高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第一篇專題突破專題三三角函數(shù)與解三角形刺第2講三角恒等變換與解三角形文

第2講三角恒等變換與解三角形1/38考情分析2/38總綱目錄考點(diǎn)一

三角恒等變換及求值考點(diǎn)二正、余弦定理在解三角形中應(yīng)用(高頻考點(diǎn))考點(diǎn)三正、余弦定理實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)四與解三角形相關(guān)創(chuàng)新交匯問題3/38考點(diǎn)一

三角恒等變換及求值1.兩角和與差正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;(2)cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ;(3)tan(α±β)=

.4/382.二倍角正弦、余弦、正切公式(1)sin2α=2sinαcosα;(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;(3)tan2α=

.3.輔助角公式asinx+bcosx=

sin(x+φ)

.5/38經(jīng)典例題(1)(課標(biāo)全國Ⅰ理,15,5分)已知α∈

,tanα=2,則cos

=

.(2)(江蘇,5,5分)若tan

=

,則tanα=

.(3)(安徽合肥第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知sin2α-2=2cos2α,則sin2α+

sin2α=

.答案(1)

(2)

(3)1或

6/38解析(1)因?yàn)棣痢?/p>

,且tanα=

=2,所以sinα=2cosα,又sin2α+cos2α=1,所以sinα=

,cosα=

,則cos

=cosαcos

+sinαsin

=

×

+

×

=

.(2)因?yàn)閠an

=

,所以tanα=tan

=

=

=

.7/38(3)由sin2α-2=2cos2α得sin2α=2+2cos2α,即2sinα·cosα=4cos2α,即cosα

=0或tanα=2.當(dāng)cosα=0時(shí),sin2α+sin2α=1;當(dāng)tanα=2時(shí),sin2α+sin2α=

=

=

.綜上,sin2α+sin2α=1或

.方法歸納三角恒等變換“4大策略”(1)常值代換:尤其是“1”代換,1=sin2θ+cos2θ=tan45°等;(2)項(xiàng)分拆與角配湊:如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β

等;(3)降次與升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次;(4)弦、切互化:普通是切化弦.8/38跟蹤集訓(xùn)1.(河南洛陽第一次統(tǒng)考)若sin

=

,則cos

=

.答案-

解析依題意得cos

=-cos

=-cos

=2sin2

-1=2×

-1=-

.9/382.(云南第一次統(tǒng)一檢測(cè))計(jì)算

=

(用數(shù)字作答).答案

解析

=

=

=

=

.10/38考點(diǎn)二

正、余弦定理在解三角形中應(yīng)用(高頻考點(diǎn))命題點(diǎn)1.利用正、余弦定理求三角形角;2.利用正、余弦定理求三角形邊長(zhǎng)或周長(zhǎng);3.利用正、余弦定理求三角形面積.11/381.正弦定理及其變形在△ABC中,

=

=

=2R(R為△ABC外接圓半徑).變形:a=2RsinA,sinA=

,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC等.2.余弦定理及其變形在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA;變形:cosA=

.3.三角形面積公式S△ABC=

absinC=

bcsinA=

acsinB.12/38經(jīng)典例題(1)(課標(biāo)全國Ⅱ,16,5分)△ABC內(nèi)角A,B,C對(duì)邊分別

為a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,則B=

.(2)(課標(biāo)全國Ⅲ理,17,12分)△ABC內(nèi)角A,B,C對(duì)邊分別為a,b,c.

已知sinA+

cosA=0,a=2

,b=2.①求c;②設(shè)D為BC邊上一點(diǎn),且AD⊥AC,求△ABD面積.13/38解析(1)解法一:由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,即

sin2B=sin(A+C),即sin2B=sin(180°-B),可得B=60°.解法二:由余弦定理得2b·

=a·

+c·

,即b·

=b,所以a2+c2-b2=ac,所以cosB=

,又0°<B<180°,所以B=60°.(2)①由已知可得tanA=-

,所以A=

.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos

,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),或c=4.②由題設(shè)可得∠CAD=

,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=

.答案(1)60°14/38故△ABD面積與△ACD面積比值為

=1.又△ABC面積為

×4×2sin∠BAC=2

,所以△ABD面積為

.15/38方法歸納解三角形普通方法(1)已知兩角和一邊,如已知A、B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a、b.(2)已知兩邊和這兩邊夾角,如已知a、b和C,應(yīng)先用余弦定理求c,再應(yīng)

用正弦定理先求較短邊所正確角,然后利用A+B+C=π求另一角.(3)已知兩邊和其中一邊對(duì)角,如已知a,b和A,應(yīng)先用正弦定理求B,由A

+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有各種情況.(4)已知三邊a、b、c,可應(yīng)用余弦定理求A、B、C.16/38跟蹤集訓(xùn)1.(浙江,14,6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一

點(diǎn),BD=2,連接CD,則△BDC面積是

,cos∠BDC=

.17/38解析∵AB=AC=4,BC=2,∴cos∠ABC=

=

,∵∠ABC為三角形內(nèi)角,∴sin∠ABC=

,∴sin∠CBD=

,故S△CBD=

×2×2×

=

.∵BD=BC=2,∴∠ABC=2∠BDC.又cos∠ABC=

,∴2cos2∠BDC-1=

,得cos2∠BDC=

,又∠BDC為銳角,∴cos∠BDC=

.答案

;

18/382.(課標(biāo)全國Ⅱ理,17,12分)△ABC內(nèi)角A,B,C對(duì)邊分別為a,b,c,

已知sin(A+C)=8sin2

.(1)求cosB;(2)若a+c=6,△ABC面積為2,求b.19/38解析(1)由題設(shè)及A+B+C=π得sinB=8sin2

,故sinB=4(1-cosB).上式兩邊平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去)或cosB=

.(2)由cosB=

得sinB=

,故S△ABC=

acsinB=

ac.又S△ABC=2,則ac=

.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×

×

=4.所以b=2.20/38考點(diǎn)三

正、余弦定理實(shí)際應(yīng)用解三角形應(yīng)用題?？碱愋?1)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中,

可用正弦定理或余弦定理求解;(2)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量包括兩個(gè)或兩個(gè)以上三

角形,這時(shí)需作出這些三角形,先解夠條件三角形,然后逐步求解其它

三角形,有時(shí)需設(shè)出未知量,從幾個(gè)三角形中列出方程(組),解方程(組)得

出所要求解.21/38經(jīng)典例題(福建福州綜合質(zhì)量檢測(cè))如圖,小明在山頂A處觀察到一輛汽車在

一條水平公路上沿直線勻速行駛,小明在A處測(cè)得公路上B,C兩點(diǎn)

俯角分別為30°,45°,且∠BAC=135°.若山高AD=100m,汽車從B點(diǎn)到C點(diǎn)

歷時(shí)14s,則這輛汽車速度約為

m/s(準(zhǔn)確到0.1).參考數(shù)據(jù):

≈1.414,

≈2.236.

22/38解析因?yàn)樾∶髟贏處測(cè)得公路上B,C兩點(diǎn)俯角分別為30°,45°,所以

∠BAD=60°,∠CAD=45°.設(shè)這輛汽車速度為vm/s,則BC=14v,在Rt△ADB中,AB=

=

=200.在Rt△ADC中,AC=

=

=100

.在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠BAC,所以(14v)2=(100

)2+2002-2×100

×200×cos135°,所以v=

≈22.6,所以這輛汽車速度約為22.6m/s.答案22.623/38方法歸納解三角形中實(shí)際問題四個(gè)步驟(1)分析題意,準(zhǔn)確了解題意,分清已知與所求,尤其要了解題中相關(guān)名

詞、術(shù)語,如坡度、仰角、俯角、方位角等;(2)依據(jù)題意畫出示意圖,并將已知條件在圖形中標(biāo)出;(3)將所求解問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中,經(jīng)過合理利用正弦定

理、余弦定理等相關(guān)知識(shí)正確求解;(4)檢驗(yàn)解出結(jié)果是否含有實(shí)際意義,對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍,得出正確答案.24/38跟蹤集訓(xùn)(廣東惠州第三次調(diào)研)如圖所表示,在一個(gè)坡度一定山坡AC頂上

有一高度為25m建筑物CD,為了測(cè)量該山坡相對(duì)于水平地面坡角

θ,在山坡A處測(cè)得∠DAC=15°,沿山坡前進(jìn)50m抵達(dá)B處,又測(cè)得∠DBC=45°,依據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cosθ=

.

答案

-125/38解析由∠DAC=15°,∠DBC=45°可得∠BDA=30°,∠DBA=135°,∠BDC

=90°-(15°+θ)-30°=45°-θ,由三角形內(nèi)角和定理可得∠DCB=180°-(45°-θ)-

45°=90°+θ,依據(jù)正弦定理可得

=

,即DB=100sin15°=100×sin(45°-30°)=25

(

-1),又

=

,即

=

,得cosθ=

-1.26/38考點(diǎn)四

與解三角形相關(guān)創(chuàng)新交匯問題正、余弦定理作為解題工具,常與三角函數(shù)、向量、不等式等知識(shí)

交匯命題,題型有選擇題、填空題,也有解答題.27/38經(jīng)典例題(山東,17,12分)在△ABC中,角A,B,C對(duì)邊分別為a,b,c.已知b=3,

·

=-6,S△ABC=3,求A和a.解析因?yàn)?/p>

·

=-6,所以bccosA=-6,又S△ABC=3,所以bcsinA=6,所以tanA=-1,又0<A<π,所以A=

.又b=3,所以c=2

.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,28/38得a2=9+8-2×3×2

×

=29,所以a=

.方法歸納與解三角形相關(guān)交匯問題關(guān)注點(diǎn)(1)依據(jù)條件恰當(dāng)選擇正弦、余弦定理完成邊角互化.(2)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、面積公式等,靈活利用三角恒等變換公式.29/38跟蹤集訓(xùn)1.(湖南五市十校聯(lián)考)已知△ABC面積為S,且

·

=S.(1)求tanA值;(2)若B=

,c=6,求△ABC面積S.30/38解析(1)由

·

=S得

·

=S.設(shè)△ABC內(nèi)角A,B,C所正確邊分別為a,b,c,則bccosA=

bcsinA?cosA=

sinA,故tanA=2.(2)由(1)中tanA=2>0知0<A<

,則sinA=

,cosA=

.所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

×

+

×

=

.由

=

可得b=

·sinB=

×

=

=2

,故S=

bcsinA=

×2

×6×

=12.31/382.(河南洛陽第一次統(tǒng)考)如圖,平面四邊形ABDC中,∠CAD=∠BAD

=30°.(1)若∠ABC=75°,AB=10,且AC∥BD,求CD長(zhǎng);(2)若BC=10,求AC+AB取值范圍.

32/38解析(1)由已知,易得∠ACB=45°,在△ABC中,

=

?BC=5

.因?yàn)锳C∥BD,所以∠ADB=∠CAD=30°,∠CBD=∠ACB=45°,在△ABD中,∠ADB=30°=∠BAD,所以DB=AB=10.在△BCD中,CD=

=5

.(2)AC+AB>BC=10.cos60°=

?(AB+AC)2-100=3AB·AC,而AB·AC≤

,33/38所以

≤

,解得AB+AC≤20,故AB+AC取值范圍為(10,20].34/381.(廣東惠州第三次調(diào)研)在△ABC中,角A,B,C對(duì)邊分別是a,b,c,已

知b=2,c=2

,且C=

,則△ABC面積為

.隨堂檢測(cè)答案

+1解析由

=

?sinB=

=

,又c>b,且B∈(0,π),所以B=

,所以A=

,所以S=

bcsinA=

×2×2

sin

=

×2×2

×

=

+1.35/382.(貴州貴陽檢測(cè))已知△ABC中,角A,B,C對(duì)邊分別為a,b,c,C=120°,a=2b,則tanA=

.答案

解析由余弦定理得c2=a2+