沖刺2025年高考數(shù)學(xué)大題突破+限時(shí)集訓(xùn)（新高考專用）培優(yōu)專題03 立體幾何（6大題型）（原卷版）

培優(yōu)專題03立體幾何題型1建系技巧強(qiáng)化一、空間直角坐標(biāo)系建立的模型(1)墻角模型：已知條件中有過一點(diǎn)兩兩垂直的三條直線，就是墻角模型．建系：以該點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以兩兩垂直的三條直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，當(dāng)然條件不明顯時(shí)，要先證明過一點(diǎn)的三條直線兩兩垂直(即一個(gè)線面垂直面內(nèi)兩條線垂直)，這個(gè)過程不能省略．然后建系．(2)垂面模型：已知條件中有一條直線垂直于一個(gè)平面，就是墻角模型．情形１垂下(上)模型：直線豎直，平面水平，大部分題目都是這種類型．如圖，此情形包括垂足在平面圖形的頂點(diǎn)處、垂足在平面圖形的邊上(中點(diǎn)多)和垂足在平面圖形的內(nèi)部三種情況．第一種建系方法為以垂足為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂線的向上方向?yàn)閦軸，平面圖形的一邊為x軸或y軸，在平面圖形中，過原點(diǎn)作x軸或y軸的垂線為y軸或x軸(其中很多題目是連接垂足與平面圖形的另一頂點(diǎn))建立空間直角坐標(biāo)系．如圖1-1第二種建系方法為以垂足為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂線的向上方向?yàn)閦軸，垂足所在的一邊為x軸或y軸，在平面圖形中，過原點(diǎn)作x軸或y軸的垂線為y軸或x軸(其中很多題目是連接垂足與平面圖形的另一頂點(diǎn))建立空間直角坐標(biāo)系．如圖1-2第三種建系方法為以垂足為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂線的向上方向?yàn)閦軸，連接垂足與平面圖形的一頂點(diǎn)所在直線為為x軸或y軸，在平面圖形中，過原點(diǎn)作x軸或y軸的垂線為y軸或x軸(其中很多題目是連接垂足與平面圖形的另一頂點(diǎn))建立空間直角坐標(biāo)系．如圖1-3圖1－1圖1－2圖1－3情形2垂左(右)模型：直線水平，平面豎直，這種類型的題目很少．各種情況如圖，建系方法可類比情形1．圖2－1圖2－2圖2－3情形3垂后(前)模型：直線水平，平面豎直，這種類型的題目很少．各種情況如圖，建系方法可類比情形1．圖3－1一、解答題1．（2025·陜西榆林·二模）如圖，已知斜三棱柱，平面平面，，，，，.(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值.2．（2025高三·全國·專題練習(xí)）如圖，圓錐的底面直徑和母線的長度均為2，是底面圓圓周上的一點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)當(dāng)時(shí)，求二面角的正弦值．3．（24-25高三下·湖南長沙·開學(xué)考試）如圖，四棱錐中，四邊形是菱形，平面，，，，分別是線段和上的動(dòng)點(diǎn)，且，.(1)若，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值；(3)若直線與線段交于點(diǎn)，于點(diǎn)，當(dāng)?shù)拈L度最小時(shí)，求的值.4．（24-25高三下·云南昆明·階段練習(xí)）如圖甲，在等腰直角中，，沿底邊的高與的中位線，分別將和折起到和的位置，如圖乙，折疊過程保持.(1)證明：四點(diǎn)共面；(2)求直線與平面所成角的正弦的最大值.5．（2025·山東菏澤·一模）如圖，在四棱錐中，，，，，，，F(xiàn)為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若平面平面，求與平面所成角的正弦值.6．（24-25高三下·河北滄州·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，底面為等腰三角形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，平面平面，平面平面．

(1)求證：平面平面；(2)若，求該三棱錐外接球的體積；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求平面與平面的夾角的余弦值．題型2求線面角和線面角中的探索性問題一、求直線與平面所成角1、垂線法求線面角（也稱直接法）：（1）先確定斜線與平面，找到線面的交點(diǎn)B為斜足；找線在面外的一點(diǎn)A，過點(diǎn)A向平面做垂線，確定垂足O；（2）連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；（3）把投影BO與斜線AB歸到一個(gè)三角形中進(jìn)行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。3、公式法求線面角（也稱等體積法）：用等體積法，求出斜線PA在面外的一點(diǎn)P到面的距離，利用三角形的正弦公式進(jìn)行求解。公式為：sinθ=?l，其中θ是斜線與平面所成的角，?是垂線段的長，方法：已知平面內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為S，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為S射影，平面和平面所成的二面角的大小為，則COSθ=S射影S.這個(gè)方法對于無棱二面角的求解很簡便。4、直線與平面所成角：設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，直線與平面的夾角為.則.一、解答題1．（24-25高三下·安徽阜陽·階段練習(xí)）如圖，三棱臺(tái)，，，平面平面，，，與相交于點(diǎn)，，且平面.(1)求三棱錐的體積；(2)分別在線段上，且平行，平面MNC與平面所成角為，與平面所成角為，求.2．（24-25高三下·河北邯鄲·開學(xué)考試）建筑學(xué)中常用體形系數(shù)表示建筑物與室外大氣接觸的外表面積與其所包圍的體積的比值，即，為建筑物暴露在空氣中的外表面積，為建筑物所包圍的體積，外表面積中，不包括地面的面積．某圓臺(tái)形建筑如圖所示，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，，為底面圓周上異于的點(diǎn)，且．

(1)若，求；(2)若，求直線與平面所成角的余弦值．3．（24-25高三下·廣東·開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，四邊形是直角梯形，，，，.(1)證明：平面平面.(2)線段上是否存在點(diǎn)E，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.4．（2025·山東淄博·一模）如圖，在四棱錐中，，，點(diǎn)在上，且．(1)點(diǎn)在線段上，且平面，證明：為線段的中點(diǎn)；(2)若平面與平面所成的角的余弦值為，求的長度．題型3求二面角、平面與平面所成角及其探索性問題一、求二面角、平面與平面所成角1、幾何法（1）定義法（棱上一點(diǎn)雙垂線法）：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過該點(diǎn)作垂直于棱的射線．（2）三垂線法（面上一點(diǎn)雙垂線法）：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另外一個(gè)面作垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即斜足），斜足和面上一點(diǎn)的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角（3）垂面法（空間一點(diǎn)垂面法）：過空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。（4）射影面積法求二面角2、向量法：若分別為平面的法向量，為平面的夾角，則.一、解答題1．（2025·山東聊城·模擬預(yù)測）如圖，在三棱臺(tái)中，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，，且直線與平面所成的角為.(1)證明：；(2)求平面與平面成角的余弦值.2．（2025·黑龍江·一模）如圖所示，正三角形的邊長為2，，，分別是各邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將，，分別沿，，折起，使得，，所在平面均與底面垂直.

(1)求證：平面平面；(2)求二面角的正弦值.3．（2025·山東煙臺(tái)·一模）如圖，點(diǎn)在以為直徑的半圓的圓周上，，且平面，(1)求證：；(2)當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面夾角的余弦值為？4．（2025·廣東佛山·模擬預(yù)測）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，平面平面ABCD，，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，N為線段CD上一點(diǎn)．(1)若，證明：平面；(2)在線段CD上是否存在點(diǎn)N，使平面與平面MNB夾角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)N的位置；若不存在，說明理由．題型4求點(diǎn)到面(線)距離及其探索性問題1、定義法（直接法）：找到或者作出過這一點(diǎn)且與平面垂直的直線，求出垂線段的長度；2、等體積法：通過點(diǎn)面所在的三棱錐，利用體積相等求出對應(yīng)的點(diǎn)線距離；3、轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離，常見轉(zhuǎn)化為求與面平行的直線上的點(diǎn)到面的距離．2、向量法求空間距離：（1）點(diǎn)面距：已知平面的法向量為,是平面內(nèi)的任一點(diǎn)，是平面外一點(diǎn),過點(diǎn)作則平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（2）直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。（3）兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。一、解答題1．（24-25高三上·甘肅白銀·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，的中點(diǎn).

(1)證明：.(2)求直線與平面所成角的正弦值.(3)設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，求的值.2．（2025·湖南岳陽·一模）如圖，在四棱錐中，平面底面，底面為平行四邊形，為邊的中點(diǎn)，.

(1)求證：；(2)已知二面角的平面角等于，則在線段上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為，若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由.3．（24-25高三上·湖北·期末）如圖在多面體中，四邊形是菱形，，平面，，(1)若為中點(diǎn)，證明：平面(2)在棱上有一點(diǎn)，且到平面的距離為，求二面角的正弦值.4．（2024高三上·福建廈門·期中）如圖，在四棱錐中，，底面為直角梯形，，，，為線段上一點(diǎn).(1)若，求證：平面；(2)若，，異面直線與成角，二面角的余弦值為，在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線的距離為，若存在請指出點(diǎn)的位置，若不存在請說明理由.5．（24-25高三上·遼寧·階段練習(xí)）如圖，在四棱臺(tái)中，平面平面.(1)求證：；(2)求平面與平面所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)到平面的距離.題型5翻折問題一、翻折問題的兩個(gè)解題策略1、確定翻折前后變與不變的關(guān)系：畫好翻折前后的平面圖形與立體圖形，分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變．一般地，位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化；對于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決2、確定翻折后關(guān)鍵點(diǎn)的位置：所謂的關(guān)鍵點(diǎn)，是指翻折過程中運(yùn)動(dòng)變化的點(diǎn)．因?yàn)檫@些點(diǎn)的位置移動(dòng)，會(huì)帶動(dòng)與其相關(guān)的其他的點(diǎn)、線、面的關(guān)系變化，以及其他點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的變化．只有分析清楚關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，才能以此為參照點(diǎn)，確定其他點(diǎn)、線、面的位置，進(jìn)而進(jìn)行有關(guān)的證明與計(jì)算一、解答題1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖1，在中，B=90°，AB=4，BC=2，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿著DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，連接PB，PC，得到四棱錐P-BCED，如圖2所示，設(shè)平面平面PBC=l.(1)求證：平面PBD；(2)若點(diǎn)B到平面PDE的距離為，求平面PEC與平面PBD夾角的正弦值.2．（24-25高三上·廣西河池·階段練習(xí)）如圖1，平面圖形由直角梯形和等腰直角拼接而成，其中，，；，，點(diǎn)是中點(diǎn)，現(xiàn)沿著將其折成四棱錐（如圖2）．(1)當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；(2)在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)（不與，重合），求二面角的余弦值的取值范圍．3．（23-24高三上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖：等邊三角形的邊長為3，，．將三角形沿著折起，使之成為四棱錐．點(diǎn)滿足，點(diǎn)在棱上，滿足．且．(1)求到平面的距離；(2)求面與面夾角的余弦值；(3)點(diǎn)在面的正射影為點(diǎn)，求與平面夾角的正弦值．題型6立體幾何中的新定義問題面對新情景、新定義，首先要深入理解并分析這些新元素，將其與已知的立體幾何知識(shí)相結(jié)合。明確解題目標(biāo)后，靈活運(yùn)用基本定理和性質(zhì)，如平行、垂直的判定與性質(zhì)，以及空間角、距離的計(jì)算公式。在解題過程中，合理構(gòu)造輔助線和面，以揭示隱藏的空間關(guān)系，簡化問題。對于復(fù)雜問題，可嘗試建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行計(jì)算和證明。同時(shí)，要善于將空間問題平面化，通過截面、投影等方式轉(zhuǎn)化求解對象。最后，解題后要進(jìn)行驗(yàn)證和反思，確保結(jié)論的正確性，并總結(jié)所使用的方法和技巧，以便在未來遇到類似問題時(shí)能夠迅速應(yīng)對一、解答題1．（24-25高三上·江西上饒·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，定義：過點(diǎn)，且方向向量為的直線的點(diǎn)方向式方程為；過點(diǎn)，且法向量為的平面的點(diǎn)法向式方程為，將其整理為一般式方程為，其中．(1)已知直線的點(diǎn)方向式方程為，平面的一般式方程為，求直線與平面所成角的余弦值；(2)已知平面的一般式方程為，平面的一般式方程為，平面的一般式方程為，若，證明：；(3)已知斜三棱柱中，側(cè)面所在平面經(jīng)過三點(diǎn)，側(cè)面所在平面的一般式方程為，側(cè)面所在平面的一般式方程為，求平面與平面夾角的余弦值．2．（24-25高三下·甘肅白銀·階段練習(xí)）空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：①多面體頂點(diǎn)的曲率等于減去多面體在該點(diǎn)處所有面角之和；②多面體的總曲率等于多面體所有頂點(diǎn)的曲率之和，多面體各頂點(diǎn)的平均曲率等于它的總曲率與頂點(diǎn)數(shù)之商，其中多面體的面的內(nèi)角叫作多面體的面角，角度用弧度制．例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為，故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為．(1)如圖1，已知四棱錐的底面ABCD為菱形，，O為BD的中點(diǎn)，且平面ABCD，．①求該四棱錐在頂點(diǎn)P處的曲率的余弦值；②求二面角的平面角的正弦值；(2)瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他對簡單多面體進(jìn)行研究后，提出了著名的歐拉定理：簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E與面數(shù)F滿足．請運(yùn)用歐拉定理解決下列問題：碳60（）具有超導(dǎo)特性、抗化學(xué)腐蝕性、耐高壓以及強(qiáng)磁性，是一種應(yīng)用廣泛的材料．它的分子結(jié)構(gòu)十分穩(wěn)定，形似足球，也叫足球烯，如圖2所示．已知碳60（）的分子結(jié)構(gòu)是一個(gè)由60個(gè)C原子構(gòu)成的分子，這個(gè)多面體有60