初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線大全

..線.），..），.對(duì)兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來。作輔助線的方法如遇條件中有中點(diǎn)，中線、中位線等，那么過中點(diǎn)，延長中線或中位線作輔助線，使延用某個(gè)定理或造成全等的目的。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對(duì)稱的方法，并借助其他條件，而如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時(shí)邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形，這時(shí)輔助線的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱中心，因題而異，有時(shí)沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉(zhuǎn)兩種。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān)。在制造兩個(gè)三角形相似時(shí)，一般地，有兩種方法：第一，造一個(gè)輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線段進(jìn)行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見?！蓖辛忻锥ɡ砗兔啡~勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表）.如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。如果條件中出現(xiàn)圓的切線，那么輔助線是過切點(diǎn)的直徑或半徑使出現(xiàn)直角；相反，條件中是圓的直徑，半徑，那么輔助線是過直徑（或半徑）端點(diǎn)的切線。即切線與直徑互為輔助如果條件中有直角三角形，那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反，條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角——直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助有時(shí)，圓周角，弦切角，圓心角，圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān)系互相聯(lián)想作輔助線。高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叀?。例?：已知如圖1-1：D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB＋AC＞BD＋DE＋CE..證明法一）將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE;（1）在△BDM中，MB＋MD＞BD2）在△CEN中，CN＋NE＞CE3）AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC（法二如圖1-2，延長BD交AC于F，延長CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：AB＋AF＞BD＋DG＋GFGF＋FC＞GE＋CE（同上） DG＋GE＞DE（同上） AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。例如：如圖例如：如圖2-1：已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：∠BDC＞∠BAC。分析：分析：因?yàn)椤螧DC與∠BAC不在同一個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長BD交AC于點(diǎn)E，這時(shí)∠BDC是△EDC的外角，∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC證法二：連接AD，并延長交BC于F∵∠BDF是△ABD的外角∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CADAD.∴∠BDF+∠CDF＞∠BAD+∠CAD即：∠BDC＞∠BAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。ANN例如：如圖3-1：已知AD為△ABC的中線，且∠1=∠2,∠3=∠例如：如圖3-1：已知AD為△ABC的中線，且∠1=∠2,∠3=∠分析：要證BE＋CF＞EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須BD把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知∠把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到證明：在DA上截取DN＝DB，連接NE，NF，則DN＝DC，在△DBE和△DNE中：∴△DBE≌△DNE（SAS）∴BE＝NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：CF＝NF在△EFN中EN＋FN＞EF（三角形兩邊之和大于第三邊）∴BE＋CF＞EF。注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)元素相等。例如：如圖例如：如圖4-1：AD為△ABC的中線，且∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BE＋CF＞EF證明：延長ED至M，使DM=DE，連接ACM，MF。在△BDE和△CDM中，E圖4-1M.∴△BDE≌△CDM（SAS）又∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）∠1+∠2+∠3+∠4＝180°（平角的定義）∴∠3+∠2=90°,即：∠EDF＝90°∴∠FDM=∠EDF＝90°在△EDF和△MDF中)DF=DF(公共邊),ED=MD(輔助線的作法)∵}7EDF)DF=DF(公共邊)∴△EDF≌△MDF（SAS）∴EF＝MF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形兩邊之和大于第三邊）∴BE＋CF＞EF注：上題也可加倍FD，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。例如：如圖例如：如圖5-1：AD為△ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD。分析：要證AB＋AC＞2AD，由圖想到：AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC+BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左邊比要證結(jié)論多BD＋CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一證明：延長AD至證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，則AE=2AD∵AD為△ABC的中線（已知）∴BD＝CD（中線定義）在△ACD和△EBD中AE∴△ACD≌△EBD（SAS）.∴BE＝CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵在△ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形兩邊之和大于第三邊）∴AB＋AC＞2AD。（常延長中線加倍，構(gòu)造全等三角形）（常延長中線加倍，構(gòu)造全等三角形）練習(xí)：已知△ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF＝2AD。例如：已知如圖例如：已知如圖6-1：在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P為AD上任一點(diǎn)。求證：AB-AC＞PB－PC。A分析：要證：定理證之，因?yàn)橛C的是線段之差，故用兩邊之差小于第三N邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB－AC，故可在AB上截取ANND等于AC，得AB－AC＝BN，再連接PN，則PC＝PN，又DM在△PNB中，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞PB－PC。M在AB上截取AN＝AC連接PN,在△APN和△APC中∴△APN≌△APC（SAS）∴PC＝PN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵在△BPN中，有PB－PN＜BN（三角形兩邊之差小于第三邊）∴BP－PC＜AB－AC證明補(bǔ)短法）延長AC至M，使AM＝AB，連接PM，在△ABP和△AMP中∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB＝PM（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）.又∵在△PCM中有：CM＞PM－PC(三角形兩邊之差小于第三邊)∴AB－AC＞PB－PC。例如：如圖例如：如圖7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求證：AD＝BC分析：欲證AD＝BC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種方案：△ADC與△BCD，△AOD與△BOC，△ABD與△BAC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明：分別延長DA，CB，它們的延長交于E點(diǎn)，∵AD⊥ACBC⊥BD（已知）∴∠CAE=∠DBE＝90°（垂直的定義）在△DBE與△CAE中∴△DBE≌△CAE（AAS）∴ED＝ECEB＝EA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∴ED－EA＝EC－EB即：AD＝BC。EBABOD（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）例如：如圖例如：如圖8-1：AB∥CD，AD∥BC求證：AB=CD。分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識(shí)，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。證明：連接AC（或BD）∵AB∥CDAD∥BC（已知）∴∠1=∠2，∠3=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）在△ABC與△CDA中A1B34D.∴△ABC≌△CDA（ASA）∴AB＝CD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）例如：如圖例如：如圖9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°,∠1=∠2，CE⊥BD的延長于E。求證：BD＝2CE分析：要證BD＝2CE，想到要構(gòu)造線段2CE，同時(shí)CE與∠ABC的平分線垂直，想到要將其延長。證明：分別延長BA，CE交于點(diǎn)F。∵BE⊥CF（已知）∴∠BEF=∠BEC＝90°（垂直的定義）在△BEF與△BEC中，F(xiàn)AD12BEC1∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=CF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵∠BAC=90°BE⊥CF（已知）∴∠BAC=∠CAF＝90°∠1+∠BDA＝90°∠1+∠BFC＝90°∴∠BDA=∠BFC在△ABD與△ACF中∴△ABD≌△ACF（AAS）∴BD＝CF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∴BD＝2CE例如：已知：如圖10-1；例如：已知：如圖10-1；AC、BD相交于O點(diǎn)，且AB＝DC，AC＝BD，求證：∠A=∠D。分析：要證∠A=∠D，可證它們所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和對(duì)頂角兩個(gè)條件，差一個(gè)條件難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若連接BC，則△ABC和△DCB全等，所以，證得∠A=∠D。證明：連接BC，在△ABC和△DCB中DADOB.∴△ABC≌△DCB(SSS)∴∠A=∠D(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)例如：如圖例如：如圖11-1：AB＝DC，∠A=∠D求證：∠ABC=∠DCB。分析：由AB＝DC，∠A=∠D，想到如取AD的中點(diǎn)N，連接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN=∠DCN。下面只需證∠NBC=∠NCB，再取BC的中點(diǎn)M，連接MN，則由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC=∠NCB。問題得證。AND證明：取AD，BC的中點(diǎn)N、M，連接NB，NMAND∴△ABN≌△DCN（SAS）∴∠ABN=∠DCNNB＝NC（全等三角形對(duì)應(yīng)邊、在△NBM與△NCM中∴△NMB≌△NCM，(SSS)∴∠NBC=∠NCB（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）∴∠NBC+∠ABN=∠NCB+∠DCN即∠ABC=∠DCB。例例1.如圖1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。解：過點(diǎn)D作DG//AC，交BF于點(diǎn)G所以DG：FC＝BD：BC因?yàn)锽D：DC＝1：3所以BD：BC＝1：4即DG：FC＝1：4，F(xiàn)C＝4DG因?yàn)镈G：AF＝DE：AE又因?yàn)锳E：ED＝2：3所以DG：AF＝3：2即所以AF：FC4DG＝1：6.例例2.如圖2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD解：過點(diǎn)C作CG//DE交AB于點(diǎn)G，則有EF：GC=AF：AC因?yàn)锳F＝FC所以AF：AC＝1：2即EF：GC＝1：2，因?yàn)镃G：DE＝BC：BD又因?yàn)锽C＝CD所以BC：BD＝1：2CG：DE＝1：2即DE＝2GC因?yàn)镕D＝ED－EF＝所以EF：FD=例例3.如圖3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。解：過點(diǎn)B作BG//AD，交CE延長線于點(diǎn)G。所以DF：BG＝CD：CB因?yàn)锽D：DC＝1：3所以CD：CB＝3：4即DF：BG＝3：4，因?yàn)锳F：BG＝AE：EB又因?yàn)锳E：EB＝2：3所以AF：BG＝2：3即所以AF：DF=例例4.如圖4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。解：過點(diǎn)D作DG//CE，交AB于點(diǎn)G所以EF：DG＝AF：AD因?yàn)锳F＝FD所以AF：AD＝1：2即EF：DG＝1：2.因?yàn)镈G：CE＝BD：BC，又因?yàn)锽D：CD＝1：3，所以BD：BC＝1：4即DG：CE＝1：4，CE＝4DG因?yàn)镕C＝CE－EF=所以EF：FC1：71.1.如圖5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。2.2.如圖6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。..ACOF如圖1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有△OED≌△OFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造A.例1．如圖1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD。簡證：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB，再證明CF=CD，從而達(dá)到此題的證明也可以延長BE與CD的延長線交于一點(diǎn)來證明。自已試一試。1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求證DC⊥ACED平分∠BAC，求證：AB-AC=CDAC延長來證明呢.BDEC.1．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC2．已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求證：AE=2CE3．已知：在△ABC中，AB>AC,AD為∠BAC的平分線，M為AD上任一點(diǎn)。求證：BM-CM>AB-AC4．已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分線AD上的任一點(diǎn)，連接DB、DC。求證：BD+CD>AB+AC。過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明例1．如圖2-1，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180分析：可由C向∠BAD的兩邊作垂線。近而證∠ADADEFBC例2．如圖2-2，在△ABC中，∠A=90，AB=AC，∠ABD=∠CBD。求證：BC=AB+AD分析：過D作DE⊥BC于E，則AD=DE=CE，則構(gòu)ABDEC.例3．已知如圖2-3，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。求證：∠BAC的平分線也經(jīng)過點(diǎn)P。分析：連接AP，證AP平分∠BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。ANMDMPBCC1．如圖2-4∠AOP=∠BOP=15，PC//OA，PD⊥OA，CPA如果PC=4，則PD=O圖2-4DA4B3C2D12．已知在△ABC中，∠C=90，AD平分∠CAB，CD=∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，DAE=2（AB+AD）.求證：∠D+∠B=180。B圖2-C5F為BC上的點(diǎn)，∠FAE=∠DAE。求證：AF=AD+CF。5．已知：如圖2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90,CD⊥AB，垂足為D，AE平分∠CAB交CD于F，過F作FH//AB交BC于H。求證CF=BH。垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三.ADEH圖示3-1C例1．已知：如圖3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是ADEH圖示3-1C分析：延長CD交AB于點(diǎn)E，則可得全等三角形。問題可B例2．已知：如圖3-2，AB=AC，∠BAC=90，AD為∠ABC的平分線，CE⊥BE.求證：BD=2CE。例3．已知：如圖3-3在△ABC中，AD、AE分別∠BAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點(diǎn)B作BFAD，交AD的延長線于F，連結(jié)FC并延長交AE于M。求證：AM=ME。分析：由AD、AE是∠BAC內(nèi)外角平分線，可得EAAMCFEA⊥AF，從而有BF//AE，所以想到利用比例線段證相等。例4．已知：如圖3-4，在△ABC中，平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延長線于M。求證分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對(duì)稱變換，作△AEFCnDBABD關(guān)于AD的對(duì)稱△AED，然后只需證C，另外由求證的結(jié)果（AB+AC即2AM=AB+AC，也可嘗試作△ACM關(guān)于CM的對(duì)稱△FCM，AEFCnDBM.然后只需證DF=CF即可。1．已知：在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中點(diǎn)，AE是∠BAC的平分線，且CE⊥AE于E，連接DE，求DE。2．已知BE、BF分別是△ABC的∠ABC的內(nèi)角與外角的平分線，AF⊥BF于FAE于FAE⊥BE于E，連接EF分別交AB、AC于M、N，求證MN=BC例4如圖，AB>AC,∠1=∠2，求證：AB－AC>BD－CD。C例5如圖，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求證：∠A+∠C=180。2例6如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。1.已知，如圖，∠C=2∠A，AC=2BC。求證：△ABC是直角三角形。ACB2．已知：如圖，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求證：DC⊥ACABA3．已知CE、AD是△ABC的角平分線，∠B=60°,求證：AC=A1E2+CDC.B.A4．已知：如圖在△ABC中，∠A=90°,AB=AC，BD是∠EABC的平分線，求證：BC=AB+ADAD例1、已知如圖1-1：D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB+AC>BD+DE+CE.A將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N，.MBDENv.在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）在△BDM中，MB+MD>BD2）在△CEN中，CN+NE>CE3）AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CEA∴AB+AC>BD+DE+ECAFFDE延長BD交AC于F，廷長CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）…（1）GF+FC>GE+CE（同上2）ADG+GE>DE（同上3）DBBE∴AB+AC>BD+DE+EC。例如：如圖2-1：已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：∠BDC>∠BAC。.分析：因?yàn)椤螧DC與∠BAC不在同個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內(nèi)角證法一：延長BD交AC于點(diǎn)E，這時(shí)∠BDC是△EDC的外角，∴∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，∴∠BDC>∠BAC證法二：連接AD，并廷長交BC于F，這時(shí)∠BDF是△ABD的外角，∴∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD，∴∠BDF+∠CDF>∠BAD+∠CAD，即：∠BDC>∠BAC。例如：如圖3-1：已知AD為△ABC的中線，且∠1=∠2,∠3=∠4,求證：BE+CF>EF。分析：要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知∠1=∠2，ANNEN，F(xiàn)N，EF移到同個(gè)三角形中。證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF，則DN=DC，在△DBE和△NDE中：DN=DB（輔助線作法）.ED=ED（公共邊）∴△DBE≌△NDE（SAS）∴BE=NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在△EFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）∴BE+CF>EF。例如：已知如圖6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P為AD求證：AB-AC>PB-PC。分析：要證：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再連接PN，則PC=PN，又在△PNB中，PB-PN<BN，即：AB-AC>PB-PC。在AB上截取AN=AC連接PN,在△APN和△APC中AN=AC（輔助線作法）.∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在△ABP和△AMP中∠1=∠2（已知）A12NDNMBMB∴△ABP≌△AMP（SAS）例1．如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°,求證：AE=AADD+BE。,EBC=AC，7A=108°,BD平分7ABC。CAADBBC.例4如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°,AD是∠CAB的平分線，DMA1AM⊥AB于M，且AM=MB。求證：CD=2DB。M1．如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。2.如圖，△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，AE是過A的一條直線，且B，EC在AE的異側(cè)，ABBD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求證：BD=DE+CE），CD是等底同高的）。.例1．如圖2，ΔABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。解：因?yàn)锳D是ΔABC的中線，所以SΔACD=SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中線，故S=S=1，ΔCDEΔACD因DF是ΔCDE的中線，所以S=S=×1=。ΔCDFΔCDE例2．如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：∠BGE=∠CHE。證明：連結(jié)BD，并取BD的中點(diǎn)為M，連結(jié)ME、MF，∵M(jìn)E是ΔBCD的中位線，∴MECD，∴∠MEF=∠CHE，∵M(jìn)F是ΔABD的中位線，∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE，∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，從而∠BGE=∠CHE。例3．圖4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC解：延長AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=2×2=4。.∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，從而BE=AC=3。在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°,∴BD===，故BC=2BD=2。例4．如圖5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的證明：延長AD到E，使DE=AD。ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。例5．如圖6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求證：AC=BD。證明：取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、CE，則DE、CE分別為RtΔABD，RtΔABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。.∵AB//DC，∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，∴ΔADE≌ΔBCE，∴AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。例6．如圖7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE?！摺?=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°,∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°,故∠1=∠3。在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°,∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。.例一：如圖4-1：AD為△ABC的中線，且∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BE+ACFACF>EF。證明：廷長ED至證明：廷長ED至M，使DM=DE，連接CM，MF。在△BDE和△CDM中，BD=CD（中點(diǎn)定義）ED=MD（輔助線作法）BEFDM∴△BDE≌△CDM（SAS）∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定義）即：∠EDF=90°∴∠FDM=∠EDF=90°在△EDF和△MDF中ED=MD（輔助線作法）∠EDF=∠FDM（已證）DF=DF（公共邊）∴△EDF≌△MDF（SAS）∴EF=MF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵在△CMF中，CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）.∴BE+CF>EF上題也可加倍FD，證法同上。例二：如圖5-1：AD為△ABC的中線，求證：AB+AC>2AD。分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)證明證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，CE∵AD為△ABC的中線（已知）∴BD=CD（中線定義）在△ACD和△EBD中BD=CD（已證）ADEAD=ED（輔助線作法）∴△ACD≌△EBD（SAS）∴BE=CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）∴AB+AC>2AD。1如圖，AB=6，AC=8，D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍。.A2如圖，AB=CD，E為BC的中點(diǎn)，∠BAC=∠BCA6，求證：AD8=2AE。BADC3如圖，AB=AC，AD=AE，M為BE中點(diǎn)，∠BAC=∠DAE=90°。求證：AM⊥DC。A4，已知△ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF=2AD。BEDEBF=ACA5．已知：如圖AD為△ABC的中線，AE=EF，求證：BF=ACAEFB.全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．1“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_2：如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CFAEF較BE+CFACDBCDEv.vFBD.3：如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分∠BAE.究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．（1）如圖①當(dāng)ΔABC為直角三角形時(shí)，AM與DE線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；AB=2AC，AD平分上BAC，且AD=BD，求證：CD⊥AC2：如圖，AC∥BD，EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA，CD過點(diǎn)E，求證;ABAD=AC+BDEEABC=AB上C=400，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是上BAC，上ABC的角平分線。求證：BQ+AQABC=ABQB+BPP4：如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分AACD.5:如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-AC＞PB-PCBACCPD1.AD為△ABC的角平分線，直線MN⊥AD于A.E為MN上一點(diǎn)，△ABC周長記為PA，PP△EBC周長記為B.求證>PP△EBC周長記為B.求證>B2：如圖，在△ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.1：如圖，已知在△ABC中，∠B=60°,△ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=ODA206鄭州市中考題）如圖，△ABC中，AD平分E⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）E=CF的理由2）如果AB=a，AC=b，求AB∠BAC，DGO說明BEOACDE、BE的長.MON的EBGDCF線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這.（1）如圖②,在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間BEDEEDFFFFDCPAANAN1：正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求∠EAF2：D為等腰RtΔABC斜邊AB的中點(diǎn)，DM⊥DFN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。BB（1）當(dāng)上MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。A（2）若AB=2，求四邊形DECF的面積。AECACAFN兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則ΔAMN的周長為；NAAMNCBD.AAAB為一邊作正方形ABCD,使P、FCNMDEAAAB為一邊作正方形ABCD,使P、FCNMDEEEMEBBB年一模）已知:PA=NNM以ABD上BDC=120o,BD=DC.探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及ΔAMN的周長Q（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN（II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時(shí)，猜想（I）問的（III）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時(shí)，.若AN=x，則Q=（用x、L表示直角三角形和矩AAA.例1.如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°,AB∥DC，AD＝15，A解：過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E.又AB∥CD，所以四邊形BCDE是平行四邊形.所以DE＝BC＝17，CD＝BE.在Rt△DAE中，由勾股定理，得AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64.所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.例2如圖，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰B解：過點(diǎn)B作BM//AD交CD于點(diǎn)M，在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。.例3如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B+∠C=90°,AD=1，BC=3，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接EF，求EF的長。解：過點(diǎn)E分別作AB、CD的平行線，交BC于點(diǎn)G、H，可得∠EGH+∠EHG=∠B+∠C=90°則△EGH是直角三角形因?yàn)镋、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，容易證得F是GH的中點(diǎn)例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面積．解：如圖，作DE∥AC，交BC的延長線于E點(diǎn)．∵AD∥BC∴四邊形ACED是平行四邊形AD∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4∵在△DBE中，BD=3，DE=4，BE=5∴∠BDE=90°.作DH⊥BC于H，則例5如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，求證：AC⊥BD。解：過點(diǎn)C作BD的平行線交AD的延長線于點(diǎn)E，易得四邊形BCED是平行四邊形，所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。.在等腰梯形ABCD從而AC⊥CE，于是AC⊥BD。例6如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面積。解：過點(diǎn)D作DE//AC，交BC的延長線于點(diǎn)E，則四邊形ACED是平行四邊形，=梯形ABCD=梯形ABCDS2122=9（cm）BH=BD2DH2=202122=16（cm）所以即梯形ABCD的面積例7如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°,∠C=80°,AD=2，BC=5，求CD的長。解：延長BA、CD交于點(diǎn)E。在△BCE中，∠B=50°,∠C=80°。所以∠E=50°,從而BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=EC－ED=5－2=3.例8.如圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論.解：四邊形ABCD是等腰梯形.證明：延長AD、BC相交于點(diǎn)E，如圖所示.∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，∴△DAB≌△CBA.∴∠DAB=∠CBA.∴EA＝EB.又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC=∠ECD.而∠E+∠EAB+∠EBA=∠E+∠EDC+∠ECD＝18∴∠EDC=∠EAB，∴DC∥AB.又AD不平行于BC，∴四邊形ABCD是等腰梯形.例9如圖6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于點(diǎn)E，求證：AD=DE。解：連結(jié)BD，由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。所以∠ADB=∠BDE。又∠BAD=∠DEB=90°,BD=BD，所以Rt△BAD≌Rt△BED，得AD=DE。.例10如圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°,AB=2DC，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為F，過點(diǎn)F作EF//AB，交AD于點(diǎn)E，求證：四邊形ABFE是等腰梯形。AD證：過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)AD則易知四邊形DGBC是矩形，所以DC=BG。因?yàn)锳B=2DC，所以AG=GB。從而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。又EF//AB，所以四邊形ABFE是等腰梯形。例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°,AD=3cm，BC=5cm，解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，又∵AD∥BC，∴四邊形AEFD是矩形，EF=AD=3cm∵AB=DC∵在Rt△ABE中，∠B=60°,BE=1cm例12如圖，在梯形ABCD中，AD為上底，AB>CD，求證：BD>AC。證：作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，則易知AE=DF。在Rt△ABE和Rt△DCF中，因?yàn)锳B>CD，AE=DF。所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。.在Rt△BDF和Rt△CAE中由勾股定理得BD>AC例13如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中點(diǎn)，∠AOD=90°,求證：AB＋CD=AD。證：取AD的中點(diǎn)E，連接OE，則易知OE是梯形ABCD的中位線，從而在△AOD中，∠AOD=90°,AE=DE由①、②得AB＋CD=AD。例14如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分別是BD、AC的中點(diǎn)，求證：連接DF，并延長交BC于點(diǎn)G，易證△AFD≌△CFG則AD=CG，DF=GF由于DE=BE，所以EF是△BDG的中位線從而EF//BG，且因?yàn)锳D//BG，BG=BC-CG=BC-AD.例15、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=900，E是DC上的中點(diǎn)，連接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。解：分別延長AE與BC，并交于F點(diǎn)∵∠BAD=900且AD∥BC∴∠FBA=1800-∠BAD=900又∵AD∥BC∴∠DAE=∠F(兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等)∠AED=∠FEC（對(duì)頂角相等）DE=EC（E點(diǎn)是CD的中點(diǎn)）∴△ADE≌△FCE（AAS）∴AE=FE在△ABF中∠FBA=900且AE=FE∴BE=FE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）∴在△FEB中∠EBF=∠FEB∠AEB=∠EBF+∠FEB=2∠CBE例16、已知：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD中點(diǎn)，試問：線段AE和BE之間有怎樣的大小關(guān)系.解：AE=BE，理由如下：延長AE，與BC延長線交于點(diǎn)F．∵DE=CE，∠AED=∠CEF，∠DAE=∠F∴△ADE≌△FCE∴AE=EF∵AB⊥BC，∴BE=AE．ADEE.例17、已知：梯形ABCD中，AD//BC，E為DC中點(diǎn)，EF⊥AB于F點(diǎn)，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面積．解：如圖，過E點(diǎn)作MN∥AB，分別交AD的延長線于M點(diǎn)，交BC于N∵DE=EC，AD∥BC∴△DEM≌△CNE四邊形ABNM是平行四邊形∵EF⊥AB，梯形ABCD□ABNM∴S=S=AB梯形ABCD□ABNM1.若等腰梯形的銳角是60°,它的兩底分別為11cm，35cm，則它的腰長為__________cm.2.如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°,AD＝2，BC=8，則此等腰梯形的周長為()3.如圖所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，則梯形ABCD的面積為()*4.如圖所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，對(duì)角線AC與BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD的長.6.如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的長.DAMDAFEBNC.7.如圖所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB**8.如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC1）若E是AB的中點(diǎn)，且AD+BC＝CD，則DE與CE有何位置關(guān)系.（2）E是∠ADC與∠BCD的角平分線的交點(diǎn)，則DE與CE有何位置關(guān)系.（5）若題中有與半徑（或直徑）垂直的線段，如圖1，圓O中