大題強(qiáng)化訓(xùn)練及變式訓(xùn)練（1）-2025屆高三二輪復(fù)習(xí)大題強(qiáng)化訓(xùn)練及變式訓(xùn)練（解析版）新高考地區(qū)專用

2025屆高三二輪復(fù)習(xí)大題強(qiáng)化訓(xùn)練及變式訓(xùn)練（1）題型類別類型一、三角形中線問(wèn)題類型二、線面平行與二面角類型三、馬爾可夫鏈類型四、斜率和、差定值問(wèn)題類型五、數(shù)列與導(dǎo)數(shù)融合方法講解1.解三角形中線的應(yīng)用（1）中線長(zhǎng)定理：在?ABC中，AD是邊BC上的中線，則AB注：靈活運(yùn)用同角的余弦定理，適用在解三角形的題型中（2）向量法：AD注：適用于已知中線求面積（已知BDCD2.線面平行（1）利用共面向量定理．設(shè)為平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量，證明存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，使得，則．（2）轉(zhuǎn)化為證明直線和平面內(nèi)的某一直線平行．（3）轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直（此方法最常用）3.二面角（1）在平面內(nèi)，，在平面β內(nèi)，（是交線的方向向量），其方向如圖所示，則二面角的平面角的余弦值為．（2）設(shè)是二面角的兩個(gè)半平面的法向量，其方向一個(gè)指向二面角內(nèi)側(cè)，另一個(gè)指向二面角的外側(cè)，則二面角的余弦值為．4.馬爾可夫鏈若，即未來(lái)狀態(tài)只受當(dāng)前狀態(tài)的影響，與之前的無(wú)關(guān).5.解析幾何定值問(wèn)題定值問(wèn)題解析幾何中定值問(wèn)題的證明可運(yùn)用函數(shù)的思想方法來(lái)解決．證明過(guò)程可總結(jié)為“變量—函數(shù)—定值”，具體操作程序如下：（1）變量----選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞浚?）函數(shù)----把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)．（3）定值----化簡(jiǎn)得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值．求定值問(wèn)題常見的方法有兩種：（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理過(guò)程中消去變量，從而得到定值．常用消參方法：①等式帶用消參：找到兩個(gè)參數(shù)之間的等式關(guān)系，用一個(gè)參數(shù)表示另外一個(gè)參數(shù)，即可帶用其他式子，消去參數(shù)．②分式相除消參：兩個(gè)含參數(shù)的式子相除，消掉分子和分母所含參數(shù)，從而得到定值．③因式相減消參：兩個(gè)含參數(shù)的因式相減，把兩個(gè)因式所含參數(shù)消掉．④參數(shù)無(wú)關(guān)消參：當(dāng)與參數(shù)相關(guān)的因式為時(shí)，此時(shí)與參數(shù)的取值沒(méi)什么關(guān)系，比如：，只要因式，就和參數(shù)沒(méi)什么關(guān)系了，或者說(shuō)參數(shù)不起作用．6.數(shù)列與導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題的主要類型及求解策略①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問(wèn)題，此類問(wèn)題一般利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問(wèn)題．②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問(wèn)題，解決此類問(wèn)題一般要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、求和方法等對(duì)式子化簡(jiǎn)變形進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題．注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問(wèn)題時(shí)要注意這一特殊性．三、重難點(diǎn)例題及變式類型一、三角形中線問(wèn)題例.阿波羅尼奧斯（Apollonius）是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，他提出的阿波羅尼奧斯定理是一個(gè)關(guān)于三角形邊長(zhǎng)與中線長(zhǎng)度關(guān)系的定理，內(nèi)容為：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線及第三邊之半的平方和的兩倍，即如果AD是中BC邊上的中線，則.(1)若在中，，，，求此三角形BC邊上的中線長(zhǎng)；(2)請(qǐng)證明題干中的定理；(3)如圖中，若，D為BC中點(diǎn)，，，，求的值.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）【解析】（1）如圖所示，由余弦定理得，，代值計(jì)算得到，求得；由于，代值計(jì)算得，求得（2）在中，；在中，；兩式相加，且，得到，則原式得證．（3）由于則由正弦定理，得，即，去分母整理得到，即．且，則，則．由于，且，即聯(lián)立解出由于，則，解得，則（負(fù)數(shù)不滿足）.由余弦定理得到，代值計(jì)算，，則，則．【變式訓(xùn)練1】在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，(1)已知，（i）求；（ii）若，為邊上的中點(diǎn)，求的長(zhǎng).(2)若為銳角三角形，求證：【答案】（1）（i）或；（ii）（2）證明見解析；（3）證明見解析【解析】（1）（i）因?yàn)?，，所以，由正弦定理可得：，即，因?yàn)樵?，，，則，因?yàn)?，所以或；（ii），所以，則，則，由正弦定理可得：，即，又，解得，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，在中，由余弦定理可得：，即，則.（2）因?yàn)闉殇J角三角形，，則，則，要證，即證，由于，由，則，所以，故，則，則，證畢.【變式訓(xùn)練2】在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，其中為的面積.(1)求角的大?。?2)設(shè)是邊的中點(diǎn)，若，求的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】（1）據(jù)，可得，即，結(jié)合正弦定理可得.在中，，所以，整理得.因?yàn)?，，故，即，又，所?（2）法一：因?yàn)槭沁叺闹悬c(diǎn)，，所以.在中，，則.在中，，，，據(jù)正弦定理可得，，即，所以.所以，即，所以，又，，所以，解得，所以.法二：因?yàn)槭沁叺闹悬c(diǎn)，故，所以，即，整理得①在中，據(jù)余弦定理得，，即②聯(lián)立①②，可得，.在中，據(jù)勾股定理得，，所以.法三：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得.在中，，，故，又是的中點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，所以，，且.在中，，，，所以，且.所以，即，解得（負(fù)舍），所以.法四：延長(zhǎng)到，使，連結(jié)，.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且，故四邊形是平行四邊形，.又，所以.在中，，，，，所以，且.在中，，，，，據(jù)勾股定理，可得，將代入上式，可得（負(fù)舍），所以.類型二、線面平行與二面角例.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，分別為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且．（1）證明：平面；（2）若平面，且，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，設(shè)，連接，則為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所有且，所以，所以，所以，又平面，平面，所以平面；（2）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，所以，所以二面角的正弦值為．【變式訓(xùn)練1】如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2菱形，，已知為棱的中點(diǎn)，在底面的投影為線段的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn).（1）若，求證：平面；（2）若，確定點(diǎn)的位置，并求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）為中點(diǎn)，.【解析】（1）設(shè)，因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的菱形，所以，對(duì)角線BD平分，又為棱的中點(diǎn)，所以,在中，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理得，又，所以，所以，，平面，且平面平面.（2）平面，且平面，，因?yàn)?，所以，在中，，，所以是等邊三角形，又為棱的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面ABCD，平面，又平面，，又，平面，平面，且平面，.因?yàn)镻在底面的投影H為線段EC的中點(diǎn)，所以，又所以為等邊三角形，故為中點(diǎn)，所以在底面上的投影為的中點(diǎn).在中，，，以為原點(diǎn)，分別以為軸，以過(guò)點(diǎn)且與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，則，即，平面，是平面的一個(gè)法向量，，因?yàn)槎娼鞘且粋€(gè)銳角，所以二面角的余弦值為.【變式訓(xùn)練2】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，.(1)點(diǎn)在側(cè)棱上，且平面，確定在側(cè)棱上的位置；(2)若平面平面，且，求二面角的余弦值.【答案】（1）為側(cè)棱上靠近處的三等分點(diǎn)；（2）【解析】（1）連接，設(shè)，連接，則平面平面，平面，面，底面是直角梯形，，且，，則，為側(cè)棱上靠近處的三等分點(diǎn)；（2）平面平面，且，，平面平面，平面，平面，（為中點(diǎn)）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，依題意有A1,0,0，，，，則，，，顯然是平面的一個(gè)法向量，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取得，，二面角的大小的余弦值為.類型三、馬爾可夫鏈例.某大學(xué)排球社團(tuán)為了解性別因素是否對(duì)學(xué)生喜歡排球有影響，隨機(jī)調(diào)查了男、女生各200名，得到如下數(shù)據(jù)：性別排球喜歡不喜歡男生78122女生11288（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為是否喜歡排球與性別有關(guān)聯(lián)？（2）在某次社團(tuán)活動(dòng)中，甲、乙、丙這三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人.記次傳球后球在乙手中的概率為.（i）求；（ii）若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則.記前次（即從第1次到第次傳球）中球在乙手中的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】（1）可以認(rèn)為是否喜歡排球與性別有關(guān)聯(lián).（2）（i）；（ii）【解析】（1）零假設(shè)為：是否喜歡排球與性別無(wú)關(guān)聯(lián).根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，可以認(rèn)為是否喜歡排球與性別有關(guān)聯(lián).（2）（i）由題意知，設(shè)，所以，所以，解得，所以，又，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，即第次傳球后球在乙手中的概率為.（ii）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，的數(shù)學(xué)期望，即的數(shù)學(xué)期望為【變式訓(xùn)練1】某學(xué)校有甲、乙、丙三家餐廳，分布在生活區(qū)的南北兩個(gè)區(qū)域，其中甲、乙餐廳在南區(qū)，丙餐廳在北區(qū)各餐廳菜品豐富多樣，可以滿足學(xué)生的不同口味和需求．（1）現(xiàn)在對(duì)學(xué)生性別與在南北兩個(gè)區(qū)域就餐的相關(guān)性進(jìn)行分析，得到下表所示的抽樣數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為在不同區(qū)域就餐與學(xué)生性別有關(guān)聯(lián)？性別就餐區(qū)域合計(jì)南區(qū)北區(qū)男331043女38745合計(jì)711788（2）張同學(xué)選擇餐廳就餐時(shí)，如果前一天在甲餐廳，那么后一天去甲，乙餐廳的概率均為；如果前一天在乙餐廳，那么后一天去甲，丙餐廳的概率分別為，；如果前一天在丙餐廳，那么后一天去甲，乙餐廳的概率均為．張同學(xué)第1天就餐時(shí)選擇甲，乙，丙餐廳的概率分別為，，．（?。┣蟮?天他去乙餐廳用餐的概率；（ⅱ）求第天他去甲餐廳用餐的概率．附：；0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635【答案】（1）沒(méi)有關(guān)聯(lián)（2）（ⅰ）；（ⅱ）【解析】（1）依據(jù)表中數(shù)據(jù)，，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為在不同區(qū)域就餐與學(xué)生性別沒(méi)有關(guān)聯(lián)．（2）設(shè)“第天去甲餐廳用餐”，“第天去乙餐廳用餐”，“第天去丙餐廳用餐”，則兩兩獨(dú)立，．根據(jù)題意得，．（?。┯桑Y(jié)合全概率公式，得，因此，張同學(xué)第2天去乙餐廳用餐的概率為．（ⅱ）記第天他去甲，乙，丙餐廳用餐的概率分別為，則，由全概率公式，得故①同理②③④由①②，，由④，，代入②，得：，即，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即，所以于是，當(dāng)時(shí)綜上所述：【變式訓(xùn)練2】從甲、乙、丙、丁、戊5人中隨機(jī)地抽取三個(gè)人去做傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，每次必須將球傳出.(1)記甲、乙、丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若剛好抽到甲、乙、丙三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為.①直接寫出，，的值；②求與的關(guān)系式，并求出.【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為(2)①，，；②，【解析】（1）的所有可能取值為1，2，3.則；；.所以隨機(jī)變量的分布列為：123數(shù)學(xué)期望.（2）若剛好抽到甲、乙、丙三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且次傳球后球在甲手中的概率為.則有.記表示事件“經(jīng)過(guò)次傳球后，球在甲手中”.所以.即.所以，且.所以數(shù)列表示以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.所以，.即次傳球后球在甲手中的概率是類型四、斜率和、差定值問(wèn)題例．已知橢圓與雙曲線的離心率的平方和為.(1)求的值；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓和雙曲線分別交于點(diǎn)，，，，在軸上是否存在一點(diǎn)，直線，，，的斜率分別為，，，，使得為定值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)2；（2）在軸上是存在一點(diǎn)，使得為定值0.【解析】（1）由已知得，即，∴，∴；（2）由（1）得橢圓與雙曲線，由已知得直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，Ax1,y1，Bx2將直線與橢圓聯(lián)立得，，，，.將直線與雙曲線聯(lián)立得，由得，又,而，，.當(dāng)時(shí)，為定值.故在軸上是存在一點(diǎn)，使得為定值0.例．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，D為橢圓C的右頂點(diǎn)，且.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），直線AM與直線交于點(diǎn)N，設(shè)直線NA，NB的斜率分別為，，求證：為定值.【答案】(1)；（2）證明見解析【解析】（1）由題知，，所以，，，，橢圓的方程為：.（2）證明：①當(dāng)斜率為時(shí)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，則，，，則直線AM：，令，則，點(diǎn)為，；②當(dāng)斜率不為時(shí)，設(shè)直線的方程為：，Ax1,y1將直線與橢圓方程聯(lián)立：消去可得，令，解得．由韋達(dá)定理可得，所以，：，令，得，，又，又，，，綜上，為定值.【變式訓(xùn)練1】已知橢圓：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)作直線l與E交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），設(shè)直線與的斜率分別為，．（1）若直線l的斜率為，求的面積；（2）證明為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，，所以橢圓的方程為．直線：，即，代入得，設(shè)，，則，，所以，又點(diǎn)到直線：的距離，所以的面積．（2）當(dāng)直線斜率不存在，即：時(shí)，，不妨取，，因?yàn)?，，則，，所以．當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)：，代入：得：，由已知方程的判別式，設(shè)，，則，，則．綜上可知，．法二：設(shè)：，代入：得，由已知方程的判別式，設(shè)，，則，，設(shè)直線的斜率為，則，又，即，所以，則，所以．法三：設(shè)直線：，即，所以．橢圓：，即，所以，即，則，整理得，設(shè)直線的斜率為，則又，即，所以，則，所以為定值．【變式訓(xùn)練2】已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，且成等差數(shù)列.(1)求的方程；(2)過(guò)的直線與的右支交于兩點(diǎn)（在的上方），的中點(diǎn)為在直線上的射影為為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，直線的斜率分別為，試問(wèn)是否為定值，如果是，求出該定值，如果不是，說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）【解析】（1）因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，又，所以.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入C的方程得，解得，所以，所以C的方程為.（2）依題意可設(shè)PQ：，由，得,設(shè)，，，則.，，則，而，所以，所以是定值，定值為.類型五、數(shù)列與導(dǎo)數(shù)融合例.已知函數(shù)．(1)判斷并證明的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(2)記在上的零點(diǎn)為，求證;（i）是一個(gè)遞減數(shù)列（ii）．【答案】（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析【解析】（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).證明如下：當(dāng)時(shí)，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，若為奇數(shù)，，則，此時(shí)在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；若為偶數(shù)，設(shè)，則，方程有一個(gè)解，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，此時(shí)在內(nèi)有1個(gè)零