距為，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，故，.設(shè)，，，由余弦定理有，化簡(jiǎn)得，則，因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，所以，又，所以，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷A項(xiàng)，由冪函數(shù)單調(diào)性可判斷B項(xiàng)，運(yùn)用作差法及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可判斷C項(xiàng)，運(yùn)用作差法及不等式性質(zhì)可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)槭菧p函數(shù)，而，所以，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，而，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，，因?yàn)?，，，所以，即，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，，因?yàn)?，，，所以，即，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)定義在上，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.B.C.的解集為D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)條件得到的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，對(duì)于A，利用，結(jié)合條件，即可求解；對(duì)于B，利用的周期為，即可求解；對(duì)于C，數(shù)形結(jié)合，即可求解；對(duì)于D，利用及的周期，即可求解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，等價(jià)于，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由，得到，又，所以，則，所以的周期為，又當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，的部分圖象如圖所示.對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，由，得到，又，所以，則，所以的周期為，，又，所以，則，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，由圖象知，當(dāng)時(shí)，由得到，又的周期為，則時(shí)，，，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，故選項(xiàng)D正確，故選：BCD.11.已知函數(shù)，，則（）A.是一個(gè)周期函數(shù)B.，C.方程在區(qū)間上有4個(gè)不同解D.，使得【答案】BC【解析】【分析】由是偶函數(shù)，不是周期函數(shù)可判斷A項(xiàng)，計(jì)算可判斷B項(xiàng)，解方程，分別研究、、時(shí)方程的解的個(gè)數(shù)可判斷C項(xiàng)，由可得且，研究?jī)蓚€(gè)方程的公共解的個(gè)數(shù)可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，不是周期函數(shù)，是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)，故不是周期函數(shù)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，，，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，方程可化為.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿(mǎn)足方程；當(dāng)時(shí)，此時(shí)或滿(mǎn)足方程；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿(mǎn)足方程，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，令，則，；令，則，，因?yàn)榈忍?hào)不能同時(shí)取得，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，則________________.【答案】1【解析】【分析】法1：根據(jù)二項(xiàng)式定理的定義，寫(xiě)出展開(kāi)式通項(xiàng)，利用賦值法，可得答案；法2：根據(jù)多項(xiàng)式乘法，結(jié)合組合的計(jì)數(shù)原理，結(jié)合題意，可得答案.【詳解】法1：因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為，解得.法2：的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為從4個(gè)因式中1個(gè)取，其余3個(gè)取，即常數(shù)項(xiàng)為，由，解得.故答案為：.13.已知是第三象限角，，則________________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)條件求出，的值.法1：根據(jù)求值；法2：根據(jù)求出的值，再求的值.【詳解】法1：因?yàn)?，所以，因?yàn)槭堑谌笙藿?，所以，則.法2：因?yàn)椋?，因?yàn)槭堑谌笙藿?，所以，則，所以14.已知為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，，為圓上的兩個(gè)不同點(diǎn)，若恰為圓的一條直徑，則的最小值為_(kāi)_______________；若，均與圓相切，則的最小值為_(kāi)_______________.【答案】①.②.【解析】【分析】求圓的圓心坐標(biāo)和半徑，設(shè)，利用表示并求其最小值，再結(jié)合向量運(yùn)算法則求的最小值，設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的定義及二倍角公式利用表示，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求最小值即可.【詳解】圓的圓心為，半徑，設(shè)，則，，（時(shí)取等號(hào)）.所以，當(dāng)為圓的一條直徑時(shí)，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.當(dāng)，均與圓相切時(shí)，則，設(shè)，則，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，，所以當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，取最小值，最小值為.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.某校開(kāi)設(shè)校本課程“剪紙”，為了解學(xué)生參加該課程與性別是否有關(guān)，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法分別從男生和女生中各抽取了50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：性別課程合計(jì)參加“剪紙”課程不參加“剪紙”課程男生10女生3050合計(jì)（1）補(bǔ)全列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析參加“剪紙”課程是否與性別有關(guān)聯(lián)；（2）以樣本估計(jì)總體，且以頻率估計(jì)概率，若從該校女生中隨機(jī)抽取3人，記其中參加“剪紙”課程的人數(shù)為，求的期望.附：，其中.0.0500.0250.0103.8415.0246.635【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，認(rèn)為參加“剪紙”課程與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.050.（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算，再根據(jù)表格判斷；（2）利用二項(xiàng)分布的期望公式.【小問(wèn)1詳解】列聯(lián)表如下：性別課程合計(jì)參加“剪紙”課程不參加“剪紙”課程男生104050女生203050合計(jì)3070100零假設(shè)為：參加“剪紙”課程與性別無(wú)關(guān)聯(lián)，則，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為參加“剪紙”課程與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.050.【小問(wèn)2詳解】由表格中的數(shù)據(jù)知，從女生中抽取1人，其參加“剪紙”課程的概率為，的可能取值為0，1，2，3，且，所以.16.已知數(shù)列滿(mǎn)足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由已知等式變形得出，可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，不等式成立；當(dāng)時(shí)，推導(dǎo)出，再利用等比數(shù)列的求和公式可證得不等式成立.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)條件，可得若，則，用反證法，假設(shè)，由題設(shè)條件，顯然，這與已知條件矛盾，所以.因?yàn)?，所以，，，所以，，由得，所以，又，所以是首?xiàng)、公比均為的等比數(shù)列.所以，則.【小問(wèn)2詳解】顯然時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，即，所以，所以.綜上，，得證.17.已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的方程；（2）已知，分別為的左、右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)，直線交于，（不同于，）兩點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，若，求到的距離的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題干條件列出關(guān)于的方程組，解出即得橢圓的方程；（2）易知直線不與軸垂直，故可設(shè)其方程為，與橢圓方程聯(lián)立，表示出，又在上可得到為定值，從而得到為定值，進(jìn)一步解出的值，即直線過(guò)定點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取得最大值.【詳解】（1）由題意，得，解得，，所以方程為；（2）由，不同于，，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，與異號(hào)，不滿(mǎn)足題意，所以直線不與軸垂直，設(shè)其方程為，，，聯(lián)立，得，，即，則，.又因?yàn)?，，所以，，直線的斜率，由在上，得，即，因此，因?yàn)?，所以，由，解得，此時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，直線的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取得最大值，即點(diǎn)到直線的距離的最大值為.18.如圖1，在半徑為2的扇形中，，是弧上的動(dòng)點(diǎn)（不含，），過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn).當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，將扇形沿著折起到，使得平面平面（如圖2所示）.（1）求圖2中的長(zhǎng)度；（2）求圖2中直線與所成角的余弦值；（3）探究在圖2中的線段上是否存在點(diǎn)，使得四面體內(nèi)切球的半徑為？并說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）（3）不存在，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由正弦定理得到，再由面積公式得到，進(jìn)而可求解；（2）建系，求得直線方向向量，代入夾角公式即可；（3）求得四面體表面積，設(shè)四面體內(nèi)切球的半徑為，結(jié)合則四面體的體積，求解即可.【小問(wèn)1詳解】圖中，因?yàn)?，，所以，設(shè)，則，在中，由正弦定理，得，即，所以.所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)，所以的長(zhǎng)度為.【小問(wèn)2詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，設(shè)直線與所成的角為，則，所以直線與所成角的余弦值為.【小問(wèn)3詳解】由（2）知，，，，所以，，，所以四面體的表面積為設(shè)四面體內(nèi)切球的半徑為，則四面體的體積，解得，因?yàn)?，所以，所以在線段上不存在點(diǎn)，使得四面體內(nèi)切球的半徑為.19.設(shè)，定義為的“函數(shù)”.（1）設(shè)為的“函數(shù)”，若，，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)為的“函數(shù)”.（?。┤羰堑臉O小值點(diǎn)，求的取值范圍；（ⅱ）若，方程有兩個(gè)根，，且，求證：.【答案】（1）（2）（?。唬áⅲ┳C明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義確定的解析式，求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）（ⅰ）求導(dǎo)，并根據(jù)極值的定義判斷求解；（ⅱ）根據(jù)題意得方程有兩個(gè)正根，，由韋達(dá)定理可得，且，求出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值得證.【小問(wèn)1詳解】由題意，得，則，所以切點(diǎn)為，又因，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】（?。┯深}，可得，定義域?yàn)椋?/p>