導(dǎo)數(shù)專題03：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式講義-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪沖刺

導(dǎo)數(shù)專題03：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式講義——高三數(shù)學(xué)2025屆三輪沖刺高頻考點(diǎn)復(fù)習(xí)整合一、導(dǎo)數(shù)證明不等式的核心原理導(dǎo)數(shù)證明不等式的本質(zhì)在于通過構(gòu)造函數(shù)，將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性或最值問題。其核心步驟可歸納為：構(gòu)造函數(shù)：將不等式變形為fx≥0求導(dǎo)分析：計(jì)算f′確定最值：結(jié)合單調(diào)性確定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值證明結(jié)論：利用最值性質(zhì)證明不等式二、基礎(chǔ)題型解析1.基礎(chǔ)構(gòu)造法例題1：證明當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，ln構(gòu)造函數(shù)f求導(dǎo)得f當(dāng)0<x<1時(shí)，f函數(shù)在x=1因此?x>變式訓(xùn)練：證明ex>x2.雙變量構(gòu)造法例題2：已知a,b∈R+移項(xiàng)得a構(gòu)造函數(shù)fx=x求導(dǎo)得f化簡(jiǎn)后發(fā)現(xiàn)f′x在x當(dāng)x>a時(shí)，f′x故fx變式訓(xùn)練：證明a2b+三、進(jìn)階技巧提升1.含參不等式證明例題3：已知a≥1，證明ex構(gòu)造函數(shù)f求導(dǎo)得f令f′x當(dāng)x<lna時(shí)，f′x最小值f令ga=ga在[1因此fx變式訓(xùn)練：證明xlnx≥2.多次求導(dǎo)法例題4：證明當(dāng)x>0時(shí)，x1左側(cè)不等式：構(gòu)造函數(shù)f一階導(dǎo)ffx單調(diào)遞增，右側(cè)不等式：構(gòu)造函數(shù)g一階導(dǎo)ggx單調(diào)遞增，變式訓(xùn)練：證明12≤1四、高考真題解析2024年全國卷真題：已知函數(shù)fx=lnx?ax解析：變形得a構(gòu)造函數(shù)g求導(dǎo)得g當(dāng)0<x<1時(shí)，g最大值g故a變式訓(xùn)練：已知fx=ex?五、易錯(cuò)點(diǎn)警示定義域問題：必須保證構(gòu)造函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)例：證明lnx≤最值判斷：?jiǎn)握{(diào)遞增函數(shù)的最小值在左端點(diǎn)單調(diào)遞減函數(shù)的最大值在左端點(diǎn)需驗(yàn)證端點(diǎn)值是否可取參數(shù)討論：含參不等式需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論例：a的正負(fù)性可能影響導(dǎo)數(shù)符號(hào)變形等價(jià)性：不等式變形時(shí)需保持等價(jià)性例：lnx<六、強(qiáng)化訓(xùn)練題庫基礎(chǔ)題：證明x證明1x+1進(jìn)階題：3.已知a,b∈R+，證明a+真題模擬：5.（2023年全國卷）已知fx=lnx?1創(chuàng)新題：6.已知fx=ex?七、答案解析（部分）例題1答案：構(gòu)造函數(shù)fffx在0,1fx例題3答案：構(gòu)造函數(shù)ff最小值點(diǎn)xf令ga=真題解析答案：變形得a構(gòu)造函數(shù)gg最大值g故a八、總結(jié)提升核心方法：構(gòu)造函數(shù)法多次求導(dǎo)法含參討論法關(guān)鍵能力：變形等價(jià)性判斷最值點(diǎn)分析參數(shù)分類討論備考建議：熟練掌握基本不等式變形強(qiáng)化導(dǎo)數(shù)計(jì)算能力注重函數(shù)圖象分析本講義通過系統(tǒng)講解導(dǎo)數(shù)證明不等式的