河南省駐馬店市2024-2025學年高一下學期4月期中考試數(shù)學檢測試題（附答案）

河南省駐馬店市2024-2025學年高一下學期4月期中考試數(shù)學檢測試題注意事項：1.答卷前，請考生務必把自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.作答時，務必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效。3.考試結束后，將答題卡交回。一、單選題（每小題5分，共計40分）1．已知向量，滿足，，，夾角為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．2．已知向量，則（

）A． B．C． D．3．某檢測箱中有10袋食品，其中有2袋符合國家衛(wèi)生標準，質檢員從中任取1袋食品進行檢測，則它符合國家衛(wèi)生標準的概率為（

）A． B． C． D．4．已知復數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則的虛部是（

）A． B． C． D．5．函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．6．已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．7．已知的內角所對的邊分別是，若，則（

）A． B． C． D．8．在中，是的中點，，若，則的值分別為（

）A．， B．，C．， D．，多選題（每小題6分共計18分）9．下列選項中，值為的有（

）A． B．C． D．10．如圖是函數(shù)的部分圖象，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的周期是B．點是函數(shù)圖象的一個對稱中心C．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸D．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，所得圖象對應的函數(shù)是偶函數(shù)11．如圖，一個半徑為米的筒車按逆時針方向每分鐘轉圈，筒車的軸心距離水面的高度為米.設筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：米）（在水面下則為負數(shù)），若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，則與時間（單位：秒）之間的關系為，則下列說法正確的是（

）A． B．C．盛水筒出水后至少經(jīng)過秒就可到達最低點 D．盛水筒在轉動一圈的過程中，在水中的時間為秒三、填空題（每小題5分，共計15分）12．已知，，是表面積為的球的球面上的三個點，且，則球心到平面的距離為．13．若函數(shù)的圖像關于直線對稱，則.14．如圖所示，在中，點為邊上一點，且，過點的直線與直線相交于點，與直線相交于點（，交兩點不重合）.若，（），則的最小值為.四、解答題15．（13分）.已知，．(1)求的值；(2)若，且，求的值16.（15分）已知銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)求的取值范圍．17.（15分）已知復數(shù)，，其中．(1)若，且為純虛數(shù)，求復數(shù)；(2)若為虛數(shù)，為實數(shù)，且，求實部的取值范圍18.（17分）已知點.（1）求的坐標及；（2）若，求及的坐標；（3）求（17分）高一年級舉辦立體幾何模型制作大賽，某同學想制作一個頂部是正四棱錐、底部是正四棱柱的模型，并畫出了如圖所示的直觀圖.其中正四棱柱.的高是正四棱錐.的高的4倍.(1)若；(i)求該模型的體積；(ii)求頂部正四棱錐的側面積；(2)若頂部正四棱錐的側棱長為6，當為多少時，底部正四棱柱的側面積S最大?并求出S的最大值數(shù)學答案1．C【分析】由投影向量計算公式，可得答案.【詳解】在上的投影向量.故選：C.2．C【分析】根據(jù)向量線性運算的坐標表示，可得答案.【詳解】由題意可得.故選：C.3．B【分析】根據(jù)古典概型概率公式即可求解.【詳解】箱中有10袋食品，其中有2袋符合國家衛(wèi)生標準，質檢員從中任取1袋食品進行檢測，則它符合國家衛(wèi)生標準的概率為.故選：B.4．B【分析】將復數(shù)利用復數(shù)的四則運算求解出來，即可得出虛部.【詳解】由題意，得，所以的虛部為，故選：B．5．B【分析】先判斷函數(shù)的單調性，再結合函數(shù)零點的存在性定理進行判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，又因為函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù).因為，則.由零點存在定理可知，函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選：B6．B【分析】利用兩個向量的垂直關系以及數(shù)量積的運算化簡可得，再代入投影向量的公式即可.【詳解】因為，所以，所以，設的夾角為，所以在上的投影向量為.故選：B.7．D【分析】根據(jù)已知得，再由正弦邊角關系即可得比值.【詳解】由，且，則，所以.故選：D8．B【分析】利用平面向量的線性運算，結合平面向量基本定理計算求值即可.【詳解】如圖，因為，所以點為線段的中點，則有,因為是的中點，所以，所以.所以，.故選：B.9．ABD【分析】由三角恒等變換以及誘導公式逐一驗算即可求解.【詳解】A選項：；B選項：；C選項：；D選項：因為，可得；故選：ABD.10．AB【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出、，即可得到函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質一一判斷即可.【詳解】由圖可得，所以，則，解得，即函數(shù)的最小正周期是，故A正確；又，所以，所以，因為，所以，所以，又，所以點是函數(shù)圖象的一個對稱中心，故B正確；因為，所以直線不是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故C錯誤；將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到，顯然為非奇非偶函數(shù)，故D錯誤.故選：AB11．ABD【分析】根據(jù)的最大值為，最小值為可求得的值，可得選項A正確；根據(jù)時可得選項B正確；令求出的值可得選項C錯誤；由求出的范圍可得選項D正確.【詳解】由題意得，的最大值為，最小值為，∴，解得，選項A正確.設函數(shù)的最小正周期為，由筒車按逆時針方向每分鐘轉圈可得，故，∴，∵時，，∴，∵，∴，選項B正確.由B得，，令，得，故，∴，故，令得，，故盛水筒出水后至少經(jīng)過秒可到達最低點，選項C錯誤.由，得，得，∴，解得，∴盛水筒在轉動一圈的過程中，在水中的時間為秒，選項D正確.故選：ABD.12．【分析】根據(jù)題意可得球的半徑為和的外接圓半徑，結合球的性質運算求解即可.【詳解】設球的半徑為，則，解得，由題意可知：是邊長為3的等邊三角形，其外接圓半徑，所以球心到平面的距離為.故答案為.13．【分析】由題知，進而解方程即可得答案.【詳解】解：因為函數(shù)的圖像關于直線對稱，所以函數(shù)在時取得最值，所以，結合輔助角公式得：，即，整理得：，解得.故14．.【分析】先用表示，利用已知代入表達式，結合D，E，F(xiàn)三點共線可得，然后妙用“1”可解.【詳解】因為，所以，所以，又，，所以，所以，因為D，E，F(xiàn)三點共線，所以，結合已知可知，故，當且僅當，結合，即時，取等號；即的最小值為，故15．(1)；(2)．【分析】（1）利用二倍角余弦公式和商數(shù)關系弦化切，求得；（2）根據(jù)條件，利用同角三角函數(shù)基本關系求出，利用兩角和的正切公式求出得解.【詳解】（1）由即，解得，因為，所以．（2）因為，且，所以，所以，所以，又，，所以，所以．16．(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理進行求解即可；（2）利用兩角差的正弦公式和輔助角公式，結合正弦函數(shù)的性質進行求解即可【詳解】（1）由條件得，

由余弦定理得，

因為，所以，

得，即，

因為，所以，

又，所以．（2）．

因為為銳角三角形，所以，且，所以．

所以，即的取值范圍是．17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義來確定復數(shù)；（2）先設出的表達式，再根據(jù)為實數(shù)得出相關等式，最后結合的取值范圍求出實部的取值范圍．【詳解】（1）已知，則．根據(jù)復數(shù)乘法法則展開可得：，因為為純虛數(shù)，根據(jù)純虛數(shù)的定義，可得．解得．所以．（2）設（，且）．則．可得：．所以．因為為實數(shù)，所以虛部為，即．因為，可得，即．此時．又因為，即，可得．18．（1）（2），（3）【分析】（1）由，結合坐標運算得出的坐標，再由模長公式得出；（2）由坐標運算，即可得出答案；（3）根據(jù)數(shù)量積公式求解即可.【詳解】（1）依題意，所以.（2）（3）本題主要考查了向量的坐標運算，涉及了模長公式，數(shù)量積公式的應用，屬于中檔題19．(1)（i）312；（ii）；(2)，.【分析】（1）（i）利用棱錐、棱柱的體積公式計算即得；（ii）求出棱