浙江省杭州市拱墅區(qū)2024-2025學年高二上學期期末數(shù)學檢測試題（附答案）

浙江省杭州市拱墅區(qū)2024-2025學年高二上學期期末數(shù)學檢測試題一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中有且只有一項符合題意，多選、錯選、不選均不得分．1.已知點是拋物線焦點，若拋物線上的點到的距離為，則點到軸的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)條件，利用拋物線的定義，即可求解.【詳解】設，因為點到的距離為，則，得到，故選：A.2.已知向量，，且與垂直，則k的值為（）A. B. C.1 D.2【正確答案】C【分析】依據(jù)條件，計算坐標，再利用數(shù)量積為0計算即可.【詳解】因，，則，因與垂直，則，得.故選：C3.在四面體中，M點在線段上，且，G是的重心，已知，，，則等于（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意結合重心的性質以及空間向量的線性運算求解.【詳解】因為G是的重心，則，由，得，所以.故選：C.4.若等差數(shù)列的前n項和為，，．則取得最小值時n的值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【正確答案】B【分析】利用等差數(shù)列下標和的性質及前項和公式可得的通項公式，由可得等差數(shù)列的前4項為負數(shù)，從第五項開始為正數(shù)，即可得結果.【詳解】因為為等差數(shù)列，，所以，，，所以，所以，所以，解得，所以等差數(shù)列的前4項為負數(shù)，從第五項開始為正數(shù)，所以取得最小值時為4.故選.5.已知、為圓不同兩點，且滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】求出，題目轉化為、到直線的距離之和，變換得到，計算得到答案.【詳解】因為、在圓上，所以，，，且，因為，則，因為，則是邊長為的等邊三角形，表示、到直線的距離之和，原點到直線的距離為，如圖所示：，，是的中點，作于，且，，，故在圓上，.故的最小值為.故選：D.關鍵點睛：本題的關鍵是首先求出，再將題意轉化為表示、到直線的距離之和，最后利用中位線性質和圓外點外圓上點距離最值問題解決.6.已知為正方形的中心，分別為的中點，若將正方形沿對角線翻折，使得二面角的大小為，則此時的值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由二面角的概念，結合空間向量的數(shù)量積運算即可求得結果.【詳解】如圖所示，易知，所以結合已知有，易知，設正方形邊長為2，所以，,故選：A.7.已知數(shù)列的通項公式，在其相鄰兩項之間插入個，得到新的數(shù)列，記的前項和為，則使成立的的最小值為（）A.28 B.29 C.30 D.31【正確答案】B【分析】根據(jù)題意分析得的項的情況，求出當時和當時的，找出的最小值.【詳解】由題意得數(shù)列的前項依次為：，個，，個，，個，，個，，，當時，，當時，，所以使成立的的最小值為.故選：B.8.設橢圓的左右焦點為，右頂點為，已知點在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，利用橢圓的定義，求得的面積為，結合，求得，進而得到，代入橢圓的方程，得到，轉化為，即可求解.【詳解】由橢圓，可得，不妨設點在第一象限，由橢圓的定義知，因為，可得，即，可得，所以，所以的面積為，可得，解得，又因為，可得，即，將點代入橢圓的方程，可得，整理得，因為，可得，即，解得和（舍去），即橢圓的離心率為.故選：D.二、多選題：本大題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知事件發(fā)生的概率分別為，則下列說法正確的是（）A.若與互斥，則B.若與相互獨立，則C.若，則與相互獨立D.若發(fā)生時一定發(fā)生，則【正確答案】BC【分析】選項A，利用互斥事件的概率公式，即可求解；選項B，利用，求得，即可求解；選項C，利用相互獨立的判斷方法，即可求解；選項D，由題知，即可求解.【詳解】對于選項A，因為與互斥，則，所以選項A錯誤，對于選項B，與相互獨立，則，所以選項B正確，對于選項C，因為，所以，由相互獨立的定義知與相互獨立，所以選項C正確，對于選項D，因為發(fā)生時一定發(fā)生，所以，則，所以選項D錯誤，故選：BC.10.下列結論正確的是（）A.，，若，則或B.是直線的一個方向向量C.直線與直線之間的距離是D.與點的距離為1，且與點的距離為4的直線共有3條【正確答案】BD【分析】由直線平行的判定求參數(shù)判斷A；寫出直線斜率，結合斜率與方向向量關系確定一個方向向量判斷B；將化為，應用平行線的距離公式判斷C；兩點公式求，轉化為判斷兩個外切的圓的公切線的條數(shù)判斷D.【詳解】A：若，顯然，則，可得，故A錯誤；B：的斜率為，顯然是直線的一個方向向量，故B正確；C：由即，與的距離為，故C錯誤；D：由，以為圓心，半徑分別為的兩個圓外切，所以，只需判斷兩圓公切線的條數(shù)即可，顯然一共有3條，故D正確.故選：BD11.已知函數(shù)的定義域為，且，且，則（）A. B.C. D.【正確答案】ACD【分析】令得到，將代入可判斷A；分別求出，，可判斷B；求出和的值可判斷C；利用累乘法求出可判斷D.【詳解】令得，則，即，對于A，令得，，所以，故A正確；對于B，，，，所以，故B錯誤；對于C，由知，當時，，則有，，所以，故C正確；對于D，當且時，由得，，故D正確，故選：ACD．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)據(jù)，，，，的方差為6，則數(shù)據(jù)，，，，的方差為______；【正確答案】【分析】根據(jù)公式計算即可.【詳解】因為數(shù)據(jù)，，，，的方差為6，所以數(shù)據(jù)，，，，的方差為：故13.如圖，有一個質地均勻的正八面體，八個面分別標以數(shù)字1到8.將該八面體連續(xù)拋擲三次，按順序記錄它與地面接觸的面上的數(shù)字，則這三個數(shù)恰好構成等差數(shù)列的概率為__________.【正確答案】##【分析】利用古典概率模型以及等差數(shù)列的定義即可求解.【詳解】由題意可知所有可能情況共有種，按順序記錄的三個數(shù)恰好構成等差數(shù)列，可以按照公差為分類，其中公差為和的做法數(shù)對應相等.公差為0的有共8種做法；公差為1的有共6種做法，同公差為的；公差為2的有共4種做法，同公差為的；公差為3的有共2種做法，同公差為的；所以三個數(shù)恰好構成等差數(shù)列的概率.故答案為:.14.拋物線有一條重要性質：從焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸．過拋物線：上的點（不為原點）作的切線，過坐標原點作，垂足為，直線（為拋物線的焦點）與直線交于點，點，則的取值范圍是______．【正確答案】【分析】設點，切線的方程為，繼而求得切線的斜率，由可求得的方程，與直線聯(lián)立可求得點的坐標，繼而消參可求得點的軌跡方程，則結合圖形可求得得范圍.【詳解】因為點為拋物線：上的點（不為原點），所以可設點，且當切線的斜率不存在時，切點為原點不合題意；當切線的斜率存在時，可設為，聯(lián)立，消去可得，化簡可得，令，可得，化簡可得，即，又，所以的斜率，所以的方程，因為點，所以的斜率為，則的方程為，聯(lián)立，解得，即，當時，的方程為，的方程則或，滿足由兩式相除可得，即由，可得再代入，可得，化簡可得，可得，可知點軌跡為半徑為的圓，圓心為,結合圖形可知，又，，則.故答案：四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.2024年奧運會在巴黎舉行，中國代表團獲得了40枚金牌，27枚銀牌，24枚銅牌，共91枚獎牌，取得了境外舉辦奧運會的最好成績，運動員的拼搏精神給人們留下了深刻印象．為了增加學生對奧運知識的了解，弘揚奧運精神，某校組織高二年級學生進行了奧運知識能力測試．根據(jù)測試成績，將所得數(shù)據(jù)按照分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示．（1）求該樣本的第75百分位數(shù)；（2）試估計本次奧運知識能力測試成績的平均分；（3）該校準備對本次奧運知識能力測試成績不及格（60分以下）的學生，采用按比例分配的分層隨機抽樣方法抽出5名同學，再從抽取的這5名同學中隨機抽取2名同學進行情況了解，求這2名同學分數(shù)在各一人的概率．【正確答案】（1）分；（2）分；（3）.【分析】（1）根據(jù)頻率和為1求得，再由百分位數(shù)的定義求第75百分位數(shù)；（2）由頻率直方圖的平均數(shù)求法求平均分；（3）根據(jù)分層抽樣確定5人中的人數(shù)分布，再應用列舉法求古典概型的概率.【小問1詳解】由題設，可得，由，，所以樣本的第75百分位數(shù)位于區(qū)間，設為，則，所以分.【小問2詳解】由題設分；【小問3詳解】由題設，的頻率比為，故抽取的5人中有2人為、有3人為，任抽2人有，共10種情況，其中分數(shù)在各一人有，共6種情況，所以這2名同學分數(shù)在各一人的概率.16.在中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且，．（1）求；（2）如圖，M為邊AC上一點，且，，求的面積．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結合二倍角公式，化簡整理，可求得的值，根據(jù)同角三角函數(shù)的關系，結合的范圍，即可求得，代入公式，即可求得答案.（2）根據(jù)（1）可求得，進而可求得，根據(jù)余弦定理，可求得，進而可求得，代入面積公式，即可求得答案.【詳解】（1）∵，∴，利用正弦定理邊化角，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴，∴．（2）由（1）可得：，∴，在中，即，∴，∵，∴，∴，∴，，∴的面積為．解題的關鍵是熟練掌握正弦定理、余弦定理、面積公式并靈活應用，化簡時需注意角度的范圍，考查計算化簡的能力，屬中檔題.17.已知數(shù)列的前n項和為，，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項和；（3）若對任意恒成立．求實數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）根據(jù)題設遞推關系有，結合等差數(shù)列定義判斷證明；（2）應用錯位相減法及等比數(shù)列前n項和公式求；（3）將問題化為恒成立，作差法判斷右側的最小值，即可得參數(shù)范圍.【小問1詳解】由，則，又，所以數(shù)列是首項、公差均為的等差數(shù)列；【小問2詳解】由（1）可得，即，所以，則，所以，所以.【小問3詳解】由題可得，整理得恒成立，令，則，當時，當時，當時，所以，即的最小值為，綜上，.18.如圖，四棱錐的底面是邊長為2菱形，，，分別是，的中點.（1）求證；平面；（2）若，，，求平面與平面所成角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）.【分析】（1）利用中位線的性質構造線線平行，再利用線面平行的判定證明即可；（2）根據(jù)線面垂直的判定先證明平面，再建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量計算面面夾角即可.【小問1詳解】取的中點為，連接，.點，分別是，的中點，是的中位線，即，，在菱形中，，.，，即四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，平面.【小問2詳解】連接，，，，，平面，平面，平面，又平面，，，又，則，所以.即直線，，兩兩垂直.如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，則，，，，，，，.設平面的法向量為，平面的法向量為，由得取.由得取.設平面與平面所成角為，則，即平面與平面所成角的余弦值為.19.已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率.（1）求雙曲線C的方程；（2）記雙曲線C的右頂點為，過點作直線，與C的左支分別交于兩點，且，為垂足.（i）證明：直線恒過定點，并求出點坐標；（ii）判斷是否存在定點，使得為定值，若存在說明理由并求出點坐標.【正確答案】（1）（2）（i）證明見解析，；（ii）存在，，理由見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法結合雙曲線的幾何性質即可求得雙曲線C的方程：（2）（i）設直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立方程組，利用韋達定理，并結合條件進行運算，即可證明直線過定點；（ii）由，此時存在以為斜邊的直角三角形，從而可知存在定點為中點滿足，從而可求出點坐標【小問1詳解】由題意，雙曲線的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為，可得，解得，所以雙曲線方程【小問2詳解】證明：（i）由（1）知，當直線斜率存在時，設直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，，即，設，由韋達定理可得.因為，所以，可得，即，即，整理得，即，即，可得，解得，將代入