《概率論》第5章 中心極限定理

在現(xiàn)實(shí)中為什么很多數(shù)量指標(biāo)都服從或近似服從正態(tài)分布實(shí)際背景

研究發(fā)現(xiàn)這些指標(biāo)通常是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素綜合影響而成,即近似問題中心極限定理研究的內(nèi)容：當(dāng)時(shí),在什么情況下的極限分布是？的極限分布是？設(shè)是獨(dú)立r.v列,均值和方差都存在令則部分和標(biāo)準(zhǔn)化r.v問題的極限分布是否為？一般地，答案是否定的！除非服從正態(tài)分布，否則結(jié)論就不真.例如取則定義則稱服從中心極限定理若的分布函數(shù)對任意

滿足同分布的r.v

列，其數(shù)學(xué)期望和方差分別為則服從中心極限定理的分布函數(shù)對任意滿足定理(獨(dú)立同分布的中心極限定理)設(shè)為獨(dú)立,即標(biāo)準(zhǔn)化r.v例1．設(shè)樣本X1，X2，…，X20相互獨(dú)立，且都來自均勻分布U(0,1)，其中,E(Xi)=1/2,D(Xi)=1/12，令Y20=X1+X2+…+X20，求：P{Y20≤9.1}。解：P{Y20≤9.1}=n=20，μ=1/2,σ2=1/12對于均值為方差的獨(dú)立同分布的

r.v

列有近似即或近似中心極限定理的實(shí)際含義故每個(gè)因素都是微小的、沒有一個(gè)因獨(dú)立同分布X1X2、、Xn...、因?yàn)樗仄鸬酵怀鲎饔眠@些隨機(jī)因素都是微小的、沒有一個(gè)因素起到在實(shí)際問題中,如果某數(shù)量指標(biāo)滿足該指標(biāo)是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素迭加而成則這個(gè)數(shù)量指標(biāo)近似地服從正態(tài)分布突出的作用由獨(dú)立同分布的中心極限定理,有定理(棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理)設(shè)為服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布r.v列,則對任意有證其中為獨(dú)立同分布的(0-1)分布r.v,且因二項(xiàng)分布產(chǎn)生于

重伯努利試驗(yàn),故可分解為注記

該定理是概率論歷史上第一個(gè)中心極限定理,由棣莫弗于1730年給出到時(shí)的證明,幾十年后經(jīng)拉普拉斯推廣的一般情形.對于一列二項(xiàng)分布r.v

，有近似近似的圖形為棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理的應(yīng)用例如于是當(dāng)

充分大時(shí)，可以認(rèn)為

近似Ox-8-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

12345678記則近似高爾頓釘板試驗(yàn)？什么曲線共15層小釘小球碰第層釘后向右落下小球碰第層釘后向左落下高爾頓(FrancisGalton,1822-1911)英國人類學(xué)家和氣象學(xué)家例2．一批種子，其中良種占1/6，在其中任選6000粒，試問在這些種子中，良種所占的比例與1/6之差的絕對值小于1%的概率是多少？解：設(shè)X表示取6000粒種子中的良種粒數(shù)，則X~B(6000,1/6)注若X~B(n,p),則當(dāng)n較大時(shí)，有例3.

某出租車公司有500輛的士參加保險(xiǎn)，在一年里的出事故的概

率為0.006，參加保險(xiǎn)的的士每年交800元的保險(xiǎn)費(fèi)．若出事故，保險(xiǎn)公司最多賠償50000元，試?yán)弥行臉O限定理，計(jì)算保險(xiǎn)公司一年賺錢不小于200000元的概率．解：設(shè)X表示500輛的士中出事故的車輛數(shù)，則X

～B(500,0.006)其中np=3,npq=2.982,保險(xiǎn)公司一年賺錢不小于200000元的事件為{500×800≥500×800-50000X≥200000},即事件{0≤X≤4}可見，保險(xiǎn)公司在一年里賺錢不小于200000元的概率為0.7781.

例4.

在抽樣檢查某種產(chǎn)品的質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個(gè)，則拒絕接受這批產(chǎn)品．設(shè)產(chǎn)品的次品率為10﹪，問至少應(yīng)抽查多少個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢查，才能保證拒絕這批產(chǎn)品的概率達(dá)到0.9？解:

設(shè)應(yīng)抽查n

件產(chǎn)品,其中次品數(shù)為Y.記由德莫佛-拉普拉斯中心極限定理，得要使

即得

即至少要抽查147件產(chǎn)品才能保證拒絕這批產(chǎn)品的概率達(dá)到0.9．為什么叫“中心極限定理”

棣莫弗-拉普拉斯中心極