新教材2020人教B版數(shù)學(xué)必修第四冊(cè)教師用書：第10章 102 102

10.2.2復(fù)數(shù)的乘法與除法

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1理.解復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則.

2.會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算.（重點(diǎn)）通過復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算法

3.掌握虛數(shù)單位“i”的基值的周期性，并能應(yīng)則及運(yùn)算性質(zhì)的學(xué)習(xí)，提升學(xué)

用周期性進(jìn)行化簡(jiǎn)與計(jì)算.（難點(diǎn)）生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng).

4掌.握共加復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).（易混點(diǎn)）

自主預(yù)習(xí)。擢新知

NI/HUYUXIIAZXIZNHI

「新翅初探工]

一、復(fù)數(shù)的乘法

1.定義

一般地，設(shè)zi=a+歷，Z2=c+4i（a,b,c,dGR）稱Z[Z2（或ziXzz）為zi與Z2

的積，并規(guī)定：

ziZ2=（a+1iWc+4i）=（ac—bG+（ad+bc）i.

2.運(yùn)算律

對(duì)任意Zi，Z2，Z3WC,有

交換律Z]?Z2=gxa

結(jié)合律（21?Z2>Z3=Z,?（Z2?Z3）

乘法對(duì)加法的分配律Z1?（Z2+Z3）=ZyZz+z.Za

3.運(yùn)算性質(zhì)

（zy=z^,（Z1Z2）"=綢.（其中加，nGNt）.

4.i的乘方運(yùn)算性質(zhì)

?4n+1-?：4〃+2—1：4〃+3—:：4〃_i

1—1;1-1;1—1;1—L

5.兩個(gè)共軻復(fù)數(shù)的乘積等于這個(gè)復(fù)數(shù)（或其共初復(fù)數(shù)）模的壬方：.

二、復(fù)數(shù)的除法

1.定義

如果復(fù)數(shù)Z2W0,則滿足ZZ2=Z］的復(fù)數(shù)Z稱為Z1除以Z2的商，并記作Z=F(或

22

Z=Z1±0,ZI稱為被除數(shù)，Z2稱為除數(shù).

2.意義

一般地，給定復(fù)數(shù)zWO,稱1為Z的倒數(shù),Z1除以Z2的商?也可以看成Z］與

ZZ2

Z2的倒數(shù)之積，因此可以利用“分母實(shí)數(shù)化”可以求出任意一個(gè)非零復(fù)數(shù)的倒

數(shù)，以及任意兩個(gè)復(fù)數(shù)的商(除數(shù)不能為0).當(dāng)Z為非零復(fù)數(shù)且〃是正整數(shù)時(shí)，

規(guī)定z°=l,"=+.

3.復(fù)數(shù)倒數(shù)運(yùn)算

1a-bi1z

設(shè)2="+歷’則『再薩且1=才

4.復(fù)數(shù)的除法法則

設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di(c+diW0),

Z］a+：iac+bdbe-ad.

Z2-c+di~?+/一

三'實(shí)系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解集

一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,cGR且a#0)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)總有解,

而且

(1)當(dāng)/=/-4">0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(2)當(dāng)/=/一4"=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

(3)當(dāng)/=/-4"<0時(shí)，方程有兩個(gè)互為共甄的虛數(shù)根.

1.復(fù)數(shù)2言(i為虛數(shù)單位)的共輾復(fù)數(shù)是()

A.1+iB.1—i

C.—1+iD.-1-i

22(1+i)

1-i2=l+i,

2

???二］的共軻復(fù)數(shù)為l—i，故選B.］

2.如果復(fù)數(shù)(加2+a1+機(jī)。是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)相等于()

B.-1

C.6D.—y[2

B「.?(加2+。(1+疝)=(〃22一加)+(加3+1萬是實(shí)數(shù)，"zGR,

...由a+歷(a,bGR)是實(shí)數(shù)的充要條件是b=0.

得癡+1=0,即機(jī)=-1.]

3.已知復(fù)數(shù)z滿足(1+2i)z=4+3i,則z=(

A.2+iB.2-i

D.l-2i

B[法一：設(shè)z=a+Z?i(a,/?GR),則

(1+2i)(a+〃i)=(a—2Z?)+(2a+b)i,

由已知及復(fù)數(shù)相等的條件得，

a—2b=4,a=2,

<,解之得4故選B.

2a+h=3,[b=—l,

_4+3i_(4+3i)(]_2i)_10_5i_

_-Z1J

忘―：--1_|_2i(i+2i)(l-2i)5~

4.若復(fù)數(shù)z滿足i.z=l+2i,其中i是虛數(shù)單位，則z的實(shí)部為.

l+2i

2[Vi-z=l+2i,：.z=——=2-i,故z的實(shí)部為2.]

合作探究。提素養(yǎng)

-------------------—---------------------

復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算

【例1】(1)已知a,bER,i是虛數(shù)單位.若a—i與2+歷互為共也復(fù)數(shù),

則(a+加門=()

A.5-4iB.5+4i

C.3-4iD.3+4i

(2)復(fù)數(shù)z=(3—2i)i的共粗復(fù)數(shù)z等于(

A.-2-3iB.-2+3i

C.2-3iD.2+3i

(3)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)(3+i)(l—2i)=

(1)D(2)C(3)5-5i]⑴由題意知a-i=2—Ai,，a=2,Z?=l,，(a+歷尸

=(2+i)2=3+4i.

(2)Vz=(3-2i)i=3i-2i2=2+3i.

Z.7=2—3i.故選C.

(3)(3+i)(l-2i)=3-6i+i-2i2=5-5i.]

規(guī)律方法

復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的方法與常用公式

1.兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法

首先按多項(xiàng)式的乘法展開；再將I?換成一1；然后再進(jìn)行復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算，

化簡(jiǎn)為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.

2.常用公式

(i)(a+bif=a2+2abi~b2(a,/?GR)；

(2)(a+歷)(a—?dú)v)=/+/?2(。，b￡R)；

(3)(l±i)2=±2i.

Q跟蹤訓(xùn)練

1.若力|=5,Z2=3+4i,且zrZ2是純虛數(shù)，則zi=.

4+3i或一4—3i[設(shè)zi=a+歷(a,h&R),則出|=亞轉(zhuǎn)=5,即cr+h2

=25,

z「Z2=(a+bi)(3+4i)=(3a—43+(3b+4a)i.

Vzrz2是純虛數(shù),

j3a-4Z?=0,

{3/7+4aW0,a=4,

解得1

la2+Z?2=25,b=3

.?.zi=4+3i或Z|=—4—3i.]

RS取2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算

【例2】嚼=()

A.1+iB.1—i

C.-1+iD.-1-i

(2)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)訐*=(

A.1-iB.-1+i

「17,31.n17J5.

C-25+251D.——+—\

-(1+i)3(l+i)(l+i)2(l+i)(l+i2+2i)

⑴D(2)A[⑴法一：=-2i

—2+2i1-i

=』一=丁=-1—i.故選D.

正―(1+?^]2(l+i)=i2(l+i)=-(l+i).

后一：(1)2

7+i(7+i)(3—4i)25—25i..

(2)3+4i-(3+4i)(3-4i)-25l,故1~A,]

規(guī)律方法

復(fù)數(shù)除法運(yùn)算方法與常用公式

1.兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算方法

(1)首先將除式寫為分式；

(2)再將分子、分母同乘以分母的共軻復(fù)數(shù)；

(3)然后將分子、分母分別進(jìn)行乘法運(yùn)算，并將其化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.

2.常用公式

11+i1-i

(1);=—i；(2)—=i；(3)幣=-i.

2.(1)滿足山=i(i為虛數(shù)單位)的復(fù)數(shù)z=()

1111

-.-.

A.2+-?B.2?

D--2-?

⑵若復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2i(i為虛數(shù)單位)，則|z|=()

A.1B.2

C，V2D.小

(1)B(2)C［(1)V-=i,，z+i=zi,Ai=z(i-1).

。ii(-1—i)1—i11.

i-1(-l+i)(-l-i)2221-

2i2i(l-i)

(2)Vz(l+i)=2i,\=l+i,

1I1乙

,?.|Z|=^12+12=V2.］

甘型3i”的周期性及應(yīng)用

［探究問題］

1.與i是否相等？

提示：『=i±i=i,相等.

2.i+i?+i3+i4的值為多少？

提示：i+i2+i3+i4=0.

【例3】計(jì)算i」i2+i3+…+i2°2。.

［思路探究］可利用i"+i"+i+i"+2+i"+3=o(〃eN+)化簡(jiǎn).

［解］Vi'4-i24-i3+i4=0,

...p+產(chǎn)1+產(chǎn)+產(chǎn)3=0(〃6N+),

.,.i'+i2+i3+-+i2020

=(i'+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)4----f-(i20,7+i20l8+i2019+i2020)=0.

規(guī)律方法

虛數(shù)單位i的周期性

4n+l4n+24n+34,!

(l)i=i,i=-l,i=-i,i=l(?eN+).

n+ln+2

(2)r+i+i-卜產(chǎn)=O(〃GN+).

Q跟蹤訓(xùn)練

3

3.計(jì)算：(1)1_船哨?…閭°

(2)l+2i+3i2+-?+2O21i2020.

.1+i

闕⑴-i,

...原式=田13.….？°=產(chǎn)2+3+■+10=i55=i3=T

(2)設(shè)S=1+2i+3i2H-----F202li2020

Z.iS=i+2i2+3i3+???+2021i2021

.".(l-i)5=l+i+i2H----Fi202o-2021i2o21=l-2021i

l-2021i(l-2021i)(l+i)

?-5=-FT-=-~~1ouT。助

Lit課堂小結(jié)bl

1.復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式乘法是類似的，有一點(diǎn)不同即必須在所得結(jié)果中把

i?換成一1,再把實(shí)部，虛部分別合并.兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)，可推廣

到任意多個(gè)復(fù)數(shù)，任意多個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).

2.復(fù)數(shù)的除法和實(shí)數(shù)的除法有所不同，實(shí)數(shù)的除法可以直接約分、化簡(jiǎn)得

出結(jié)果；而復(fù)數(shù)的除法是先將兩復(fù)數(shù)的商寫成分式，然后分母實(shí)數(shù)化(分子、分

母同乘分母的共班復(fù)數(shù)).

3.熟練掌握乘除法運(yùn)算法則.求解運(yùn)算時(shí)要靈活運(yùn)用i"的周期性.此外，

實(shí)數(shù)運(yùn)算中的平方差公式，兩數(shù)和、差的平方公式在復(fù)數(shù)運(yùn)算中仍然成立.

4.對(duì)共規(guī)復(fù)數(shù)的理解：

(1)當(dāng)a,bGR時(shí)，有一+》2=3+歷)(q一—),其中.+歷與a—R是一對(duì)共

初復(fù)數(shù)，這是虛數(shù)實(shí)數(shù)化的一個(gè)重要依據(jù).

(2)互為共物復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)的模相等，且口(2=|z|2=z7.

當(dāng)堂達(dá)標(biāo)。國(guó)理基

DAZGTANCDABIACGUSHUANGJ1

1.若復(fù)數(shù)zi=l+i,Z2=3—i,則z「Z2=()

A.4+2iB.2+i

C.2+2iD.3

2

A[zrz2=(l+i)(3-i)=3-i+3i-i=4+2i.]

2.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zi，Z2對(duì)應(yīng)的向量分別是夕，OB,則復(fù)數(shù)f1對(duì)

Z2

應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

—2—j

B[由復(fù)數(shù)的幾何意義知，Z]=-2-i,Z2=i,所以」=-：—=-l+2i,

Z21

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.]

,2

3.若為虛數(shù)單位，a,h&R),則a+〃=.

2[因?yàn)閉?；(][])=1+i,所以l+i=a+Oi,所以a=l,b=\,所

以a+b=2.]

4.設(shè)zi=a+2i,Z2=3—4i,且日為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為________.

Z2

Q_

T[設(shè)'="iS￡R且〃#0),所以Z]=歷?Z2,即a+2i=〃i(3—4i)=48+3為，

JZ2

a=4h,I8

所以,所以Q=Q.]

2=3〃,

5.計(jì)算:

(1)(1-i)(-；+坐i)(1+i)；

⑵布-日

⑶(2-憂

[解1(1)法一：(l—i)(-^+乎i)(l+i)

+舁fi+A摯）（1+D

=七+3+3+32

=—14-^31.

A/2+^3I

⑵氏&i

（也+小i）（小+爽i）（啦+小i）（小+也i）

二（V3-V2i）（V3+啦i）=（小f+（啦尸

#+2i+3i—加5i.

=5=~5=v

（3）（2-i）2=（2-i）（2-i）

=4—4i+i2=3—4i.

課時(shí)分層作業(yè)(七)復(fù)數(shù)的乘法與除法

(建議用時(shí)：60分鐘)

[合格基礎(chǔ)練]

一'選擇題

1.i為虛數(shù)單位，/2=()

A.-1B.1

C.-iD.i

(]—P|2(]—j)2-2i

A^T+iJ=(l+i)2=H=T]

2.已知i是虛數(shù)單位，則(一l+i)(2—i)=()

A.-3+iB.-1+3i

C.-3+3iD.-1+i

B[(-l+i)(2-i)=-l+3i.]

3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=j^(i為虛數(shù)單位)的共舸復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

-2i—2if1—i)

B[z=...=,I.、=-I—i的共軻復(fù)數(shù)為-1+i,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(一

1+iz(1+1)(1—i)

1,1),在第二象限.]

4.已知z是z的共枕復(fù)數(shù)，若z-zi+2=2z,則z=()

A.1+iB.1—i

C.-1+iD.-1-i

A[設(shè)z=a+/?i(a,OGR),則z=a~b\,代入z-zi+2=2z中得，(a+bi)(a

—bi)i+2=2(a+歷)，

.,.2+(o2+/?2)i=2?+2/?i,

由復(fù)數(shù)相等的條件得，

2。=2,。=1,

a2+b2=2h,**h=l.

，z=l+i,故選A.]

5.已知復(fù)數(shù)z=°線、，，是z的共輾復(fù)數(shù)，則z?》等于()

A.|B.|

C.1D.2

.._小+i+一小i)

?z(1—巾/(1—7ip(1—^3i)2

i_i(l+V3i)__近J

-1-V3i_4―_4+不

.一小i

??z44'

z=4.]

二'填空題

6.i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(l—2i)(a+i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值是.

-2Kl-2i)(a+i)=a+2+(l-2a)i,該復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以a+2=0,且

1—2。#0,所以a=—2]

7.若復(fù)數(shù)z滿足(3—4i)z=4+3i,則|z|=,

1[因?yàn)?3-4i)z=4+3i,

的?4+3i(4+3i)(3+4i)25i

所Xz-3-4i-(3-4i)(3+4i)-25=1則|#=1.]

I、?

8.已知三」=b+i(mZ?eR),其中i為虛數(shù)單位，則。+人=

a+2i

1

.?.a+2i=S+i)i=—l+bi,

ci=-1,b=2,

三'解答題

9.計(jì)算:

⑴(l-i)(—l+i)+(—l+i)；

(2)(1+i)停一割”+割.

[解](1)原式=-1+i+i—i2—1+i=-1+3i.

(2)原式=(1+=1+i.

10.已知復(fù)數(shù)z滿足z=(—1+3i)(l—i)—4.

(1)求復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)；

(2)若訓(xùn)=z+ai,且復(fù)數(shù)w對(duì)應(yīng)向量的模不大于復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)向量的模，求

實(shí)數(shù)。的取值范圍.

［解］(l)z=—l+i+3i+3—4=—2+4i,

所以復(fù)數(shù)z的共軻復(fù)數(shù)為一2一41

(2)w=-2+(4+a)i,復(fù)數(shù)w對(duì)應(yīng)向量為(-2,4+a),其模為護(hù)初牙=

q20+8a+q2.

又復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)向量為（—2,4）,其模為2小.由復(fù)數(shù)w對(duì)應(yīng)向量的模不大于

復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)向量的模，得20+8。+。2?20,?2+8tz<0,a（a+8）W0,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是一8WaW0.

「等級(jí)過關(guān)練]

1.設(shè)4,Z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是（）

A.若同一Z2|=0,則Z1=Z2

B.右Z]=Z2，貝Z|=Z2

C.若一C㈤,則ZrZI=Z2。Z2

D.若團(tuán)|=閡，則ZT=Z2

D[A,|z）—Z2I=0=^Z|—Z2=0=^zi==Z2=^z1=z2,真命題；

B,Z|=Z2=>Z1=Z2=Z2,真命題；

C,閡=|Z2|=>|z『=|Z212nzi?Z1=Z2-Z2,真命題；

D,當(dāng)|Z1|=|Z2|時(shí),可取Z1=1,Z2=i,顯然z彳=1,Z2=-l,即z彳Wz*假命

題.]

2.復(fù)數(shù)2=坐一出,aGR,且z2=：一監(jiān)，則a的值為（）

A.1B.2

C.gD.(

C[由z=羋—ai,aGR,得z2=(坐)一2X坐Xai+(ai)2=(一廿一小山,

f3_2」

因?yàn)槿~條所以:;j

解得a=^.]

若復(fù)數(shù)z=等的實(shí)部為3,則z的虛部為

3.

7+ai(7+ai)(2+i)(14-a)+(7+2a)i14-Q7t2"i.由題意知

1上=2—i=(2—i)(2+i)=5-5

14—a.

=3,??。=-1,??z=3+i?

，z的虛部為1.]

—4

4.若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限，|z|=5,z對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線y=Q

X上，則Z=.

-3+4i[設(shè)，=3/+4H(fGR),

則z=3r—4ri,

V|z|=5,.?.9y+16*=25,：.r=\,

:z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限，.IVO,

，z=-3+4i.］

7---17

5.已知z為復(fù)數(shù)，一廠為實(shí)數(shù)，缶為純虛數(shù)，求復(fù)數(shù)z.

11—1

［解］設(shè)2=。+方(〃，0WR),

z—1a-1+Z?i..

則一j-=j=(a-1+藥)?(-i)=b—(a—l)i.

z—1

因?yàn)槎∫粸閷?shí)數(shù)，所以a—1=0,即a=l.

(a+Z?i)(l+i)為純虛數(shù),

又因?yàn)閞H=(l-i)(l+i)

所以a—8=0,且a+〃W0,所以匕=1.

故復(fù)數(shù)z=l+i.

*10.3復(fù)數(shù)的三角形式及其運(yùn)算(略)

章未復(fù)習(xí)課.............

6版構(gòu)建E

口題嬲￡

甘里1復(fù)數(shù)的概念

【例1】復(fù)數(shù)Z=k)g3(x2—3x—3)+ik)g2(X—3),當(dāng)X為何實(shí)數(shù)時(shí)，

(l)zGR；(2)z為虛數(shù).

［思路探究］根據(jù)復(fù)數(shù)的分類列不等式組求解.

［解］(1)因?yàn)橐粋€(gè)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是虛部為0,

x2—3x—3>0,①

log2(x—3)=0,②

{x—3>0,③

由②得x=4,經(jīng)驗(yàn)證滿足①③式.

所以當(dāng)x=4時(shí)，zSR.

(2)因?yàn)橐粋€(gè)復(fù)數(shù)是虛數(shù)的充要條件是虛部不為0,

fx2—3x—3>0,①

所以《log2(x—3)W0,②

lx-3>0,③

上23+721v3一回

由①仔x>2或2"

由②得xW4,由③得x>3.

所以當(dāng)x>上?互且xW4時(shí)，z為虛數(shù).

規(guī)律方法

正確確定復(fù)數(shù)的實(shí)、虛部是準(zhǔn)確理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(如實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛

數(shù)、相等復(fù)數(shù)、共枕復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模)的前提.，兩復(fù)數(shù)相等的充要條件是復(fù)數(shù)問題

轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題的依據(jù).，求字母的范圍時(shí)一定要關(guān)注實(shí)部與虛部自身有意義.

Q跟蹤訓(xùn)練

1.(1)設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)。一著(adR)是純虛數(shù)，則。的值為()

A.—3B.-1

C.1D.3

⑵設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足i(z+l)=-3+2i(i是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)Z的實(shí)部是

1010(3+i)10(3+i)

(1)D(2)1[(1)因?yàn)閍3Ti=Cf-(3-i)(34-i)=fl75―=3-3)—i,由

純虛數(shù)的定義，知a—3=0,所以a=3.

⑵法—：設(shè)z=a+歷(a,(WR),

則i(z+l)=i(a+Z?i+1)=~b+(a+l)i=-3+2i.

~b=-3,a=\,

由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得,,c解得

[a+l=2,力=3.

故復(fù)數(shù)z的實(shí)部是1.

—3+2i

法二：由i(z+l)=-3+2i,得z+l=―：—=2+3i,故z=l+3i,即復(fù)數(shù)

z的實(shí)部是1.］

復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

【例2】⑴設(shè)i是虛數(shù)單位，5表示復(fù)數(shù)z的共攏復(fù)數(shù).若z=l+i,則j+

i-z=()

A.12B.-2i

C.2D.2i

(2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(z—2i)(2—i)=5,則z=()

A.2+3iB.2-3i

C.3+2iD.3-2i

［思路探究］(1)先求出Z及言結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求解.

(2)利用方程思想求解并化簡(jiǎn).

—z1+i—『+iz-

(DC(2)A[(l)Vz=l+i,Az=l-i,T=—「1一i,.?.;+「z

=17+1(1—。=2.故選(：.

(2)由(z-2i)(2—i)=5,得z=2i+^~=2i+(2^)^.)=2i+2+i=2+3i.]

現(xiàn)於方法

復(fù)數(shù)加減乘運(yùn)算可類比多項(xiàng)式的加減乘運(yùn)算，注意把i看作一個(gè)字母r=一

1）,除法運(yùn)算注意應(yīng)用共枕的性質(zhì)z.Z為實(shí)數(shù).

Q跟蹤訓(xùn)練

2.(1)復(fù)數(shù)言的共枕復(fù)數(shù)是()

33

A.—mB.p

C.-iD.i

⑵已知復(fù)數(shù)Z|=g—|i)(l+i)(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)Z2的虛部為2,且ZrZ2

是實(shí)數(shù)，則Z2=.

(1)C(2)4+2i[(1)依題意：占J=------=-y=i,

,其共朝復(fù)數(shù)為一i.

⑵zi=改一|“1+i)=2-i.

設(shè)Z2=〃+2i,Q￡R,

則ZI?Z2=(2—i)?(a+2i)

=(2a+2)+(4-a)i,

因?yàn)閦iz^R,

所以。=4.

所以Z2=4+2i.]

MS型3復(fù)數(shù)的幾何意義

【例3】（1）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)十對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

1—2i

（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)百對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.(0,-1)B.(0,1)

"I

［思路探究］先把復(fù)數(shù)Z化為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，再寫出其對(duì)應(yīng)坐標(biāo).

~ii(l+i)—1+i11.

(1)B(2)AHD旻夕攵］_［=(］一°(］+0=-2—=-2+2L

...復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是(一;，y.

...復(fù)數(shù)7」在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選B.

1—1

1—2i(1—2i)(2—i)—5i#L、,j.

(2)V5q--(2+i^_.其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(0,-I),故選A?]

規(guī)律方法

1.復(fù)數(shù)的幾何表示法：即復(fù)數(shù)z=a+"i(a,bWR)可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,

3來表示.此類問題可建立復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)滿足的條件，通過解方程(組)或

不等式(組)求解.

2.復(fù)數(shù)的向量表示：以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量表示的復(fù)數(shù)等于它的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的

復(fù)數(shù)；向量平移后，此向量表示的復(fù)數(shù)不變，但平移前后起點(diǎn)、終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)

要改變.

3.復(fù)數(shù)的加減法的幾何意義實(shí)質(zhì)上是平行四邊形法則和三角形法則.由減

法的幾何意義知|z-zi|表示復(fù)平面上兩點(diǎn)Z與Z1之間的距離.

4.復(fù)數(shù)形式的基本軌跡

(l)|z-Z1|=r表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以zf對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，半徑為r的

圓；

(2)|Z—Z||=|Z—Z2|表示以復(fù)數(shù)Zi，Z2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線.

Qi醒地腦

3.(1)已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量如圖所示，則復(fù)數(shù)z+1所對(duì)應(yīng)的向量正確的是

BC

(2)若i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z,則表示復(fù)數(shù)號(hào)的點(diǎn)是

()

A.EB.FC.GD.H

⑴A(2)D[(I)由題圖知,z=-'2+i,z+1=—2+i+l=—1+i,故z

+1對(duì)應(yīng)的向量應(yīng)為選項(xiàng)A.

(2)由題圖可得z=3+i,所以幣=幣=:2=2—i,則其在

復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為"(2,-1).］

“M4轉(zhuǎn)化與化歸思想

【例4】設(shè)zSC,滿足z+：WR,z—：是純虛數(shù)，求z.

［思路探究］本題關(guān)鍵是設(shè)出Z代入題中條件進(jìn)而求出Z.

［解］設(shè)2=%+何(》，y6R),則

z+}=x+yi+長(zhǎng)

解得y=0或JC2+V2=1,

111

---

z44

卜0,

JWO,

=代入$+）2=1中，求出）,=士可^,

復(fù)數(shù)z=:±*1.

規(guī)律方法

一般設(shè)出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，即2=%+京（》，yER）,則涉及復(fù)數(shù)的分類、幾

何意義、模的運(yùn)算、四則運(yùn)算、共物復(fù)數(shù)等問題，都可以轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)x,y應(yīng)滿

足的條件，即復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化的思想是本章的主要思想方法.

4.滿足z+三是實(shí)數(shù)，且z+3的實(shí)部與虛部是相反數(shù)的虛數(shù)z是否存在？若

存在，求出虛數(shù)z；若不存在，請(qǐng)說明理由.

［解］設(shè)虛數(shù)z=x+.yi(x,yWR,且yWO),

則z+^=x+y［+-l-xz+3=(x+3)+yi.

5y9

y—2I2-0,

由已知，得，-x+y因?yàn)閥WO,

x+3=~y,

x2+y2=5,x=-1,x=一2,

所以，,'解得或，

lx+y=-3,=-1.

所以存在虛數(shù)z=-1—2i或z=-2—i滿足題設(shè)條件.

專題強(qiáng)化訓(xùn)練(二)復(fù)數(shù)

(建議用時(shí)：60分鐘)

[合格基礎(chǔ)練]

一'選擇題

1.若復(fù)數(shù)z=(f—4)+(x—2)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為()

A.-2B.0

C.2D.-2或2

fx2—4=0,

A[由復(fù)數(shù)z=(d—4)+(x—2)i為純虛數(shù)得彳解得x=-2.]

2W0,

2.已知復(fù)數(shù)z=2—i,則z?，的值為()

A.5B.小

C.3D.3

A[z-7=(2-i)(2+i)=22-i2=4+1=5.]

1-i

3.設(shè)z=Rj+2i,則|z|=()

A.0B.2

C.1D.yf2

1—i(1—i)2

Cr??z=K+2i=c：?、/—、+2i

1+i(1+1)(1—i)

—2i

=—^~+2i=i,/?|z|=1.

故選C.]

4.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)母平的共加復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

(l+2i)2~3+4i(~3+4i)(l-i)

D?1+i=1+i—~

=義+*,其共輒復(fù)數(shù)為g—看，對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第四象限，故選D.］

5.已知z=(〃z—3)—(〃z+l)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)機(jī)的

取值范圍是()

A.(-3,1)B.(-1,3)

C.(1,+8)D.(—8,-3)

m—3V0,

B［由題意知彳,即一1＜機(jī)＜3.故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(-1,3),］

m+1＞0,

二'填空題

6.復(fù)數(shù)&里的值是

(l+2i)2-3+4i

—[3-4i=3-4i=-1]

7.在平行四邊形0A3C中，各頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z0=0,ZA=2+笠,

ZB=-2a+3i,zc=~b+a\,則實(shí)數(shù)為.

-4［因?yàn)闉?+女=由，

所以2+$+(—0+ai)=-2cz+3i,

2~b=~2a,32,

所以,解得彳，/得ai=-4J

/。=3,S=6,

8.設(shè)復(fù)數(shù)zi=l+i,Z2=x+2i(x6R),若Z1Z2WR,則x等于

-2[Vzi=l+i,Z2=x+2i(xWR),

.,.Z]Z2=(1+i)(x+2i)=(x—2)+(x+2)i.

*/Z1Z2R,.,?x+2=0,即x=-2.]

三、解答題

------------*7

9.把復(fù)數(shù)z的共頻復(fù)數(shù)記作z,已知(l+2i)z=4+3i,求z及=.

Z

［解］設(shè)2=〃+歷(〃,「&R),則z=。一二,

由已知得：(l+2i)(a一歷)=(。+2〃)+(2〃一份i=4+3i,由復(fù)數(shù)相等的定義知,

a+2A=4,

得。=2,b=1,

2cl—b=3.

??.z=2+i.

.z2+i(2+i)23+4i34

",7=2ZH=(2-i)(24-i)=5=5+5

z2+az+b

10.已知z=l+i,a,b《R,若±^7=Li，求ai的值.

［解］Vz=l+i,/.z2=2i,

z-\~az~\~b_2i+〃+ai+/?_(〃+2)i+(a+Z7)

=Q+2—(o+/?)i=1

z2—z+12i-1-i+1i一1,

。+2=1a=-1,

a+b=\b=2.

「等級(jí)過關(guān)練］

4；

1.若z=l+2i,則^=()

zz—1

A.1B.-1

C.iD.-i

——4；

C［因?yàn)閦=l+2i,則z=l-2i,所以zz=(l+2i)(l-2i)=5,則=—=

zz—1

4；

4=i.故選C.]

2.設(shè)有下面四個(gè)命題

Pi：若復(fù)數(shù)z滿足則z@R；

P2-若復(fù)數(shù)Z滿足Z26R,貝iJzGR；

P3：若復(fù)數(shù)Zi，Z2滿足Z1Z2WR,則Z1=Z2；

P4：若復(fù)數(shù)zGR,則，GR.

其中的真命題為（）

A.pt，P3B.P\,P4

C.P2,P3D.p2,P4

B［設(shè)z=a+bi(a,/>GR),z\=a\-\-b\i{a\,b\GR),22=42+匕2X02,eR)?

I|a-bi

對(duì)于p\,若一?R,即」-=2_L/￡R,則b=O^z=a+bi=a^R,所以

P\為真命題.

對(duì)于P2,若Z26R,即3+濟(jì))2=/+2。4一層￡鳳則ab=O.

當(dāng)a=0,0W0時(shí)，z=a+b\=b\R,所以p2為假命題.

對(duì)于P3,若Z|Z26R,即(。1+"。(。2+82。=(。闋2一仇人2)+3/2+。26)i@R,

則4]歷+<22b1=0.而Z]=Z2,即”|+b|i=a2一70。1=°2,"=一壇因?yàn)?。?

a2b1=0。/今0=。2,仇=一岳，所以P3為假命題.

對(duì)于P4,若zdR,即a+/?ieR,則/?=00z=a—bi=a￡R,所以為真

命題.故選B.]

3.已知|z|=3,且z+3i是純虛數(shù)，則2=.

3i[設(shè)z=x+yi(x,yWR),"\/JC2+>,2=3,①且z+3i=x+yi+3i=x+&+

fx=O,

3)i是純虛數(shù)，則彳「乂八

j十3WO,

由①可得y=3.，z=3i.]

4.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=F轡，則|z|等于.

_^/^+4i_(^/^+4i)(l—i)_4+(4_4+啦4-yf2,

3[z=]+i=(i+i)(i-i)=2=2+21，

二叫螞印苗="

5.已知復(fù)數(shù)z=(2+i)〃/一2(1—i)(加SR),當(dāng)〃z取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z

是復(fù)平面內(nèi)第二、四象限角平分線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

[解]由于機(jī)CR,復(fù)數(shù)z可以表示為

z=(2+i)，/-3/n(l+i)—2(1—i)=(2〃/—3m—2)+(〃/—3加+2)i.

當(dāng)2n—3〃L2=一(〃/-3〃z+2),

即m=0或m=2時(shí)，z為復(fù)平面內(nèi)第二、四象限角平分線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

章未綜合測(cè)評(píng)(二)復(fù)數(shù)

(時(shí)間120分鐘，滿分150分)

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四

個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

3+i

1-T+i=()

A.l+2iB.l-2i

C.2+iD.2-i

3+i(3+i)(l-i)3-3i+i+l

D[T+i=(l+i)(l-i)=2=2f

2.設(shè)復(fù)數(shù)z=a+4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸右側(cè)，則()

A.a〉0,b>QB.a>0,b<0

C.h>0,a￡RD.a>0,R

D[復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸右側(cè)，則該復(fù)數(shù)的實(shí)部大于零，虛部可為任意實(shí)

數(shù).]

_2-z

3.設(shè)復(fù)數(shù)z=-l—i（i為虛數(shù)單位），z的共粗復(fù)數(shù)是z,則一三一等于（）

A.—1—2iB.12+i

C.-l+2iD.l+2i

C[由題意可得?~=2j+i）

(3—i)(_[+i)

l+2i,故選C.]

(-l-i)(-l+i)

4.已知i是虛數(shù)單位，a,b^R,則“a=〃=l”是“（a+bi）=2i”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

A[當(dāng)a=b=l時(shí),(a+bi)2=(l+i)2=2i,反之，(a+bi)l2=a2—Z>2+2abi=

2i,則a?—/；2=0,208=1,解。=1,人=1或b=—\,故。=1,匕=1是

（a+Ai）2=2i的充分不必要條件，選A.]

5.若復(fù)數(shù)zi=3+i,Z2=l—i,則z=z「Z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2

[Vzrz2=(3+i)(l-i)=3-3i+i-i=4-2i,

，Z=Z「Z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第四象限.]

6.若1+/i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程f+云+c=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則()

A.b=2,c=3B.b=-2,c=3

C.b=—2,c=-1D.b=2,c=—l

B[因?yàn)?+啦i是實(shí)系數(shù)方程