空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積和體積+講義-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪沖刺

第31講空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積和體積講義——高三數(shù)學(xué)2025屆三輪沖刺高頻考點(diǎn)復(fù)習(xí)整合一、考情分析命題規(guī)律結(jié)構(gòu)特征：考查多面體（棱柱、棱錐、棱臺(tái)）與旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球）的定義與性質(zhì)，常結(jié)合圖形判斷命題真假。表面積與體積：重點(diǎn)考查柱、錐、臺(tái)、球的表面積與體積公式，以及組合體體積的求解方法（割補(bǔ)法、等體積轉(zhuǎn)化法）。與球相關(guān)問題：外接球與內(nèi)切球問題，常通過構(gòu)造正方體或長方體確定球的半徑。命題趨勢(shì)綜合性增強(qiáng)：將幾何體的結(jié)構(gòu)特征與表面積、體積計(jì)算結(jié)合，或與空間向量、三角函數(shù)等知識(shí)綜合考查。創(chuàng)新題型：出現(xiàn)新定義問題（如“斜棱柱”?“正四棱臺(tái)”等），需結(jié)合定義分析結(jié)構(gòu)特征。二、知識(shí)體系構(gòu)建（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征多面體棱柱：兩底面平行且全等，側(cè)棱平行且相等。棱錐：底面為多邊形，各側(cè)面為三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心（正棱錐）。棱臺(tái)：用平行于棱錐底面的平面截棱錐，底面與截面之間的部分。旋轉(zhuǎn)體圓柱：矩形繞一邊旋轉(zhuǎn)形成，母線平行且相等。圓錐：直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)形成，母線交于頂點(diǎn)。圓臺(tái)：直角梯形繞垂直于底邊的腰旋轉(zhuǎn)形成，或圓錐截得。球：半圓繞直徑旋轉(zhuǎn)形成，球心到截面距離與半徑、截面半徑滿足關(guān)系式d2直觀圖斜二測畫法：x′軸與y′軸夾角為45°（或135°），平行于x′（二）表面積與體積公式表面積柱體：表側(cè)底S表=S側(cè)+2S錐體：表側(cè)底S表=S側(cè)+臺(tái)體：表側(cè)上下S表=S側(cè)+S上球：表S表體積柱體：V=S?（S為底面積，錐體：V=臺(tái)體：V=13?S球：V=（三）常用結(jié)論組合體體積：重疊V=等體積轉(zhuǎn)化：三棱錐體積公式V=13S?（直觀圖與原圖面積關(guān)系：直觀圖原圖S直觀圖三、高頻考點(diǎn)與典型例題考點(diǎn)一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）

已知幾何體“有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形”是“幾何體為棱柱”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：棱柱定義：兩底面平行且全等，側(cè)棱平行且相等，其余各面為平行四邊形。反例：兩個(gè)底面全等的斜棱柱拼接的幾何體滿足條件，但不是棱柱。

答案：B例2（2023·新疆·統(tǒng)考模擬預(yù)測）

下列命題中正確的是（）

A.有兩個(gè)平面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱。

B.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐。

C.夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體。

D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線。

解析：A錯(cuò)誤（反例同例1）；B錯(cuò)誤（正八面體各面是三角形，但不是三棱錐）；C錯(cuò)誤（截面與底面不平行時(shí)，幾何體不是旋轉(zhuǎn)體）；D正確。

答案：D考點(diǎn)二：空間幾何體的表面積例3（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）

已知某圓錐的母線長、底面圓的直徑都等于球的半徑，則球與圓錐的表面積之比為（）

A.8:3B.16:3C.8:設(shè)圓錐母線長l，底面半徑r，球的半徑R，則l=球的表面積S1=4π比值S1:S2例4（2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）

仿鈞玫瑰紫釉盤的形狀可近似看成是圓臺(tái)和圓柱的組合體，其口徑為15.5?cm，足徑為9.2?cm，頂部到底部的高為4.1?cm，底部圓柱高為0.7?cm，則該仿鈞玫瑰紫釉盤圓臺(tái)部分的側(cè)面積約為（）

A.143.1?cm2B.151.53?cm圓臺(tái)母線長l=側(cè)面積S=πR+考點(diǎn)三：空間幾何體的體積例5（2022·新高考Ⅱ卷·7題）

已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長分別為3和4，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.100πB.128πC.144πD.192π

解析：上底面所在平面截球所得圓的半徑r1=3球心到兩底面距離差為1，由勾股定理得R2?r球的表面積S=4πR2例6（2024·全國卷·新高考Ⅰ卷）

某水庫水位從海拔148.5?m上升到157.5?m時(shí)，相應(yīng)水面的面積從140.0?km2變?yōu)?80.0?km2，將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則增加的水量約為（）

A.2.16×108棱臺(tái)高?=9?m，上底面積S體積V=13?考點(diǎn)四：與球有關(guān)的切、接問題例7（2023·全國卷·新高考Ⅰ卷）

已知正三棱錐P?ABC的各棱長均為2，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.8πB.12πC.16πD.20π

正三棱錐外接球半徑R=23正確解法：構(gòu)造正方體，外接球半徑R=3，表面積S=12π例8（2024·北京卷）

已知球O的半徑為5，球心O到平面α的距離為3，則平面α截球O所得圓的面積為（）

A.4πB.9πC.16πD.25π

解析：截面半徑r=R2?d2四、易錯(cuò)點(diǎn)與注意事項(xiàng)結(jié)構(gòu)特征判斷：棱柱需滿足“兩底面平行且全等，側(cè)棱平行且相等”，反例：兩個(gè)底面全等的斜棱柱拼接的幾何體不是棱柱。表面積計(jì)算：圓柱側(cè)面積公式S=2πr?，圓錐側(cè)面積公式S=πrl，圓臺(tái)側(cè)面積公式體積計(jì)算：柱體體積公式V=S?，錐體體積公式V=與球相關(guān)問題：外接球半徑R的計(jì)算：構(gòu)造正方體或長方體，利用體對(duì)角線長度等于2R。五、復(fù)習(xí)建議強(qiáng)化基礎(chǔ)：熟練掌握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積公式，特別是柱、錐、臺(tái)、球的公式推導(dǎo)過程。題型分類訓(xùn)練：針對(duì)結(jié)構(gòu)特征判斷、表面積與體積計(jì)算、與球相關(guān)問題等題型進(jìn)行專項(xiàng)練習(xí)。易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)：針對(duì)結(jié)構(gòu)特征判斷、公式應(yīng)用、單位換