2015年全國Ⅰ卷高考理科數(shù)學試題及答案

2015年全國Ⅰ卷高考理科數(shù)學試題及答案注意事項： 1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷3至5頁。 2.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試題相應的位置。 3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效。 4.考試結束后，將本試題和答題卡一并交回。第Ⅰ卷選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。設復數(shù)z滿足=i，則|z|=（A）1（B）（C）（D）2（2）sin20°cos10°-cos160°sin10°=（A）（B）（C）（D）（3）設命題P：nN，>，則P為（A）nN,>（B）nN,≤（C）nN,≤（D）nN,=（4）投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試。已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為 （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312（5）已知M（x0，y0）是雙曲線C：上的一點，F(xiàn)1、F2是C上的兩個焦點，若＜0，則y0的取值范圍是 （A）（-，） （B）（-，）（C）（，）（D）（，）（6）《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有 A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）設D為?ABC所在平面內(nèi)一點BC=3CD，則（A）AD=-13AB+4（C）AD=43AB+13(8)函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(A)（kπ-14,kπ+34,(C)（k-14,k+34）,k∈（9）執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的t=0.01，則輸出的n=（A）5（B）6（C）7（D）8（x2+x+y）5（A）10（B）20（C）30（D）60圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示。若該幾何體的表面積為16+20，則r=（A）1（B）2（C）4（D）812.設函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f（x0）0，則a的取值范圍是（）A.[-32e，1）B.[-32e，34）C.[32e，34）第II卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第（13）題~第（21）題為必考題，每個試題考生都必須作答。第（22）題~第（24）題未選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：本大題共3小題，每小題5分（13）若函數(shù)f(x)=xln（x+）為偶函數(shù)，則a=（14）一個圓經(jīng)過橢圓x216+（15）若x,y滿足約束條件x-1?0,x-y≤0,x+y-4≤0,則的最大值為（16）在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是三.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分）Sn為數(shù)列{an}的前n項和.已知an>0，a（Ⅰ）求{an}的通項公式：（Ⅱ）設bn=1（18）如圖，，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。（1）證明：平面AEC⊥平面AFC（2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值（19）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費x1和年銷售量y1（i=1,2，···，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值。（x1-）2（w1-）2（x1-）(y-)（w1-）(y-)46.656.36.8289.81.61469108.8表中w1=1,，=根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；（Ⅲ）以知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關系為z=0.2y-x。根據(jù)（Ⅱ）的結果回答下列問題：年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？年宣傳費x為何值時，年利率的預報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)（u1v1）,（u2v2）……..（unvn）,其回歸線v=u的斜率和截距的最小二乘估計分別為：（20）（本小題滿分12分）在直角坐標系xoy中，曲線C：y=與直線y=ks+a(a>0)交與M,N兩點，（Ⅰ）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；（Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當K變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由。（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（x）=(Ⅰ)當a為何值時，x軸為曲線的切線；（Ⅱ）用表示m,n中的最小值，設函數(shù)，討論h（x）零點的個數(shù)請考生在（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做第一個題目計分，做答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。（22）（本題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，AB是☉O的直徑，AC是☉C的Q切線，BC交☉O于E若D為AC的中點，證明：DE是O的切線；若OA=CE，求∠ACB的大小.

（23）（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中。直線:=2，圓：,以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系。求，的極坐標方程；若直線的極坐標方程為，設與的交點為,,求的面積（24）（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講 已知函數(shù)fx=|x+1|-2|x-a|，a（Ⅰ）當a=1時，求不等式f(x)>1的解集；（Ⅱ）若f(x)的圖像與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍2015年江西高考理科數(shù)學試題及答案注意事項： 1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷3至5頁。 2.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試題相應的位置。 3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效。 4.考試結束后，將本試題和答題卡一并交回。第Ⅰ卷選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。設復數(shù)z滿足=i，則|z|=（A）1（B）（C）（D）2【解析】可得，故可得，選擇A.【點評】本題考查復數(shù)的運算。該題目在高二數(shù)學（理）強化提高班課程講座第四章復數(shù)第02講模的運算部分做了專題講解，高考原題與講義中給出的題目只是數(shù)字不同，考查的知識點及解題方法完全相同。（2）sin20°cos10°-cos160°sin10°=（A）（B）（C）（D）【解析】本題三角函數(shù)公式，故可得，選擇D.【點評】本題考查三角函數(shù)公式。該題目在數(shù)學（理）強化提高班課程講座第八章三角函數(shù)第01講三角函數(shù)（一）部分做了專題講解，高考原題與講義中給出的題目只是數(shù)字不同，考查的知識點及解題方法完全相同。（3）設命題P：nN，>，則P為（A）nN,>（B）nN,≤（C）nN,≤（D）nN,=【解析】本題考查命題的否定，條件和結論都需要否定，因此選擇C.【點評】本題考查命題的否定。該題目在數(shù)學（理）強化提高班課程講座第十五章常用邏輯語第01講常用邏輯語（一）部分做了專題講解，高考原題與講義中給出的題目只是數(shù)字不同，考查的知識點及解題方法完全相同。（4）投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試。已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為 （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312【解析】本題考查事件的概率，至少投中2次才能通過，那么投中的次數(shù)是2或3，因此概率為，選擇A.【點評】本題考查事件的概率。該題目在數(shù)學（理）強化提高班課程講座第十四章概率第02講概率（二）部分做了專題講解，高考原題與講義中給出的題目只是數(shù)字不同，考查的知識點及解題方法完全相同。（5）已知M（x0，y0）是雙曲線C：上的一點，F(xiàn)1、F2是C上的兩個焦點，若＜0，則y0的取值范圍是 （A）（-，） （B）（-，）（C）（，）（D）（，）【解析】本題考查雙曲線通過可得，而，因此可得，故答案為A.【點評】本題考查雙曲線。該題目在數(shù)學（理）強化提高班課程講座第十二章圓錐曲線的方程與性質第01講圓錐曲線的方程與性質（一）部分做了專題講解，高考原題與講義中給出的題目只是數(shù)字不同，考查的知識點及解題方法完全相同。（6）《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有 A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛【解析】本題考查空間立體幾何，有四分之一圓弧的周長為8尺可以得出，，，因此，故體積為，通過計算可得換算單位可得，因此選擇B.【點評】本題考查空間立體幾何。該題目在數(shù)學（理）強化提高班課程講座第十一章立體幾何第01講立體幾何（一）部分做了專題講解，高考原題與講義中給出的題目只是數(shù)字不同，考查的知識點及解題方法完全相同。（7）設D為?ABC所在平面內(nèi)一點BC=3CD，則（A）AD=-13AB+4（C）AD=43AB+13【解析】本題考查平面向量，畫出圖形，可知答案為A.【點評】本題考查平面向量。該題目在數(shù)學（理）強化提高班課程講座第九章平面向量第01講平面向量（一）部分做了專題講解，高考原題與講義中給出的題目只是數(shù)字不同，考查的知識點及解題方法完全相同。(8)函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(A)（kπ-14,kπ+34,(C)（k-14,k+34）,k∈【解析】本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)圖像確定函數(shù)的解析式，然后再確定單調(diào)區(qū)間，故可得答案為B.【點評】本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性。該題目在數(shù)學（理）強化提高班課程講座第八章三角函數(shù)第03講三角函數(shù)（三）部分做了專題講解，高考原題與講義中給出的題目只是數(shù)字不同，考查的知識點及解題方法完全相同。（9）執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的t=0.01，則輸出的n=（A）5（B）6（C）7（D）8【解析】本題考查算法，過程為【點評】本題考查算法。該題目在數(shù)學（理）強化提高班課程講座第十三章算法與統(tǒng)計第01講算法與統(tǒng)計部分做了專題講解，高考原題與講義中給出的題目只是數(shù)字不同，考查的知識點及解題方法完全相同。（x2+x+y）5（A）10（B）20（C）30（D）60【解析】本題考查二項式公式，把x+y看做是一個整體，因此可得只能是中的某一項，故可得系數(shù)為：，故選擇C.圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示。若該幾何體的表面積為16+20，則r=（A）1（B）2（C）4（D）8【解析】本題考查三視圖，由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r，其表面積為==16+20，解得r=2，故選B.【點評】本題考查三視圖。該題目在數(shù)學（理）強化提高班課程講座第十一章立體幾何第01講立體幾何（一）部分做了專題講解，高考原題與講義中給出的題目只是數(shù)字不同，考查的知識點及解題方法完全相同。12.設函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f（x0）0，則a的取值范圍是（）A.[-32e，1）B.[-32e，34）C.[32e，34）【解析】【點評】本題考查導數(shù)的應用。該題目在數(shù)學（理）強化提高班課程講座第四章函數(shù)的值域、最值求法及應用第02講函數(shù)的值域、最值求法及應用（二）部分做了專題講解，高考原題與講義中給出的題目只是數(shù)字不同，考查的知識點及解題方法完全相同。第II卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第（13）題~第（21）題為必考題，每個試題考生都必須作答。第（22）題~第（24）題未選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：本大題共3小題，每小題5分（13）若函數(shù)f(x)=xln（x+）為偶函數(shù)，則a=【解析】本題考查偶函數(shù)，因此有，故可得因此可得.【點評】本題考查偶函數(shù)。該題目在數(shù)學（理）強化提高班課程講座第三章函數(shù)的性質及其應用第03講函數(shù)的性質及其應（三）部分做了專題講解，高考原題與講義中給出的題目只是數(shù)字不同，考查的知識點及解題方法完全相同。（14）一個圓經(jīng)過橢圓x216+【解析】本題考查圓的方程，設圓心坐標為（a，0），因此可得，或解得，因此圓的方程為【點評】本題考查圓的方程。該題目在數(shù)學（理）強化提高班課程講座第十二章圓錐曲線的方程與性質第02講曲線的方程與性質（一）部分做了專題講解，高考原題與講義中給出的題目只是數(shù)字不同，考查的知識點及解題方法完全相同。（15）若x,y滿足約束條件x-1?0,x-y≤0,x+y-4≤0,則的最大值為【解析】本題考查線性規(guī)劃，根據(jù)題意畫出可行域，可以看做是與原點連線的斜率，因此如果最大值，也就是求斜率的最大值，通過圖形觀察可知在(1,3)處有最大值是3，因此的最大值是3.【點評】本題考查線性規(guī)劃。該題目在高一數(shù)學下（講座2）強化提高班課程講座第五章不等式第06講不等式（六）部分做了專題講解，高考原題與講義中給出的題目只是數(shù)字不同，考查的知識點及解題方法完全相同。（16）在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是【解析】如下圖所示，延長BA，CD交于點E，則可知中，，，，設，則，故可得所以，而因此可得的范圍是.【點評】本題考查三角形。該題目在數(shù)學（理）強化提高班課程講座第八章三角函數(shù)第04講三角函數(shù)（四）部分做了專題講解，高考原題與講義中給出的題目只是數(shù)字不同，考查的知識點及解題方法完全相同。三.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分）Sn為數(shù)列{an}的前n項和.已知an>0，a（Ⅰ）求{an}的通項公式：（Ⅱ）設bn=1【解析】（Ⅰ）因為，所以，兩式相減可得即，，，故可得所以是等差數(shù)列，將代入中可得或（舍去）因此可得通項公式為（Ⅱ），因此它的前n項和為【點評】本題考查數(shù)列。該題目在數(shù)學（理）強化提高班課程講座第六章數(shù)列第05講數(shù)列（五）部分做了專題講解，高考原題與講義中給出的題目只是數(shù)字不同，考查的知識點及解題方法完全相同。（18）如圖，，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。（1）證明：平面AEC⊥平面AFC（2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值【解析】連結，設，連結在菱形中，不妨設，由可得由，可知.又，所以且在中，可得故在中，可得在直角梯形中，，，可得從而有，所以又可得，又，所以(2)如圖，以為坐標原點，分別以和為x軸和y軸正方向，為單位長度，建立直角坐標系，因此可得，所以，故可得所以直線與直線所成角的余弦值是.【點評】本題考查立體幾何。該題目在數(shù)學（理）強化提高班課程講座第十一章立體幾何第03講立體幾何（三）部分做了專題講解，高考原題與講義中給出的題目只是數(shù)字不同，考查的知識點及解題方法完全相同。（19）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費x1和年銷售量y1（i=1,2，···，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值。（x1-）2（w1-）2（x1-）(y-)（w1-）(y-)46.656.36.8289.81.61469108.8表中w1=1,，=根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；（Ⅲ）以知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關系為z=0.2y-x。根據(jù)（Ⅱ）的結果回答下列問題：年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？年宣傳費x為何值時，年利率的預報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)（u1v1）,（u2v2）……..（unvn）,其回歸線v=u的斜率和截距的最小二乘估計分別為：【解析】（1）適宜，由圖像分析可知符合拋物線的方程（2）所以（3）由可得當可得時，年利率的預報值最大【點評】本題考查回歸方程。該題目在高二數(shù)學上（理）強化提高班課程講座第二章統(tǒng)計第01講統(tǒng)計（一）部分做了專題講解，高考原題與講義中給出的題目只是數(shù)字不同，考查的知識點及解題方法完全相同。（20）（本小題滿分12分）在直角坐標系xoy中，曲線C：y=與直線y=ks+a(a>0)交與M,N兩點，（Ⅰ）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；（Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當K變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由?！窘馕觥浚á瘢┊敃r，直線，則C與的交點為M,N，它們的橫坐標是或不妨設對求導可得所以點切線的斜率為，點切線的斜率為所以點切線方程為：點切線方程為：（Ⅱ）設，則直線與直線的斜率互為相反數(shù)，也就是即聯(lián)立方程可得因此可得，所以也就是的坐標與無關，所以存在點在變動時，使得【點評】本題考查圓錐曲線。該題目在數(shù)學（理）強化提高班課程講座第十二章圓錐曲線的方程與性質第01講曲線的方程與性質（一）部分做了專題講解，高考原題與講義中給出的題目只是數(shù)字不同，考查的知識點及解題方法完全相同。（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（x）=(Ⅰ)當a為何值時，x軸為曲線的切線；（Ⅱ）用表示m,n中的最小值，設函數(shù)，討論h（x）零點的個數(shù)【解析】(Ⅰ)根據(jù)已知，，若軸為曲線的切線，設切點橫坐標為，則可得即，解得所以當時，軸為曲線的切線.（Ⅱ）當時，，于是單調(diào)遞增，而，于是與有唯一交點，且交點的橫坐標，此時函數(shù)的零點個數(shù)為1.當時，在上遞減，在上遞增，在處有極小值為此時與在內(nèi)憂唯一交點，函數(shù)的零點個數(shù)為1.當時，此時極小值為0，函數(shù)的零點個數(shù)為2當時，此時的極小值小于0，因此函數(shù)的零點個數(shù)為3當時，此時與相交于，函數(shù)的零點個數(shù)為2當時，此時與的交點的橫坐標大于1，此時函數(shù)的零點個數(shù)為1綜上可得，數(shù)的零點個數(shù)為：【點評】本題考查函數(shù)的性質。該題目在數(shù)學（理）強化提高班課程講座第三章函數(shù)的性質及其應用第01講函數(shù)的性質及其應用（一）部分做了專題講解，高考原題與講義中給出的題目只是數(shù)字不同，考查的知識點及解題方法完全相同。請考生在（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做第一個題目計分，做答時，請用2B