廣東省東莞市東莞外國語學(xué)校2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期段考一 數(shù)學(xué)試題（含解析）

廣東省東莞市東莞外國語學(xué)校2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期段考一數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．如果函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，那么（

）A． B．1 C．2 D．2．（

）A．84 B．83 C．70 D．693．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．4．不等式A8x＜6AA．[2,8]B．[2,6]C．(7,12)D．{8}5．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（）A． B． C． D．6．已知在區(qū)間內(nèi)存在2個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）．A． B． C． D．7．如圖；在的矩形長條中，涂上紅、黃、藍(lán)3種顏色，每種顏色限涂2格，并且相鄰兩格不同色，則不同的涂色方法共有種數(shù)為（

）

A．28 B．29 C．30 D．318．曲線與和分別交于兩點，設(shè)曲線在處的切線斜率為在處的切線斜率為，若，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列求導(dǎo)的運算中，正確的是（

）A． B．C． D．10．某單位安排7名員工周一到周日為期一周的值日表，每名員工值日一天且不重復(fù)值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，則不同的安排方案種數(shù)為（

）A． B． C． D．11．設(shè)函數(shù)，則（）A．存在，函數(shù)僅有一個極值點B．曲線關(guān)于點對稱C．當(dāng)時，是曲線的切線方程D．當(dāng)時，函數(shù)有唯一零點三、填空題（本大題共3小題）12．函數(shù)的最小值為．13．現(xiàn)有男、女乒乓球運動員各6人，將他們配對成男雙、女雙、混雙各2對，每個運動員都只參加一個項目，則不同的配對方法種數(shù)為（用數(shù)字作答）．14．已知的定義域是，且，則不等式的解是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性.16．（1）解不等式；（2）求證：①，②．17．某校舉行勞動技術(shù)比賽，該校高二（1）班的班主任從本班的5名男選手和4名女選手中隨機(jī)地選出男、女選手各2名參加本次勞動技術(shù)比賽中的團(tuán)體賽，并排好團(tuán)體賽選手的出場順序.在下列情形中各有多少種不同的安排方法？(1)男選手甲必須參加，且第4位出場；(2)男選手甲和女選手乙都參加，且出場的順序不相鄰；(3)男選手甲和女選手乙至少有一人參加.18．已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極小值；(2)若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍.19．設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若是增函數(shù)，求a的取值范圍；(3)當(dāng)時，設(shè)為的極小值點，證明：．

參考答案1．【答案】A【詳解】因為，所以，所以．故選A．2．【答案】D【詳解】依題意，.故選D.3．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)圖象判斷即可.【詳解】設(shè)，，，則表示函數(shù)在點處的切線的斜率，則表示函數(shù)在點處的切線的斜率，表示，兩點連線的斜率，又在上單調(diào)遞增，且增長趨勢越來越快，則函數(shù)在點、的切線與過、的直線的草圖如下所示：由圖可知，所以.故選C.4．【答案】D【詳解】由A8x＜6A8x-2，得8！化簡得x2－19x＋84＜0，解得7＜x＜12，①又0＜x≤8,0＜x由①②及x∈N*，得x＝8.5．【答案】A【詳解】由，得，所以，得，所以，，，，故所求切線方程為，即.故選A.6．【答案】B【詳解】因為，可知在內(nèi)有2個變號零點，由可得，可知：與在內(nèi)有2個交點，又因為，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，且，，結(jié)合圖象可得，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選B.7．【答案】C【詳解】分2類（先涂前3個矩形，再涂后3個矩形．）：第1類，前3個矩形用3種顏色，后3個矩形也用3種顏色，有種涂法；第2類，前3個矩形用2種顏色，后3個矩形也用2種顏色，有種涂法．綜上，不同的涂法和數(shù)為．故選C．8．【答案】A【詳解】因為和互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，且反比例函數(shù)的圖象也關(guān)于直線對稱，可知點關(guān)于直線對稱，設(shè)，則，設(shè)，則，由題意可得，解得或（舍去），可得，則，所以.故選A.9．【答案】ACD【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確；故選：ACD.10．【答案】ABD【詳解】直接法：若乙安排在周一，則有種不同的排法；若乙不安排在周一，則甲、乙可以安排在除周一和周三外的任何位置，有種不同的排法．故所有符合題意的方法共有種，所以選項D正確．間接法：（1）不管條件限制共有種不同的排法．當(dāng)甲安排在周一或乙安排在周三時，有種不同的排法；當(dāng)甲安排在周一且乙安排在周三時，有種排法．故所有符合題意的方法共有種，所以選項B正確．（2）從周一到周日的七天位置來看，周一不安排甲共有種不同的排法，其中周三安排乙共有種排法，是不符合題意的，故所有符合題意的方法共有種，所以選項A正確.故選ABD11．【答案】BC【詳解】對于A，由題意可得，當(dāng)時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，無極值點，當(dāng)時，令，即，解得，此時函數(shù)有兩個極值點，所以不存在，使函數(shù)僅有一個極值點，故A錯誤；對于B，設(shè)是圖像上任意一點，則，點關(guān)于點對稱的點為，將代入函數(shù)可得，而，所以曲線關(guān)于點對稱，故B正確；對于C，當(dāng)時，，，若是切線方程，則其斜率為9，令，解得，當(dāng)時，，切線方程為，化簡可得；當(dāng)時，，切線方程為，化簡可得；所以是曲線的切線方程，故C正確；對于D，由，當(dāng)時，令，可得，當(dāng)或時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上各有一個零點，即函數(shù)有三個零點，故D錯誤；故選BC12．【答案】【詳解】由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.13．【答案】4050【詳解】男雙的配對方法種數(shù)為，同理，女雙的配對方法種數(shù)為，剩下的兩男兩女中混雙的配對方法種數(shù)為2，則不同的配對方法種數(shù)為．14．【答案】【詳解】依題意，不等式，令函數(shù)，求導(dǎo)得，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，原不等式為，因此，解得或，所以原不等式的解集為.15．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）當(dāng)時，，則，從而，，故所求切線方程為，即（或）.（2）由題意可得.當(dāng)，即時，由，得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，即時，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，由，得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.16．【答案】（1）；（2）①證明見解析；②證明見解析.【詳解】(1)在不等式中，0≤m-1≤8，且0≤m≤8，m∈N，即有1≤m≤8，m∈N，原不等式化為：，即，解得，則m=7或8，所以不等式的解集為.(2)①，所以成立；②因，，所以成立.17．【答案】(1)144(2)144(3)1008【詳解】（1）完成該件事情可分兩步進(jìn)行：第一步，選出選手，有種方法；第二步，排好出場順序，有種方法，所以，共有種不同的安排方法.（2）完成該件事情可分兩步進(jìn)行：第一步，選出選手，有種方法；第二步，排好出場順序，有種方法，所以，共有種不同的安排方法.（3）完成該件事情可分兩步進(jìn)行：第一步，選出選手，“有男選手甲且無女選手乙”的選法種數(shù)為；“無男選手甲且有女選手乙”的選法種數(shù)為；“有男選手甲且有女選手乙”的選法種數(shù)為；第二步，排好出場順序，有種排法，所以，共有種不同的安排方法.18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題可知：函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，所以，令，解得則，，的變化情況如下表.0單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的極小值為；（2）因為，且關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以有兩個不相等的實數(shù)根，當(dāng)時，顯然不成立；當(dāng)時，即有兩個不相等的實數(shù)根，令，，則，令，解得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處可以取到最小值，又由的零點僅有，且當(dāng)趨近于0時，趨近于0，所以，解得，所以的取值范圍為.19．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)(3)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時，，，因當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）因，設(shè)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故時，取得極小值，（?。┧援?dāng)時，，，所以，單調(diào)遞增，符合題意；（ⅱ）當(dāng)時，，因為趨近于時，趨近于，趨近于時，趨近于，所以存在兩