新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：函數(shù)的性質(zhì)-單調(diào)性、奇偶性、周期性（原卷版+解析）

專題07函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性、奇偶性、周期性

【命題方向目錄】

命題方向一：函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用

命題方向二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷

命題方向三：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值

命題方向四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍

命題方向五：基本初等函數(shù)的單調(diào)性

命題方向六：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明

命題方向七：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)

命題方向八：已知函數(shù)的奇偶性求表達式、求值

命題方向九：已知〃幻=奇函數(shù)+/或/（幻=奇函數(shù)+函數(shù)

命題方向十：函數(shù)的對稱性與周期性

命題方向十一：類周期函數(shù)

命題方向十二：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性

命題方向十三：函數(shù)性質(zhì)的綜合

命題方向十四：利用奇偶性、單調(diào)性解不等式

［2024年高考預(yù)測】

2024年高考仍重點考查函數(shù)的基本性質(zhì)，特別是結(jié)合考查圖像問題，求解參數(shù)范圍，周期問題以及抽

象函數(shù)問題等的考察.

【知識點總結(jié)】

一、函數(shù)的單調(diào)性

（1）單調(diào)函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)/（無）的定義域為。，區(qū)間M=若對于任意的％,當(dāng)％時，都有

f（或〃而）＞/（%）），則稱函數(shù)/（X）在區(qū)間M上是單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）的，區(qū)間M為函數(shù)

/（x）的一個增（減）區(qū)間.

熟練掌握增、減函數(shù)的定義，注意定義的如下兩種等價形式：

設(shè)占eM=［a,b］且不＜々，則”占-2）＞0=〃尤）在［ab］上是增函數(shù)。過單調(diào)遞增函數(shù)圖象上

xl-x2

任意不同兩點的割線的斜率恒大于零o&-％-Aw）］＞。?

"百)一"/)<0o/(無)在上是減函數(shù)oo(x1-x,)[f(x1)-/(x2)]<0.

x1—x2

(2)性質(zhì)

對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：在公共區(qū)間上，增+增=增；減+減=減；增-減=增；減-增=減.

若y(x)為增函數(shù)，且/(尤)>。(或/(無)<o),則」一為減函數(shù).

/(X)

若/(幻為減函數(shù)，且/(尤)>0(或/(無)<0),則」一為增函數(shù).

/(x)

(3)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增(減)函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增

(減)函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增(減)函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減(增)函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).

二、函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為1,如果存在實數(shù)M滿足

(1)\/x&I,都有；(1)\/x&I,都有；

條件

(2)3x0eZ,使得"xo)=M(2)3x0e/,使得=M

結(jié)論加為最大值M為最小值

三、函數(shù)奇偶性

1、定義

設(shè)y=(。為關(guān)于原點對稱的區(qū)間)，如果對于任意的xe。，都有/'(-x)=/(x),則稱函數(shù)

y=/(x)為偶函數(shù)；如果對于任意的xwD,都有/(T)=-/⑴，則稱函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù).

2、性質(zhì)

(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱.

(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.

函數(shù)/(x)是偶函數(shù)o函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；

函數(shù)/(X)是奇函數(shù)o函數(shù)于(x)的圖象關(guān)于原點中心對稱.

(3)若奇函數(shù)y=/(x)在x=0處有意義，則有/(0)=0；

偶函數(shù)y=/(尤)必滿足/(x)=/(|x|).

(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱

的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同.

(5)若函數(shù)/(無)的定義域關(guān)于原點對稱，則函數(shù)/(尤)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形

式.記g(x)=g"(x)+f(—x)],^W=1[/(X)-/(-A)],則/(x)=g(x)+/z(x).

(6)運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個(或多個)函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得

的函數(shù)，如尤)+g(尤)J(x)-g(x),/(x)Xg(x),/O)+g(x).

對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：奇土奇=奇；偶土偶=偶；奇土偶=非奇非偶；

奇*(十)奇=偶；奇x(七)偶=奇;偶X")偶=偶.

(7)復(fù)合函數(shù)丫=/3(乃]的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

四、函數(shù)的周期性

1、定義

設(shè)函數(shù)y=/(x)(xeD),如存在非零常數(shù)T,使得對任何xe￡>,x+Te。，且/'(x+T)=/(>),則函數(shù)

了(幻為周期函數(shù)，T為函數(shù)的一個周期.若在所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，則這個最小的正數(shù)叫做

最小正周期.

注：函數(shù)的周期性是函數(shù)的“整體”性質(zhì)，即對于定義域。中的任何一個無，都滿足/(x+T)=f(x);若

/(X)是周期函數(shù)，則其圖像平移若干整數(shù)個周期后，能夠完全重合.

2、性質(zhì)

若/⑴的周期為T,則〃T(〃eZ,〃wO)也是函數(shù)/(無)的周期，并且有/(x+"T)=/(x).

3、有關(guān)函數(shù)周期性的重要結(jié)論(如表所示)

函數(shù)式滿足關(guān)系(xeR)周期

f(x+T)=f(x)T

f(x+T)=-f(x)2T

/(x+T)=+T)=-一—2T

/(x)f(x)

f(x+T)=f(x-T)2T

f(x+T)=-f(x-T)4T

\f{a+x)=f{a-x)

\f(b+x)=f(b-x)2(。一〃)

[(a+x)=/(a-x)

2a

[/(x)為偶函數(shù)

[/(a+無)=_/(a_尤)

2(b-a)

f(b+x)=-f(b-x)

[f(a+無)=-f{a-x)

2a

/(x)為奇函數(shù)

[f(a+x)=f(a-x)

4(。一〃)

f{b+x)=-f{b-x)

^f(a+x)=f(a-x)

[/(尤)為奇函數(shù)4〃

[f(a+x)=-f(a-尤)

4a

/(無)為偶函數(shù)

五、函數(shù)的對稱性

(1)若函數(shù)y=fOH~a)為偶函數(shù)，貝U函數(shù)y=f(x)關(guān)于x=a對稱.

(2)若函數(shù)y=/(升0為奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)關(guān)于點(a,0)對稱.

(3)若/(x)=y(2a-x),則函數(shù)f(x)關(guān)于x=a對稱.

(4)若/1(元)+/(2a-x)=26,則函數(shù)f(尤)關(guān)于點(a,6)對稱.

【方法技巧與總結(jié)】

函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系

(1)若函數(shù)y=/(x)有兩條對稱軸x=a,x=6(a<6),則函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，且7=2(匕-0；

(2)若函數(shù)y=y(x)的圖象有兩個對稱中心(a,c),(6,c)(a<Z0,則函數(shù)y=/(無)是周期函數(shù)，且

T=2(6—a)；

(3)若函數(shù)>=/(尤)有一條對稱軸x=a和一個對稱中心(6,0)(a<8),則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，且

T=4(b-a).

(4)若函數(shù)/(x)滿足/(%+加)=1-—L(/(x)wO),則函數(shù)/(元)是以3m為周期的周期函數(shù).

(5)若函數(shù)/(無)滿足/(尤+何=二豈則函數(shù)“X)是以為周期的周期函數(shù).

1-/W

【典例例題】

命題方向一：函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用

例1.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)/(x)=|x-2|x的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.[1,2]B.[-1,0]C.(0,2]D.[2,+8)

例2.(2023?河南許昌?高三校考期末)己知函數(shù)〃x)=U?,〃l)=gj(0)=0.

⑴求的解析式；

⑵判斷并證明函數(shù)〃元)在(—,-2)上的單調(diào)性.

例3.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃?=署^是定義在(-U)上的函數(shù)，=恒成

⑴確定函數(shù)〃尤)的解析式；

⑵用定義證明在(-1,1)上是增函數(shù);

⑶解不等式”xT)+"X)<0.

變式1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)滿足/(x)+2/(J=3x.

⑴求函數(shù)f(x)的解析式；

⑵用定義證明函數(shù)f(x)在(0,+巧上的單調(diào)性.

變式2.(2023?全國?高三階段練習(xí))已知奇函數(shù)〃力=與?的定義域為卜a-2,b]

(1)求實數(shù)Q，(的值;

(2)判斷函數(shù)/(無)的單調(diào)性，并用定義證明；

⑶當(dāng)xe［l,2］時，2+〃礦(x)+2，＞0恒成立，求加的取值范圍.

【通性通解總結(jié)】

函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值一變形一判斷符號一下結(jié)論”進行判斷.

②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)

區(qū)間.

命題方向二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷

例4.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)無)=52尤,一5x+2的單調(diào)減區(qū)間為.

例5.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)/(%)=1幅(/-2%-3)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

例6.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)y=R的單調(diào)減區(qū)間是

變式3.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)丁=^^一^的單調(diào)增區(qū)間為__________.

x+2x+4

變式4.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)〃x)=ln(x2+2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是.

【通性通解總結(jié)】

討論復(fù)合函數(shù)y=〃g(x)］的單調(diào)性時要注意：既要把握復(fù)合過程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性.一般

需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個簡單的初等函數(shù)的復(fù)合，然后分別判斷它們的單調(diào)

性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：

1、若〃=g(x),y=/(")在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則y=f［g(x)］為增函數(shù)；

2、若〃=g(x),y=/(〃)在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù)，則y=f［g(x)］為減函

數(shù).列表如下：

U=g(x)y=y=/Tg(x)]

增增增

增減減

減增減

減減增

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時遞增；單性相異時遞減.

命題方向三：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值

例7.(2023.上海黃浦?格致中學(xué)?？既?已知〃x)=l+log3X(lWxW9),設(shè)g(x)=尸+,則函

數(shù)V=g⑺的值域為.

例8.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)=2廬舊+，尤2一2元的最小值為.

例9.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)y=x-2?,則函數(shù)的值域為.

變式5.(2023?全國?高三專題練習(xí))己知函數(shù)/(無)=4'-2，+1,則其值域為.

變式6.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)〃x)=|2e-l卜2尤的最小值為

【通性通解總結(jié)】

利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值.常用到下面的結(jié)論：

1、如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,歷上是增函數(shù)，在區(qū)間g,c)上是減函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)(xea,c)

在x=6處有最大值73).

2、如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,切上是減函數(shù)，在區(qū)間［6,c)上是增函數(shù)，貝U函數(shù)y=/(x)(xea,c)

在x=6處有最小值/(6).

3、若函數(shù)y=f(x)在［a,切上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)y=/(尤)在［a,句上一定有最大、最小值.

4、若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,句上是單調(diào)遞增函數(shù)，則y=/(x)的最大值是/(6),最小值是/(a).

5、若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,句上是單調(diào)遞減函數(shù)，則y=/(x)的最大值是/(a),最小值是/(6).

命題方向四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍

例10.(2023?四川宜賓?高三四川省宜賓市第四中學(xué)校?？奸_學(xué)考試)己知函數(shù)”了)=］￡一""+了"。'是

2*+〃,光〉0

R上的增函數(shù)，則，的取值范圍是()

A.［0,3)B.(0,3)C.[2,3）D.（2,3）

例11.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知實數(shù)x,y滿足x+2-2,2y+log2y=1,貝"+2y的值是

例⑵（2。23?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)〃加修在已+⑹上單調(diào)遞增'則實數(shù)。的取值范圍是

變式7.（2023?安徽宣城?高三統(tǒng)考期末）已知/（xHalnx-Zx2在區(qū)間（0,1）內(nèi)任取兩個不相等的實數(shù)）,

q,不等式恒成立,則實數(shù)。的取值范圍是.

p-q

變式8.（2023?高三課時練習(xí)）已知/（x）=log“（3-依）在［0,2］上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是

變式9.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)y環(huán)（a>0且。*1）在區(qū)間［1,2］上是減函數(shù)，則實數(shù)“

的取值范圍是.

變式10.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=—在-2,-：上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍是

x-ax-aL

x2+(4〃-3)x+3a,x<0

變式11.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=,（〃>0且中1）是R上的單

logfl(x+l)+2,x>0

調(diào)函數(shù)，則〃的取值范圍是（）

33

A.(0,—]B.[—,1)

44

變式12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知"2龍）=|x-4,若函數(shù)“X）在區(qū)間（F,2］上為減函數(shù)，則。的

取值范圍是（）

A.a>lB.a>1

C.a>2D.a>2

—x2+lax+4,茗，1,

；,+oo］上的減函數(shù)，則。的

變式13.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/(x)=1是

—,%>1

取值范圍是（）

B.(-oo,-l]

D.(YO,T)

【通性通解總結(jié)】

若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)〃的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)。的不等式,

利用下面的結(jié)論求解.

1、若.>f（x）在［m,n\上恒成立。a>/（x）在［m,網(wǎng)上的最大值.

2、若a</（x）在［加，川上恒成立0a</（x）在［加，川上的最小值.

命題方向五：基本初等函數(shù)的單調(diào)性

例13.（2023?廣西南寧.南寧二中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)同時滿足性質(zhì)：①/（T）=〃x）；②當(dāng)

2

氣,々武。，1）時，"6"尤）<。，則函數(shù)"》）可能為（）

A.f(x)=x2C./(x)=cos2xD./(x)=ln|x|

例14.（2023?江蘇揚州?高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)y=/（尤）在定義域中滿足/X-x）=/（x）,且在（f,0）上

單調(diào)遞減，則＞=/(尤)可能是()

三

A./(x)=--B./(x)=-x2C./(x)=e%+e-xD.W

X

3

例15.（2023?云南玉溪?高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）--（xe［2,8］）,則（）

A./（x）是單調(diào)遞增函數(shù)B.f（x）是偶函數(shù)

C.函數(shù)人元）的最小值為"8）D./（2）</（4）</（6）

變式14.（2023?陜西西安?高三統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)的是（）

A.y=-2xB.y=sinxC.y=lgxD.y=3x

變式15.（2023?北京?北京八十中?？寄M預(yù)測）下列函數(shù)中，與函數(shù)/（司=2，-《的奇偶性、單調(diào)性均

相同的是（）.

A.y=e'B.y=tanxC.y=x2D.y=x3

【通性通解總結(jié)】

1、比較函數(shù)值大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)單調(diào)性解決.

2、求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：①求函數(shù)定義域；②求簡單函數(shù)單調(diào)區(qū)間；③求復(fù)合函數(shù)單

調(diào)區(qū)間(同增異減).

3、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)時，通常要把參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)圖像或單調(diào)性定義，確定函數(shù)單

調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較，利用區(qū)間端點間關(guān)系求參數(shù).同時注意函數(shù)定義域的限制，遇到分段函數(shù)

注意分點左右端點函數(shù)值的大小關(guān)系.

命題方向六：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明

例16.(2023?江蘇南通?高三校聯(lián)考階段練習(xí))雙曲函數(shù)起初用來描述一些物理運動過程，后來又大量應(yīng)用

于計算機科學(xué)、經(jīng)濟和金融領(lǐng)域.若雙曲正切函數(shù)為tanhx=^士，則tanhx()

A.是偶函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減B.是偶函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增

C.是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減D.是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增

例17.(2023?全國?高三專題練習(xí))若/(x),g(x),網(wǎng)力分別是定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)、偶函

數(shù)，則下列函數(shù)不是偶函數(shù)的是()

A.y=〃g(X))Mx)B.y"(g(x))+/7(x)

c.j=/(/?(x))g(x)D.y=/(x)|g(x)|/z(x)

例18.(2023?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí))若/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是

()

A.y=f（2'+2T）B.y=f（2x-x）

C.y=f（2-2T）D.

變式16.(2023?高三課時練習(xí))判斷下列函數(shù)的奇偶性:

(1)仆)=卜+1|-卜7；

V1—A

⑶〃尤）=<0

+>0

（4）〃x）=lg（G+l+x）.

【通性通解總結(jié)】

函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合時，注意函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，以及奇偶函數(shù)圖像的對稱性.

命題方向七：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)

例19.（2023.河北?校聯(lián)考一模）若函數(shù)〃x）=lnN竺的圖象關(guān)于原點對稱，則實數(shù)機的值為

4-2x

例20.（2023?湖南?校聯(lián)考二模）已知函數(shù)=為偶函數(shù)，貝.

例21.（2023?山東威海?統(tǒng)考二模）若函數(shù)/（x）=ln（e，+iy+加是奇函數(shù)，則實數(shù)。=.

變式17.（2023?上海?高三專題練習(xí)）已知/（尤）=1+不\是奇函數(shù)，則實數(shù)。=__________.

e-1

變式18.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=e，-b+（〃-2）_?+（4+1卜是定義在R上的奇函數(shù)，則

-（。）=.

變式19.（2023?上海長寧?統(tǒng)考二模）若函數(shù)>=ln（l+元）-aln（l-尤）為奇函數(shù)，則實數(shù)。的值為

【通性通解總結(jié)】

利用函數(shù)的奇偶性的定義轉(zhuǎn)化為/'（-*）=±/（尤），建立方程，使問題得到解決，但是在解決選擇題、

填空題時還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解.

命題方向八：已知函數(shù)的奇偶性求表達式、求值

例22.（2023?廣東?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)時，f（x）=x（l+x）,貝l|/（T）=

例23.（2023?陜西西安?統(tǒng)考一模）若定義域為R的奇函數(shù)/（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，且不等式

獷⑺<0的解集為（f,內(nèi)），則符合題意的一個函數(shù)解析式為.

例24.（2023?高三課時練習(xí)）已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，則當(dāng)x>0時，

仆）=-------

變式20.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知〃x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x20時，/（x）=x2-2x,則

當(dāng)x<。時，y(x)=.

變式21.(2023?全國?高三專題練習(xí))若定義在R上的偶函數(shù)〃x)和奇函數(shù)g(x)滿足/(x)+g(x)=e*,則

g(x)的解析式為g(x)=.

【通性通解總結(jié)】

抓住奇偶性討論函數(shù)在各個分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于/(x)的方程，從而可得

/(X)的解析式.

命題方向九：已知/(x)=奇函數(shù)+M或/(>)=奇函數(shù)+函數(shù)

6tnx

例25.(2。23?山西大同?高三統(tǒng)考階段練習(xí))函數(shù)=+而的最大值為最小值為N,則

M+N=()

A.3B.4C.6D.與加值有關(guān)

例26.(2023?全國?高三專題練習(xí))己知函數(shù)/(X)=(X2-2尤)sin(x-1)+上在［-1,1)5,3］上的最大值為

x-1

M,最小值為N,則M+N=()

A.1B.2C.3D.4

例27.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)"%)=(f-2,sin(x-1)+x+1在區(qū)間［-1,3］的最大值為M,

最小值為m,則〃+根=()

A.4B.2C.1D.0

變式22.(2023?山西忻州?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=——-----------的最大值與最小值之和

3+cosx

為6,則實數(shù)4的值為()

A.2B.3C.4D.5

變式23.(2023?福建廈門?高三廈門一中?？茧A段練習(xí))已知/(x)=￡^+ax+cos2x,若/匕)？，則

df等于()

A.-2B.-1C.0D.1

變式24.(2023?廣西桂林?高一校考期中)已知函數(shù)〃x)=ln(Jl+9f-3x)+1,則/(lg2)+/1lg；

A.0B.1C.2D.3

變式25.(2023?全國?高三專題練習(xí))若對Vr,yeR.有/(x+y)=〃尤)+/(y)-4,則函數(shù)

2九

g(%)=￡+/(%)在［-2018,2018］上的最大值和最小值的和為()

x+1

A.4B.8C.6D.12

變式26.（2023?福建廈門?高一廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）=ln（"f+1+若

/(log,a)=2,則/log.tz

I2

【通性通解總結(jié)】

已知/(》)=奇函數(shù)+ALx&[-a,a\,則

⑴f(-x)+f(x)=2M

（2）/■（Ma+m1m=2M

命題方向十：函數(shù)的對稱性與周期性

例28.（多選題）（2023?廣東廣州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)定義在R上的函數(shù)“力與g（x）的導(dǎo)函數(shù)分別為

r（x）和g'（x）.若〃x）—g（4—x）=2,g'（x）=_f（x—2）,且“x+2）為奇函數(shù)，則（）.

A.VxeR,/（4+x）+y（-x）=0B.g（3）+g（5）=4

20232023

c.⑹=0D.Xg（左）=。

左=1女=1

例29.（多選題）（2023?湖南衡陽?校考模擬預(yù)測）定義在R上的函數(shù)”力的導(dǎo)函數(shù)為尸（x）,當(dāng)xe（0,2）

礦(x)<〃x)，函數(shù)g(x)=/@

時,滿足：g（x+l）為奇函數(shù)，且對于定義域內(nèi)的所有實數(shù)》,都有

g(4-x)=g(x).貝!1()

A.g(元)是周期為2的函數(shù)B.g（x）為偶函數(shù)

C.gf-y]>g(2023)>g(e)

D.g（x）的值域為（-M）

例30.（多選題）（2023?廣東汕頭?統(tǒng)考三模）設(shè)函數(shù)〃尤）定義域為R,"%-1）為奇函數(shù)，〃x+l）為偶

函數(shù)，當(dāng)姿時,〃力=—_?+1,則下列結(jié)論正確的是（）

B.在（6,8）上是減函數(shù)

C.〃x+7）為奇函數(shù)

D.方程〃x）+lgx=0僅有6個實數(shù)解

變式27.（多選題）（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考三模）設(shè)函數(shù)“X）為R上的奇函數(shù)，尸（x）為〃x）的導(dǎo)函數(shù),

/（2x+l）-/（2-2x）=4x-l,/（1）=1,則下列說法中一定正確的有（）

A./⑵=2B.=|AD.小圖=59

變式28.(多選題)(2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知定義在R上的函數(shù)/⑴滿足/(尤+2)+/(尤)=0,且

y=/(2-x)為偶函數(shù)，則下列說法一定正確的是()

A.函數(shù)/(x)的周期為2

B.函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于直線x=2對稱

C.函數(shù)/(尤)為偶函數(shù)

D.函數(shù)Ax)的圖象關(guān)于點(3,0)對稱

變式29.(多選題)(2023?山西大同?統(tǒng)考模擬預(yù)測)定義在R上的函數(shù)Ax),g(x)滿足八0)<0,

/(3-%)=/(l+x),g(2-x)+g(x)=2,g［x+；］=/(2x)+l,則()

A.x=6是函數(shù)/(x)圖象的一條對稱軸

B.2是g(x)的一個周期

C.函數(shù)/(X)圖象的一個對稱中心為(3,0)

D.若〃eN*,且“<2023,/(?)+/(?+1)++f(2023)=0,則〃的最小值為2

變式30.(多選題)(2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測)己知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為R,導(dǎo)函數(shù)分別為

尸(x),gf(x),若〃3—x)=g(x)—2,r(x)=g，(x+l),且g(2+x)+g(-x)=0,則()

A.4為函數(shù)g(x)的一個周期B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(2,-2)對稱

20242024

C.Eg(〃)=0D.⑺=4048

n=ln=l

變式31.(多選題)(2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中校考模擬預(yù)測)已知奇函數(shù)/?(》)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函

數(shù)為尸(x),且〃1-力-〃1+力+2%=0恒成立，若在［0川單調(diào)遞增，則下列說法正確的是()

A.在［L2］單調(diào)遞減B.〃2)=2

C./(2024)=2024D./(2023)=1

變式32.(多選題)(2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x+4)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)g(x+2)

是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足g(x)=(x—2)〃x—1),g(3)=g(4)+2=6,則()

A.〃x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱B.是周期為3的周期函數(shù)

2026

C."1)=0D.￡/(0=8

1=1

變式33.(多選題)(2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考模擬預(yù)測)設(shè)定義在R上的函數(shù)〃尤)與g(x)的導(dǎo)數(shù)分別為

/⑺與g'(x),已知〃x)=g(2—x)+l,/(%-2)=^(%),且尸(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，則下列結(jié)

論一定成立的是()

A.函數(shù)g'(x)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱

B.函數(shù)g'(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱

C.函數(shù)g'(x)的一個周期為8

D.函數(shù)g'(尤)為奇函數(shù)

變式34.(多選題)(2023?安徽馬鞍山?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)尸(力的定義域均為R,記

g(x)=/(%),若g(l+x)均為奇函數(shù)，貝U()

A.，⑼=。B.g(0)=0C.”-1)=〃4)D.g(-l)=g(4)

【通性通解總結(jié)】

(1)若函數(shù)y=/(x)有兩條對稱軸x=a,x=b(a〈b),則函數(shù)了(尤)是周期函數(shù)，且T=2(6-a)；

(2)若函數(shù)y=f(無)的圖象有兩個對稱中心(a,c),(b,c)(a<8),則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，且

T=2(b—a)；

(3)若函數(shù)y=f(尤)有一條對稱軸x=a和一個對稱中心(6,0)(a<6),則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),

且T=4S-a).

命題方向十一：類周期函數(shù)

例31.(2023?江西?校聯(lián)考一模)設(shè)函數(shù)7⑺的定義域為R,滿足/(尤+2)=2/(尤)，且當(dāng)xe(0,2］時，

40

/■(?=-》0-2).若對任意彳€(-00,詞，都有了⑺工豆，則加的取值范圍是().

(91(191,F(23■

A.I-?,-B.IC.(-℃,7］D,l-oo,—

例32.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/⑴的定義域為R,滿足〃x+2)=2/(x),且當(dāng)xe(0,2］時,

1g9

/(%)=%+—-若對任意了€(7>,7〃］,都有〃X)N-彳，則加的取值范圍是

x43

例33.(2023?天津靜海?高三靜海一中校聯(lián)考期末)定義域為R的函數(shù)滿足/(x+2)=2/(x)-1,當(dāng)

x2-x,xe(O,l)

xe(O,2］時，/(%)=1ri.若x40,4］時，-尤)437恒成立，則實數(shù)f的取值范圍是

-9xe［l,2\2

變式35.(2023?湖北黃石?高一統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)g(x)=6a+l,函數(shù)/(%)的定義域為R且滿足

—尤?+4x,2<x<3

當(dāng)時，

f(x+2)=2/(x).X￡[2,4]f(x)=<X2+2.若對任意玉e[-2,0],都存在x,e[-2,1],

3<x<4

l尤

使得g(%)=〃芯)，則實數(shù)。的取值范圍為()

【通性通解總結(jié)】

1、類周期函數(shù)

若y=/'(x)滿足：f(x+m)=kf(x)^f(x)=i<f(x-m),則y=f(x)橫坐標(biāo)每增加m個單位，則函數(shù)值

擴大左倍.此函數(shù)稱為周期為加的類周期函數(shù).

類周期函數(shù)圖象倍增函數(shù)圖象

2、倍增函數(shù)

若函數(shù)y=/(x)滿足f(mx)=kf(x)或/(尤)=^(―),則y=/(尤)橫坐標(biāo)每擴大機倍，則函數(shù)值擴大k

m

倍.此函數(shù)稱為倍增函數(shù).

g(x)，xe[l,m)

g(x-m+l),xw[m,m2)

注意當(dāng):”=左時，構(gòu)成一系列平行的分段函數(shù)，/(x)=<g(x-m2+1),xe[m2,m3).

g(x-+1),xe[m"'1,m")

命題方向十二：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性

例34.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)“X),g(x)滿足:①/(。)=1;②g(x)為奇函

數(shù)；@Vxe(O,-H?),g(x)>0；④任意的X,yeR,/(x-y)=/(x)f(y)-g(x)g(y).

(1)判斷并證明函數(shù)〃x)的奇偶性；

(2)判斷并證明函數(shù)〃x)在(0,+?)上的單調(diào)性.

例35.(2023?全國?高三專題練習(xí))己知函數(shù)/(x)對于任意x,yGR,總有/'(x)+/(y)—f(x+y),

且當(dāng)x>0時，/?<0,求證：/(%)在R上是減函數(shù)；

例36.(2023?河北唐山?高三唐山市第十一中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)/(X)對任意的都有

/(x+y)=/(x)+/(y),且當(dāng)尤>0時，/(x)<0,/(l)=-2.

⑴判斷函數(shù)“X)的奇偶性；

(2)證明：函數(shù)/>(X)是定義域上的減函數(shù)；

(3)當(dāng)xe[-3,3]時，函數(shù)/(X)是否有最值？如果有，求出最值；如果沒有，請說明理由.

變式36.(2023?江西鷹潭?高三貴溪市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)函數(shù)的定義域是(0,y),且對任意

的正實數(shù)x、>都有〃孫)=〃x)+〃y)恒成立，己知"16)=4,且0<x<l時〃x)<0.

⑴求/⑴與"2)的值；

(2)求證：對任意的正數(shù)占、/，/(^+%2)>/(^)；

⑶解不等式〃x)+l>(/(12x-8).

變式37.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知定義域為/=(Y,0)(0,y)的函數(shù)/(尤)滿足對任意

%,3€2,。)1(O,-H?),都有/(%%)=/(%)+/(%).

(1)求證：〃力是偶函數(shù);

(2)設(shè)x>l時〃尤)<0,

①求證："X)在(0,+8)上是減函數(shù)；

②求不等式/(2x)的解集.

變式38.(2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試)已知函數(shù)的定義域為R,且對任意的羽丁?尺有

/(x+y)=/(x)+/(y)?當(dāng)尤>。時，/(x)>。，〃1)=2.

(1)求〃o)并證明“X)的奇偶性；

(2)判斷的單調(diào)性并證明；

(3)求/⑶；若/(4*-?)+/(6+2㈤)>6對任意xeR恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【通性通解總結(jié)】

抽象函數(shù)的模特函數(shù)通常如下：

(1)若/(x+y)=/(x)+/(>),則/(尤)=4?⑴(正比例函數(shù))

(2)若/(龍+凹=/(“(凹，則〃尤)=["1)『(指數(shù)函數(shù))

(3)若/(孫)=/(x)+/(y),則/"(x)=log〃x(對數(shù)函數(shù))

(4)若〃孫)=〃尤)”y),則〃x)=x"(幕函數(shù))

(5)若/(x+y)=/(X)+/(y)+m,則/(%)=獷⑴一根(一次函數(shù))

（6）對于抽象函數(shù)判斷單調(diào)性要結(jié)合題目已知條件，在所給區(qū)間內(nèi)比較大小，有時需要適當(dāng)變形.

命題方向十三：函數(shù)性質(zhì)的綜合

fli

例37.（2023?廣西南寧?南寧三中?？家荒＃3+log3a=27+31og27Z7,則（）

A.a<3bB.a>3b

C.a>b2D.a<b2

例38.（2023.廣西南寧.南寧三中?？家荒＃┘褐ǎ▁）,g'（x）分別為定義在R上的〃x）,g（x）的導(dǎo)函

數(shù)，且“力-g'（x）=2,〃x）+g，（2-x）=2,若g（x）是偶函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.函數(shù)“X）的圖象關(guān)于點。,1）對稱

B.函數(shù)/'（X）的圖象關(guān)于直線x=2對稱

C.3是g'（x）的一個周期

D./（2024）=1

例39.（2023?四川攀枝花?統(tǒng)考三模）定義在R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)為尸（x）,滿足

"1—x）=〃x+l）,且y=〃4x+2）為奇函數(shù).當(dāng)x<2,3]時，f（x）=（%-2）3-3（x-2）,則

/（2022）+/（2023）=（）

A.-5B.-2C.-1D.1

變式39.（2023?山西臨汾?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，且滿足

1=g[〃a）+〃36）],〃l）=5,〃3）=9.則“2023）的值為（）

A.5B.9C.4023D.4049

變式40.（2023.貴州黔西.校考一模）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于x=l對

稱.若"1）=3,則/⑵+〃3）++/（50）=（）

A.3B.2C.0D.50

變式41.（2023?陜西渭南?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/'（尤）滿足：①定義域為R,②/（x+1）為偶函數(shù)，③

〃x+2）為奇函數(shù)，④對任意的藥,馬e[0,1],且玉片天，者B有（石-々乂/（%）-/優(yōu)））>0，則

ume的大小關(guān)系是（）

變式42.（2023?四川綿陽.統(tǒng)考一模）若函數(shù)的定義域為R,且〃2x+l）偶函數(shù)，〃x-l）關(guān)于點

(3,3)成中心對稱，則下列說法正確的個數(shù)為(

①的一個周期為2②"22)=3

19

③/("的一條對稱軸為x=5@￡/(0=57

1=1

變式43.(2023.四川遂寧.四川省遂寧市第二中學(xué)校校考一模)已知函數(shù)〃工)的定義域為R,/(2x-2)為

偶函數(shù)，〃x-3)+〃—x+l)=0,當(dāng)xe［_2,-l］時，f(x)=-L-ax-4"〉0且4k1),且〃-2)=4.則

A.28B.32C.36D.40

【通性通解總結(jié)】

(1)奇偶性與單調(diào)性綜合解題，尤其要重視利用偶函數(shù)(或軸對稱函數(shù))與單調(diào)性綜合解不等式和

比較大小.

(2)奇偶性、單調(diào)性、周期性綜合解題，尤其要注意對稱性與周期性之間的關(guān)系，周期是兩條對稱

軸(或?qū)ΨQ中心)之間距離的2倍，是對稱中心與對稱軸之間距離的4倍.

命題方向十四：利用奇偶性、單調(diào)性解不等式

例40.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/(x)在(―,3］上單調(diào)遞增，且