沖刺2025年高考數(shù)學(xué)大題突破+限時集訓(xùn)（新高考專用）培優(yōu)專題06 導(dǎo)數(shù)（10大題型）（原卷版）

培優(yōu)專題06導(dǎo)數(shù)題型1含參函數(shù)的單調(diào)性一、含參函數(shù)單調(diào)性討論依據(jù)（1）導(dǎo)函數(shù)有無零點討論（或零點有無意義）；（2）導(dǎo)函數(shù)的零點在不在定義域或區(qū)間內(nèi)；（3）導(dǎo)函數(shù)多個零點時大小的討論。二、一般性技巧（1）導(dǎo)函數(shù)的形式為含參一次函數(shù)，首先討論一次項系數(shù)為0的情形，易于判斷；當(dāng)一次項系數(shù)不為零時，討論導(dǎo)函數(shù)的零點與區(qū)間端點的大小關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖像判定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）若導(dǎo)函數(shù)為含參可因式分解的二次函數(shù)，令該二次函數(shù)等于零，求根并比較大小，然后再劃分定義域，判定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而確定原函數(shù)的單調(diào)性.（3）若導(dǎo)函數(shù)為含參不可因式分解的二次函數(shù)，就要通過判別式來判斷根的情況，然后再劃分定義域討論.一、解答題1．（24-25高三下·湖北·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)若，求在上的最大值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性．3．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若曲線在點處的切線的斜率為，求實數(shù)的值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．4．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知函數(shù)，()．(1)若函數(shù)的圖象在處的切線平行于x軸，求a的值；(2)討論的單調(diào)性．5．（24-25高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）已知(1)當(dāng)時，過原點作函數(shù)的切線l，求切線l的方程；(2)討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性.6．（24-25高三上·廣東潮州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求的極值點；(2)討論的單調(diào)性．7．（24-25高三下·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)試討論的單調(diào)性．題型2極值問題一、求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟（1）先確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）求方程的根；（4）檢驗在方程的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值.注①可導(dǎo)函數(shù)在點處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號導(dǎo)號.②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點.另外，極值點也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點；但為的極值點.一、解答題1．（2024·西藏拉薩·一模）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若既有極大值，又有極小值，求實數(shù)的取值范圍.2．（2025·山東菏澤·一模）已知函數(shù)(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若不是的極值點，求；3．（24-25高三下·河北邯鄲·開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線與直線垂直，求的方程；(2)證明：無極值點．4．（2025·江西·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，證明：；(2)若在區(qū)間上有且只有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍.5．（2025·廣東江門·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的極值．6．（24-25高三下·河北滄州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若是函數(shù)唯一的極值點，求實數(shù)a的取值范圍.題型3最值問題一、函數(shù)的最值函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點之間的最小者．一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；②函數(shù)的極值點必是開區(qū)間的點，不能是區(qū)間的端點；③函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得.一、解答題1．（24-25高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)．(1)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)a，當(dāng)時，函數(shù)的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．2．（24-25高三下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，求函數(shù)在的最小值.3．（2025·河北石家莊·一模）已知函數(shù).(1)討論的極值點個數(shù)；(2)若存在實數(shù)使得軸為的切線，求的最大值.4．（24-25高三下·浙江杭州·階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）(1)判斷的單調(diào)性；(2)若m，n為方程的兩個根，求的最小值．題型4恒成立和有解問題對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．一、解答題1．（23-24高三下·福建漳州·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.2．（24-25高三上·湖北·期中）已知為函數(shù)的極小值點.(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，若對，，使得，求的取值范圍.3．（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)，若對任意，均存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.4．（2025·河北保定·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的極值；(2)若關(guān)于的不等式有實數(shù)解，求的取值范圍.5．（24-25高三下·海南?？凇るA段練習(xí)）已知函數(shù)和．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若對任意，恒成立，求的取值范圍；(3)若存在，，使得，證明：．6．（2025·江西·一模）已知函數(shù)，(1)若，求函數(shù)的最小值；(2)設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若在區(qū)間上存在一點，使得成立，求的取值范圍．題型5零點問題利用導(dǎo)函數(shù)處理零點個數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號，隱零點的探索、參數(shù)的分類討論等），需要對多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，注意思路是通過極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢，從而判斷零點個數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點個數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考的地方。一、解答題1．（2025·福建福州·模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù).(1)若，判斷是否存在極小值點，并說明理由；(2)若存在兩個零點，求的取值范圍.2．（2025·山東臨沂·一模）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若函數(shù)在上恰有兩個零點，求的取值范圍.3．（2025·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論函數(shù)在上零點的個數(shù).4．（2024·湖北荊州·模擬預(yù)測）函數(shù).(1)若均有極值且極值互為相反數(shù)，求的值；(2)若有兩個零點，求證：當(dāng)時，.5．（2025·安徽滁州·一模）已知函數(shù)(1)若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍;(2)若，求證：有且只有1個零點.6．（24-25高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)若直線為的切線，求a的值.(3)已知，若曲線在處的切線與C有且僅有一個公共點，求a的取值范圍.題型6極值點偏移問題一、常規(guī)方法1、和型（或）問題的基本步驟：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個零點，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問題；2、積型問題的基本步驟：①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得恒正或恒負(fù)；③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；④根據(jù)與的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.二、其他方法1、比值代換比值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點之間的關(guān)系，然后利用兩個極值點的比值作為變量，從而實現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用比值(一般用表示)表示兩個極值點，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問題求解．2、對數(shù)均值不等式兩個正數(shù)和的對數(shù)平均定義：對數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對數(shù)平均不等式）取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．3、指數(shù)不等式在對數(shù)均值不等式中，設(shè)，，則，根據(jù)對數(shù)均值不等式有如下關(guān)系：一、解答題1．（23-24高三上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知函數(shù)．若函數(shù)有兩個不相等的零點．(1)求a的取值范圍；(2)證明：．2．（23-24高三下·北京西城·期中）已知函數(shù)．(1)若，求的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，，則．3．（24-25高三上·山東濰坊·期末）已知函數(shù)，.(1)求曲線在處的切線方程；(2)若，求的取值范圍；(3)若有兩個實數(shù)解，，證明：.4．（2024·山東日照·二模）已知函數(shù)．(1)若恒成立，求實數(shù)的值：(2)若，，，證明：．5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，證明：．6．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若有2個不同的零點，求證：．題型7隱零點問題一、隱零點的處理思路第一步：用零點存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點的存在性，其中難點是通過合理賦值，敏銳捕捉零點存在的區(qū)間，有時還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點的個數(shù)；第二步：虛設(shè)零點并確定取范圍，抓住零點方程實施代換，如指數(shù)與對數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.二、隱零點的同構(gòu)實際上,很多隱零點問題產(chǎn)生的原因就是含有指對項,而這類問題由往往具有同構(gòu)特征,所以下面我們看到的這兩個問題,它的隱零點代換則需要同構(gòu)才能做出,否則,我們可能很難找到隱零點合適的代換化簡方向.我們看下面兩例:一類同構(gòu)式在隱零點問題中的應(yīng)用的原理分析所以在解決形如,這些常見的代換都是隱零點中常見的操作.一、解答題1．（24-25高三下·河南·開學(xué)考試）已知函數(shù)(1)探究在定義域內(nèi)是否存在極值點；(2)求在定義域內(nèi)的零點個數(shù).2．（24-25高三上·湖北·期中）設(shè)函數(shù).(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù).3．（24-25高三下·北京·開學(xué)考試）已知函數(shù)，，其中．(1)當(dāng)時，求曲線在點處切線的方程；(2)求函數(shù)的零點；(3)用表示、的最大值，記．問：是否存在實數(shù)，使得對任意，恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．4．（24-25高三上·湖南常德·階段練習(xí)）已知(1)討論的單調(diào)性;(2)當(dāng)時，證明對于任意的成立.（參考數(shù)據(jù)：）5．（24-25高三下·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)，直線l為曲線在點處的切線.(1)當(dāng)時，求出直線的方程；(2)若，求的最值；(3)若直線與曲線相交于點，且，求實數(shù)的取值范圍．6．（24-25高三上·遼寧葫蘆島·期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若有兩個極值點．（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）證明：．題型8導(dǎo)數(shù)與不等式證明一、利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).一、解答題1．（2025·山東青島·一模）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若有兩個極值點，記極大值和極小值分別為M，m，證明：.2．（2025·湖北鄂州·一模）已知函數(shù)有兩個零點.(1)求的值；(2)證明：當(dāng)時，.3．（2025·江西·二模）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)若，證明：；(3)設(shè)，是函數(shù)的兩個極值點，證明：．4．（2025·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，.(1)證明：.(2)討論函數(shù)在上的零點個數(shù).(3)當(dāng)，時，證明：，.5．（2025·山東淄博·一模）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：時，；(3)若不等式對任意的都成立（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），求整數(shù)的最大值．題型9導(dǎo)數(shù)與數(shù)列導(dǎo)函數(shù)證明數(shù)列相關(guān)不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)的不等式代替函數(shù)不等式中的自變量，通過多次求和（常常用到裂項相消法求和）達(dá)到證明的目的，此類問題一般至少有兩問，已知的不等式常由第一問根據(jù)特征式的特征而得到.一、解答題1．（24-25高三上·浙江嘉興·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的函數(shù)，其圖象與x軸相切．(1)求的表達(dá)式；(2)證明：；(3)設(shè)數(shù)列，（），的前n項和為，證明：．2．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)極值點的個數(shù)；(2)當(dāng)時，數(shù)列滿足：.求證：的前項和滿足.3．（2025·新疆烏魯木齊·一模）已知.(1)求證：當(dāng)時，；(2)設(shè).（?。┣笞C：數(shù)列為遞減數(shù)列；（ⅱ）求證：.4．（2025·江西·一模）已知函數(shù)是區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列滿足，若點與所在直線的斜率存在，且與的圖象在處的切線斜率相等，則稱為的“—和諧數(shù)列”.(1)若，，是的“1—和諧數(shù)列＂，且，求；(2)若，.①判斷在上的單調(diào)性；②若是的“—和諧數(shù)列”，且，求證：.5．（2025·河南南陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有兩個不同的零點.(1)證明：；(2)當(dāng)時，求的最大值；(3)若，數(shù)列滿足，證明：.題型10導(dǎo)數(shù)中的新定義問題導(dǎo)數(shù)新定義問題主要分兩類：一是概念新定義型，主要是以函數(shù)新概念為背景，通?？疾榭忌鷮瘮?shù)新概念的理解，涉及函數(shù)的三要素的理解；二是性質(zhì)新定義型，主要是以函數(shù)新性質(zhì)為背景，重點考查考生靈活應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的能力，涉及函數(shù)的各種相關(guān)性質(zhì)的拓展延伸．一、解答題1．（2025·貴州安順·模擬預(yù)測）有一種速度叫“中國速度”，“中國速度”正在刷新世界對中國高鐵的認(rèn)知．由于地形等原因，在修建高鐵、公路、橋隧等基建時，我們常用曲線的曲率（Curvature）來刻畫路線彎曲度．曲線的曲率定義如下：記為的導(dǎo)函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點處的曲率為．(1)已知函數(shù)，求曲線在點處的曲率；(2)已知函數(shù)，求曲線的曲率的范圍．2．（2024·江西新余·模擬預(yù)測）偏導(dǎo)數(shù)在微積分領(lǐng)域中有重要意義.定義：設(shè)二元函數(shù)在點附近有定義，當(dāng)固定在而在處有改變量時，相應(yīng)的二元函數(shù)有改變量，如果存在，那么稱此極限為二元函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)（計算時相當(dāng)于將視為常數(shù)），記作，若在區(qū)域內(nèi)每一點對的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是一個關(guān)于的偏導(dǎo)函數(shù)，它被稱為二元函數(shù)對的偏導(dǎo)函數(shù)，記作.以上定義同樣適用于三元函數(shù).(1)氣體狀態(tài)方程描述的三個變量滿足：（是非零常量）.求的值，并說明其為常數(shù).(2)求值：對的偏導(dǎo)數(shù).(3)將偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于包絡(luò)線在金融領(lǐng)域可以發(fā)揮重要價值.在幾何學(xué)中，某個平面內(nèi)曲線族的包絡(luò)線是跟該曲線族的每條線都至少有一點相切的一條曲線，例如：曲線族的包絡(luò)線為.