專題03 一次函數(shù)的應(yīng)用（方案選擇、最大利潤(rùn)問(wèn)題、綜合問(wèn)題）（解析版）

專題03一次函數(shù)的應(yīng)用（方案選擇、最大利潤(rùn)問(wèn)題、綜合問(wèn)題）思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦1.分配方案問(wèn)題2.最大利潤(rùn)問(wèn)題3.與面積有關(guān)的幾何問(wèn)題4.與折疊有關(guān)的幾何問(wèn)題5.分段函數(shù)一、利用一次函數(shù)的知識(shí)解應(yīng)用題的一般步驟（1）設(shè)定實(shí)際問(wèn)題中的變量；（2）建立一次函數(shù)表達(dá)式；（3）確定自變量的取值范圍，保證函數(shù)具有實(shí)際意義；（4）解答一次函數(shù)實(shí)際問(wèn)題，如最大（小）值；（5）寫出答案．二、分段函數(shù)有的題目中，如下左圖，當(dāng)自變量x發(fā)生變化時(shí)，隨著x的取值范圍不同，y和x的函數(shù)關(guān)系也不同，它們之間或者不再是一次函數(shù)關(guān)系，或者雖然還是一次函數(shù)關(guān)系，但函數(shù)的表達(dá)式發(fā)生了變化.這種變化反映在函數(shù)圖象上時(shí)的主要特征，就是由一條直線變成幾條線段或射線，我們把這類函數(shù)歸類為分段函數(shù).在有的題目中，如下右圖，含有兩個(gè)一次函數(shù)的圖象，我們需要對(duì)兩個(gè)函數(shù)的相關(guān)變量進(jìn)行對(duì)比.1.利用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的最值問(wèn)題，先求一次函數(shù)的表達(dá)式，根據(jù)自變量的范圍，求出最值.2.分段函數(shù)，描點(diǎn)，連線，通過(guò)新圖象得出新性質(zhì).考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、分配方案問(wèn)題例題1：某快遞公司為提高快遞分揀的速度，決定購(gòu)買機(jī)器人來(lái)代替人工分揀．已知購(gòu)買甲型機(jī)器人1臺(tái)，乙型機(jī)器人2臺(tái)，共需7萬(wàn)元；購(gòu)買甲型機(jī)器人2臺(tái)，乙型機(jī)器人3臺(tái)，共需12萬(wàn)元．（1）甲，乙兩種型號(hào)的機(jī)器人的單價(jià)各多少萬(wàn)元？（2）已知1臺(tái)甲型和1臺(tái)乙型機(jī)器人每小時(shí)分揀快遞的數(shù)量分別是1400件和1200件，該公司計(jì)劃最多用16萬(wàn)元購(gòu)買6臺(tái)這兩種型號(hào)的機(jī)器人，且至少購(gòu)買甲型機(jī)器人2臺(tái)，如何購(gòu)買才能使每小時(shí)的分揀量最大？【解析】（1）設(shè)甲型機(jī)器人的單價(jià)是x萬(wàn)元，乙型機(jī)器人的單價(jià)是y萬(wàn)元，根據(jù)題意得，解得．答：甲型機(jī)器人的單價(jià)是3萬(wàn)元，乙型機(jī)器人的單價(jià)是2萬(wàn)元．（2）設(shè)購(gòu)買甲型機(jī)器人m臺(tái)，則購(gòu)買乙型機(jī)器人（6–m）臺(tái)，根據(jù)題意得，解得2≤m≤4．設(shè)6臺(tái)機(jī)器人每小時(shí)的分揀量為w，則w=1400m+1200（6–m）=200m+7200．∵200＞0，∴w隨m的增大而增大，∴當(dāng)m=4時(shí)，w取得最大值，此時(shí)6–m=6–4=2，∴購(gòu)進(jìn)甲型機(jī)器人4臺(tái)，乙型機(jī)器人2臺(tái)時(shí)，分揀量最大．答：甲型機(jī)器人的單價(jià)是3萬(wàn)元，乙型機(jī)器人的單價(jià)是2萬(wàn)元．考點(diǎn)二、最大利潤(rùn)問(wèn)題例題2：某商店銷售10臺(tái)A型和20臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為4000元，銷售20臺(tái)A型和10臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為3500元．(1)求每臺(tái)A型電腦和B型電腦的銷售利潤(rùn)各多少元；(2)該商店計(jì)劃一次購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的電腦共100臺(tái)，其中B型電腦的進(jìn)貨量不超過(guò)A型電腦的2倍，設(shè)購(gòu)進(jìn)A型電腦a臺(tái)，這100臺(tái)電腦的銷售總利潤(rùn)為w元．該商店購(gòu)進(jìn)A型、B型電腦各多少臺(tái)，才能使銷售總利潤(rùn)最大？【解析】（1）設(shè)每臺(tái)型電腦銷售利潤(rùn)為元，每臺(tái)型電腦的銷售利潤(rùn)為元，根據(jù)題意得，解得．答：每臺(tái)A型電腦的銷售利潤(rùn)為元，每臺(tái)型電腦的銷售利潤(rùn)為元．（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A型電腦臺(tái)，購(gòu)進(jìn)型電腦臺(tái),根據(jù)題意得,即，∵，，∵為正整數(shù)，即關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為：且為正整數(shù))．∵，∴隨的增大而減小，且為正整數(shù)，∴當(dāng)時(shí),取最大值,這時(shí)元，則(臺(tái))，即商店購(gòu)進(jìn)臺(tái)A型電腦和臺(tái)型電腦的銷售利潤(rùn)最大．考點(diǎn)三、與面積有關(guān)的幾何問(wèn)題例題3：如圖，直線l：與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，在y軸上有一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向左移動(dòng)．(1)求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求的面積S與M的移動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)表達(dá)式；(3)當(dāng)t為何值時(shí)，并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）對(duì)于直線l：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)，點(diǎn)．（2），，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，的面積S與M的移動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)表達(dá)式為．（3）當(dāng)M在線段上時(shí)，，，此時(shí)（秒），；當(dāng)M在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，，則，此時(shí)所需要的時(shí)間為（秒）．綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)是或．考點(diǎn)四、與折疊有關(guān)的幾何問(wèn)題例題4：如圖1，一次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖2，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在第一象限，且時(shí)，將沿著翻折，當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線上時(shí)，求的長(zhǎng)．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2），，，當(dāng)時(shí)，，所以，，由折疊知，，，．設(shè)，則，，在中，，即，解得，的長(zhǎng)為．考點(diǎn)五、分段函數(shù)例題5：某數(shù)學(xué)興趣小組，對(duì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過(guò)程如下：(1)自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，x與y的幾組對(duì)應(yīng)值如表：其中m＝__________．x…012345…y…54m212345…(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，描出了上表中以各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，根據(jù)描出的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象：(3)觀察函數(shù)圖象，寫出一條函數(shù)圖象的性質(zhì)________________________________________；(4)當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為__________．【解析】（1）把，代入得，；故答案為：3；（2）如圖所示：（3）答案不唯一，合理即可，如①函數(shù)圖象的最低點(diǎn)是；②當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；③當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。唬?）根據(jù)圖象可知：當(dāng)時(shí)，相應(yīng)x的取值范圍為或．過(guò)關(guān)檢測(cè)1．俄烏戰(zhàn)爭(zhēng)仍在繼續(xù)，人們對(duì)各種軍用裝備倍感興趣，某商家購(gòu)進(jìn)坦克（記作A）和導(dǎo)彈（記作B）兩種模型，若購(gòu)進(jìn)A種模型10件，B種模型5件，需要1000元；若購(gòu)進(jìn)A種模型4件，B種模型3件，需要550元．(1)求購(gòu)進(jìn)A，B兩種模型每件分別需多少元；(2)若銷售每件A種模型可獲利潤(rùn)20元，每件B種模型可獲利潤(rùn)30元．商店用1萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)模型，且購(gòu)進(jìn)A種模型的數(shù)量不超過(guò)B種模型數(shù)量的8倍，設(shè)總盈利為W元，購(gòu)進(jìn)B種模型b件，請(qǐng)求出W關(guān)于b的函數(shù)表達(dá)式，并求出當(dāng)b為何值時(shí)，銷售利潤(rùn)最大，并求出最大值．【解析】（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)A，B兩種模型每件分別需要x元，y元，由題意得，解得．答：購(gòu)進(jìn)A，B兩種模型每件分別需要25元，150元．（2）設(shè)購(gòu)買A種模型a件，B種模型b件，由題意得，解得，則購(gòu)進(jìn)A種模型為件，即件，則，即，因?yàn)椋援?dāng)b取最小值時(shí)總利潤(rùn)最大．因?yàn)?，且b為整數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以購(gòu)進(jìn)B種模型29件時(shí)利潤(rùn)最大，為5390元．2．某教育科技公司銷售A，B兩種多媒體，這兩種多媒體的進(jìn)價(jià)與售價(jià)如表所示：AB進(jìn)價(jià)（萬(wàn)元/套）3售價(jià)（萬(wàn)元/套）(1)若該教育科技公司計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B兩種多媒體共50套，共需資金132萬(wàn)元，求兩種多媒體各購(gòu)進(jìn)多少套；(2)若該教育科技公司計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B兩種多媒體共50套，其中購(gòu)進(jìn)A種多媒體套（），當(dāng)把購(gòu)進(jìn)的兩種多媒體全部售出，求購(gòu)進(jìn)A種多媒體多少套時(shí)，能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元．【解析】（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)種多媒體套，則購(gòu)進(jìn)種多媒體套．由題意可得：，解得，則．答：購(gòu)進(jìn)種多媒體20套，種多媒體30套．（2）設(shè)利潤(rùn)為元，由題意可得：，隨的增大而減小，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)．答：購(gòu)進(jìn)種多媒體11套時(shí)，能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是萬(wàn)元．3．某土特產(chǎn)商店銷售A，B兩種鐵棍山藥．銷售1件A種鐵棍山藥和2件B種鐵棍山藥的銷售額為280元，銷售2件A種鐵棍山藥和3件B種鐵棍山藥的銷售額為460元．據(jù)了解，A，B兩種鐵棍山藥的進(jìn)價(jià)分別是40元/件和70元/件．(1)求每件A種鐵棍山藥和B種鐵棍山藥的銷售價(jià)格；(2)商店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B兩種鐵棍山藥共150件，廠家規(guī)定購(gòu)進(jìn)A種鐵棍山藥最多50件，設(shè)購(gòu)進(jìn)A種鐵棍山藥a件，這150件鐵棍山藥的銷售總利潤(rùn)為w元，求該商店購(gòu)進(jìn)A，B兩種鐵棍山藥各多少件，才能使銷售總利潤(rùn)最大？【解析】（1）設(shè)A種鐵棍山藥的銷售價(jià)格為元/件，種鐵棍山藥的銷售價(jià)格為元/件．由題意得，解得.答：A種鐵棍山藥的銷售價(jià)格為80元/件，種鐵棍山藥的銷售價(jià)格為100元/件．（2）由題意得：．∵，隨的增大而增大，的最大值是50，當(dāng)有最大值，此時(shí)．答：購(gòu)買A種鐵棍山藥50件，B種鐵棍山藥100件時(shí)，銷售總利潤(rùn)最大．4．A，B兩個(gè)蔬菜基地要向C，D兩城市運(yùn)送蔬菜，已知A基地有蔬菜200噸，B基地有蔬菜300噸，C城市需要蔬菜240噸，D城市需要蔬菜260噸．從A基地運(yùn)往C，D兩城市的費(fèi)用分別為每噸20元和每噸25元，從B基地運(yùn)往C，D兩城市的費(fèi)用分別為每噸15元和每噸18元，設(shè)從B基地運(yùn)往C城市的蔬菜為x噸，A，B兩個(gè)蔬菜基地的總運(yùn)費(fèi)為w元．(1)求w與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫出x的取值范圍；(2)寫出總運(yùn)費(fèi)最小時(shí)的運(yùn)送方案，并求出此時(shí)的總運(yùn)費(fèi)．【解析】（1）設(shè)從B基地運(yùn)往C城市的蔬菜為x噸，則從B基地運(yùn)往D城市的蔬菜為噸，從A基地運(yùn)往C城市的蔬菜為噸，從A基地運(yùn)往D城市的蔬菜為噸，由題意可得，，，解得．（2）∵隨x增大而增大，且，∴當(dāng)時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最小，為9280元，此時(shí)A往C運(yùn)200噸，不往D運(yùn)，B往C運(yùn)40噸，往D運(yùn)260噸．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為，與y軸交點(diǎn)為B，且與正比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)為．（1）求的值及一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，且的面積為6，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)C（m,4）在正比例函數(shù)的圖象上，所以，，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為．因?yàn)橐淮魏瘮?shù)經(jīng)過(guò)，，所以，解得，所以一次函數(shù)的表達(dá)式為．（2）因?yàn)辄c(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，且的面積為6，中邊上的高是3，所以BP=4，因?yàn)锽的坐標(biāo)為（0，2），所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，6）或（0，-2）．6．書法是中華民族的文化瑰寶，是人類文明的寶貴財(cái)富，是我國(guó)基礎(chǔ)教育的重要內(nèi)容．某校準(zhǔn)備在某超市為書法課購(gòu)買一批毛筆和宣紙，已知毛筆的單價(jià)為5元，宣紙的單價(jià)為0.36元．該校準(zhǔn)備購(gòu)買毛筆50支，宣紙張（），該超市給出以下兩種優(yōu)惠方案．方案：購(gòu)買一支毛筆，贈(zèng)送一張宣紙；方案：購(gòu)買的宣紙超出200張的部分打七五折，毛筆不打折．設(shè)方案的總費(fèi)用為元，方案的總費(fèi)用為元．(1)請(qǐng)分別求出，與之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)若該校準(zhǔn)備購(gòu)買宣紙300張，則選擇哪種方案更合算？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）由題意可得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由上可得，，；（2）若該校準(zhǔn)備購(gòu)買宣紙300張，則選擇方案更劃算，理由：當(dāng)時(shí)，，，，若該校準(zhǔn)備購(gòu)買宣紙300張，則選擇方案更劃算．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的表達(dá)式為，直線的表達(dá)式為，與軸、軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．(1)求直線的表達(dá)式，若直線上存在點(diǎn)（不與重合），滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若在軸上存在點(diǎn)，滿足為直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）將點(diǎn)代入直線的表達(dá)式，可得，解得，∴直線的表達(dá)式為，令，可得，∴，令，可得，解得，即，∴，，，．如下圖，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意，，則有，即點(diǎn)在之間，∴，解得，此時(shí)，∴；（2）由（1）可知，，設(shè)點(diǎn)，如下圖，∵為直角三角形，∴①當(dāng)為斜邊時(shí)，即有，∴；②當(dāng)為斜邊時(shí)，，，，此時(shí)有，解得，∴；③∵，∴不可能為斜邊．綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或．8．水果成熟愁煞人，政府幫忙銷四方．某市果農(nóng)種植的甲、乙兩種水果，成熟后受季節(jié)氣溫影響急于銷售，政府幫忙聯(lián)系到水果經(jīng)銷商王老板，為了解決果農(nóng)之憂，王老板決定每次都從該市果農(nóng)處購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果進(jìn)行銷售．為了感謝王老板，果農(nóng)對(duì)甲種水果的批發(fā)價(jià)格根據(jù)購(gòu)買量給予優(yōu)惠，對(duì)乙種水果按40元/千克的價(jià)格批發(fā)出售．設(shè)王老板購(gòu)進(jìn)甲種水果x千克，付款y元，與之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：(1)求出當(dāng)0≤x≤60和x＞60時(shí)，y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)若王老板計(jì)劃一次性購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果共120千克，且甲種水果不少于乙種水果的，乙種水果不少于35千克，如何分配甲、乙兩種水果的購(gòu)進(jìn)量，才能使王老板付款總金額W（元）最少？【解析】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為，則，解得，即當(dāng)時(shí)，y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為，由題意得，解得，即當(dāng)時(shí)，y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為，由上可得，y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為．（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種水果m千克，則購(gòu)進(jìn)乙種水果為千克，由題意得，，則，當(dāng)時(shí)，W取得最小值．所以當(dāng)購(gòu)進(jìn)甲種水果75千克，購(gòu)進(jìn)乙種水果45千克時(shí)，能使王老板付款總金額最少．9．小穎根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究，下面是小穎的探究過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整．(1)列表：請(qǐng)把列表補(bǔ)充完整并在所給坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象；x…01234…y…10…(2)根據(jù)函數(shù)圖象解決問(wèn)題：①該函數(shù)的最大值為______；②若y隨x的增大而減小，則x應(yīng)滿足的條件是_____；(3)運(yùn)用合適的方法探究：若在同一坐標(biāo)系中另有一次函數(shù)，①當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是______；②將沿y軸怎樣平移能使與y的函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn)？請(qǐng)寫出具體的平移方向和距離．【解析】（1）填表、畫圖如下：x…01234…y…010…（2）由圖象可知：①該函數(shù)的最大值為；②若y隨x的增大而減小，則x應(yīng)滿足條件；故答案為：①；②；（3）在同一坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)的圖象，①如圖，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為；

②當(dāng)時(shí)，分別計(jì)算出，，，要使與y的函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn)，需將的圖象沿y軸向上平移，平移的距離大于個(gè)單位長(zhǎng)度.10．如圖1，已知直線與直線交于點(diǎn)，兩直線與軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，直線與軸