全國(guó)各省中考相關(guān)考點(diǎn)分析,中考專(zhuān)題復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)專(zhuān)題05反比例函數(shù)(5大模塊知識(shí)梳理+5大考點(diǎn)+3大易錯(cuò)點(diǎn))原卷版

專(zhuān)題05反比例函數(shù)目錄01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。 02盤(pán)·基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（5大模塊知識(shí)梳理）知識(shí)模塊一：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識(shí)模塊二：反比例函數(shù)的解析式確定方法知識(shí)模塊三：反比例系數(shù)k的幾何意義知識(shí)模塊四反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合知識(shí)模塊五反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用03究·考點(diǎn)考法：對(duì)考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（5大考點(diǎn)）考點(diǎn)一：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)二：反比例函數(shù)解析式的確定考點(diǎn)三：反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合考點(diǎn)四：反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)五：反比例函數(shù)與幾何綜合（含k的幾何意義）04辨·易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，沖刺高分。（3大易錯(cuò)點(diǎn)）易錯(cuò)點(diǎn)1：利用反比例函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，誤認(rèn)為所給出的點(diǎn)在同一曲線上易錯(cuò)點(diǎn)2：利用函數(shù)圖象解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，容易忽視自變量在實(shí)際問(wèn)題的意義．易錯(cuò)點(diǎn)3：反比例函數(shù)k的幾何意義知識(shí)模塊一：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一：反比例函數(shù)的概念一般地，形如y=kx（k為常數(shù)，反比例函數(shù)的解析式也可以寫(xiě)成xy=k（k≠0、xy≠0）、y=kx知識(shí)點(diǎn)二：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)性質(zhì)表達(dá)式y(tǒng)=kx（k為常數(shù)，圖象k>0k<0經(jīng)過(guò)象限一、三象限（x、y同號(hào)）二、四象限（x、y異號(hào)）增減性在圖象所在的每一象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小在圖象所在的每一象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大對(duì)稱(chēng)性中心對(duì)稱(chēng):反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng),如雙曲線一支上的點(diǎn)A(a,b)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A(-a,-b)在雙曲線的另一支上軸對(duì)稱(chēng):反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x或y=-x成軸對(duì)稱(chēng)圖象特征1）反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，它的圖象與x軸、y軸都沒(méi)有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸．2）反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸為直線y=±x，對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)．注意：(1)研究反比例函數(shù)的增減性及比較兩個(gè)函數(shù)值的大小時(shí)，要分象限進(jìn)行研究或比較.(2)判斷某點(diǎn)是否在反比例函數(shù)的圖象上，只需要判斷該點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之積是否等于k即可.(3)因?yàn)榉幢壤瘮?shù)和正比例函數(shù)的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以在同一直角坐標(biāo)系中，若反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).知識(shí)模塊二：反比例函數(shù)解析式的確定方法待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟：1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=k2）把已知的一對(duì)x，y的值帶入解析式，得到一個(gè)關(guān)于待定系數(shù)k的方程；3）解方程求出待定系數(shù)k；4）將所求的k值代入所設(shè)解析式中.知識(shí)模塊三：反比例系數(shù)k的幾何意義當(dāng)反比例函數(shù)圖象與三角形、矩形結(jié)合時(shí),可直接利用k的幾何意義求解,若圖形為不規(guī)則圖形,則結(jié)合割補(bǔ)法進(jìn)行求解.一、一點(diǎn)一垂線結(jié)論：S△AOB=S△CODS△AOE=S四邊形CEBDS△AOC=k二、一點(diǎn)兩垂線結(jié)論：S矩形ABOE=S矩形CDOFS矩形AEFG=S矩形CGBDS?ABCD=k三、兩點(diǎn)一垂線結(jié)論：S△ABC=2S△ABO=k如左圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)y=kx交于A、B兩點(diǎn)，且一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)C，則S△AOB=S△AOC+=12co?|yA|+12co?|yB|=12co(|yA|+如右圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)y=kx交于A、B兩點(diǎn)，且一次函數(shù)與y軸交于點(diǎn)C，則S△AOB=S△AOC+=12co?|xA|+12co?|xB|=12co(|xA|+四、兩點(diǎn)兩垂線【模型結(jié)論】反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)及由交點(diǎn)向坐標(biāo)軸所作兩條垂線圍成的圖形面積等于2|k|五、兩點(diǎn)和原點(diǎn)方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】方法二：作AE⊥x軸于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)M，BF⊥x軸于點(diǎn)F，而S△OAM＝S四邊形MEFB，則S△AOB＝S直角梯形AEFB．方法三：S△AOB＝S四邊形COFD－S△AOC－S△BOF.【補(bǔ)形】方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝12OD?（|yA|-|yB|方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝12OC?（|xB|-|xA|六、兩曲一平行類(lèi)型一兩條雙曲線的k值符號(hào)相同結(jié)論：S陰影＝|k1|-|k2|S陰影＝12|k1|-12結(jié)論：S陰影＝|k1|-|k2|S陰影＝|k1|-|k2|-S直角梯形AFDE類(lèi)型二兩條雙曲線的k值符號(hào)相同結(jié)論：S△AOB＝S△ACB＝12(|k1|+|k2|)S陰影＝|k1|+|k2知識(shí)模塊四反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合1.自變量取值范圍當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時(shí)，聯(lián)立兩個(gè)解析式，構(gòu)造方程組，然后求出交點(diǎn)坐標(biāo)．針對(duì)y1>y2時(shí)自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對(duì)應(yīng)的x的范圍．例如，如下圖，當(dāng)y1>y2時(shí)，x的取值范圍為x>xA或xB<x<0；同理，當(dāng)y1<y2時(shí)，x的取值范圍為0<x<xA或x<xB．2.求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)由k值的符號(hào)來(lái)決定．①k值同號(hào)，兩個(gè)函數(shù)必有兩個(gè)交點(diǎn)；②k值異號(hào)，兩個(gè)函數(shù)可無(wú)交點(diǎn)，可有一個(gè)交點(diǎn)，可有兩個(gè)交點(diǎn)；2）從計(jì)算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況．知識(shí)模塊五反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一：用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的步驟1）審：審清題意，找出題目中的常量、變量，并理清常量與變量之間的關(guān)系；2）設(shè)：根據(jù)常量與變量之間的關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示；3）列：由題目中的已知條件列出方程，求出待定系數(shù)；4）寫(xiě)：寫(xiě)出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍；5）解：用函數(shù)解析式去解決實(shí)際問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)二：反比例函數(shù)實(shí)際應(yīng)用常考題型解題方法1.與實(shí)際情境結(jié)合的分段函數(shù)問(wèn)題(1)通過(guò)問(wèn)題提供的信息,明確變量之間的函數(shù)關(guān)系或直接設(shè)出函數(shù)解析式,再根據(jù)已知條件確定函數(shù)解析式中的字母系數(shù)。(2)寫(xiě)出函數(shù)解析式,然后運(yùn)用其圖象與性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題。2.跨學(xué)科應(yīng)用考查反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用時(shí)，常會(huì)結(jié)合其他學(xué)科的知識(shí)(專(zhuān)業(yè)名詞、公式等),做題時(shí)要讀懂題意,理解所給的函數(shù)圖象,利用反比例函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.考點(diǎn)一：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例1】（一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象）（2024·黑龍江大慶·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的大致圖象為（

）A． B．C． D．【典例2】（二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象）（2024·山東德州·中考真題）已知，是某函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，．該函數(shù)的解析式可能是（

）A． B．C． D．【典例3】（判斷反比例圖象所在象限）（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則反比例函數(shù)的圖象所在的象限分別位于（

）A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限【典例4】（反比例函數(shù)性質(zhì)）（2024·江蘇南京·中考真題）已知點(diǎn)，，在下列某一函數(shù)圖像上．且那么這個(gè)函數(shù)是（）A． B． C． D．【典例5】（已知反比例函數(shù)圖象，判斷其解析式）（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象大致如圖所示，則函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C． D．【典例6】（反比例函數(shù)的增減性）（2024·江蘇徐州·中考真題）若點(diǎn)、、都在反比例函數(shù)的圖象上，則a、b、c的大小關(guān)系為．【典例7】（由反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性求點(diǎn)的坐標(biāo)）（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知P、Q兩點(diǎn)分別在反比例函數(shù)和的圖象上，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則m的值為．【典例8】（有關(guān)反比例函數(shù)新定義）（2024·黑龍江大慶·中考真題）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點(diǎn)，則把該函數(shù)稱(chēng)為“倍值函數(shù)”，該點(diǎn)稱(chēng)為“倍值點(diǎn)”．例如：“倍值函數(shù)”，其“倍值點(diǎn)”為．下列說(shuō)法不正確的序號(hào)為．①函數(shù)是“倍值函數(shù)”；②函數(shù)的圖象上的“倍值點(diǎn)”是和；③若關(guān)于x的函數(shù)的圖象上有兩個(gè)“倍值點(diǎn)”，則m的取值范圍是；④若關(guān)于x的函數(shù)的圖象上存在唯一的“倍值點(diǎn)”，且當(dāng)時(shí)，n的最小值為k，則k的值為．【典例9】（反比例函數(shù)圖象變換）（2024·寧夏·中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象平移得到．依此想法，數(shù)學(xué)小組對(duì)反比例函數(shù)圖象的平移進(jìn)行探究．(1)【動(dòng)手操作】列表：12345210123421描點(diǎn)連線：在已畫(huà)出函數(shù)的圖象的坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象．(2)【探究發(fā)現(xiàn)】①將反比例函數(shù)的圖象向___________平移___________個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象．②上述探究方法運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是（）整體思想

B．類(lèi)比思想

C．分類(lèi)討論思想(3)【應(yīng)用延伸】①將反比例函數(shù)的圖象先___________，再___________得到函數(shù)的圖象．②函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為_(kāi)__________．考點(diǎn)二：反比例函數(shù)解析式的確定【典例1】（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)為正六邊形的中心，軸，點(diǎn)在雙曲線為常數(shù)，上，將正六邊形向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)恰好落在雙曲線上，則的值為（

）A． B． C． D．3【典例2】（跨學(xué)科試題）（2024·湖南·中考真題）在一定條件下，樂(lè)器中弦振動(dòng)的頻率f與弦長(zhǎng)l成反比例關(guān)系，即（k為常數(shù)．），若某樂(lè)器的弦長(zhǎng)l為0.9米，振動(dòng)頻率f為200赫茲，則k的值為．【典例3】（開(kāi)方題型）（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）某個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合上述條件的函數(shù)表達(dá)式：．【典例4】（2024·福建·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象與交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)都在第一象限．若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【典例5】（反比例函數(shù)與相似三角形結(jié)合）（2024·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，是矩形的頂點(diǎn)，點(diǎn)分別為邊上的點(diǎn)，將矩形沿直線折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在邊的中點(diǎn)處，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則【典例6】（2024·江蘇鹽城·中考真題）小明在草稿紙上畫(huà)了某反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)的圖像，并把矩形直尺放在上面，如圖．請(qǐng)根據(jù)圖中信息，求：(1)反比例函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)C坐標(biāo)．【典例7】（2024·江西·中考真題）如圖，是等腰直角三角形，，雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)C，連接．(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_____；(2)求所在直線的解析式．【典例8】（2024·河南·中考真題）如圖，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，對(duì)角線，相交于點(diǎn)E，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式．(2)請(qǐng)先描出這個(gè)反比例函數(shù)圖象上不同于點(diǎn)A的三個(gè)格點(diǎn)，再畫(huà)出反比例函數(shù)的圖象．(3)將矩形向左平移，當(dāng)點(diǎn)E落在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，平移的距離為_(kāi)_______．【典例9】（2024·貴州·中考真題）已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，比較a，b，c的大小，并說(shuō)明理由．【典例10】（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）中考過(guò)后，我們會(huì)是雙曲線兩個(gè)分支上的兩個(gè)點(diǎn)，隨著時(shí)間的流逝，我們漸行漸遠(yuǎn)嗎？如圖，還是點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，已知，．(1)直接寫(xiě)出C點(diǎn)坐標(biāo)(2)求反比例函數(shù)的解析式；(3)若點(diǎn)P在x軸上，且，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．考點(diǎn)三：反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合【典例1】（根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求點(diǎn)的坐標(biāo)）（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（A在第二象限），則的值為．【典例2】（分割法求圖形面積）（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)、B2,1．(1)求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)連接，求的面積．【典例3】（與銳角三角函數(shù)結(jié)合求點(diǎn)的坐標(biāo)）（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖，一次函數(shù)（、為常數(shù)，）的圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象交于點(diǎn)，．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)若點(diǎn)是軸正半軸上的一點(diǎn)．且．求點(diǎn)的坐標(biāo)．【典例4】（與三角形面積幾何求取值范圍）（2024·四川廣安·中考真題）如圖，一次函數(shù)（，為常數(shù)，）的圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象交于，兩點(diǎn)．

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．(2)直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，若的面積大于12，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍．【典例5】（與三角函數(shù)、勾股定理、一元二次方程結(jié)合）（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B，C在第一象限，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3．提示：在平面直角坐標(biāo)系中，若兩點(diǎn)分別為，，則中點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖2，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，且在反比例函數(shù)圖象上，求平行四邊形的面積；(3)如圖3，將直線向上平移6個(gè)單位得到直線，直線與函數(shù)圖象交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)N．請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo)和的值．【典例6】（求不等式解集與點(diǎn)的坐標(biāo)）（2024·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，一次函數(shù)（）的圖象與反比例函數(shù)（）的圖象交于點(diǎn)，，且一次函數(shù)與軸，軸分別交于點(diǎn)C，D．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出不等式的解集；(3)在第三象限的反比例函數(shù)圖象上有一點(diǎn)P，使得，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【典例7】（反比例函數(shù)與全等綜合）（2024·山東濟(jì)南·中考真題）已知反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上（不與點(diǎn)A重合）的一點(diǎn)．

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與的圖象交于點(diǎn)，當(dāng)線段時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，將點(diǎn)A繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)恰好落在的圖象上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【典例8】（求面積與不等式解集）（2024·山東淄博·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)，與，軸分別相交于點(diǎn)，．且．(1)分別求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；(2)以點(diǎn)為圓心，線段的長(zhǎng)為半徑作弧與軸正半軸相交于點(diǎn)，連接，．求的面積；(3)根據(jù)函數(shù)的圖象直接寫(xiě)出關(guān)于的不等式的解集．【典例9】（最值問(wèn)題）（2024·四川雅安·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象l與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求的面積；(3)若點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．考點(diǎn)四：反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【典例1】（2024·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）火力發(fā)電廠的大煙囪并不是我們所理解的排放廢氣的煙囪，它的專(zhuān)業(yè)名字叫雙曲線冷卻塔，從這里冒出的煙霧其實(shí)只是水蒸氣，它的縱截面是如圖所示的軸對(duì)稱(chēng)圖形，是一個(gè)矩形，若以所在直線為x軸，的垂直平分線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，分別是兩個(gè)反比例函數(shù)圖象的一部分，已知，，上口寬，則整個(gè)冷卻塔高度為（

）

A． B． C． D．【典例2】（2024·山西·二模）物理實(shí)驗(yàn)中，同學(xué)們分別測(cè)量電路中經(jīng)過(guò)甲、乙、丙、丁四個(gè)用電器的電流和它們兩端的電壓，根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)，在如圖的坐標(biāo)系中依次畫(huà)出相應(yīng)的圖象．根據(jù)圖象及物理學(xué)知識(shí)，可判斷這四個(gè)用電器中電阻最大的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【典例3】（2024·山西陽(yáng)泉·二模）飲水機(jī)接通電源會(huì)自動(dòng)加熱，加熱時(shí)水溫每分鐘上升，溫度到停止加熱．然后水溫開(kāi)始下降，此時(shí)水溫與時(shí)間成反比例函數(shù)關(guān)系，水溫降至?xí)r，飲水機(jī)重復(fù)上述程序開(kāi)始加熱，加熱時(shí)水溫與時(shí)間的關(guān)系如圖所示．水溫從開(kāi)始加熱至，然后下降至這一過(guò)程中，水溫不低于的時(shí)間為．

【典例4】（2024·山西·中考真題）機(jī)器狗是一種模擬真實(shí)犬只形態(tài)和部分行為的機(jī)器裝置，其最快移動(dòng)速度是載重后總質(zhì)量的反比例函數(shù)．已知一款機(jī)器狗載重后總質(zhì)量時(shí)，它的最快移動(dòng)速度；當(dāng)其載重后總質(zhì)量時(shí)，它的最快移動(dòng)速度．【典例5】（2024·廣東深圳·二模）如圖1是某種呼氣式酒精測(cè)試儀的電路原理圖，電源電壓保持不變，為氣敏可變電阻，定值電阻．檢測(cè)時(shí)，可通過(guò)電壓表顯示的讀數(shù)換算為酒精氣體濃度，設(shè)，電壓表顯示的讀數(shù)與之間的反比例函數(shù)圖象如圖2所示，與酒精氣體濃度的關(guān)系式為，當(dāng)電壓表示數(shù)為時(shí)，酒精氣體濃度為．【典例6】（2024·吉林·中考真題）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式（不要求寫(xiě)出自變量R的取值范圍）．(2)當(dāng)電阻R為時(shí)，求此時(shí)的電流I．【典例7】（2024·遼寧大連·一模）智能飲水機(jī)接通電源后開(kāi)始自動(dòng)加熱，水溫每分鐘上升，加熱到時(shí)，飲水機(jī)自動(dòng)停止加熱，水溫開(kāi)始下降．在水溫開(kāi)始下降的過(guò)程中，水溫（）與通電時(shí)間（）成反比例關(guān)系．當(dāng)水溫降至室溫時(shí)，飲水機(jī)再次自動(dòng)加熱，重復(fù)上述過(guò)程．設(shè)某天水溫和室溫均為，接通電源后，水溫（）與通電時(shí)間（）之間的關(guān)系如圖所示．(1)當(dāng)時(shí)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式（寫(xiě)出的取值范圍）；(2)加熱一次，求水溫不低于的時(shí)間．【典例8】（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）物理實(shí)驗(yàn)課上，小明為探究電流與接入電路的滑動(dòng)變阻器之間的關(guān)系，設(shè)計(jì)如圖所示的電路圖．已知電源的電壓保持不變，小燈泡的電阻為．改變接入電路的滑動(dòng)變阻器的電阻，電流表的讀數(shù)即電流發(fā)生改變．當(dāng)接入電路的滑動(dòng)變阻器的電阻為時(shí)，電流表的讀數(shù)為．(1)求電路中的電阻關(guān)于接入電路的滑動(dòng)變阻器的電阻之間的函數(shù)關(guān)系，(2)求電流關(guān)于電路中的電阻的函數(shù)關(guān)系；(3)如果電流表的讀數(shù)為，則接入電路的滑動(dòng)變阻器的電阻為多少？考點(diǎn)五：反比例函數(shù)與幾何綜合（含k的幾何意義）【典例1】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，雙曲線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)B作軸，垂足為D，交于點(diǎn)E，且E為的中點(diǎn)，則的面積是（

）A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5【典例2】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）矩形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)D，與邊交于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)E，，若四邊形的面積為2，則k的值是（

）A． B． C． D．【典例3】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)有（

）①二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，m，n是關(guān)于x的元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則恒成立．②在半徑為r的中，弦互相垂直于點(diǎn)P，當(dāng)時(shí)，則．③為平面直角坐標(biāo)系中的等腰直角三角形且，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，則．④已知矩形的一組鄰邊長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且矩形的周長(zhǎng)值與面積值相等，則矩形的對(duì)角線長(zhǎng)是．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【典例4】（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，正方形與（其中邊，分別在，軸的正半軸上）的公共頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，直線與，軸分別相交于點(diǎn)，．若這兩個(gè)正方形的面積之和是，且．則的值是（

）A．5 B．1 C．3 D．2【典例5】（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知點(diǎn)，，，在平行四邊形中，它的對(duì)角線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，且，則．【典例6】（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖像上，軸于點(diǎn)C，，將沿翻折，若點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在該反比例函數(shù)的圖像上，則k的值為．【典例7】（2024·四川樂(lè)山·中考真題）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都小于或等于1的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖象的“近軸點(diǎn)”．例如，點(diǎn)0,1是函數(shù)圖象的“近軸點(diǎn)”．（1）下列三個(gè)函數(shù)的圖象上存在“近軸點(diǎn)”的是（填序號(hào)）；①；②；③．（2）若一次函數(shù)圖象上存在“近軸點(diǎn)”，則m的取值范圍為．【典例8】（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)A、B，與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2．(1)求的值；(2)利用圖像直接寫(xiě)出時(shí)的取值范圍；(3)如圖2，將直線沿軸向下平移4個(gè)單位，與函數(shù)的圖像交于點(diǎn)D，與軸交于點(diǎn)E，再將函數(shù)的圖像沿平移，使點(diǎn)A、D分別平移到點(diǎn)C、F處，求圖中陰影部分的面積．【典例9】（2024·山東青島·中考真題）如圖，點(diǎn)為反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)依次為．過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，…，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．記的面積為的面積為的面積為．(1)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____，______，______，______（用含n的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)時(shí)，______（用含n的代數(shù)式表示）．【典例10】（2024·廣東·中考真題）【問(wèn)題背景】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B，D是直線上第一象限內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以線段BD為對(duì)角線作矩形，軸．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．【構(gòu)建聯(lián)系】（1）求證：函數(shù)的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．（2）如圖2，把矩形沿BD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)E落在y軸上，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為時(shí)，求k的值．【深入探究】（3）如圖3，把矩形沿BD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)E，A重合時(shí)，連接交BD于點(diǎn)P．以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑作．若，當(dāng)與的邊有交點(diǎn)時(shí)，求k的取值范圍．易錯(cuò)點(diǎn)1：利用反比例函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，誤認(rèn)為所給出的點(diǎn)在同一曲線上1.反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在描述反比例函數(shù)的增減性時(shí)，一定要有“在其每個(gè)象限內(nèi)”這個(gè)前提．當(dāng)k＞0時(shí)，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說(shuō)當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而減?。瑯樱?dāng)k＜0時(shí)，也不能籠統(tǒng)地說(shuō)y隨x的增大而增大．【典例1】（2024·天津·中考真題）若點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【典例2】（2024·廣西·中考真題）已知點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，若，則有（

）A． B． C． D．【典例3】（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【典例4】（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，比較的大小，并說(shuō)明理由．【典例5】（2024·貴州黔東南·二模）如圖，直線（為常數(shù)）與雙曲線（為常數(shù)）相交于兩點(diǎn)．(1)求的值；(2)在雙曲線上任取兩點(diǎn)Mx1,y1和Nx2,(3)請(qǐng)直接寫(xiě)出關(guān)于的不等式的解集．易錯(cuò)點(diǎn)2：利用函數(shù)圖象解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，容易忽視自變量在實(shí)際問(wèn)題的意義．注意在自變量和函數(shù)值的取值上的實(shí)際意義；【典例1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）2023年新能源汽車(chē)?yán)^續(xù)保持快速增長(zhǎng)，產(chǎn)銷(xiāo)突破了900萬(wàn)輛，市場(chǎng)占有率超過(guò)，汽車(chē)出口再創(chuàng)新高，全年出口接近500萬(wàn)輛．為繼續(xù)擴(kuò)大銷(xiāo)量，某城市新能源汽車(chē)銷(xiāo)售商推出分期付款購(gòu)車(chē)促銷(xiāo)活動(dòng)，交付首付款后，若余款在60個(gè)月內(nèi)結(jié)清，則不計(jì)算利息．張先生在該銷(xiāo)售商手上購(gòu)買(mǎi)了一輛價(jià)值為20萬(wàn)元的新能源汽車(chē)，交了首付款后余款由平均每月付款y萬(wàn)元，x個(gè)月結(jié)清．y與x滿(mǎn)足某函數(shù)關(guān)系，其部分對(duì)應(yīng)值如下表，請(qǐng)回答下列問(wèn)題．x/月…24710…y/萬(wàn)元…72…(1)確定y與x的函數(shù)表達(dá)式，并求出首付款；(2)若張先生用40個(gè)月結(jié)清，則平均每月應(yīng)付多少萬(wàn)元；(3)如果張先生打算每月付款萬(wàn)元，那么他能否在規(guī)定不計(jì)算利息的期限內(nèi)結(jié)算？【典例2】（2024·寧夏銀川·一模）如圖①，將一長(zhǎng)方體放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式擺放實(shí)驗(yàn)，記錄了桌面所受壓強(qiáng)P與受力面積S的數(shù)據(jù)關(guān)系如下表所示(壓強(qiáng)的計(jì)算公式是：)：桌面所受壓強(qiáng)250400500800受力面積0.80.5a0.25(1)求出壓強(qiáng)關(guān)于受力面積的函數(shù)表達(dá)式及a的值；(2)如圖②，將另一長(zhǎng)、寬、高分別為，，，且與原長(zhǎng)方體相同質(zhì)量的長(zhǎng)方體放置于該水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大壓強(qiáng)為，問(wèn)：這種擺放方式是否安全？若安全，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不安全，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明如何擺放更安全．（長(zhǎng)方體完全置于玻璃桌面上）【典例3】（2024·寧夏銀川·三模）某水果生產(chǎn)基地在氣溫較低時(shí)，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種水果，如圖是試驗(yàn)階段的某天恒溫系統(tǒng)從開(kāi)啟到關(guān)閉后，大棚內(nèi)的溫度與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系，其中線段、表示恒溫系統(tǒng)開(kāi)啟后階段，雙曲線的一部分表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段．請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問(wèn)題：(1)這個(gè)恒溫系統(tǒng)設(shè)定的恒定溫度為多少；(2)若大棚內(nèi)的溫度低于時(shí)，水果會(huì)受到傷害，問(wèn)：這天內(nèi)有多長(zhǎng)時(shí)間水果生長(zhǎng)不受傷害？【典例4】（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測(cè)）某數(shù)學(xué)小組探究“酒精對(duì)人體的影響”，資料顯示，一般飲用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）與時(shí)間x（時(shí)）的關(guān)系可近似的用如圖所示的圖象表示．國(guó)家規(guī)定，人體血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）時(shí)屬于“酒后駕駛”，不能駕車(chē)上路．(1)求部分雙曲線的函數(shù)表達(dá)式；(2)參照上述數(shù)學(xué)模型，假設(shè)某人晚上喝完100毫升低度白酒，則此人第二天早上能否駕車(chē)出行？請(qǐng)說(shuō)明理由．【典例5】（2024·貴州遵義·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是等腰直角三角形，．反比例函數(shù)的圖像分別與，交于點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上，之間的部分時(shí)（點(diǎn)可與點(diǎn)，重合），求出的取值范圍．易錯(cuò)點(diǎn)3：反比例函數(shù)k的幾何意義【類(lèi)型一：三角形面積與k的關(guān)系】SSSSSSSSS【類(lèi)型二：四邊形面積與k的關(guān)系】SSSSSS=|S=|S=|S=|【類(lèi)型三：重疊部分面積與k的關(guān)系】SSS【類(lèi)型四：反比例函數(shù)與圖形中點(diǎn)與k的關(guān)系】D為AB中點(diǎn)，

SS點(diǎn)E為平行四邊形ADBC的對(duì)角線的交點(diǎn)S點(diǎn)E為矩形ADBC的對(duì)角線的交點(diǎn)S【類(lèi)型五：反比例函數(shù)中的特殊線段的關(guān)系】BC⊥x軸，BA⊥y軸DF=EG,DE∥ACAC=BDDE∥BC【典例1】（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A、B在x軸上，分別以，為邊，在x軸上方作正方形，．反比例函數(shù)的圖象分別交邊，于點(diǎn)P，Q．作軸于點(diǎn)M，軸于點(diǎn)N．若，Q為的中點(diǎn)，且陰影部分面積等于6，則k的值為（

）A．6 B．12 C．24 D．48【典例2】（2024·四川達(dá)州·一模）如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，分別垂直于x軸、y軸，點(diǎn)D在位于右側(cè)的反比例函數(shù)的圖象上，，分別垂直于x軸、于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若四邊形為正方形，則這個(gè)正方形的面積等于（

）A．24 B．18 C．16 D．12【典例3】（2024·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）如圖，直線平行于軸，且分別與反比例函數(shù)、的圖象交于點(diǎn)、，則面積為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【典例4】（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段與反比例函數(shù)相交于點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，點(diǎn)恰好落在雙曲線上，則的面積為（

）A．3 B． C． D．6【典例5】（2024·廣西南寧·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在函數(shù)的圖象上，過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，連接、交于點(diǎn)E，若，四邊形的面積為3，則k的值為（）A．6 B．9 C．12 D．15【典例6】（2024·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形中，，點(diǎn)在軸上，反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．若，，則的值為（

）A．6 B．8 C．9 D．12【典例7】（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)和(其中)在第一象限內(nèi)的圖象依次是和，設(shè)點(diǎn)P在上，軸于點(diǎn)C，交于點(diǎn)A，軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)B，則四邊形的面積是（

）A． B． C． D．【典例8】（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，點(diǎn)A為反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)O作的垂線與反比例的圖象交于點(diǎn)B，則的值為（

）A． B． C． D．【典例9】（2024·寧夏銀川·一模）如圖，A，B是雙曲線上的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，若的面積為5，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則的值為．【典例10】（2024·遼寧錦州·二模