廣東省深圳市2024-2025學年高二下學期期中數(shù)學檢測試題（含答案）

廣東省深圳市2024-2025學年高二下學期期中數(shù)學檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自己的學校、姓名和考生號，并將條形碼正向準確粘貼在答題卡的貼條形碼區(qū)，請保持條形碼整潔、不污損．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應的位置上．3．非選擇題必須用0．5毫米黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)．4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單項選擇題:本題共8道小題，每小題5分，共40分1．已知數(shù)列為等比數(shù)列，其中，，則A． B． C． D．2．若函數(shù)在處可導，且，則A． B． C． D．23．現(xiàn)有5名同學站成一排，再將甲、乙2名同學加入排列，保持原來5名同學順序不變，不同的方法共有A．30種 B．56種 C．12種 D．42種4．人工智能技術(shù)（簡稱AI技術(shù)）已成為引領(lǐng)世界新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)改革的戰(zhàn)略性技術(shù)，AI技術(shù)加持的電腦（以下簡稱AI電腦）也在全國各地逐漸熱銷起來.下表為市統(tǒng)計的2024年11月至2025年3月這5個月該市AI電腦的月銷量，其中為月份代號，（單位：萬臺）為AI電腦的月銷量.月份2024年11月2024年12月2025年1月2025年2月2025年3月月代號12345月銷量0.50.911.21.4經(jīng)過分析，與線性相關(guān)，且其線性回歸方程為，則2025年3月的殘差為（實際值與預計值之差）A． B． C．0.02 D．0.045．將函數(shù)的圖象繞坐標原點順時針旋轉(zhuǎn)后第一次與軸相切，則A． B． C． D．6．甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“五局三勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨立.在甲獲得冠軍的條件下，比賽進行了五局的概率為A． B． C． D．7．已知，則的值為A．0 B． C．1 D．28．若對任意的正實數(shù)，，當時，恒成立，則的取值范圍（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是A．如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．甲乙不相鄰的排法種數(shù)為82種D．甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有20種10．已知在一次數(shù)學測驗中（總分150分），某校1000名學生的成績服從正態(tài)分布，其中90分為及格線，120分為優(yōu)秀線，則對于該校學生成績，下列說法正確的有（參考數(shù)據(jù)：①；②；③.）A．平均分為100B．及格率超過86%C．得分在內(nèi)的人數(shù)約為997D．得分低于80的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等11．已知函數(shù)，則A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．有最大值C．當時，的圖象過的切線有且僅有條D．關(guān)于的方程有兩個不等實根，則的取值范圍是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．某公司有日生產(chǎn)件數(shù)為95件的“生產(chǎn)能手”3人，有日生產(chǎn)件數(shù)為55件的“新手”2人，從這5人中任意抽取2人，則2人的日生產(chǎn)件數(shù)之和X的標準差為．13．若函數(shù)有唯一一個極值點，則實數(shù)的取值范圍是．14．將楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1、…記作數(shù)列，若數(shù)列的前n項和為，則.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15（13分）．已知數(shù)列滿足，.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式：(2)記，求數(shù)列的前n項和.16（15分）.寶安區(qū)為推進教育數(shù)字化轉(zhuǎn)型，通過聚合區(qū)域?qū)W校的教育資源，依托AI技術(shù)搭建了區(qū)域智慧題庫系統(tǒng)，形成了“通識過關(guān)—綜合拓展—創(chuàng)新提升”三層動態(tài)原庫，且三層題量之比為，設(shè)該題庫中任意1道題被選到的可能性都相同.(1)現(xiàn)有4人參加一項比賽，若每人分別獨立地從該題庫中隨機選取一道題作答，求這4人中至少有2人的選題來自層的概率；(2)現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法，使用智能組卷系統(tǒng)從該題庫中選取12道題生成試卷，若某老師要從生成的這份12道題的試卷中隨機選取3道題做進一步改編，記該老師選到層題的題數(shù)為，求的分布與期望．17（15分）．將6個不同的小球放入編號分別為1，2，3的三個不同盒子.（過程要用文字簡要說明，結(jié)果用數(shù)字作答）(1)求共有多少種不同放法；(2)當每個盒子的球數(shù)不小于它的編號數(shù)時，求共有多少種不同放法；(3)當每個盒子至少有一個小球時，求共有多少種不同放法；(4)若將題干中“6個不同的小球”改為“9個相同的小球”，其他條件不變，則當每個盒子的球數(shù)不小于它的編號數(shù)時，共有多少種不同放法？18．(17分)某學校為調(diào)查高三年級的體育開展情況，隨機抽取了20位高三學生作為樣本進行體育綜合測試，體育綜合測試成績分4個等級，每個等級對應的分數(shù)和人數(shù)如下表所示：等級不及格及格良優(yōu)分數(shù)1234人數(shù)3953(1)若從樣本中隨機選取2位學生，求所選的2位學生分數(shù)不同的概率；(2)用樣本估計總體，以頻率代替概率.若從高三年級學生中隨機抽取n位學生，記所選學生分數(shù)不小于3的人數(shù)為X.（?。┤簦骕的分布列與數(shù)學期望；（ⅱ）若，當k為何值時，最大？19．(17分)已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（3）為正整數(shù)，當時，曲線在點，處的切線記為，直線與軸交點的縱坐標記為，證明：．數(shù)學答案題號1234567891011答案BCDBCAADABDACDAC1、【正確答案】B【詳解】根據(jù)，a，可得：，；解得，故.2、【正確答案】C【詳解】.3、【正確答案】D【詳解】原來名同學站成一排，有個空位可以插入甲同學，所以甲同學有種不同的排法.當甲同學插入后，此時包括原來名同學和甲同學一共有個人，這個人形成了個空位，所以乙同學有種不同的排法.故完成將甲、乙名同學加入排列這件事，分兩步：第一步甲同學有種排法，第二步乙同學有種排法，那么根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的方法共有（種）.4、【正確答案】B【分析】求出樣本中心點，帶入回歸方程求出，在求出對應的月銷量預測值，結(jié)合月銷量求出殘差【詳解】因為，所以，所以關(guān)于的線性回歸方程為，2025年3月對應的，故此時殘差為.5、【正確答案】C【分析】由與相切即可求解；【詳解】由題意可知：是過原點的切線，設(shè)切點坐標為：，，則，解得：，所以，6、【正確答案】A【分析】先計算甲贏的概率，再由條件概率的內(nèi)容求出結(jié)果即可.【詳解】比三場，甲贏的概率為；比四場，甲第四場贏，甲贏的概率為；比五場，甲第五場贏，甲贏的概率為；所以甲贏的概率為，所以甲獲得冠軍的條件下，比賽進行了五局的概率為，7、【正確答案】A【分析】根據(jù)，結(jié)合二項式定理求解即可.【詳解】因為，展開式第項，當時，，當時，，故，即.8、D【詳解】因為對任意的正實數(shù)，，當時，恒成立，所以對任意的正實數(shù)，，當時，恒成立，令，所以在上單調(diào)遞減，則，所以在上恒成立，所以，解得，所以的取值范圍是，9、【正確答案】ABD【分析】對于A，根據(jù)甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，利用捆綁法求解判斷；對于B，分最左端排甲，和最左端排乙兩類求解判斷；對于C，根據(jù)甲乙不相鄰，利用插空法求解判斷；對于D，根據(jù)甲乙丙從左到右的順序排列，通過除序法求解判斷.【詳解】對于A，如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有種，A正確；對于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有種排法；若最左端排乙，有種排法，合計不同的排法共有42種，B正確；對于C，甲乙不相鄰的排法種數(shù)有種，C不正確；對于D，甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有種，D正確.10、【正確答案】ACD【詳解】由題意知，，，A：，，故A正確；B：，，故B錯誤；C：，人，故C正確；D：，因為成績服從標準正態(tài)分布，，故D正確，11、【正確答案】AC【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系可判斷A選項；分析函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的最值與導數(shù)的關(guān)系可判斷B選項；設(shè)切點坐標為，利用導數(shù)求出切線方程，再將點的坐標代入切線方程，判斷關(guān)于的方程解的個數(shù)，可判斷C選項；令，求導得到其單調(diào)性和最值，數(shù)形結(jié)合可判斷D選項.【詳解】對于A選項，對任意的，恒成立，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，A對；對于B選項，當時，，當時，.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以有最小值，無最大值，B錯；對于C選項，當時，，設(shè)切點為，，則切線斜率為，所以曲線在點的切線方程為，將點的坐標代入切線方程為，整理可得，，即方程有兩個不等的實根，所以，當時，的圖象過的切線有且僅有條，C對；對于D選項，方程，即，令，而，當時，，當時，.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，且，如圖，要使方程有兩個不等實根，的范圍是，D錯.12、【正確答案】24【分析】依題意可知的所有可能取值為190，150，110，根據(jù)超幾何分布的概率公式求出所對應的概率，從而求出數(shù)學期望與標準差；【詳解】：由題意，可得的所有可能取值為190，150，110，且，，，，標準差．故13、【正確答案】【分析】求導得，根據(jù)有唯一一個極值點且，得是唯一的變號零點，設(shè)，因為，所以恒成立，分三種情況討論的單調(diào)性和最值，從而得到的取值范圍.【詳解】定義域為，，因為，有唯一一個極值點，所以是唯一的變號零點，設(shè)，且，所以恒成立，當時，恒成立，符合題意；當時，，所以在上單調(diào)遞增，又因為時，，不滿足，舍去；當時，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，令，得，所以在上單調(diào)遞增，所以，因為，所以，所以的取值范圍是.故答案為.14、【正確答案】2114【分析】每行的序數(shù)與該行的項數(shù)相等可得第行最后項在數(shù)列中的項數(shù)為；根據(jù)可求得，進而可確定位于第12行第3個；根據(jù)每一行數(shù)字和的規(guī)律可知，計算可得結(jié)果.【詳解】使得每行的序數(shù)與該行的項數(shù)相等，則第行最后項在數(shù)列中的項數(shù)為：，設(shè)位于第行，則：，解得.且第11行最后一項在數(shù)列中的項數(shù)為.位于楊輝三角數(shù)陣的第12行第3個.而第一行各項和為，第二行各項和為，第三行各項的和為.依此類推，第行各項的和為.故15、【詳解】（1）因為，所以，對上式兩邊同時取倒數(shù)有：所以，又因為，所以，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.-------4分因為數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，所以數(shù)列的通項公式為.---------6分因為，所以，-----7分所以，----10分所以，---13分16、【詳解】（1）因為三層題量之比為，所以在層選題的概率為，不在層選題的概率為，----2分設(shè)至少2人的選題來自層的概率為，從層選題數(shù)量為，由題意得，-----------4分而二項分布概率公式為，-----5分則至少2人的選題來自層的概率為，-----6分故.-----8分（2）因為三層題量之比為，所以在層最多抽到7道，且可取，則，，---------------12分其分布列為：所以期望.--------15分17、【詳解】（1）根據(jù)分步計數(shù)原理共有種不同放法；-------3分（2）當每個盒子的球數(shù)不小于它的編號數(shù)時，1號盒1個球，2號盒2個球，3號盒3個球，共有種不同放法；-------6分（3）當每個盒子至少有1個小球時，共有三類：第一類，一盒4個球，其余兩盒各1個球，有種；第二類，一盒1個球，一盒2個球，一盒3個球，有種；第三類，每盒2個球，有種，所以共有540不同放法；------12分（4）方法一：將2號盒子里放入1個小球，在3號盒子里放入2個小球，然后在剩余的6個相同的小球中間5個空插入2個擋板，共有種不同放法.方法二：將1、2、3號盒子首先分別放入1、2、3個球，然后剩下的3個小球和兩個擋板一起排隊，5個位置中給擋板選兩個位置，共有種不同放法.-------15分18、【詳解】（1）設(shè)事件“選取的2位學生分數(shù)不同”，則，故所選的2位學生分數(shù)不同的概率為；-------4分（2）設(shè)“學生分數(shù)不小于3”，則，-------5分（?。┤?，的可能取值為，由題意可得,又，，，，所以的分布列為：由于，則；-------12分（ⅱ）若，則，------13分所以，------14分由于最大，所以，即，-------16分因為，，所以時，最大.-------17分19、【詳解】（1）函數(shù)，則，定義域為---1分當時，，在上單調(diào)遞減；當時，時，，時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.-----------4分綜上，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.-----------5分（法一）設(shè)，則，令，