2024-2025學(xué)年北京市高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（含答案）

2024-2025學(xué)年北京市高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1．若，則（

）A．1 B．2 C．5 D．2．根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計資料，某地四月份吹東風(fēng)的概率為，下雨的概率為，既吹東風(fēng)又下雨的概率為.則在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率為（）A． B． C． D．3．，則等于（）A． B． C． D．4．本不同的書全部分給名學(xué)生，每名學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（）A．種 B．種 C．種 D．種5.設(shè)函數(shù)fx=sinωxω>0.已知fx1=?1，fxA．1 B．2 C．3 D．46設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面．有下列四個命題：其中正確命題的序號是①若，，則；②若//，，則m//；③若，，，則；④若，，，則．A①③B①②C③④D②③7在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（

）．A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項8．已知拋物線：，圓：（其中為常數(shù)，）.過點（1，0）的直線交圓于、D兩點，交拋物線于、兩點，且滿足的直線只有三條的必要條件是（）A．B．C．D．9.設(shè)函數(shù)，則下列選項錯誤的是（）A.是的極小值點 B.當時，C.當時，D.當時，10.已知實數(shù)，滿足，，則（

）A． B．3 C． D．4二：填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.11.某展室有9個展臺，現(xiàn)有件展品需要展出，要求每件展品獨自占用個展臺，并且件展品所選用的展臺既不在兩端又不相鄰，則不同的展出方法有______種；如果進一步要求件展品所選用的展臺之間間隔不超過兩個展位，則不同的展出方法有____種.12.的二項展開式中的常數(shù)項為______.（用數(shù)字作答）13.已知非零向量滿足０，向量的夾角為，且，則向量與的夾角為_____.14.雙曲線的中心在坐標原點，分別是雙曲線虛軸的上、下頂點，是雙曲線的左頂點，為雙曲線的左焦點，直線與相交于點.若雙曲線的離心率為2，則的余弦值是________.15.已知函數(shù)和且，若兩函數(shù)圖象相交，則其交點的個數(shù)以下正確的是______當函數(shù)和的圖象有兩個公共點當時，函數(shù)和的圖象有兩個公共點；當時，函數(shù)和的圖象有一個公共點．當函數(shù)和的圖象只有一個公共點；三、解答題：本題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.(14分)已知數(shù)列的前項和，數(shù)列是正項等比數(shù)列，滿足，.(1)求，的通項公式；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項和為，求.17.(14分)在平面直角坐標系中，銳角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓的交點分別為.已知點的縱坐標為，點的橫坐標為.(1)求的值；(2)記的內(nèi)角的對邊分別為.(以下兩問任選一個作答)①若，且，求周長的最大值.②若，且，求的面積.18(14分)如圖在三棱柱中，為的中點，，.(1)證明：；(2)若，且滿足：______，______（待選條件）.從下面給出的①②③中選擇兩個填入待選條件，求二面角的正弦值.①三棱柱的體積為；②直線與平面所成的角的正弦值為；③二面角的大小為60°；注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.19.(15分)已知函數(shù)，其中.（1）當時，求曲線在點處切線的方程；（2）當時，證明：對任意的，曲線總在直線的下方；（3）若函數(shù)有兩個零點，且，求的取值范圍.20.(14分)已知拋物線的焦點為，過的直線交軸正半軸于點，交拋物線于兩點，其中點在第一象限.（1）求證：以線段為直徑的圓與軸相切；（2）若,,，求的取值范圍.21(14分)定義為有限項數(shù)列的波動強度.（1）當時，求；（2）若數(shù)列滿足，求證：；（3）設(shè)各項均不相等，且交換數(shù)列中任何相鄰兩項的位置，都會使數(shù)列的波動強度增加，求證：數(shù)列一定是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列.1復(fù)數(shù)運算2獨立事件概率3條件事件概率4二項式定理賦值法5乘法原理6三角函數(shù)性質(zhì)7雙曲線離心率8立體幾何定理9拋物線與圓的關(guān)系10函數(shù)極值11數(shù)列基本運算12排列組合13二項式定理14向量夾角15應(yīng)用問題16利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式17解三角形18立體幾何19函數(shù)單調(diào)區(qū)間最值20圓錐曲線21新定義12345678910ABDDBCDBDB12-160139014151/2161)，(2)【分析】（1）由數(shù)列通項公式與求和公式的關(guān)系求出，以及等比數(shù)列的通項公式求出，可得答案；（2）由分組求和，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，可得答案.【詳解】（1）因為，所以時.當時，，所以，，滿足，所以，數(shù)列是正項等比數(shù)列，.所以公比，.（2）由（1）知，，.17【正確答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）先利用三角函數(shù)的定義與同角的平方關(guān)系求得，再利用余弦的和差公式即可得解；（2）選①：先結(jié)合（1）中條件得到，再利用余弦定理與基本不等式推得，從而得解；選②：先結(jié)合（1）中條件求得，再利用正弦定理求得，從而利用三角形面積公式即可得解.【詳解】（1）因為是銳角，所以在第一象限，又因為在單位圓上，點的縱坐標為，點的橫坐標為，所以，所以，故.（2）選①：由（1）中結(jié)論可得，又，由余弦定理可得，即.，，當時，等號成立，，即當為等邊三角形時，周長最大，最大值為6.選②：由（1）可知，則，由正弦定理，可得，故，則.117）解：（Ⅰ）取中點，連接. 在中，分別為的中點，所以，，因為，，所以，.所以四邊形為平行四邊形，因此.又因為平面，平面，所以平面. （Ⅱ）選擇條件=1\*GB3①因為平面，平面，所以，.又因為，所以建立如圖空間直角坐標系． 因為平面，平面，所以.所以在中，，，可得.在中，，，所以,又因為，所以.由題意得,,,,,，所以，，. 設(shè)平面的法向量為，所以即 令，則.所以平面的一個法向量為. 易知為平面的一個法向量. 所以. 因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為. 選擇條件=2\*GB3②因為平面，平面，所以，，又因為，所以建立如圖空間直角坐標系． 取的中點，連接.因為，，所以，，又因為，所以四邊形為矩形.在中，因為，所以.又因為，所以.所以四邊形為正方形，即，.由題意得,,,,,，所以，，. 設(shè)平面的法向量為，所以即 令，則.所以平面的一個法向量為. 易知為平面的一個法向量. 所以. 因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.19解：（Ⅰ），（），……………3分在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，.所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是.………4分（Ⅱ）設(shè)切點坐標為，則……………7分（1個方程1分）解得，.……………8分（Ⅲ），則，…9分解，得，所以，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，在區(qū)間上，為遞增函數(shù).……………10分當，即時，在區(qū)間上，為遞增函數(shù)，所以最大值為.………………11分當，即時，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，所以最大值為.………………12分當，即時，的最大值為和中較大者；，解得，所以，時，最大值為，…13分時，最大值為.…14分綜上所述，當時，最大值為，當時，的最大值為.19.（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）由已知,設(shè)，則，圓心坐標為，圓心到軸的距離為，…2分圓的半徑為，…4分所以，以線段為直徑的圓與軸相切.…5分[來源:]（Ⅱ）解法一：設(shè)，由,,得，，…6分所以，，…8分由，得.又，，所以.…10分代入，得，，整理得，…12分代入，得，所以，…13分因為，所以的取值范圍是.…14分解法二：設(shè)，，將代入，得，所以（*），…6分由，，得，，…7分所以，，，…8分將代入（*）式，得，…10分所以，.…12分代入，得.…13分因為，所以的取值范圍是.…14分20．（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：………………1分.………………3分（Ⅱ）證明：因為，，所以.……………4分因為，所以，或.若，則當時，上式，當時，上式，當時，上式，即當時，.……6分若，則，.（同前）所以，當時，成立.…7分（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）易知對于四個數(shù)的數(shù)列，若第三項的值介于前兩項的值之間，則交換第二項與第三項的位置將使數(shù)列波動強度減小或不變.（將此作為引理）[來源:學(xué)#科#網(wǎng)Z#X#X#K]下面來證明當時，為遞減數(shù)列.（?。┳C明.若，則由引理知交換的位置將使波動強度減小或不變，與已知矛盾.若，則，與已知矛盾.所以，.………9分（ⅱ）設(shè)，證明