高中數學必修+選修全部知識歸納總結

-高中數學必修+選修知識點歸納新課標人教A版引言1.課程內容：對、冪函數〕知識和根本技能的主要局部，其中包括集合、步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好根底的同時，進一步強調了這些知識的發(fā)生、開展過程和實際應用，而不在技巧與難度上做過高的要求。此外，根底內容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計等內容。選修課程有4個系列：選修1—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數及其應用。的擴大與復數選修3—1：數學史選講。選修3—2：信息平安與密碼。選修3—3：球面上的幾何。選修3—4：對稱與群。選修3—5：歐拉公式與閉曲面分類。選修3—6：三等分角與數域擴大。.選修4—1：幾何證明選講。選修4—2：矩陣與變換。選修4—3：數列與差分。選修4—4：坐標系與參數方程。選修4—5：不等式選講。選修4—6：初等數論初步。選修4—7：優(yōu)選法與試驗設計初步。選修4—8：統(tǒng)籌法與圖論初步。選修4—9：風險與決策。選修4—10：開關電路與布爾代數。高中數學解題根本方法一、配方法三、待定系數法七、反證法八、消去法十二、觀察與實驗法高中數學常用的數學思想2．重難點及考點：圓錐曲線，立體幾何，導數高考相關考點：w集合與簡易邏輯:集合的概念與運算、簡易邏輯、充要條件⑵函數：映射與函數、函數解析式與定義域、值域與最值、反函數、三大性質、函數圖象、指數與指數函數、對數與對數函數、函數的應用w三角函數：有關概念、同角關系與誘導公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函數的圖象與性質、三角函數的應用⑶平面向量：有關概念與初等運算、坐標運算、的證明、不等式的解法、絕對值不w置關系、線性規(guī)劃、圓、線與圓錐曲線的位置關系、軌跡問題、圓錐曲線的應用與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量項式定理及其應用w概率與統(tǒng)計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布第一章：集合與函數概念1、把研究的對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。集合三要素：確定性、互異性、無序性。2、只要構成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合相等。3、常見集合：正整數集合：N或*N+，整數集合：Z，有理數集合：Q，實數集合：R.4、集合的表示方法：列舉法、描述法.1、一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，則稱集合A是集合B的子集。記作A二B.則稱集合A是集合B的真子集.記作：AB.3、把不含任何元素的集合叫做空集.記作：⑦.并規(guī)定：空集合是任何集合的子集.4、如果集合A中含有n個元素，則集合A有2n個子集，2n-1個真子集.§1.1.3、集合間的根本運算1、一般地，由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集.記作：AUB.2、一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集.記作：A∩B.UU§1.2.1、函數的概念1、設A、B是非空的數集，如果按照*種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有惟一確定的數f(x)和它對應，則就稱 f:A→B為集合A到集合B的一個函數，記作： 2、一個函數的構成要素為：定義域、對應關系、值域.如果兩個函數的定義域一樣，并且對應關系完全一致，則稱這兩個函數相等.§1.2.2、函數的表示法1、函數的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法.§1.3.1、單調性與最大〔小〕值f(x1)-f(x2)<0今f(x)在[a,b]上是增函數；f(x1)-f(x2)>0今f(x)在[a,b]上是減函數.步驟：取值—作差—變形—定號—判斷格式：解：設x1,x2∈[a,b]且x1<x2，則：f(x1)-f(x2)=…(2)導數法：設函數y=f(x)在*個區(qū)間內可導，假設f,(x)>0，則f(x)為增函數；1、一般地，如果對于函數f(x的)定義域內任意一個函數.偶函數圖象關于y軸對稱.2、一般地，如果對于函數f(x的)定義域內任意一個函數.奇函數圖象關于原點對稱.知識：函數與導數1、函數y=f(x)在點x0處的導數的幾何意義：--函數y=f(x)在點x0處的導數是曲線y=f(x)在P(x0,f(x0))處的切線的斜率f’(x0)，相應的切線方程是yy0=f2、幾種常見函數的導數⑤(ax)'=axlna；⑥(ex)'=ex；3、導數的運算法則.'v.4、復合函數求導法則復合函數y=f(g(x)的)導數和函數x即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積.解題步驟:分層—層層求導—作積復原.5、函數的極值極值是在x0附近所有的點，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數f(x的)極大值；極值是在x0附近所有的點，都有f(x)＞f(x0)，則f(x0)是函數f(x的)極小值.①如果在x0附近的左側f'(x)＞0，右側f'(x)＜0，則f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側f'(x)＜0，右側f'(x)＞0，則f(x0)是極小值.6、求函數的最值(1)求y=f(x)在(a,b)內的極值〔極大或者極小值〕(2)將y=f(x)的各極值點與f(a),f(b)比擬，其中最大的一個為最大值，最小的一個為極小值。最值是在整體區(qū)間上對函數值進展比擬整(體性質)。第二章：根本初等函數〔Ⅰ〕§2.1.1、指數與指數冪的運算1、一般地，如果xn=a，則x叫做a的n次方根。3、我們規(guī)定：*4、運算性質：)；r))r).§2.2.1、對數與對數運算EQ\*jc3\*hps25\o\al(\s\up9(0<a<1),互化式)圖象xxx--⑶logaMn=nlogaM.ay=logaxa>1a>1ox1ox110101象0101性〔2〕值域：REQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up17(4),5)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up17(0),1)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up17(，),l)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up17(∞),g)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up17(4),5)；第三章：函數的應用§3.1.1、方程的根與函數的零點1、方程f(x)=0有實根今函數y=f(x的)圖象與x軸有交點今函數y=f(x)有零點.2、零點存在性定理：如果函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根.1、掌握二分法.§3.2.2、函數模型的應用舉例數擬合，最后檢驗.第一章：空間幾何體1、空間幾何體的構造⑴常見的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺；常見的旋轉體有：圓柱、圓錐、圓臺、球。⑵棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。⑶棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的局部，這樣的多面體叫做棱臺。2、空間幾何體的三視圖和直觀圖把光由一點向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影線交于一點；把在一束平行光線照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影線是平行的。S側面S側面⑷體積公式：⑸球的外表積和體積：43球43第二章：點、直線、平面之間的位置關系1、公理1：如果一條直線上兩點在一個平面內，則這條直線在此平面內。--3、公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，則它們有且只有一條過該點的公共直線。4、公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.5、定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，則這兩個角相等或互補。6、線線位置關系：平行、相交、異面。7、線面位置關系：直線在平面內、直線和平面平行、直線和平面相交。8、面面位置關系：平行、相交。9、線面平行：⑴判定：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則⑵性質：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行〔簡稱線面平行，則10、面面平行：⑴判定：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行〔簡稱線面平行，則面面平行〕。⑵性質：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，則它們的交線平行〔簡稱面面平行，則線線平行〕。11、線面垂直：⑴定義：如果一條直線垂直于一個平面內的任意一條直線，則就說這條直線和這個平面垂直。⑵判定：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直〔簡稱線線垂直，則線面垂直〕。⑶性質：垂直于同一個平面的兩條直線平行。12、面面垂直：⑴定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。⑵判定：一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個第三章：直線與方程-y12、直線方程：⑵l1和l2相交今k1≠k2；⑷l12今k1k24、對于直線：⑵l1和l2相交今A1B2≠A2B1；⑷l1lC-C則d=A2+則d=第四章：圓與方程1、圓的方程：--DE其中圓心為(-,-)，半徑為DE2、直線與圓的位置關系2的位置關系有三種:弦長公式：l=2r2-d2第一章：算法自然語言、流程圖、程序語言；起止框、輸入輸出框、處理框、判斷框、流程線等規(guī)*表示方法；語句語句n⑵條件構造示意圖：①IF-THEN-ELSE格式：⑶循環(huán)構造示意圖：否語句②直到型〔UNTIL型〕循環(huán)構造示意循圖環(huán)體：②輸出語句的③賦值語句的④條件語句的一般格式兩種：IF—THEN—ELSE語句的一般格式為：一般格式：PRINT“提示內容〞；表達式否一般格式：變量＝表達式IF條件THEN①輾轉相除法—結果是以相除余數為0而得到利用輾轉相除法求最大公約數的步驟如下：一個余數R0；設R0≠0，則用除數n除以余數R0得到一個商S1和一個余數R1；R1為m，n的最大公約數；假設R1≠0則，用除數R0除以余數R1得到一個商S2和一個余數R2；……依次計算直至R＝0，此時所得到的R即為所求nn-1的最大公約數。②更相減損術—結果是以減數與差相等而得到利用更相減損術求最大公約數的步驟如下：任意給出兩個正數；判斷它們是否都是偶數。順序構造、條件構造、循環(huán)構造{l直到型循環(huán)結構⑴順序構造示意圖：-順序構造、條件構造、循環(huán)構造{l直到型循環(huán)結構⑴順序構造示意圖：-假設是，用2約簡；假設不是，執(zhí)行第二步。所得的差比擬，并以大數減小數。繼續(xù)這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數〔等數〕就是所求的最大公約數。③進位制十進制數化為k進制數—除k取余法k進制數化為十進制數第二章：統(tǒng)計1、抽樣方法：①簡單隨機抽樣〔總體個數較少〕②系統(tǒng)抽樣〔總體個數較多〕③分層抽樣〔總體中差異明顯〕注意：在N個個體的總體中抽取出n個個體組成樣本，每個個體被抽到的時機〔概率〕均為n。N⑴一表二圖：①頻率分布表——數據詳實②頻率分布直方圖——分布直觀③頻率分布折線圖——便于觀察總體分布趨勢注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為1。⑵莖葉圖：①莖葉圖適用于數據較少的情況，從中便于看出數據的分布，以及中位數、眾位數等。②個位數為葉，十位數為莖，右側數據按照從小到大書寫，一樣的數據重復寫。⑴平均數nEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up2(的頻率分別為),n)注意：頻率分布表計算平均數要取組中值。標準差注：方差與標準差越小，說明樣本數據越穩(wěn)定。平均數反映數據總體水平；方差與標準差反映數據的穩(wěn)定水平。⑶線性回歸方程①變量之間的兩類關系：函數關系與相關關系；②制作散點圖，判斷線性相關關系注意：線性回歸直線經過定點(x,y)。第三章：概率⑴事件：試驗的每一種可能的結果，用大寫英文字母表示；⑵必然事件、不可能事件、隨機事件的特點；⑶隨機事件A的概率2、古典概型：⑴根本領件：一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個根本結果；⑵古典概型的特點：①所有的根本領件只有有限個；②每個根本領件都是等可能發(fā)生。⑶古典概型概率計算公式：一次試驗的等可能根本領件共有n個，事件A包含了其中的m個根本領件，則事件A發(fā)生的概率.3、幾何概型：⑴幾何概型的特點：①所有的根本領件是無限個；②每個根本領件都是等可能發(fā)生。D的測度其中測度根據題目確定，一般為線段、角度、面積、體積等。4、互斥事件：⑴不可能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件；事件A1,A2,…,An彼此互斥。⑶如果事件A，B互斥，則事件A+B發(fā)生的概率，等于事件A，B發(fā)生的概率的和，⑷如果事件A,A,…,⑸對立事件：兩個互斥事件中必有一個要發(fā)生，則稱這兩個事件為對立事件。①事件A的對立事件記作A②對立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是對立事件。第一章：三角函數--1、正角、負角、零角、象限角的概念.2、與角α終邊一樣的角的集合：1、把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.§1.2.1、任意角的三角函數1、設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點x2、設點A(x,y)為角α終邊上任意一點，則：〔設2〕rrxy函數線的畫法.yTyTPOMOM60°,90°,180°,270等的三角函數值.23423463422、商數關系§1.3、三角函數的誘導公式1、誘導公式一：2、誘導公式二：§1.4.1、正弦、余弦函數的圖象和性質弦、余弦函數的相關性質：定義域、值域、最大最小值、對稱軸、對稱中心、EQ\*jc3\*hps26\o\al(\s\up9(5π),2)EQ\*jc3\*hps26\o\al(\s\up12(π),2)EQ\*jc3\*hps26\o\al(\s\up10(3π),2)EQ\*jc3\*hps26\o\al(\s\up10(7π),2)x--x-2-x-2-222-3、能夠對照圖象講出正切函數的相關性質：定義域、值域、對稱中心、奇偶性、單調性、周期性.周期函數定義：對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f(x+T)=f(x)，則函數f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期.圖表歸納：正弦、余弦、正切函數的圖像及其性質圖象值域最值周期性奇偶性單調性對稱性22Ryymin=1R偶奇π2對稱中心(kπ,0)π對稱中心(kπ+EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up10(π),2)R無奇無對稱軸)圖象1、對于函數：EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(1),T))+B的圖象之間的平移伸縮變換關系.①先平移后伸縮：〔左加右減〕縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍 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|倍①〔上加下減〕②先伸縮后平移：縱坐標變?yōu)樵瓉淼蘑谙壬炜s后平移：橫坐標變?yōu)樵瓉淼膢倍橫坐標變?yōu)樵瓉淼膚〔上加下減〕常數，且A≠0的)周期說，對稱中心與零點相聯(lián)系，對稱軸與最值點聯(lián)系.求函數y=Asin(wx+φ)圖像的對稱軸與對稱中心，2解出x即可.余弦函數可與正弦函數類比可得.利用圖像特征w要根據周期來求,φ要用圖像的關鍵點來求.1、要求熟悉課本例題.第三章、三角恒等變換§3.1.1、兩角差的余弦公式記住15°的三角函數值：αα6-244EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up8(t),1)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up8(nα),tan)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up8(tan),tan)EQ\*jc3\*hps34\o\al(\s\up8(β),β)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up8(nα),tan)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up8(tan),tan)EQ\*jc3\*hps34\o\al(\s\up9(β),β)EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up4(1),2)變形如下：§3.2、簡單的三角恒等變換1、注意正切化弦、平方降次.〔其中輔助角φ所在象限由點(a,b)的象限決第二章：平面向量§2.1.1、向量的物理背景與概念2、既有大小又有方向的量叫做向量.1、帶有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度.2、向量AB的大小，也就是向量AB的長度〔或稱----度等于1個單位的向量叫做單位向量.3、方向一樣或相反的非零向量叫做平行向量〔或共線向量〕.規(guī)定：零向量與任意向量平行.§2.1.3、相等向量與共線向量1、長度相等且方向一樣的向量叫做相等向量.1、三角形加法法則和平行四邊形加法法則.1、與a長度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.1、規(guī)定：實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘.記作：λa，它的長度和方向規(guī)定如下：⑵當λ>0時,λa的方向與a的方向一樣；當λ<0時,λa的方向與a的方向相反.且僅當有唯一一個實數λ,使b=λa.§2.3.1、平面向量根本定理1、平面向量根本定理：如果e1,e2是同一平面內的兩air個不共線向量，則對于這一平面內任一向量a，§2.3.3、平面向量的坐標運算2,y2)，則：y2)，.)，則：§2.3.4、平面向量共線的坐標表示232,y2)，則：y2)，則：則函數y=f(x)的圖像按向量a=(h,k)平移后的§2.5.1、平面幾何中的向量方法§2.5.2、向量在物理中的應用舉例知識：空間向量空間向量的許多知識可由平面向量的知識類比而得.下面對空間向量在立體幾何中證明，求值的應用進展總結歸納.假設A、B是直線l上的任意兩點，則AB為直線l的一個方向向量；與AB平行的任意非零向量也是直線的l方向向量.⑵.平面的法向量：假設向量n所在直線垂直于平面n丄α,則向量n叫做平面α的法向量.①建立適當的坐標系．②設平面α的法向量為n=(x,y,z)．③求出平面內兩個不共線向量的坐標00ln.b⑤解方程組，取其中一組解即，得平面α的法向量.〔如圖〕2、用向量方法判定空間中的平行關系⑴線線平行EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up0(的),2)即：兩直線平行或重合兩直線的方向向量共線。⑵①〔法一〕設直線的l方向向量是a，平面α的法向量是u，則要證明l∥α,只需證明a丄u，即即：直線與平面平行直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外②〔法二〕要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內找一個向量與直線的方向向量是共線向量即可.⑶面面平行假設平面α的法向量為u，平面β的法向量為v，即：兩平面平行或重合兩平面的法向量共線用向量方法判定空間的垂直關系⑴線線垂直EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up0(的),2)l即：兩直線垂直兩直線的方向向量垂直。⑵線面垂直①〔法一〕設直線的l方向向量是a，平面α的法向②〔法二〕設直線的l方向向量是a，平面α內的兩即：直線與平面垂直直線的方向向量與平面的法向量共線直線的方向向量與平面內兩條不共線直線的方向向量都垂直。⑶面面垂直假設平面α的法向量為u，平面β的法向量為v，要--量求空間角⑴求異面直線所成的角意兩點，a,b所成的角為θ,則⑵求直線和平面所成的角①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角②求法：設直線的l方向向量為a，平面α的法向量則θ為φ的余角或φ的補角的余角即.有：⑶求二面角①定義：平面內的一條直線把平面分為兩個局部，其中的每一局部叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面任取一點O，分別在兩個半平面內作射線面角.如圖：AB②求法：設二面角αlβ的l兩個半平面的法向量根據具體圖形確定θ是銳角或是鈍角：.m.nmm.n即⑴點Q到直線距l(xiāng)離假設Q為直線l外的一點,P在直線l上，a為直線l的方向向量，b=PQ，則點Q到直線距l(xiāng)離為2⑵點A到平面α的距離假設點P為平面α外一點點，M為平面α內任一點，平面α的法向量為n，則P到平面α的距離就等于MP在法向量n方向上的投影的絕對值.即d=MPcosn,MP⑶直線a與平面α之間的距離當一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉化為求直線上任一點到平面的距離即轉化為點面距離。，n即n利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉化為求點面距離。n即n⑸異面直線間的距離則兩異面直線a,b間的距離d就是MP在向量n方向上投影的絕對值。--即n⑴三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直推理模式：PPOAaα⑵三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線的射影垂直設AC是平面α內的任一條直線，AD是α的一條斜線AB在α內的射影，且BD⊥AD，垂足為D.設AB與α(AD所)成的角為θ,AD與AC所成的角為θ,AB8、面積射影定理平面β內一個多邊形的面積為α內的射影圖形的面積為S,(S射)所成的二面角的大小為銳二面角θ,平面α與平面β,則長度為的l線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射l2第一章：解三角形.用途：⑴三角形兩角和任一邊，求其它元素；⑵三角形兩邊和其中一邊的對角，求其它元素。2、余弦定理：用途：⑴三角形兩邊及其夾角，求其它元素；⑵三角形三邊，求其它元素。做題中兩個定理經常結合使用.第二章：數列1、數列中an與Sn之間的關系：2、等差數列：⑴定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前則這個數列就叫做等差數列。今或an=pn+q(p、q是常數）.⑷前n項和公式：⑸常用性質：+--等差數列；(k、p是非零常數)、{ap+nq}(p,q∈N*)、，…也成等差數列。⑤單調性：{an的}公差為d，則：n}為遞增數列；n}為遞減數列；n}為常數列；⑥數列{a}為等差數列今a=pn+q〔p,q是常數〕⑦假設EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up21(n),等)差數列{an}的EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up21(n),前)n項和Sn，則Sk、2kk3k⑴定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，則這個數列就叫做等比數列。⑸常用性質+等差數列,則對應的項成等比數列)③數列{λan}〔λ為不等于零的常數〕仍是公比為q的等比數列；正項等比數列{an}；則{lgan}是公差為lgq的等差數列；.}nnnlanJ{nqrq⑤單調性：n}為遞增數列；n}為遞減數列；n}為擺動數列；⑥既是等差數列又是等比數列的數列是常數列。⑦假設等比數列{an}的前n項和Sn，則Sk、2k-Sk、S3k-S2k…是等比數列.類型Ⅰ觀察法：數列前假設干項，求該數列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據規(guī)律寫出此數列的一個通項。類型Ⅱ公式法：假設數列的前n項和S與a的關系，求數列{an的}通項an可用公式nnEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up11(1),n)用此公式時要注意結論有兩種可能，一種是“一n別進展運算，然后驗證能否統(tǒng)一〕。+f(n)型的遞推數列〔其中f(n)是關于n的函數〕可構造將上述n-1個式子兩邊分別相加，可得：①假設f(n)是關于n的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和;②假設f(n)是關于n的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和;③假設f(n)是關于n的二次函數，累加后可分組求和;④假設f(n)是關于n的分式函數，累加后可裂項求和.(a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up4(n+),an)=f(n),|型的遞推數列(a)f(n-1)中f(n)是關于n的函數〕可構造：{an-1中f(n)是關于n的函數〕可構造：{alEQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up16(a),a)EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up5(2),1)=f(1)將上述n-1個式子兩邊分別相乘，可得：a=f(n-1).f(n-2).....f(2)f(1)a,(n≥2)有時假設不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。類型Ⅴ構造數列法：類型Ⅴ構造數列法：型的遞推式：〔1〕假設p=時1，數列{an}為等差數列;〔2〕假設q=0時，數列{an}為等比數列;列，其通項可通過待定系數法構造等比數列來求.方法有如下兩種：數〔待定系數法〕得EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up15(〔),l)q等比數列的通項公式求出通項整理可得an.n相減并整理得構成以EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(2),a)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up17(為首),a)}EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up17(以p為公比的等),項再轉化為類型)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up17(比),Ⅲ)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up17(求),法)f(n)為一次函數類型〔即等差數列〕時：n-1用等比數列的通項公式求出{an+An+B}的通項整 理可得an.法二：當f(n)的公差為d時，由遞推式得：+f(n)，an=pan-1+f(n-1)兩式相減 n+1-an得：bn=pbn-1+d轉化為類型Ⅴ㈠ 〔累加法〕便可求出an.-n-2-n-2f(n)為指數函數類型〔即等比數列〕時：法一：設an+λf通過待定系數法確定λ的值，轉化成以a1+λf(1)為首項，以p為公比的等比數列{a+λf(n)}，再利用等比數n列的通項公式求出{an+λf(n)}的通項整理可得an.法二：當f(n的)公比為q時，由遞推式得：邊同時乘以q得anq=pqan-1+qf(n-1)——②,由nn-1數〕時，要先在原遞推公式兩邊同時除以qn+1，得：引入輔助數列〔其中n法解決。f(n)為任意數列時，可用通法：+f(n)兩邊同時除以pn+1可得到類型Ⅵ對數變換法：類型Ⅵ對數變換法：n在原遞推式an+1=paq兩邊取對數得n之后得an=10bn.〔注意：底數不一定要取10，可根據題意選擇〕。類型Ⅶ倒數變換法：類型Ⅶ倒數變換法：式：兩邊同除于n-1nnn-1化歸為an+1=pan+q型求出1的表達式，再求an；an還有形如a=man的遞推式，也可采用取倒數方nEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(m),q)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(1),a)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up8(m),p)n型求出1的表達式，再求an.nqan型的遞推式：用待定系數法，化為特殊數列{an-an-1的}形式{an+1-kan}是公比為h的等比數列，這樣就化歸為n+q型。總之，求數列通項公式可根據數列特點采用以上不同方法求解，對不能轉化為以上方法求解的數列，可用歸納、猜測、證明方法求出數列通項公EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up1(a式),n).5、非等差、等比數列前n項和公式的求法⑴錯位相減法①假設數列{an}為等差數列，數列{bn}為等比數列，則數列{an.bn}的求和就要采用此法.--②將數列{a.b}的每一項分別乘以的公比，然后在錯位相減，進而可得到數列{a.b}的前n項和.一般地，當數列的通項可將aEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up0(變成兩項的差，采用裂項相消法求和),n).可用待定系數法進展裂項：設通分整理后與原式相比擬，根據對應項系數相等得λ從而可得常見的拆項公式有：有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，假設將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.一般分兩步：①找通向項公式②由通項公式確定如何分組.⑷倒序相加法n首末兩項之和，則可用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到了一個常數列的和，這種求和方法稱為⑸記住常見數列的前n項和：第三章：不等式§3.1、不等關系與不等式n2、幾個重要不等式用根本不等式求最值時〔積定和最小，和定積最③〔三個正數的算術—幾何平均不等式〕22--規(guī)律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.23、幾個著名不等式),〔當且僅當a=b時取"="號〕.變形公式：②冪平均不等式：③二維形式的三角不等式：④二維形式的柯西不等式：僅當ad=bc時，等號成立.⑤三維形式的柯西不等式：222⑥一般形式的柯西不等式：⑦向量形式的柯西不等式：設α,β是兩個向量，則α.β≤αβ,當且僅當β是零向量，或存在實數k，使α=kβ時，等號成nEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up0(的),n)2.〔反序和≤亂序和≤順序和〕EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up0(時，),n)和等于順序和.⑨琴生不等式:〔特例凸:函數、凹函數〕假設定義在*區(qū)間上的函數f(x),對于定義域中任意兩點x1,x2(x1≠x2),有則稱f(*)為凸〔或凹〕函數.分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等.常見不等式的放縮方法：5、一元二次不等式的解法>0解)集的步驟：一化：化二次項前的系數為正數.二判：判斷對應方程的根.三求：求對應方程的根.四畫：畫出對應函數的圖象.五解集：根據圖象寫出不等式的解集.分解因式，把根標在數軸上，從右上方依次往下穿解集.7、分式不等式的解法：先移項通分標準化，則f(x)>0今f(x).g(x)>0g(x)〔“〔“<或≤”時同理〕規(guī)律：把分式不等式等價轉化為整式不等式求解.----lf(x)>a2規(guī)律：把無理不等式等價轉化為有理不等式，訣竅在于從“小〞的一邊分析求解.⑴當a>1時,af(x)>ag(x)今f(x)>g(x)⑵當0<a<時1,af(x)>ag(x)今f(x)<g(x)規(guī)律：根據指數函數的性質轉化.10、對數不等式的解法時,logf(x)>時,logf(x)>logg(x)今{g(x)aalf(x)規(guī)律：根據對數函數的性質轉化.l-al-a⑵平方法：f(x)≤g(x)今f2(x)≤g2(x).⑶同解變形法，其同解定理有：.③f(x)≤g(x)今-g(x)≤f(x)≤g(x)(g(x)≥0)④f(x)≥g(x)今f(x)≥g(x)或f(x)≤-g(x)(g(x)≥0)規(guī)律：關鍵是去掉絕對值的符號.12、含有兩個〔或兩個以上〕絕對值的不等式的解法：規(guī)律：找零點、劃區(qū)間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含參數的不等式的解法對參數進展分類討論，分類討論的標準有：⑴討論a與0的大?。虎朴懻摝づc0的大?。虎怯懻搩筛拇笮?14、恒成立問題立〕的條件是：立〕的條件是：⑶f(x)<a恒成立今f(x)<a;f(x)≤a恒成立今f(x)≤a;⑷f(x)>a恒成立今f(x)>a;f(x)≥a恒成立今f(x)≥a.15、線性規(guī)劃問題⑴二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：由于直線Ax+By+C=0的同一側的所有點的坐標代入Ax+By+C后所得的實數的符號一樣所.以，在實際判斷時，往往只需在直線*一側任取一特殊斷出Ax+By+C>0(或<0)表示直線哪一側的平面區(qū)域.即：直線定邊界，分清虛實；選點定區(qū)域，常選原點.符號與不等式開口的符號，假設同號，異號，則表示直線上方的區(qū)域即.：同號上方，異號下不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共局部.⑶利用線性規(guī)劃求目標函數z=Ax+By(A,B為常數〕的最值：法一：角點法：點的橫坐標和縱坐標〕的最值存在，則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點處取得，將這些角點的坐標代入目標函數，得到一組對應z值，最大的那個數為目標函數z的最大值，最小的那個數為目標函數z的最小值法二：畫——移——定——求：第一步，在平面直角坐標系中畫出可行域；第二步，作直線l0:Ax+By=0，平直線l0平行移動〕確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解 (x,y)；第四步，將最優(yōu)解(x,y)代入目標函數第二步中最優(yōu)解確實定方法：縱截距.①假設B>0,則使目標函數z=Ax+By所表示直線的縱截距最大的角點處，z取得最大值，使直線的縱截距最小的角點處，z取得最小值；②假設B<0,則使目標函數z=Ax+By所表示直線的縱截距最大的角點處，z取得最小值，使直線的縱截距最小的角點處，z取得最大值.⑷常見的目標函數的類型：22或22.在求該“三型〞的目標函數的最值時，可結合線性規(guī)劃與代數式的幾何意義求解，從而使問題簡單化.選修數學知識點輯聯(lián)結詞；簡單命題：不含邏輯聯(lián)結詞的命題;復合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結詞構成的命題.常用小寫的拉丁字母p，q，r，s，……表示命題.2、四種命題及其相互關系四種命題的真假性之間的關系：⑴、兩個命題互為逆否命題，它們有一樣的真假性；⑵、兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．⑴、一般地，如果p→q，則就說：p是q的充分條件，q是p的必要條件；--假設p今q，則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件．⑵、充分條件，必要條件與充要條件主要用來區(qū)分命題的條件p與結論q之間的關系：①假設p→q，則p是q充分條件，q是p的必要條④假設p→q且q→p，則p是q的充要條件；⑤假設pq且qp，則p是q的既不充分也不必要條件.Ⅱ、從集合與集合之間的關系上看：{xx滿足條件p}，B={xx滿足條件q}：②假設B∈A,則p是q必要條件；③假設AB，則p是q充分而不必要條件;④假設BA，則p是q必要而不充分條件;⑤假設A=B，則p是q的充要條件；要條件.-4、復合命題⑵復合命題的真假判斷“p或q〞形式復合命題的真假判斷方法：一真必真；“p且q〞形式復合命題的真假判斷方法：一假5、全稱量詞與存在量詞⑴全稱量詞與全稱命題短語“所有的〞“任意一個〞在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“〞表示.含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題.⑵存在量詞與特稱命題短語“存在一個〞“至少有一個〞在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“彐〞表示.含有存在量詞的命題，叫做特稱命題.⑶全稱命題與特稱命題的符號表示及否認0).全稱命題的否認是特稱命題．焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程第一定義第二定義、F的EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up1(MF),1)與一定點的距離和到一定直線的距離之比為常數e，即FMFdMF-圍*頂點軸長對稱性焦點焦距準線方程焦半徑焦點三角形面積通徑〔焦點〕弦長公式(a,0)、A2(a,0)A1(0,a)、A2(0,a)(0,b)、B2(0,b)B1(b,0)、B2(b,0)關于x軸、y軸對稱，關于原點中心對稱EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up2147483647(F),1)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up2147483647(F),1)0,c)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up0(F),1)F22b2)x右焦半徑：b2cEQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up1(MF),1)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up2(MF),2)ΔMFFycEQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up1(MF),1)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up2(MF),2)a 焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程標準方程第一定義第二定義到兩定點F1EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up0(的距離之差的絕對值等于常數),2)FMFd圍*-圖EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up2147483644(頂點),形)A1(-a,0)、A2(a,0)A1(0,-a)、A2(0,a)對稱性關于x軸、y軸對稱，關于原點中心對稱標準y2EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up2147483643(F),1)定義與一定點F和一條定直線的l距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線lEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up13(a2),c)焦半徑M在右支M在上支EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up14(左焦),右焦)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up14(M),M)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up14(a),a)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up14(左焦),右焦)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up14(M),M)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up11(y0),y0)EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up14(a),a)焦點三角形面積通徑a-圍*焦點準線方程焦半徑通徑焦點弦長參數p的幾何意義參數p表示焦點到準線的距離，p越大，開口越闊關于拋物線焦點弦的幾個結論：2)，直線AB的傾斜角為θ,則⑶以AB為直徑的圓與準線相切；⑷焦點F對A、B在準線上射影的*角為；1、定積分的概念如果函數f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，用分點i-1ii述和式無限接近*個常數，這個常數叫做函數f(x)在a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a,b叫]做積分區(qū)間，函數f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式.說明：〔1〕定積分的值是一個常數，可正、可①分割；②近似代替；③求和；④取極限.2、微積分根本定理(牛頓-萊布尼茲公式)如果F,(x)=f(x)，且f(x)在[a,b]上可積，則【其中F(x)叫做f(x)的一個原函數，因為f(x)】3、常用定積分公式x⑷利用函數的奇偶性求定積分:假設f(x)是[一a,a]上的奇函數,則∫af(x)dx=0;假設f(x)是[一a,a]上 5、定積分的幾何意義定積分∫bf(x)dx表示在區(qū)間[a,b]上的曲線a.-圖形〔曲邊梯形〕的面積的代數和，即x軸上方x軸下方.x軸上方x軸下方.a正號,在*軸下方的面積取負號〕圖像；⑵借助圖形確定出被積函數，求出交點坐標，確定積分的上、下限；⑶寫出定積分表達式；⑷求出曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值的和.⑴定積分在幾何中的應用：幾種常見的曲邊梯形面積的計算方法:〔1〕x型區(qū)域：①由一條曲線y=f(x)(其中f(x)≥0）與直線圖〔1〕②由一條曲線y=f(x)(其中f(x)≤0）與直線圖〔2〕③由一條曲線y=f(x)acbf(x)dxcc的面積：S＝f(x)bf(x)dxcc=圖〔3〕④由兩條曲線y=f(x)，y=g(x)〔f(x)≥g(x))與圖〔4〕〕圖〔4〕〔2〕y型區(qū)域：可由y=f(x)得x=h(y)，然后利用S=∫bh(y)dy求a圖〔5〕積，可由y=f(x)先求出x=h(y)，然后利用S=圖〔6〕③由兩條曲線y=f(x)，y=g(x)與直線圖〔7〕〕；圖〔7〕⑵定積分在物理中的應用：①變速直線運動的路程作變速直線運動的物體所經a②變力作功物體在變力F(x的)作用下做直線運動，并且物體沿著與F(x)一樣的方向從x=a移動到a知識構造歸納推理合情推理類比推理推理類比推理推演繹推理推理比擬法綜合法比擬法綜合法證直接證明明分析法證明反證法間接證明反證法數學歸納法把從個別事實中推演出一般性結論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).簡言之,歸納推理是由局部到整體、由特殊到一般的推理。歸納推理的一般步驟：?通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)*些一樣的性質；?從的一樣性質中推出一個明確表述的一般命題〔猜測〕；2、類比推理由兩類對象具有*些類似特征和其中一類對象的*些特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理〔簡稱類比〕．類比推理的一般步驟：?找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；?用一類對象的特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜測；?檢驗猜測。3、合情推理歸納推理和類比推理都是根據已有的事實，經過觀察、分析、比擬、聯(lián)想，再進展歸納、類比，然后提出猜測的推理.歸納推理和類比推理統(tǒng)稱為合情推理，通俗地說，合情推理是指“符合情理〞的推理.4、演繹推理從一般性的原理出發(fā)，推出*個特殊情況下的結論，這種推理稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理.演繹推理的一般模式———“三段論〞，包括⑴大前提----的-一般原理；⑵小前提----所-研究的特殊情況；⑶⑵小前提----所-研究的特殊情況；用集合的觀點來理解：假設集合M中的所有元素都具有性質P,S是M的一個子集,則S中所有元素也都具有性質P.M確，有待進一步證明；演繹推理在前提和推理形式都正確的前提下，得到的結論一定正確.5、直接證明與間接證明⑴綜合法：利用條件和*些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立.框圖表示：要點：順推證法；由因導果.⑵分析法：從要證明的結論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件〔條件、定理、定義、公理等〕為止.框圖表示：要點：逆推證法；執(zhí)果索因.⑶反證法：一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立的.證明方法.它是一種間接的證明方法.反證法法證明一個命題的一般步驟：(2)〔推理〕根據假設進展推理,直到導出矛盾為止；6、數學歸納法數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法.用數學歸納法證明命題的步驟;時命題成立；*時)命EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up11(0),立)只要完成了這兩個步驟就，可以斷定命題對從n0開場的所有正整數n都成立.用數學歸納法可以證明許多與自然數有關的數學命題，其中包括恒等式、不等式、數列通項公式、幾何中的計算問題等.⑴虛數單位i；⑶復數的實部、虛部，虛數與純虛數.2z，z指兩復數實部一樣，虛部互為相反數〔互為共軛復數〕.4、復數運算⑵復數的乘法：⑶復數的除法〔類似于無理數除法的分母有理化→虛數除法的分母實數化〕5、常見的運算規(guī)律6、復數的幾何意義復平面：用來表示復數的直角坐標系，其中x軸叫做復平面的實軸，y軸叫做復平面的虛軸.1、根本計數原理⑴分類加法計數原理：(分類相加)做一件事情，完成它有n類方法，在第一類方法中有m1種不同的方法，在第二類方法中有m2種不同的方法……在第n類方法中有m種不同的方法.則完成這n種不同的方法.⑵分步乘法計數原理：(分步相乘)做一件事情，完成它需要n個步驟，做第一個步驟有--m1種不同的方法，做第二個步驟有m2種不同的方法……做第n個步驟有mEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up0(種不同的方法),n).則完成這件m1種不同的方法，做第二個步驟有m2種不同的方法……做第n個步驟有mEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up0(種不同的方法),n).則完成這件⑩解排列組合問題的方法nn種不同的方法.2、排列與組合w排列定義：一般地，從n個不同的元素中任取)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同的元素中任取m個元素的一個排列.⑵組合定義：一般地，從n個不同的元素中任取)個元素并成一組，叫做從n個不同的元素中任取m個元素的一個組合.的所有排列的個數，叫做從n個不同的元素中任取m個元素的排列數，記作Am.把不符合條件的所有情況去掉〕.綁〞為一個大元素，然后再與其余“普通元素〞全排列，最后再“松綁〞，將特殊元素在這些位置上全排列〕.④不相鄰(相間)問題插空法〔*些元素不能相鄰或*些元素要在*特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間〕.nn的所有組合的個數，叫做從n個不同的元素中任取m個元素的組合數，記作Cm.⑥選取問題先選后排法.⑦至多至少問題間接法.⑧一樣元素分組可采用隔板法.n⑶排列數公式：n⑶排列數公式：3、二項式定理w二項展開公式：2w二項展開公式：2an2b2ranrbrnnnn是求指定的項.⑶項的系數與二項式系數項的系數與二項式系數是不同的兩個概念，但當二項式的兩個項的系數都為1時，系數就是二項式系在(ax+b)的n展開式中，第r+1項的二項式系數展開式中的系數等于二項式系數；二項式系數一定為正，而項的系數不一定為正.⑶排列與組合的聯(lián)系：Am=Cm.Am，即排組合再全排列.--假設令x=假設令x=1，則有n2n.