河南省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析）

第頁(yè)，共頁(yè)2024~2025學(xué)年度4月質(zhì)量檢測(cè)高一數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷，草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)城均無(wú)效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黒；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.5.本類主要考查內(nèi)容：北師大版必修第二冊(cè)第一章~第二章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列與角終邊相同的角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用終邊相同的角的定義計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋皇钦麛?shù)倍，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋藭r(shí)與相差的整數(shù)倍，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，不是的整?shù)倍，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，不是的整?shù)倍，故D錯(cuò)誤.故選：B.2.在中，，，且的面積為，則（）A.1 B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形面積公式列式求解.【詳解】根據(jù)題意，，，解得.故選：A.3.已知向量，.若，則的值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系運(yùn)算得解.【詳解】由，得，解得.故選：D.4.若向量，滿足，，且，則向量與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，再根據(jù)平面向量的夾角公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，設(shè)向量與的夾角為，則.故選：B.5.已知，則的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)得，再利用周期函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式即可求出的最小正周期.【詳解】因?yàn)?，設(shè)的周期為，則，即，，，即，所以的最小正周期為.故選：C.6.若非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的模長(zhǎng)關(guān)系可得，再由投影向量的定義即可求出結(jié)果.詳解】根據(jù)題意可得，所以，又向量為非零，則，則在方向上的投影向量為.故選：A.7.若將的圖象進(jìn)行變換，使得其與的圖象重合，則下列變換正確的是（）A.先將的圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的B.先將的圖象向左平移個(gè)單位，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的C.先將圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的，再將圖象向左平移個(gè)單位D.先將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，再將圖象向右平移個(gè)單位【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平移變換和周期變化的原則逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，先將的圖象向右平移個(gè)單位，得，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，先將的圖象向左平移個(gè)單位，得，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，先將圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的，得，再將圖象向左平移個(gè)單位，得，故C正確；對(duì)于D，先將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得，再將圖象向右平移個(gè)單位，得，故D錯(cuò)誤.故選：C.8.如圖，在等腰梯形中，，，分別為，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則（）A. B.2 C. D.1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線定理求出，再由平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以，，有，所以，分別過作，則，所以，在直角三角形中，易得，設(shè)，因?yàn)镈，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以，即，故，，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若是第一象限角，則是銳角B.C.若，則為第三或第四象限角D.若為第二象限角，則為第一象限或第三象限角【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)象限角、弧度制、三角函數(shù)值等知識(shí)確定正確答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，是第一象限角，但不是銳角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，若，則為第三或第四象限角或在軸的負(fù)半軸，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，為第二象限角，則，所以為第一或第三象限角，故D正確.故選：BD.10.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，下列結(jié)論正確的有（）A.若，則為等腰三角形B.已知，則C.已知，，，則最小內(nèi)角的度數(shù)為D.若，，，則滿足條件的三角形有兩個(gè)【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A；利用余弦定理即可判斷B；根據(jù)大邊對(duì)大角結(jié)合余弦定理即可判斷C；利用正弦定理即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，所以，則，又，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋越菫樽钚〗?，則，又，所以，即最小內(nèi)角的度數(shù)為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，滿足條件的三角形不存在，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若且，則是的一條對(duì)稱軸B.若且點(diǎn)是的一個(gè)對(duì)稱中心，則的最小值為C.若且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為D.若，且方程在上恰有一解，則的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性即可判斷AB；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；根據(jù)正弦函數(shù)的圖象即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若且，則，因?yàn)椋圆皇堑囊粭l對(duì)稱軸，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，因?yàn)槭堑囊粋€(gè)對(duì)稱中心，所以，所以，又因?yàn)?，所以的最小值為，故B正確；對(duì)于C，若，則，因?yàn)椋?，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，故C正確；對(duì)于D，若，則，因?yàn)椋?，因?yàn)榉匠淘谏锨∮幸唤?，所以，解得，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知某扇形的半徑為，圓心角為，則該扇形的面積為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用扇形的面積公式，進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案.【詳解】因?yàn)樯刃蔚陌霃綖?，圓心角為，由扇形的面積公式，可得該扇形的面積為.故答案為：.13.若為的外心，，則的值為________.【答案】2【解析】【分析】利用外心的性質(zhì)，向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈耐庑?，所以，所以，因?yàn)?，所?故答案為：214.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既有最大值也有最小值，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)的范圍求出的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)列不等式可求結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)既有最大值，又有最小值，所以或，解得或.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程及演算步驟.15.已知為坐標(biāo)軸原點(diǎn)，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，且終邊過點(diǎn).（1）求與同向的單位向量；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)求解即可；（2）先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再利用商數(shù)關(guān)系化弦為切即可得解.【小問1詳解】；【小問2詳解】因?yàn)榻堑氖歼吪c軸的非負(fù)半軸重合，且終邊過點(diǎn)，所以，.16.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若.（1）求角；（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】應(yīng)用正弦定理，邊化角可得解；已知兩邊和一邊對(duì)角求面積，可用余弦定理求出第三邊，套入面積公式即可.【小問1詳解】因?yàn)?，?jù)正弦定理可得，且，則，可得，解得：；【小問2詳解】由余弦定理，可知，代入數(shù)值，可得，解方程可得，則.17.已知，為單位向量，且與的夾角為.（1）若與共線，求實(shí)數(shù)的值；（2）求的值；（3）若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量共線定理求解即可；（2）根據(jù)結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可；（3）由題意可得且向量與不共線，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律和平面向量共線定理求解即可.【小問1詳解】因?yàn)榕c共線，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，所以，解得，所以；【小問2詳解】因?yàn)?，為單位向量，且與的夾角為，所以，則；【小問3詳解】因?yàn)橄蛄颗c的夾角為銳角，所以且向量與不共線，由，得，即，解得，當(dāng)向量與共線時(shí)，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，所以，解得，因?yàn)橄蛄颗c不共線，所以，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.如圖，某大風(fēng)車的半徑為2米，按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每12秒旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點(diǎn)離地面0.5米.風(fēng)車圓周上一點(diǎn)從最低點(diǎn)開始，運(yùn)動(dòng)秒后與地面的距離為米.（1）求函數(shù)的關(guān)系式；（2）求轉(zhuǎn)動(dòng)一周，點(diǎn)距離地面不超過1.5米的時(shí)長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，得到，根據(jù)大風(fēng)車的半徑為2米，最低點(diǎn)離地面0.5米，結(jié)合，即可求得函數(shù)的解析式；（2）由（1）知，令，得到，求得不等式的解集，進(jìn)而得到答案.【小問1詳解】解：如圖所示，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則圓心為，圓的半徑為，因?yàn)槊?2秒旋轉(zhuǎn)一周，可得每秒弧度，則秒后轉(zhuǎn)弧度，即，又因?yàn)榇箫L(fēng)車的半徑為2米，最低點(diǎn)離地面0.5米，過點(diǎn)作，可得所以運(yùn)動(dòng)秒后與地面的距離為，即函數(shù)的關(guān)系式為.【小問2詳解】解：由（1）知，令，即，可得，解得，所以，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，可得，時(shí)長(zhǎng)為秒；當(dāng)時(shí)，可得，時(shí)長(zhǎng)為秒；所以轉(zhuǎn)動(dòng)一周點(diǎn)距離地面不超過1.5米的時(shí)長(zhǎng)為秒.19.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，記的面積為，且.（1）求角的大小；（2）若，，分別為的中線和角平分線.（i）若的面積為，求的長(zhǎng)；（ii）求長(zhǎng)的最大值.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合余弦定理即可得解；（2）（i）先根據(jù)三角形的面積公式求出，再利用