江蘇省連云港市贛榆區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中學(xué)業(yè)水平質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（A）（解析）

2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平質(zhì)量監(jiān)測高一年級(jí)數(shù)學(xué)試題（A）（本卷滿分150分，共4頁，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上）1.設(shè)，若向量，，且，則m的值為（）A. B. C.4 D.9【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量平行得到方程，求出答案.【詳解】由題意得，解得.故選：D2.設(shè)復(fù)數(shù)，（）.若為實(shí)數(shù)，則（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則化簡，得到，解得.【詳解】，為實(shí)數(shù)，故，解得.故選：B3.在中，若，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等邊三角形【答案】A【解析】【分析】由正弦定理把已知的等式化邊為角，結(jié)合兩角和的正弦化簡，求出，進(jìn)一步求得，即可得解．【詳解】解：由，結(jié)合正弦定理可得：，，可得：，，則的形狀為等腰三角形．故選：．4.在中，C是AB上一點(diǎn)，且，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】變形得到，故，得到答案.【詳解】，所以，故.故選：D5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由余弦和差公式得到方程，求出，利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到答案.【詳解】，，聯(lián)立可得，所以.故選：B6.已知非零向量在向量上的投影向量為，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用投影向量的公式得到方程，求出，從而利用向量數(shù)量積運(yùn)算法則得到答案.【詳解】在向量上的投影向量為，故，所以，又，所以，所以.故選：C7.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由求得，再用倍角公式求即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，即，所以，解得或（舍），所以，故選：B8.一船在海上自西向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東，前進(jìn)m千米后在B處測得該島的方位角為北偏東，已知該島周圍n千米范圍內(nèi)（包括邊界）有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，若該船沒有觸礁危險(xiǎn)，則，滿足的條件為（）①②③④A.①③ B.②③ C.①④ D.②④【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，過M作于C，結(jié)合正弦定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，，，過M作于C，設(shè)，根據(jù)正弦定理可得，，又因?yàn)闀r(shí)沒有觸礁危險(xiǎn)，即，故（1）正確，，（4）正確，故選：C二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）A.z的虛部為B.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限C.z的共軛復(fù)數(shù)D.【答案】AD【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算和乘方運(yùn)算得到，A正確；B選項(xiàng)，寫出z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，得到所在象限；C選項(xiàng)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義得到C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，利用模長公式得到D正確.【詳解】A選項(xiàng)，，故虛部-2，A正確；B選項(xiàng)，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，位于第四象限，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，z的共軛復(fù)數(shù)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，D正確.故選：AD10.已知，，是三個(gè)非零向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，，則D.不與垂直【答案】AC【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用向量數(shù)量積公式得到，所以同向共線，A正確；B選項(xiàng)，只能得到，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，得到，，C正確；D選項(xiàng)，計(jì)算出，故D錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，，又，，是非零向量，所以，所以同向共線，A正確；B選項(xiàng)，若，則，是非零向量，故，故不一定相等，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若，，設(shè)，故，，C正確；D選項(xiàng)，，與垂直，D錯(cuò)誤.故選：AC11.在中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列說法正確的有（）A.若，則為直角三角形B.若，則為等腰三角形C.若，則D.若是銳角三角形，則【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，由正弦定理得到，從而，得到A正確；B選項(xiàng)，由同角三角函數(shù)關(guān)系，正弦定理和二倍角公式得到，所以或，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由大角對大邊得到，由正弦定理得到；D選項(xiàng)，根據(jù)銳角三角形得到，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性和誘導(dǎo)公式比較出大小【詳解】A選項(xiàng)，由正弦定理得，故，故，所以，即，則為直角三角形，A正確；B選項(xiàng)，若，則，由正弦定理得，又，故，所以，即，，所以或，所以或，為等腰三角形或直角三角形，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若，則，由正弦定理得，又，，故，C正確；D選項(xiàng)，若是銳角三角形，則，則，其中，，又在上單調(diào)遞增，故，故D正確.故選：ACD三、填空題（本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分）12.在中，已知，，，則＝__________．【答案】或.【解析】【分析】利用正弦定理計(jì)算即可.【詳解】由，且根據(jù)正弦定理可知，因?yàn)?，所以?故答案為：或.13.已知，則__________.【答案】【解析】分析】由得到，由兩角和差余弦公式展開化簡即可求解；【詳解】由，得：，，，所以，故答案為：14.在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，的面積，若且，則______.【答案】【解析】【分析】由正弦定理和化簡得到，求出，由三角形面積公式得到，由余弦定理得到方程，求出，舍去不合要求的解，由正弦定理得到【詳解】，故，又，故，所以，因，所以，故，，因?yàn)?，所以，由三角形面積公式得，又，故，所以，由余弦定理得，即，所以，方程兩邊同除以得，解得，又，故，所以滿足要求，舍去，故.故答案為：四、解答題（本大題共5個(gè)小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知向量，，.（1）求；（2）求與的夾角.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）求出，利用向量數(shù)量積運(yùn)算法則得到，故，求出模長；（2）利用向量夾角余弦公式得到，得到.【小問1詳解】，故，故，解得，故，所以；【小問2詳解】，又，故.16.已知復(fù)數(shù)（）（1）若，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若z為虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）-1（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)得到為實(shí)數(shù)，從而得到方程和不等式，求出答案；（2）由求出答案；（3）根據(jù)第四象限的坐標(biāo)特征得到不等式，求出答案.【小問1詳解】，故為實(shí)數(shù)，m2?m>0m【小問2詳解】z為虛數(shù)，故，所以；【小問3詳解】由題意得m2?m>017.定義向量的“伴隨函數(shù)”為，函數(shù)的“伴隨向量”為.（1）寫出向量伴隨函數(shù)，并直接寫出的最大值M；（2）求函數(shù)的伴隨向量的模.【答案】（1），，理由見解析（2）【解析】分析】（1）先得到伴隨函數(shù)，由輔助角公式得到最大值；（2）利用三角恒等變換得到，得到伴隨向量，利用模長公式得到答案.【小問1詳解】向量的伴隨函數(shù)為，，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值；【小問2詳解】，故伴隨向量，故.18.在中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求證：；（2）若D為BC的中點(diǎn)，，，求AD的長.【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得到方程，計(jì)算出；（2）作出輔助線，得到三角形全等，，由余弦定理得到方程，求出，進(jìn)而求出答案.【小問1詳解】由正弦定理得，所以，即，又，故，所以；【小問2詳解】由（1）知，，故，延長至點(diǎn)，使得，連接，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以，又，所以≌，所以，在中，，由余弦定理得，即，解得，所以.19.在非直角三角形ABC中，邊長a，b，c滿足（，且）（1）若，且，求的值；（2）求證：；（3）是否存在函數(shù)，使得對于一切滿足條件的，代數(shù)式恒為定值？若存在，請給出一個(gè)滿足條件的，并證明，若不存在，請給出一個(gè)理由.【答案】（1）（2）證明見解析（3）存在，【解析】【分析】（1）先由正弦定理的邊角互化化