北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第1章3.1第2課時等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用課件

第一章數(shù)列§3等比數(shù)列3.1等比數(shù)列的概念及其通項公式第2課時等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用素養(yǎng)目標?定方向1．結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，理解等比數(shù)列的性質(zhì)．2．掌握等比中項的概念，會求同號兩數(shù)的等比中項．3．理解等比數(shù)列的單調(diào)性與a1，q的關(guān)系．1．通過等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．2．借助等比數(shù)列的判定，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).必備知識?探新知等比中項

知識點

1在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成___________，那么稱G為a，b的等比中項．[提醒]

(1)只有兩個正數(shù)或兩個負數(shù)才有等比中項；(2)注意：若G2＝ab，G不一定是a與b的等比中項，例如02＝5×0，但0,0,5不是等比數(shù)列．等比數(shù)列練一練：1．在等比數(shù)列{an}中，a2＝1，a4＝3，則a6等于(

)A．－5 B．5C．－9 D．9D2．1與9的等比中項為_______.±3等比數(shù)列的單調(diào)性

知識點

2已知等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則(3)當(dāng)q＝1時，等比數(shù)列{an}為_________(這個常數(shù)列中各項均不等于0)；(4)當(dāng)q<0時，等比數(shù)列{an}為擺動數(shù)列(它所有的奇數(shù)項同號，所有的偶數(shù)項也同號，但是奇數(shù)項與偶數(shù)項異號)．常數(shù)列練一練：在等比數(shù)列{an}中，首項a1<0，要使數(shù)列{an}對任意正整數(shù)n都有

an＋1>an.則公比q應(yīng)滿足(

)A．q>1 B．0<q<1B[解析]

在等比數(shù)列{an}中，首項a1<0，若an＋1>an，即a1qn>a1qn－1，因為a1<0，所以qn<qn－1，即qn－1(q－1)<0.因為數(shù)列{an}對任意正整數(shù)n都有an＋1>an，所以q>0，所以q－1<0，解得0<q<1.故選B.等比數(shù)列的性質(zhì)

知識點

31．等比數(shù)列的項之間的關(guān)系(1)兩項關(guān)系通項公式的推廣：an＝am·________(m，n∈N*)．(2)多項關(guān)系項的運算性質(zhì)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝_________.特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則am·an＝_____.qn－map·aqan－1an－k＋1練一練：1．在等比數(shù)列{an}中，a5a14＝5，則a8·a9·a10·a11＝(

)A．10 B．25C．50 D．75[解析]

a8·a11＝a9·a10＝a5·a14，∴a8·a9·a10·a11＝(a5·a14)2＝25.B2．在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，則a5＋a6＝_______.[解析]

∵{an}成等比數(shù)列，∴a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比數(shù)列，∴(a3＋a4)2＝(a1＋a2)(a5＋a6)，16關(guān)鍵能力?攻重難題|型|探|究

在等比數(shù)列{an}中，已知a1>0,8a2－a5＝0，則數(shù)列{an}為(

)A．遞增數(shù)列

B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列

D．無法確定單調(diào)性題型一等比數(shù)列的單調(diào)性典例1A又a1>0，所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．[規(guī)律方法]

由等比數(shù)列的通項公式可知，公比影響數(shù)列各項的符號：一般地，q>0時，等比數(shù)列各項的符號相同；q<0時，等比數(shù)列各項的符號正負交替．

在等比數(shù)列{an}中，如果公比為q，且q<1，那么等比數(shù)列{an}是(

)A．遞增數(shù)列

B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列

D．無法確定單調(diào)性對點訓(xùn)練?D

已知{an}為等比數(shù)列．(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．題型二等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用典例2＝(a3＋a5)2＝25，∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.(2)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a9a10)＝log3(a5a6)5＝log3310＝10.[規(guī)律方法]

等比數(shù)列性質(zhì)的作用1．利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題，會起到化繁為簡的效果．2．等比數(shù)列中的項的序號若成等差數(shù)列，則對應(yīng)的項依次成等比數(shù)列，有關(guān)等比數(shù)列的計算問題，應(yīng)充分發(fā)揮“下標”的“指引”作用．

(1)在等比數(shù)列{an}中，已知a7a12＝5，則a8a9a10a11＝_______；(2)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，則a11＝___________；(3)若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則lna1＋lna2＋…＋lna20＝_______.對點訓(xùn)練?251或6450[解析]

(1)方法一：∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，∴a8a9a10a11＝52＝25.①若a3＝4，a7＝16，則由a7＝a3q4得，q4＝4，∴a11＝a7q4＝16×4＝64.(3)由a10a11＋a9a12＝2e5，可得a10a11＝e5.令S＝lna1＋lna2＋…＋lna20，則2S＝(lna1＋lna20)＋(lna2＋lna19)＋…＋(lna20＋lna1)＝20ln(a1a20)＝20ln(a10a11)＝20lne5＝100，所以S＝50.

光圈是一個用來控制光線透過鏡頭，進入機身內(nèi)感光面的光量的裝置．表達光圈的大小我們可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F1，F(xiàn)1.4，F(xiàn)2，F(xiàn)2.8，F(xiàn)4，F(xiàn)5.6，F(xiàn)8，……，F(xiàn)64.光圈的F值越小，表示在同一單位時間內(nèi)進光量越多，而且上一級的進光量是下一級的2倍，如光圈從F8調(diào)整到F5.6，進光量是原來的2倍．若光圈從F4調(diào)整到F1.4，則單位時間內(nèi)的進光量為原來的

(

)A．2倍

B．4倍

C．8倍

D．16倍題型三等比數(shù)列的實際應(yīng)用典例3C[規(guī)律方法]

關(guān)于等比數(shù)列在應(yīng)用問題中的應(yīng)用首先根據(jù)題意判斷是否是等比數(shù)列模型，其次分析等比數(shù)列的首項、公比、項數(shù)，最后利用等比數(shù)列的通項公式計算解題．A．300元

B．900元C．2400元

D．3600元(2)生物學(xué)指出：生態(tài)系統(tǒng)中，在輸入一個營養(yǎng)級的能量中，大約10%的能量能夠流到下一個營養(yǎng)級，在H1→H2→H3這個生物鏈中，若能使H3獲得10kJ的能量，則需H1提供的能量為(

)A．10－2kJ B．10－1kJC．102kJ D．103kJ對點訓(xùn)練?CD(2)能量流動法則表明能量的效率大約是10%，如果要使H3獲得10kJ能量，則H1×(10%)2＝H3，解得H1＝103kJ.易|錯|警|示忽略等比數(shù)列中的項的符號致錯

在等比數(shù)列{an}中，a3a4a6a7＝81，則a1a9的值為(

)A．9 B．－9C．±9 D．18[錯解]

∵a3a7＝a4a6＝a1a9，∴(a1a9)2＝81，∴a1a9＝±9，故選C．[誤區(qū)警示]

本題易忽略在等比數(shù)列中，奇數(shù)項(或偶數(shù)項)符號相同這一條件，而得到a1a9＝±9.典例4A[正解]

因為{an}為等比數(shù)列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9.所以(a1a9)2＝81，即a1a9＝±9.因為在等比數(shù)列{an}中，奇數(shù)項(或偶數(shù)項)的符號相同，所以a1，a9同號，所以a1a9＝9.課堂檢測?固雙基1．在等比數(shù)列{an}中，a4＝6，a8＝18，則a12＝(

)A．24 B．30C．54 D．108C2．在等比數(shù)列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的兩根，則a4a16＋a10＝(

)A．6 B．2C．2或6 D．－2B3．設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q，且bn＝log2an，則“{bn}為遞減數(shù)列”是“0<q<1”的(

)A．充分而不必要條件

B．必要而