為什么在高中數(shù)學(xué)課程中加入算法的內(nèi)容

42、為什么在高中數(shù)學(xué)課程中加入算法的內(nèi)容?

（1）時(shí)代的需求

20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)生了很大的變化，有兩個(gè)重要的標(biāo)志，一個(gè)是數(shù)學(xué)的應(yīng)用，這一

點(diǎn)在前面我們已經(jīng)作了介紹。另一個(gè)方面，就是數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)的同步發(fā)展。數(shù)學(xué)

對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)發(fā)展的作用是毋庸置疑的，計(jì)算機(jī)之父有兩個(gè)人，一個(gè)是馮?諾伊曼，一

個(gè)是圖靈，他們都是偉大的數(shù)學(xué)家。對(duì)于計(jì)算機(jī)來說，無論是軟件還是硬件都離不開

算法的設(shè)計(jì)，算法嚴(yán)格地說是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它有自己的體系，它滲透到很多數(shù)學(xué)

分支，尤其是應(yīng)用數(shù)學(xué)分支。計(jì)算機(jī)的應(yīng)用也是一樣的，它離不開程序設(shè)計(jì)，程序設(shè)

計(jì)就是算法設(shè)計(jì)。從另一個(gè)角度，計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起了極大的推動(dòng)作

用，它開拓了數(shù)學(xué)研究的領(lǐng)域，豐富了數(shù)學(xué)研究方法，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系,

拓展了數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍。所有這一切，算法起了重要的作用。

了解算法的基礎(chǔ)知識(shí)和基本應(yīng)用，對(duì)一個(gè)人的發(fā)展是非常重要的。

（2）與傳統(tǒng)的內(nèi)容有密切的聯(lián)系

算法并不是一個(gè)十分陌生的東西，雖然，在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容中沒有出現(xiàn)過這個(gè)名

稱，但是，它的思想反復(fù)體現(xiàn)在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容中，可以說滲透到大部分內(nèi)容之中。

例如，求解一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程組，求解不等式，求解線性

規(guī)劃問題，幾何作圖，幾何證明，等等，都可以說是算法問題。了解了算法的基本知

識(shí)，會(huì)對(duì)這些問題又一個(gè)新的認(rèn)識(shí)。

（3）能引起學(xué)生的興趣

算法的特點(diǎn)是可以操作、可以檢驗(yàn)，在條件允許的學(xué)?？梢宰寣W(xué)生在計(jì)算機(jī)上實(shí)

現(xiàn)，這些都是受學(xué)生歡迎的，它會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生成就感。四個(gè)實(shí)驗(yàn)省的很多教師告訴我

們，學(xué)生對(duì)算法很喜歡，容易教，學(xué)生愛學(xué)，學(xué)生還有很多的創(chuàng)造；有一些學(xué)生過去

不太喜歡數(shù)學(xué)，通過學(xué)習(xí)算法，經(jīng)過操作，驗(yàn)證，漸漸地喜歡了數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)成績(jī)也有

了一定的提高。

（4）對(duì)教師沒有太大的難度

對(duì)教師來說，過去對(duì)算法不太熟悉，在大學(xué)的學(xué)習(xí)中沒有專門學(xué)習(xí)過算法的知識(shí),

有一定的畏懼，這是很正常的。實(shí)際上，算法的內(nèi)容對(duì)教師來說，難度不大，經(jīng)過培

訓(xùn)，不會(huì)有困難，有些地、市、縣教研室采取了一些有效的措施，例如，分成小組，

分工備課，集體研討，教案共享，很好地解決了這個(gè)問題。

很多教師告使我們，教了一遍下來，心里就踏實(shí)了，積累了一些經(jīng)驗(yàn)，我們正在

及時(shí)地總結(jié)這些經(jīng)驗(yàn)，將通過一定方式，告訴大家。

（5）會(huì)對(duì)未來的數(shù)學(xué)課程產(chǎn)生很大的影響

算法進(jìn)入高中，這是一件大事，會(huì)產(chǎn)生一系列連鎖的反映。我們估計(jì)下面的一些

情況會(huì)引起數(shù)學(xué)教育工作者的關(guān)注和研究。我們已經(jīng)了解到有一批碩士、博士研究生

開始研究這些問題。這些研究成果一定會(huì)反映在下一輪數(shù)學(xué)課程改革中。

1）大學(xué)課程設(shè)計(jì)中，會(huì)對(duì)算法的內(nèi)容給與更多的關(guān)注。有一些學(xué)校已經(jīng)開設(shè)“算

法”的選修課；有的學(xué)校把“算法”和相關(guān)的課程有機(jī)地結(jié)合起來，例如，計(jì)算方法

課程融入的大量的算法內(nèi)容；有一些學(xué)校在嘗試把“算法”內(nèi)容與計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)有

機(jī)的結(jié)合起來。“算法”在大學(xué)數(shù)學(xué)教育中會(huì)成為關(guān)注的問題之一。在師范大學(xué)數(shù)學(xué)

課程中必然會(huì)給與更為特別的關(guān)注。

2）“算法”的內(nèi)容會(huì)以某種方式滲透到初中和小學(xué)，這一點(diǎn)是需要認(rèn)真研究的課

題。

3）“算法”的內(nèi)容進(jìn)入高中，給出一個(gè)明確的導(dǎo)向，數(shù)學(xué)教育將更加關(guān)注“通性

通法”，強(qiáng)化基本技能（skill），淡化技巧（trick）。

4）“算法”是培養(yǎng)邏輯推理能力的非常好的載體。它與平面幾何有很多相同的東

西。例如，不需要很多的準(zhǔn)備知識(shí)；可以產(chǎn)生豐富的問題；這些問題會(huì)很有趣的，也

會(huì)有一定的挑戰(zhàn)性。另外，還有兒點(diǎn)好處是平面兒何所不具備的。例如，算法的思想

方法會(huì)滲透到幾乎每一個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容中，不僅是中學(xué)，在大學(xué)數(shù)學(xué)教育中依然會(huì)發(fā)揮重

要的作用。但是，平面兒何在后繼學(xué)習(xí)中有用的方法和結(jié)果不是很多的。又例如，“算

法”強(qiáng)調(diào)了一種構(gòu)造性的證明，突出“實(shí)現(xiàn)”，這種思想在數(shù)學(xué)上受到越來越大的重

視，尤其在計(jì)算機(jī)的作用越來越大的時(shí)代更加重視。

“算法”這種證明方式是通過框圖的形式展示，一個(gè)問題的算法框圖可以把解決

這個(gè)問題的過程非常清晰的、非常直觀的、非常簡(jiǎn)潔的、非常準(zhǔn)確的表示出來。這對(duì)

學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)的思維過程是非常有用的。

對(duì)“算法”在數(shù)學(xué)教育中的地位和作用應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育研究的重要方面。

43、如何理解算法在高中課程中的定位?

在高中數(shù)學(xué)課程中，算法內(nèi)容的設(shè)計(jì)分為兩部分。

一部分主要介紹算法的基礎(chǔ)知識(shí)，可以稱作算法的“三基”：算法基本思想，算法

基本結(jié)構(gòu)，算法基本語句。通過一些具體的案例介紹算法的基本思想，使學(xué)生了解：

為了解決一個(gè)問題，設(shè)計(jì)出解決問題的系列步驟，任何人實(shí)施這些步驟就可以解決問

題，這就是解決問題的一個(gè)算法。這是對(duì)算法的一種廣義的理解。對(duì)算法的理解，更

多地是與計(jì)算機(jī)聯(lián)系在一起，計(jì)算機(jī)可以完成這些步驟。

算法的基本結(jié)構(gòu)一般有三種：順序結(jié)構(gòu)，分叉結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)。前兩種結(jié)構(gòu)很容

易理解，循環(huán)結(jié)構(gòu)稍微有點(diǎn)難，這里用到函數(shù)思想，難在理解反映循環(huán)過程的循環(huán)變

量。在教學(xué)過程中，一定要通過具體的案例，結(jié)合具體的情境引入概念，會(huì)使問題變

得很簡(jiǎn)單。

介紹算法語句的時(shí)候，要區(qū)分算法語言和基本的算法語句。我們知道，現(xiàn)在使用

的算法語言是很多的，例如，basic語言，q-basic語言，c-語言，等等。在高中的數(shù)

學(xué)課程中，不要求介紹算法語言，僅僅需要了解基本語句，例如，輸入語句，輸出語

句，賦值語句，條件語句，循環(huán)語句，等等。在不同的語言中，這些語句的表示可能

不一樣，數(shù)學(xué)課程要求采用公認(rèn)的統(tǒng)一表示，稱為偽代碼。很容易把偽代碼翻譯成任

何一種算法語言。

描述算法有三種語言：自然語言、框圖語言、基本算法語句。

算法的另一部分設(shè)計(jì)，是把算法的思想融入相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容中。實(shí)際上，算法思想

是貫穿在高中數(shù)學(xué)課程始終的基本思想。例如，二分法求方程的解；點(diǎn)到直線的距離、

點(diǎn)到平面的距離、直線到直線距離；立體幾何性質(zhì)定理的證明過程；一元二次不等式;

線性規(guī)劃；等等內(nèi)容中，都運(yùn)用了算法思想。

用算法思想學(xué)習(xí)和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)于提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)是很有用的，希望老師予以重視。

44、如何理解賦值?

賦值是算法中的難點(diǎn)之一，理解賦值對(duì)于理解算法是非常重要的。

賦值就是把數(shù)值賦予給定的變量。例如，a:=5,就表示變量a被賦予的值是5,即

a=5,這個(gè)被賦值的變量可以與其他的值進(jìn)行運(yùn)算。對(duì)于被賦值的變量a,還可以賦予

其它的值取代原來的值。我們可以用磁帶錄音來比喻賦值，在我們錄音時(shí)，是把磁帶

上舊的錄音材料沖掉之后，才能把新的錄音材料加載上去。同樣的道理，我們這里的

賦值也是先把原來的值清零之后，再把新的值賦上去。下面我們通過一個(gè)例子來說明

如何設(shè)置變量和給變量賦值。

例：設(shè)計(jì)一個(gè)算法，從5個(gè)不同的數(shù)中找出最大數(shù)。

解：記這5個(gè)不同的數(shù)分別為ai,a2,a3,a4,a5,算法步驟如下：

1、比較為與a?將較大的數(shù)記作b.

（在這一步中，b表示的是前2個(gè)數(shù)中的最大數(shù)）

2、再將b與a?進(jìn)行比較，將較大的數(shù)記作b.

（執(zhí)行完這一步后，b的值就是前3個(gè)數(shù)中的最大數(shù)）

3、再將b與a,進(jìn)行比較，將較大的數(shù)記作b.

（執(zhí)行完這一步后，b的值就是前4個(gè)數(shù)中的最大數(shù)）

4、再將b與as進(jìn)行比較，將較大的數(shù)記作b.

（執(zhí)行完這一步后，b的值就是前5個(gè)數(shù)中的最大數(shù)）

5、輸出b,b的值即為所求得最大數(shù)。

分析：上述算法的4個(gè)步驟中，每步都要與上一步中得到的最大數(shù)b進(jìn)行比

較，得出新的最大數(shù)。b可以取不同的值，b就稱之為變量。在第1步到第4步的

算法過程中，我們都把比較后的較大數(shù)記作b,即把值賦予了b,這個(gè)過程就是賦

值的過程，這個(gè)過程有兩個(gè)功能，第一，我們可以不斷地對(duì)b的值進(jìn)行改變，即

把數(shù)值放入b中；第二，b的值每變化一次都是為下一步的比較服務(wù)。

45、如何理解函數(shù)在循環(huán)結(jié)構(gòu)中的作用？

（1）循環(huán)結(jié)構(gòu)是算法的一種基本結(jié)構(gòu)。

例如，設(shè)計(jì)算法，輸出1000以內(nèi)能被3和5整除的所有正整數(shù)。解決這個(gè)問題，

我們首先要引入變量a表示待輸出的數(shù)，則a=15n（n=l,2,3,…,66）.n從n從1變到66,

反復(fù)輸出a,就能輸出1000以內(nèi)的所有能被3和5整除的正整數(shù)。像這樣的算法結(jié)構(gòu)

稱為循環(huán)結(jié)構(gòu)，其中反復(fù)執(zhí)行的部分稱為循環(huán)體。變量n控制著循環(huán)的開始和結(jié)束，

稱為循環(huán)變量。

上述例子的算法中，需要反復(fù)進(jìn)行相同的操作，如果按照順序結(jié)構(gòu)來描述，算法

顯得十分繁瑣，不利于閱讀，如果采取循環(huán)結(jié)構(gòu)來描述，算法就顯得簡(jiǎn)潔、清楚。所

以，循環(huán)結(jié)構(gòu)是--種簡(jiǎn)化算法敘述的結(jié)構(gòu)。

(2)循環(huán)結(jié)構(gòu)是理解算法的另一個(gè)難點(diǎn)，難點(diǎn)在于對(duì)于循環(huán)變量的理解。

循環(huán)結(jié)構(gòu)中的循環(huán)變量分為兩種形式，一種是控制循環(huán)次數(shù)的變量，例如，輸出

1000以內(nèi)能被3和5整除的所有正整數(shù)這個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)中，n就是控制循環(huán)次數(shù)的循環(huán)

變量。另一種是控制結(jié)果精確度的變量，例如用二分法算法求方程f(x戶0在區(qū)間[0,1]

上的一個(gè)近似解的流程圖，要求精確度為3。在這個(gè)算法過程中，精確度b就是控制

結(jié)果精確度的循環(huán)變量。

循環(huán)變量使得循環(huán)體得以“循環(huán)”，循環(huán)變量控制了循環(huán)的“開始”和“結(jié)束”,

是刻畫循環(huán)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵。

(3)循環(huán)結(jié)構(gòu)中循環(huán)變量體現(xiàn)了函數(shù)的思想?！把h(huán)”的過程是依賴于循環(huán)變量取

值的變化而一步步實(shí)現(xiàn)的，這種依賴關(guān)系體現(xiàn)了函數(shù)的思想。在算法設(shè)計(jì)中，選擇適

當(dāng)?shù)难h(huán)變量是得到好算法的關(guān)鍵。

46、如何理解周期現(xiàn)象與三角函數(shù)的關(guān)系?

(1)我們生活在周期變化世界中，大到地球、月亮，小到原子、電子都在周期地

運(yùn)動(dòng)，時(shí)間在年復(fù)一年，月復(fù)一月，日復(fù)一日地變化，所有的生物都會(huì)生老病死，等

等。研究周期變化規(guī)律是我們必須直面的問題。周期函數(shù)是定量地反映周期變化規(guī)律

的基本概念，簡(jiǎn)單地說經(jīng)過一定數(shù)量重復(fù)原來的變化。即f(x+k)=f(x)時(shí),函數(shù)y=f(x)

是一個(gè)周期函數(shù)。

在教學(xué)中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生收集和整理其他學(xué)科、日常生活中的周期變化的實(shí)例。

物理、化學(xué)、生物、地理等學(xué)科中，有很多生動(dòng)的周期變化的實(shí)例，通過這些實(shí)例體

會(huì)周期現(xiàn)象的規(guī)律性，對(duì)于理解相應(yīng)學(xué)科的內(nèi)容很有幫助，例如，交流電的變化等等。

(2)三角函數(shù)本身是最基本的周期函數(shù)，三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正

切函數(shù)等，它們是描述周期現(xiàn)象的一個(gè)重要工具，其中正弦函數(shù)和余弦函數(shù)更為重要,

很多周期現(xiàn)象的規(guī)律都可以由它們直接描述。正如前面所說，三角級(jí)數(shù)可以表示的函

數(shù)范圍是很大的。三角級(jí)數(shù)的理論產(chǎn)生了很多重要的數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的分支，例如，

調(diào)和分析，小波分析，等等。小波分析已經(jīng)成為圖像壓縮技術(shù)的基礎(chǔ)，有巨大的應(yīng)用

刖景。

(3)在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程中，三角學(xué)的內(nèi)容占有很大的成分，早期三角學(xué)不是一門

獨(dú)立的學(xué)科，而是依附于天文學(xué)。直到15世紀(jì)，雷格蒙塔努斯在1464年完成的《論

各種三角形》，這是歐洲第一部獨(dú)立于天文學(xué)的三角學(xué)著作.全書共5卷，前2卷論

述平面三角學(xué)，后3卷討論球面三角學(xué)，是歐洲傳播三角學(xué)的源泉.雷格蒙塔努斯還

較早地制成了一些三角函數(shù)表。三角學(xué)一詞的英文是trigonometry,來

自拉丁文tuigonometuia.最先使用該詞的是文藝復(fù)興時(shí)期的德國(guó)數(shù)學(xué)

家皮蒂斯楚斯(B.Pitiscus,1561~1613),他在1595年出版的《三角學(xué):

解三角形的簡(jiǎn)明處理》中創(chuàng)造這個(gè)詞.其構(gòu)成法是由三角形(tuiangulum)

和測(cè)量(metuicus)兩字湊合而成.要測(cè)量計(jì)算離不開三角函數(shù)表和三角學(xué)

公式，它們是作為三角學(xué)的主要內(nèi)容而發(fā)展的.

1722年英國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗(A.DeMeiver)得到以他的名字命名的三

角學(xué)定理

（cos9±isin0）n=cosn0+isinn9,

并證明了n是正有理數(shù)時(shí)公式成立。他的工作是三角學(xué)的研究進(jìn)入了新的時(shí)代。

1748年歐拉（L.Euler）證明了n是任意實(shí)數(shù)時(shí)公式也成立，他還給出另

一個(gè)著名公式e'"=cos0+isin。。

這個(gè)工作對(duì)三角學(xué)的發(fā)展起到了重要的推動(dòng)作用。

近代三角學(xué)是從歐拉的《無窮分析引論》開始的.他定義了單位圓，并以函數(shù)線

與半徑的比值定義三角函數(shù)，他還創(chuàng)用小寫拉丁字母a、b、c表示三角形三條邊，

大寫拉丁字母A、B、C表示三角形三個(gè)角，從而簡(jiǎn)化了三角公式.使三角學(xué)從研究

三角形解法進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為研究三角函數(shù)及其應(yīng)用，成為一個(gè)比較完整的數(shù)學(xué)分支學(xué)

科.而由于上述諸人及19世紀(jì)許多數(shù)學(xué)家的努力，形成了現(xiàn)代的三角函數(shù)符號(hào)和三角

學(xué)的完整的理論.

傳統(tǒng)的三角學(xué)主要研究測(cè)量、和三角形內(nèi)的各種邊角關(guān)系，反映“靜態(tài)的關(guān)系”，

傳統(tǒng)三角學(xué)的內(nèi)容隨著時(shí)代的發(fā)展逐步消弱。在高中課程中，解三角形是屬于三角學(xué)

的內(nèi)容。三角學(xué)與三角函數(shù)的定位不同，三角函數(shù)是動(dòng)態(tài)的，研究周期變化。成為了

“分析學(xué)”的主要內(nèi)容。

47、初中、高中三角函數(shù)有什么差異?

（1）初中講授的三角函數(shù)是靜態(tài)的，主要討論直角三角形的邊角關(guān)系，通過邊的比

值反映角的大小，而不是從函數(shù)的角度來認(rèn)識(shí)。正弦、余弦、正切都是在給定直角三

角形中定義的，因此角度只限制在0到90度?？梢哉f，解直角三角形是初中這部分內(nèi)

容的定位。

（2）高中是從函數(shù)的角度來研究三角函數(shù)的，因此它強(qiáng)調(diào)的是變化規(guī)律。如何研

究變化的規(guī)律？我們以正弦函數(shù)為例，有以下幾個(gè)過程是需要特別注意。

從一般角的概念--＞給出正弦函數(shù)的定義；

從單位圓一-?正弦函數(shù)的圖像；

從正弦函數(shù)的圖像一-?理解反映正弦函數(shù)變化的基本性質(zhì)：周期（頻率）、單調(diào)區(qū)

間、零點(diǎn)、極值點(diǎn)等；

從研究正弦函數(shù)的兩個(gè)基本圖形：?jiǎn)挝粓A、正弦函數(shù)圖像一-?正弦函數(shù)的基本公

式：例如，sinx=sin（x+2n%）,等等；

從對(duì)基本正弦函數(shù)y=sinx理解---＞影響一般正弦函數(shù)y=Asin（＜yx+夕）變化的參

數(shù)：周期二27r（頻率。），位相9，振幅A等；

co

從對(duì)一般正弦函數(shù)y=Asin（ox+0）變化的參數(shù)初步理解一-?深入認(rèn)識(shí)它們兒何

意義和物理意義。等等。

對(duì)上述過程的理解并不完全在正弦函數(shù)學(xué)習(xí)中完成的。教師應(yīng)該把三角函數(shù)的學(xué)

習(xí)與高中課程其他內(nèi)容學(xué)習(xí)有機(jī)地結(jié)合起來，例如，與物理的電學(xué)知識(shí)，與三角恒等

變換，等等內(nèi)容結(jié)合起來。

(3)在高中三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，有兩件事是非常重要的，一個(gè)是圖形直觀，一個(gè)

是數(shù)形結(jié)合。例如，學(xué)習(xí)正弦函數(shù)時(shí)，圖形直觀通過兩個(gè)圖體現(xiàn)，單位圓，和正弦函

數(shù)圖像，兩個(gè)圖是貫穿始終的。單位圓在以往的教學(xué)中，沒有引起足夠的重視。歐拉

在三角函數(shù)領(lǐng)域的工作就是從單位圓開始的，單位圓不僅僅是為說明定義和繪制圖像,

在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的整個(gè)過程中，它都會(huì)為我們提供很好的兒何直觀。在講授三角函數(shù)

時(shí)，教師很重視數(shù)形結(jié)合，這是很好的教學(xué)傳統(tǒng)。

48、為什么弧度比角度難理解?

有人說弧度是“糊涂”，為什么弧度比較難理解？

(1)角的大小是一個(gè)量，就像長(zhǎng)度，重量，速度，溫度等等量一樣。物理中，我

們知道，一個(gè)量的度量常常用不同的方法來測(cè)量，不同的測(cè)量方法最基本的差異是使

用不同的測(cè)量單位。例如，溫度有兩種我們熟悉的度量單位，攝氏和華氏，中國(guó)人習(xí)

慣使用攝氏溫度，西方則習(xí)慣使用華氏溫度，很多人甚至并不知道攝氏溫度和華氏溫

度的單位是如何確定的。

“角度”容易被接受的原因之一是用“自己"測(cè)量“自己”，并且日常生活中我們

經(jīng)常用這個(gè)單位，久而久之，就不太容易接受其他的角度單位了。

(2)用“弧度”來度量角，需要一個(gè)過程。首先，需要確定長(zhǎng)度單位，用這個(gè)長(zhǎng)度

單位做一個(gè)圓，我們知道圓弧是有長(zhǎng)度的，例如，整個(gè)圓周的長(zhǎng)度是2萬。接著用長(zhǎng)

度單位來測(cè)量弧的長(zhǎng)，我們把長(zhǎng)度為1的弧所對(duì)應(yīng)的角作為角的弧度單位，稱為一弧

度角，這樣我們就確定了度量角的新的單位。最后，我們還必須說明：選擇的長(zhǎng)度單

位不同，但得到的一弧度角都是相同的，弧度指的是一個(gè)比值，它不依賴于圓半徑的

大小，這需要用到相似的概念。即，需要證明任何兩個(gè)圓是相似的，這要用到極限的

思想。對(duì)于這一點(diǎn)在中學(xué)是不要求的。

(3)“弧度”與“角度的區(qū)別在于，角度是“自己”量“自己”，弧度是用“其它

的東西”量角，用“長(zhǎng)度”量角，這是容易造成不習(xí)慣的地方。也正是由于這一點(diǎn)，

弧度給我們帶來了很多好處。

當(dāng)我們用三角函數(shù)刻畫很多自然現(xiàn)象時(shí)，例如，y=sinx,在這里，x不僅可以是角

度，也可以是時(shí)間，或是其他什么量。

在計(jì)算上也可以帶來很大的方便，比如，當(dāng)x趨于0時(shí)，lim皿=1,我們知道

X

這是非常重要的一個(gè)極限，它確保了三角函數(shù)的可導(dǎo)性。這個(gè)結(jié)果成立是由于我們使

用了弧度，弧度把長(zhǎng)度的單位和角度的單位統(tǒng)一起來。

49、如何用解析幾何思想理解三角函數(shù)定義?

(1)在前面我們強(qiáng)調(diào)了單位圓在學(xué)習(xí)三角函數(shù)中的作用。首先，單位圓的作用反

映在對(duì)任意角的理解，從銳角，直角，鈍角，平角，周角，一直到任意角，它們會(huì)很

清晰地反映在單位圓中。

(2)一般三角函數(shù)的定義是借助于單位圓給出的。如圖所示:

在單位圓中，給定一個(gè)角x,角的終邊與單位圓相交于一點(diǎn)M,這一點(diǎn)M的坐標(biāo)

(a,b)就完全地確定了所有三角函數(shù)的值。即

sinx=b,cosx=a,tanx=—(a不為0),等等。

a

點(diǎn)M的坐標(biāo)蘊(yùn)含著豐富的含義，包括代數(shù)的和兒何的含義。如，b是一個(gè)數(shù)，它的符

號(hào)表示點(diǎn)M所處的位置，當(dāng)b大于0,點(diǎn)M處于一或三象限，當(dāng)b小于0,點(diǎn)M處

于二或四象限，b等于0,點(diǎn)M處在y軸上；這樣，a、b都大于0,則M點(diǎn)位于第一

象限，角是第一象限的角。

數(shù)形結(jié)合在這里體現(xiàn)得十分清楚，正弦函數(shù)的幾何意義就是點(diǎn)M縱坐標(biāo)b的幾何

意義。它較正弦函數(shù)線更直接、更準(zhǔn)確，因?yàn)?，正弦函?shù)線很難體現(xiàn)正負(fù)關(guān)系。

對(duì)于正弦、余弦函數(shù)作圖來說，運(yùn)用解析兒何的坐標(biāo)思想也要方便一些。對(duì)正切

函數(shù)，需要做一個(gè)轉(zhuǎn)化，把點(diǎn)M(a,b)轉(zhuǎn)換為點(diǎn)(1,-),這個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)就直接、

a

準(zhǔn)確的反映了正切的幾何意義。而正切函數(shù)線很難體現(xiàn)正負(fù)關(guān)系。

(3)三角函數(shù)線的使用是歷史的原因造成的，在前面介紹了一點(diǎn)歷史，早期的三

角學(xué)是“靜態(tài)”數(shù)學(xué)，函數(shù)思想、解析兒何的思想的產(chǎn)生比“靜態(tài)”的三角學(xué)要晚。

在現(xiàn)代的數(shù)學(xué)教育中，應(yīng)該強(qiáng)化解析幾何的思想，在一些教材中，淡化了三角函數(shù)線,

強(qiáng)調(diào)了解析兒何的思想，這將會(huì)變成趨勢(shì)。

50、在中學(xué)數(shù)學(xué)中為什么要引入向量?

有人說，中學(xué)數(shù)學(xué)中引入向量，用向量來處理兒何問題，是因?yàn)橛孟蛄勘扔镁C合

幾何的方法簡(jiǎn)單、容易。這種看法是不全面的。雖然有許多問題，用向量處理確實(shí)比

用綜合兒何方法簡(jiǎn)單，但也可以找到用綜合兒何的方法處理更簡(jiǎn)單的問題。

向量之所以被引入到中學(xué)，這是因?yàn)橄蛄吭跀?shù)學(xué)中占有重要的地位。向量作為一

個(gè)既有方向又有大小的量，在數(shù)學(xué)中是一個(gè)最基本的概念。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著

不可替代的作用。是代數(shù)、兒何、泛函分析等基礎(chǔ)學(xué)科研究的基本內(nèi)容。

向量是代數(shù)的對(duì)象。運(yùn)算及其規(guī)律是代數(shù)學(xué)的基本研究對(duì)象。向量可以進(jìn)行多種

運(yùn)算，如，向量的加法、減法，數(shù)與向量的乘法（數(shù)乘），向量與向量的數(shù)量積（也稱

點(diǎn)乘），向量與向量的向量積（也稱叉乘）等。向量的這些運(yùn)算包含了三種不同類型的

代數(shù)運(yùn)算。向量的運(yùn)算具有一系列豐富的運(yùn)算性質(zhì)。與數(shù)運(yùn)算相比，向量運(yùn)算擴(kuò)充了

運(yùn)算的對(duì)象和運(yùn)算的性質(zhì)。

向量是幾何的對(duì)象。向量可以用來表示空間中的點(diǎn)、線、面。如果，以坐標(biāo)系的

原點(diǎn)為起點(diǎn)，向量就與空間中的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；一點(diǎn)和一個(gè)非零向量可以唯

一確定一條直線，它通過這個(gè)點(diǎn)且與給定向量平行；同樣，一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)非零向量，

可以唯一確定一個(gè)平面，它過這個(gè)點(diǎn)且與給定向量垂直。在高維空間中，這種表示十

分有用，還可以表示曲線，曲面。因此，向量可以描述、刻畫和替代兒何中的基本研

究對(duì)象——點(diǎn)、線、面，它也是幾何研究的對(duì)象。向量是幾何研究對(duì)象，這種認(rèn)識(shí)很

重要。在立體兒何中，可用向量來討論空間中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系；判斷線線、

線面、面面的平行與垂直，用向量來度量幾何體：計(jì)算長(zhǎng)度、角度、面積等。隨著數(shù)

學(xué)視野不斷拓展，這樣的觀念會(huì)給我們?cè)絹碓蕉嗟挠锰帯?/p>

向量是溝通代數(shù)與幾何的一座天然橋梁。它不需要什么過渡。在數(shù)學(xué)中，我們有

兩座溝通代數(shù)與幾何的橋梁，一是向量，一是坐標(biāo)系。坐標(biāo)系依賴于原點(diǎn)的選擇。向

量的優(yōu)越性在于可以不依賴于原點(diǎn)，空間中每一點(diǎn)的地位是平等的，它不依賴坐標(biāo)，

因此，它比坐標(biāo)系更一般、更重要。一方面，通過向量的運(yùn)算可以解決幾何中的問題。

比如，兩直線是否垂直的問題，就可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量的點(diǎn)積是否為零的問題，這就

實(shí)現(xiàn)了利用代數(shù)方法來解決幾何問題。另一方面.，對(duì)于代數(shù)問題，通過向量可以給予

兒何的解釋。比如，兩個(gè)向量的點(diǎn)積為零，那么就說明這兩個(gè)向量所表示的直線是相

互垂直的等等。

向量具有豐富的物理背景。向量是連接數(shù)學(xué)和物理的一個(gè)橋梁。物理學(xué)研究的基

本量之一是矢量。物理學(xué)中的矢量既有大小和方向，又有作用點(diǎn)。如力、位移、速度、

加速度、動(dòng)量、電場(chǎng)強(qiáng)度等都是物理學(xué)中研究的矢量，這些量貫穿于物理學(xué)的許多分

支。矢量是現(xiàn)實(shí)存在的，在日常生活中可以觀察、感受到的。物理中的矢量是數(shù)學(xué)中

的向量的現(xiàn)實(shí)原型，為數(shù)學(xué)中的向量提供了豐富的物理背景。物理中的矢量與向量的

差別只在于，矢量不但有大小和方向，而且還要考慮作用點(diǎn)；而向量和作用點(diǎn)無關(guān)。

向量是重要的數(shù)學(xué)模型。如果，用V表示向量的集合，則V對(duì)于向量的加法（+）

運(yùn)算滿足結(jié)合律、交換律、有零元（存在零向量），有負(fù)元（每個(gè)向量都有與其方向相

反、長(zhǎng)度相等的向量），因此，V對(duì)于向量的加法運(yùn)算構(gòu)成交換群，即（V,+）是交

換群。V中向量的加法、實(shí)數(shù)域R中的實(shí)數(shù)與向量的乘法（數(shù)乘.）運(yùn)算滿足線性空間

的8條基本性質(zhì)，因此，V、R對(duì)于對(duì)向量加法、數(shù)與向量乘法運(yùn)算構(gòu)成線性空間，

即（V,R,+,.）是線性空間（向量空間）。V中向量的數(shù)量積運(yùn)算可以刻畫向量的長(zhǎng)度，給

V中的向量賦以長(zhǎng)度（向量0的長(zhǎng)度用||a|表示）后，V、R對(duì)于向量的加法、實(shí)數(shù)

與向量的乘法（數(shù)乘.）運(yùn)算構(gòu)成線性賦范空間，即（V,R,||）是一個(gè)線性

賦范空間。群、線性空間、線性賦范空間都是重要的數(shù)學(xué)模型，也是抽象代數(shù)、線性

代數(shù)、泛函分析的重要研究對(duì)象。因此，向量為理解抽象代數(shù)、線性代數(shù)、泛函分析

提供了基本的數(shù)學(xué)模型。

向量有著廣泛的應(yīng)用。向量不僅在物理中有著大量的應(yīng)用，而且高維向量被廣泛

地用來描述多指標(biāo)的對(duì)象，從而在各個(gè)領(lǐng)域，包括社會(huì)科學(xué)，都有著廣泛的應(yīng)用。

向量簡(jiǎn)單易懂。向量被引入中學(xué)還因?yàn)樗m合中學(xué)生的認(rèn)知水平。向量的概念有

著清楚的物理背景，學(xué)生很容易懂；向量的運(yùn)算并不復(fù)雜，學(xué)生掌握起來沒有困難。

學(xué)習(xí)向量非常有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力。

51、向量對(duì)于學(xué)生理解數(shù)學(xué)運(yùn)算有哪作用？

運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)基本內(nèi)容。運(yùn)算對(duì)象的不斷擴(kuò)展是數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線

索。從小學(xué)開始，學(xué)生所接觸的運(yùn)算對(duì)象就在不斷地?cái)U(kuò)展，從整數(shù)到分?jǐn)?shù)，從正數(shù)到

負(fù)數(shù)，從有理數(shù)到實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)，從數(shù)到字母、到多項(xiàng)式等。數(shù)運(yùn)算，字母、多項(xiàng)式運(yùn)

算，向量運(yùn)算，函數(shù)、映射、變換運(yùn)算，矩陣運(yùn)算等是數(shù)學(xué)中的基本運(yùn)算。

從數(shù)運(yùn)算到字母運(yùn)算，是運(yùn)算的一次跳躍。數(shù)運(yùn)算可以用來刻畫具體問題中的數(shù)

量關(guān)系，解決一個(gè)一個(gè)的具體問題。而字母運(yùn)算則可以刻畫一類問題中的蘊(yùn)涵的規(guī)律,

解決一類問題。例如，a+(b+c)=(a+b尸c,就刻畫了數(shù)運(yùn)算的一個(gè)基本規(guī)律---結(jié)合律。

同時(shí)，字母運(yùn)算也是表達(dá)函數(shù)關(guān)系、刻畫普遍規(guī)律的工具。從數(shù)運(yùn)算進(jìn)入字母運(yùn)算，

是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一次質(zhì)變，學(xué)生對(duì)運(yùn)算的理解也會(huì)產(chǎn)生一個(gè)跳躍。

從數(shù)運(yùn)算，到向量運(yùn)算，是運(yùn)算的又一次跳躍。在代數(shù)中，對(duì)于三個(gè)集合A、B、

C,稱映射AXB-C為AXB到C的代數(shù)運(yùn)算，特別地，稱映射AXA-A為A中的

二元代數(shù)運(yùn)算。數(shù)運(yùn)算、多項(xiàng)式運(yùn)算都是AXA-A型的代數(shù)運(yùn)算，數(shù)與多項(xiàng)式的運(yùn)

算屬于AXB-B型的代數(shù)運(yùn)算。向量的加法、減法運(yùn)算的特征是兩個(gè)向量通過加法、

減法運(yùn)算得到第三個(gè)向量，即屬于AXA-A型的代數(shù)運(yùn)算；向量的數(shù)乘運(yùn)算的特征

是一個(gè)數(shù)與一個(gè)向量通過數(shù)乘運(yùn)算得到一個(gè)向量，即屬于AXB-B型的代數(shù)運(yùn)算；向

量的數(shù)量積運(yùn)算的特征是兩個(gè)向量通過數(shù)量積運(yùn)算得到一個(gè)數(shù)，即屬于AXA-B型

的代數(shù)運(yùn)算。向量運(yùn)算不同于數(shù)的運(yùn)算，它涵蓋了三種類型的代數(shù)運(yùn)算。與數(shù)運(yùn)算相

比，向量運(yùn)算擴(kuò)充了運(yùn)算的對(duì)象和運(yùn)算的性質(zhì)。向量的數(shù)量積運(yùn)算可以刻畫向量的長(zhǎng)

度，從而使得我們可以通過代數(shù)運(yùn)算刻畫長(zhǎng)度、面積、體積等兒何度量問題。向量運(yùn)

算更加清晰地展現(xiàn)了三種類型的代數(shù)運(yùn)算的特征以及代數(shù)運(yùn)算的功能，同時(shí)，向量運(yùn)

算具有與數(shù)運(yùn)算不同的一些運(yùn)算律，這對(duì)于學(xué)生進(jìn)一步理解其它數(shù)學(xué)運(yùn)算、發(fā)展學(xué)生

的運(yùn)算能力具有基礎(chǔ)作用。因此，從數(shù)運(yùn)算到向量運(yùn)算，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的又一次

質(zhì)變，學(xué)生對(duì)運(yùn)算的理解也會(huì)更上一層樓。

在以后的學(xué)習(xí)中，運(yùn)算對(duì)象還要進(jìn)一步拓展。向量的學(xué)習(xí)，為學(xué)生今后進(jìn)一步學(xué)

習(xí)其它數(shù)學(xué)運(yùn)算，體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義以及運(yùn)算在建構(gòu)數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的作用，奠定了基

礎(chǔ)。

52、如何理解向量與物理中矢量的關(guān)系?

數(shù)學(xué)與物理從本原上看有著天然的聯(lián)系。

物理學(xué)研究的基本量之一是矢量。物理學(xué)中的矢量既有大小和方向，又有作用點(diǎn)。

例如，力、位移、速度、加速度、動(dòng)量、電場(chǎng)強(qiáng)度等都是物理學(xué)中研究的矢量，這些

量貫穿于物理學(xué)的許多分支。

物理中的矢量是有固定起點(diǎn)（作用點(diǎn)）的有向線段，數(shù)學(xué)中的向量沒有固定起點(diǎn)

（作用點(diǎn)），是自由矢量。研究矢量既要用到有向線段，也要用到矢量的運(yùn)算。數(shù)學(xué)中

的向量及其運(yùn)算是物理中矢量及其運(yùn)算的抽象。如，兩次接連的位移確定一個(gè)新的位

移，這正是向量加法的原型之一；力所做的功是由力與位移兩個(gè)矢量所唯一確定的一

個(gè)數(shù)，這正是向量數(shù)量積的原型之一。因此，向量體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理的天然聯(lián)系。

53、如何把握向量的教學(xué)?

基于高中數(shù)學(xué)新課程中對(duì)向量的定位，應(yīng)從以下幾個(gè)方面來把握向量的教學(xué)。

（1）突出物理背景

向量具有豐富的質(zhì)理背景。力、位移、速度、加速度等物理量是向量的原型，這

些物理量是學(xué)生在日常生活中能夠經(jīng)常感受到的，為理解向量的概念、向量的運(yùn)算提

供了直觀、現(xiàn)實(shí)的背景。在教學(xué)中，應(yīng)注重突出向量的這些物理背景。例如，在引入

向量的加法運(yùn)算時(shí)，可以位移的合成為背景，這種方式比較直觀。假設(shè)一個(gè)人從A位

移到B（可表示為赤），再?gòu)腂位移到C（可表示為前），則這兩次位移的結(jié)果就產(chǎn)

生了從A到C的位移（可表示為AC）（如圖1）,這個(gè)位移是兩次位移確定的總位移,

把它看成前兩個(gè)位移的和是自然的。這就引入了向量的加法以及加法的三角形法則，

有了三角形法則很容易引出平行四邊形法則；在引入數(shù)與向量的乘法運(yùn)算時(shí)，可以位

移的倍數(shù)或速度的倍數(shù)為背景。位移與速度的倍數(shù)仍然表示位移與速度，這樣可使學(xué)

生對(duì)于數(shù)與向量的數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍然是一個(gè)向量有直觀的認(rèn)識(shí)；在引入向量的數(shù)量

積運(yùn)算時(shí)，可以力做的功為背景。一個(gè)物體受到力F的作用，如果在力的作用方向上

發(fā)生一段位移S,我們就說這個(gè)力對(duì)物體做了功。如果力F的方向與位移S的方向相

同，則功的大小就等于力F的大小與位移S大小的乘積，即忻1閭。如果力F的方向

與位移S的方向成6角（如圖2所示），則與位移S方向相同的分力為4

物體在力Fl的方向上產(chǎn)生了位移S,因而對(duì)物體做的功為網(wǎng)cos6同?？傊?，力所做

的功是一個(gè)標(biāo)量（即用一個(gè)數(shù)來表示），它是由兩個(gè)向量——力和位移所決定的，這正

是向量的數(shù)量積的意義；在引入向量的一些運(yùn)算律時(shí)，也可以以力做功為背景。當(dāng)力

擴(kuò)大九倍時(shí)，力所做的功也相應(yīng)擴(kuò)大九倍，兩個(gè)力的合力所做的功等于這兩個(gè)力分別

所做的功的和。由此可引出，向量的數(shù)乘運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算滿足結(jié)合律：（Aa）b=Xab）,

向量的數(shù)量積運(yùn)算對(duì)于向量的加法運(yùn)算滿足分配律：a（b+c）=ab+aco

圖2-8

圖T

__J圖一2

（2）注重向量的代數(shù)性質(zhì)及其兒何意義

向量的代數(shù)性質(zhì)主要表現(xiàn)在向量的運(yùn)算及其運(yùn)算律方面。運(yùn)算是貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)

中的?條主線，學(xué)生最先學(xué)習(xí)的運(yùn)算是數(shù)的運(yùn)算，向量的運(yùn)算與數(shù)運(yùn)算既有聯(lián)系乂有

區(qū)別。例如，向量的加法運(yùn)算與數(shù)的加法運(yùn)算從代數(shù)運(yùn)算的角度看是一致的，都是A

XA-A型的運(yùn)算。但是，向量的加法運(yùn)算的法則是三角形或平行四邊形法則，這與

數(shù)的加法運(yùn)算的法則不同。向量的數(shù)乘運(yùn)算不同于數(shù)的乘法運(yùn)算，它擴(kuò)展了運(yùn)算的對(duì)

象與運(yùn)算的類型，屬于AXB-B型的運(yùn)算。向量的數(shù)量積運(yùn)算也不同于數(shù)的乘法運(yùn)算，

它是AXA-B型的運(yùn)算。

在向量的教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注運(yùn)算的意義和運(yùn)算律。運(yùn)算與運(yùn)算律賦予向量集特定的

結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生群、線性空間、線性賦范空間等不同的數(shù)學(xué)模型。例如，向量集V對(duì)于向

量的加法（+）運(yùn)算滿足結(jié)合律、交換律、有零元（存在零向量），有負(fù)元（每個(gè)向量

都有與其方向相反、長(zhǎng)度相等的向量），這是構(gòu)成交換群的基本性質(zhì)；V中向量的加法、

實(shí)數(shù)域R中的實(shí)數(shù)與向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足數(shù)乘對(duì)向量加法的分配律（入（a+b）=Xa+入b）、

數(shù)乘對(duì)數(shù)加法的分配律（入+y）a=Xa+ya）＞數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)合律（（X.y）a=k（ya））等，

這是構(gòu)成線性空間的基本性質(zhì)。在教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在具體運(yùn)算的基礎(chǔ)上總結(jié)這些

運(yùn)算律，認(rèn)識(shí)這些運(yùn)算律對(duì)于研究向量和運(yùn)用向量解決問題以及建構(gòu)數(shù)學(xué)體系的重要

意義。當(dāng)然，群、線性空間、線性賦范空間等這些概念是不需要給學(xué)生介紹的，但老

師應(yīng)當(dāng)清楚。

在向量的教學(xué)中，特別要重視向量的數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算與數(shù)的乘法運(yùn)算的區(qū)

別與聯(lián)系，應(yīng)將向量的運(yùn)算及運(yùn)算律與數(shù)的運(yùn)算及運(yùn)算律進(jìn)行比較，幫助學(xué)生理解向

量運(yùn)算的意義及其運(yùn)算律，為進(jìn)一步理解其它代數(shù)運(yùn)算奠定基礎(chǔ)。例如，對(duì)于數(shù)運(yùn)算

來說，0是唯一的加法“零元”，1是唯一的乘法“單位元”，即0,1是兩個(gè)特殊的數(shù),

它們滿足以下運(yùn)算律：對(duì)于任何數(shù)a,0+a=a,0a=0,la=a。對(duì)于向量的加法運(yùn)算

來說，零向量0也是唯一的加法“零元”，對(duì)于任何向量a,0+a=a。但是向量的數(shù)

乘運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算則具有不同于數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律：對(duì)于任何向量a,0a=0,la=a,

0a=0o雖然也有單位向量的概念，但單位向量不是數(shù)量積運(yùn)算的單位元，即eaWa,

而且單位向量也不唯一。若把單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則所有單位向量構(gòu)成一個(gè)

單位圓（球）；數(shù)的乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律、消去律，即對(duì)于任何數(shù)a,b,c,（ab）c=a

（be）,若ab=ac，且aWO,則b=c。對(duì)于向量的數(shù)量積運(yùn)算來說，（ab）cWa（be）。

這是因?yàn)?，ab,be都是實(shí)數(shù)，（ab）c是與c方向相同或相反的向量，a（be）是與a

方向相同或相反的向量，而a與c不一定共線，即使共線，（ab）c與a（be）也不一

定相等。若向量a,b,c是三個(gè)互相垂直的非零向量，則ab=ac=O,且aWO,但bW

co因此，向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律、消去律。在教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生明確向量運(yùn)

算與數(shù)運(yùn)算的這些區(qū)別，這樣才能對(duì)向量運(yùn)算乃至代數(shù)運(yùn)算有深入的認(rèn)識(shí)。

在向量的教學(xué)中，還應(yīng)注意揭示向量代數(shù)性質(zhì)的兒何意義。向量代數(shù)性質(zhì)的兒何

意義對(duì)于運(yùn)用向量刻畫幾何對(duì)象及其性質(zhì)是非常重要的。例如，向量數(shù)乘運(yùn)算入a的幾

何意義是與a平行的向量，也可以表示一點(diǎn)和一個(gè)方向向量a所確定的直線。兩個(gè)不

共線向量a與b的線性組合而+yb表示向量a與b所確定的平面等（這一點(diǎn)，標(biāo)準(zhǔn)中

不要求）。這就把向量的線性運(yùn)算與直線、平面聯(lián)系起來；aa的幾何意義就是向量a

的長(zhǎng)度的平方，這就把向量的數(shù)量積運(yùn)算與向量的長(zhǎng)度聯(lián)系起來，從而，也就把向量

的數(shù)量積運(yùn)算與兩點(diǎn)間的距離公式聯(lián)系起來；ab=0的兒何意義是向量a與b垂直，

這就把向量的數(shù)量積運(yùn)算與向量的位置關(guān)系聯(lián)系起來，從而，也就把向量的數(shù)量積運(yùn)

算與直線的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離聯(lián)系起來；設(shè)e是單位向量，則ae表示向量

a在單位向量e上的投影的長(zhǎng)度，這就把向量的數(shù)量積運(yùn)算與向量夾角的三角函數(shù)聯(lián)

系起來。在教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生將向量代數(shù)運(yùn)算與它的兒何意義聯(lián)系起來，這樣才能

運(yùn)用向量代數(shù)性質(zhì)更好地刻畫幾何對(duì)象，從而體會(huì)代數(shù)與幾何的聯(lián)系。

(3)關(guān)注向量在物理、數(shù)學(xué)、現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用。

物理中的矢量是向量的原型，向量及其運(yùn)算是物理中矢量及其運(yùn)算的抽象。因此,

向量在物理中的廣泛應(yīng)用是不言而喻的。在教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地運(yùn)用向量及

其運(yùn)算的性質(zhì)刻畫和解決物理學(xué)科中的問題。

向量在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，向量及其代數(shù)運(yùn)算可以刻畫兒何對(duì)象以及兒何度

量問題，可以表示三角函數(shù)、證明三角函數(shù)的公式，可以表示重要的不等式等。例如，

向量的線性運(yùn)算可以刻畫直線與平面以及平行、共面等關(guān)系，向量的數(shù)量積運(yùn)算可以

刻畫角度、長(zhǎng)度、面積、體積等幾何度量問題以及相交、垂直等關(guān)系；運(yùn)用向量的數(shù)

量積也可以定義三角函數(shù)(設(shè)(el,e2)是平面上的標(biāo)準(zhǔn)正交基，a是平面上的向量，a

ae,.ae.

coscr=-pYsma=1〒

與el的夾角為則可以定義三角函數(shù)如下：同，同，

ae^

tana=--

,運(yùn)用向量的數(shù)量積也很容易推導(dǎo)出兩角差的余弦公式

cos(a-^)=cosacos/?+sinasin/?.向量的數(shù)量積還蘊(yùn)涵著一個(gè)重要的不等關(guān)系ab4

|a||b|,這個(gè)不等關(guān)系可用來證明數(shù)學(xué)中的許多不等式。向量在機(jī)器人設(shè)計(jì)與操

控、衛(wèi)星定位、飛船設(shè)計(jì)等現(xiàn)代技術(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用。因此，在向量的教學(xué)中，

應(yīng)注意體現(xiàn)向量在物理、數(shù)學(xué)、現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中的廣泛應(yīng)用性。特別應(yīng)注意不能把向

量的應(yīng)用只局限在解決兒何問題中。向量是解決兒何問題的一種有效工具，但高中數(shù)

學(xué)新課程中設(shè)置向量?jī)?nèi)容有著更為廣泛的目的，而不僅僅是為了解決幾何問題、簡(jiǎn)化

兒何證明。

54、如何理解三角恒等變換的定位？

恒等變換在數(shù)學(xué)中扮演重要的角色，它的主要作用是化簡(jiǎn)。在數(shù)學(xué)中，通過恒等

變換，可以把復(fù)雜的關(guān)系用簡(jiǎn)單的形式表示出來。因此，恒等變換是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的基

本功之一。

三角恒等變形在后續(xù)學(xué)習(xí)中需要用到。例如，求三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分時(shí)就需要

用到。這些，在高中數(shù)學(xué)課程中是不要求的。

三角函數(shù)中有許多恒等關(guān)系，這些關(guān)系大體上可分為三類。

第一類是三角函數(shù)本身蘊(yùn)涵的恒等關(guān)系。如，對(duì)于正弦函數(shù)，有sinx=sin(x+2k》),

sin(-x)=-sinx,sin(27-x)=-sinx,sin(7-x尸sinx,sin(n+x)=-sinx,等誘導(dǎo)公式。這些恒

等關(guān)系反映了正弦函數(shù)的周期性、奇偶性等性質(zhì)。

第二類是邊角關(guān)系中蘊(yùn)涵的恒等關(guān)系。如，tanx=?,sin2x+cos2x=l,這

COSX

些恒等關(guān)系反映了邊角之間的聯(lián)系以及同角的不同三角函數(shù)之間的聯(lián)系。

第三類是三角函數(shù)運(yùn)算中蘊(yùn)涵的恒等關(guān)系。如，

cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny,sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny等，這些fl［等關(guān)

系映了sinx,cosx,siny,cosy與sin(x+y)、cos(x+y)之間的聯(lián)系。

三角恒等變換問題基本上屬于第三類恒等關(guān)系。在高中數(shù)學(xué)課程中，三角恒等變

換的的出發(fā)點(diǎn)是：sin2x+cos2xtanx-SinA-,cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny。

cosx

三角恒等變換的邏輯體系是：

首先，利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式

cos(x->,)=cosxcosy+sinxsinyo當(dāng)x,y都是銳角時(shí)，直接利用數(shù)量積可以證明，這

比綜合兒何方法要簡(jiǎn)潔，突出了向量的作用；對(duì)于一般的情況，則需要分類討論。

然后，以sin?x+cos2x=1,tanx=,cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny作

cosx

為出發(fā)點(diǎn)，利用cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny以及誘導(dǎo)公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公

式、兩角和與差的正弦公式；利用tanx="土以及上述兩角和與差的正、余弦公式

COSX

推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式；再利用Sin2x+cos2》=l以及上述公式推導(dǎo)出二倍角的

正弦、余弦、正切公式。

最后，利用上述公式推導(dǎo)出積化和差、和差化積、以及半角的正弦、余弦、正切

公式，進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的恒等變換。

上述內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)課程中所要求的三角恒等變換的所有內(nèi)容。

值得注意的是，三角恒等變換這部分內(nèi)容與三角函數(shù)沒有直接的關(guān)系。因此，學(xué)

生學(xué)習(xí)三角函數(shù)后，可以先學(xué)習(xí)平面向量，最后再學(xué)習(xí)三角恒等變換。

高中數(shù)學(xué)課程中對(duì)三角恒等變換的定位主要是兩個(gè)方面。一是通過從一些基本公

式出發(fā)推導(dǎo)出其它公式，體會(huì)演繹推理的作用以及三角恒等關(guān)系的邏輯體系。二是對(duì)

學(xué)生進(jìn)行恒等變形的訓(xùn)練。因此，在三角恒等變換的教學(xué)中，恒等變換的公式基本范

圍是：由兩角差的余弦公式出發(fā)，推導(dǎo)出兩角和余弦、兩角和與差的正弦、正切公式,

二倍角的正弦、余弦、正切公式，積化和差、和差化積、半角公式。以此作為三角恒

等變換的基本訓(xùn)練。本部分教學(xué)應(yīng)特別注意避免在三角恒等變換上深挖洞。

55、如何理解'解三角形’的定位？

解三角形問題是確定線段的長(zhǎng)度和角度的大小。三角形中，有六個(gè)元素：三條邊、

三個(gè)角。解三角形通常是給出三個(gè)獨(dú)立的條件(元素)，求出其他的元素；如果是特殊

的三角形，如直角三角形，兩個(gè)條件(元素)就夠了。

解三角形需要利用邊角關(guān)系。正弦定理與余弦定理是刻畫三角形邊角關(guān)系的重要

性質(zhì)。正弦定理適用于已知兩角一邊，求其它要素；余弦定理適用于已知兩邊和夾角，

或者已知三邊求其它要素。

在解三角形時(shí)，我們倡導(dǎo)使用向量的方法。在證明正弦定理和余弦定理時(shí)，可以

用不同的方法，特別是向量的方法。

'解三角形’中的題目不要太難。要關(guān)注解三角形的應(yīng)用，鼓勵(lì)學(xué)生用不同方法來

解決問題，而不是硬套公式。

56、如何理解數(shù)列在數(shù)學(xué)中的作用以及數(shù)列在中學(xué)數(shù)學(xué)中的定

位？

數(shù)列是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念，教師需要對(duì)數(shù)列在數(shù)學(xué)中的作用和在高中數(shù)學(xué)課程

中的定位有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)。以下的介紹僅僅是一個(gè)提綱攜領(lǐng)的簡(jiǎn)介。

(1)數(shù)列在數(shù)學(xué)中的作用

數(shù)列是特殊的函數(shù)。它的定義域一般是指非負(fù)的正整數(shù)，有時(shí)也可以為自然數(shù)，

或者自然數(shù)的無限子集。自然數(shù)是離散的，數(shù)列通常稱為離散函數(shù)，離散函數(shù)是相對(duì)

定義域?yàn)閷?shí)數(shù)或者實(shí)數(shù)的區(qū)間的函數(shù)而言的。數(shù)列作為離散函數(shù)，在數(shù)學(xué)中有著自己

的重要地位。在高中和大學(xué)，除了專門研究數(shù)學(xué)之外，我們所遇到的函數(shù)都是“好的

函數(shù)”，“好函數(shù)”不僅是連續(xù)的，而且是可導(dǎo)的，像塞函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、

三角函數(shù)等都是好函數(shù)，它們具有任意階導(dǎo)數(shù)。數(shù)列在研究這些函數(shù)中發(fā)揮著重要作

用。

數(shù)列常常用來處理連續(xù)函數(shù)，即通過離散化的辦法來研究一般的函數(shù)。例如，學(xué)

習(xí)過高等數(shù)學(xué)的教師都知道：函數(shù)y=f(x)在X。處連續(xù)可以用數(shù)列來刻畫，對(duì)任意一個(gè)

以X0為極限的數(shù)列Xn，數(shù)列f(Xn)的極限為f(xo)。反之也是正確的，即若錯(cuò)誤！鏈接無

效。則錯(cuò)誤！鏈接無效。

數(shù)列本身也是一個(gè)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象。例如，斐夫那切數(shù)列就是數(shù)學(xué)中研究的一個(gè)

非常重要的數(shù)列。

數(shù)列的生成體現(xiàn)著遞歸思想。遞歸思想是研究數(shù)列的基本思想。例如，研究差分

數(shù)列就依賴于遞歸思想。這是數(shù)學(xué)中的重要思想。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中起著巨大的作用。

數(shù)列是刻畫實(shí)際問題的重要模型。數(shù)列作為一類特殊的函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用。例

如，在我們?nèi)粘＝?jīng)濟(jì)生活中幾乎許多經(jīng)濟(jì)問題都可以歸結(jié)為數(shù)列模型，特別是等差數(shù)

列、等比數(shù)列是最基本的模型。強(qiáng)調(diào)數(shù)列是應(yīng)用的重要模型，就要讓學(xué)生了解老百姓

日常經(jīng)濟(jì)生活中的一些數(shù)列模型。例如，存貸款模型、教育儲(chǔ)蓄模型、分期付款模型、

商家返卷模型等等。這一點(diǎn)是非常重要的。

數(shù)列中蘊(yùn)涵著豐富的恒等關(guān)系。掌握數(shù)列的基本性質(zhì)，例如，等差、等比數(shù)列的

性質(zhì)，熟悉等差、等比數(shù)列的常用公式，了解這些性質(zhì)之間的關(guān)系，可以作為提高恒

等變換能力的載體。

(2)數(shù)列在中學(xué)數(shù)學(xué)的定位

在高中數(shù)學(xué)課程中，不可能完整地體現(xiàn)數(shù)列的功能，即使學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人也沒有必

要完整了解數(shù)列的所有的功能。數(shù)列在高中課程中，要突出兩點(diǎn)。

第一，強(qiáng)調(diào)數(shù)列作為一類特殊的函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用。如前面所說，要讓學(xué)生了

解老百姓日常經(jīng)濟(jì)生活中的一些數(shù)列的經(jīng)濟(jì)模型。例如，存貸款模型、教育儲(chǔ)蓄模型、

分期付款模型、商家返卷模型等等。這一點(diǎn)是非常重要的。

第二，它可以作為提高學(xué)生恒等變形的能力的載體，例如，學(xué)習(xí)“知三求二”等

等。

57、如何理解在等差、等比數(shù)列中'知三求二’的基本要求?

等差（比）數(shù)列有五個(gè)參量：項(xiàng)數(shù)n,通項(xiàng)a。，前n項(xiàng)和Sn，首項(xiàng)由，公差（比）

d（q）0這五個(gè)參量有一定的聯(lián)系，以等差數(shù)列為例，等差數(shù)列有兩個(gè)基本的關(guān)系式：

an=%+（〃一l）d①

%=（%,“）〃②

由①和②可知，我們只要已知這五個(gè)參量中的任意三個(gè)，就可以求出其余的兩個(gè)。

因此，‘知三求二’的問題，就是解①和②構(gòu)成的方程組問題。

對(duì)于解①和②構(gòu)成的方程組問題，標(biāo)準(zhǔn)的要求限制在直接用一元二次方程或二元

一次方程組求解的范圍。對(duì)于等差數(shù)列中可能出現(xiàn)的分式方程，等比數(shù)列中可能出現(xiàn)

的高次方程不在的要求范圍之內(nèi)。

58、如何理解數(shù)列的應(yīng)用？

前面我們已經(jīng)談到，在人們的日常經(jīng)濟(jì)生活中，等差數(shù)列、等比數(shù)列是刻畫日常

經(jīng)濟(jì)生活有關(guān)規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型。

例如，存款、貸款、購(gòu)物（房、車）分期付款、保險(xiǎn)、資產(chǎn)折舊等問題都與其相

關(guān)，它們都可以用等差數(shù)列和等比數(shù)列模型來刻畫。

我們具體以教育儲(chǔ)蓄為例：

2000年我國(guó)推出了一種新的儲(chǔ)蓄方式——教育儲(chǔ)蓄，意在鼓勵(lì)城鄉(xiāng)居民以儲(chǔ)蓄方

式為子女教育儲(chǔ)蓄資金，支持國(guó)家教育事業(yè)的發(fā)展。該儲(chǔ)種儲(chǔ)戶特定，存期分別為1

年、3年和6年，以零存整取的方式存入資金，以相對(duì)應(yīng)年限同檔次的整存整取的利

率計(jì)付利息，利息免稅。其起存金額最低為50元，本金合計(jì)最高限額為2萬元，允許

兩次存足限額，即可約定每次最多存入1萬元，到期一次性支取本利和。這個(gè)問題實(shí)

際上是一個(gè)等差數(shù)列求和的計(jì)算。可以進(jìn)一步抽象為：每月一次將a元存入銀行，連

續(xù)存n次，到3年期滿后，能支取利息多少元，本利和是多少？

設(shè)所得利息是x元，本利和是y元，那么

Y=an+x

=an+[36(2.52%4-12)a+35(2.52%4-12)a+34(2.52%4-12)a+…+(36-n+l)(2.52%4-

12)a]

=1.07665an_0.OOlOSan1元)

這就是計(jì)算三年期教育儲(chǔ)蓄本利和的等差數(shù)列數(shù)學(xué)模型。

在數(shù)列的應(yīng)用中，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，就數(shù)學(xué)問題本身并不難。

這種轉(zhuǎn)化對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是非常重要的，它可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力和數(shù)學(xué)建模能

力。

59、如何理解不等關(guān)系與恒等關(guān)系?

(1)恒等關(guān)系是數(shù)學(xué)中最基本的一種關(guān)系，用它可以反映數(shù)學(xué)中的某些規(guī)律。例

如，在直角三角形中，a、b、c分別表示三角形的三邊，我們就可以用恒等式

/+/=，，來反映三角形三邊的恒等關(guān)系。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，有許多重要的、有意義

的恒等關(guān)系。

例如，a2±2ab+h2^(a+b)2；(a+b\a-b)^a2-b2；a>0ax+y^a'ay；

sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny等。

(2)等量關(guān)系是恒等關(guān)系的一種，是建立方程的基礎(chǔ)。代數(shù)方程是反映已知量和

未知量之間的等量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型，微分方程是反映已知函數(shù)、未知函數(shù)和導(dǎo)函

數(shù)之間的等量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型。它們都是數(shù)學(xué)中重要的研究對(duì)象，也是解決實(shí)際

問題的基本數(shù)學(xué)模型。

(3)恒等變形是我們研究問題的一項(xiàng)基本能力，其實(shí)質(zhì)是充分利用各種不同的運(yùn)

算規(guī)律，改變等式的形式，通過不同的形式發(fā)現(xiàn)規(guī)律。恒等變形是鍛煉學(xué)生運(yùn)算和邏

輯能力的一種載體。

(4)在思考數(shù)學(xué)問題的過程中，我們總是有目的地進(jìn)行恒等變形，例如，在解一

元二次方程時(shí)，配方法就是一種恒等變形，用它可以實(shí)現(xiàn)降幕，把二次方程轉(zhuǎn)化為一

次方程。在討論解線性方程組問題時(shí)，加減消元法(代入消元法)也是一種恒等變形,

用它可以實(shí)現(xiàn)消元的目的，把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。這些恒等變形構(gòu)

成了解決方程問題的通性通法。這樣的例子在數(shù)學(xué)中很多。

在教學(xué)中，不要一味的追求技巧，而做形式上無意義的恒等變形訓(xùn)練。例如，因

式分解是可以練習(xí)恒等變形的載體，像

a2—b~-a2-ab+ab-b2-a(a—h)+b(a-b)-(a+b)(a-b)

這種變形就是一種有意義的恒等變形的練習(xí)。但是如果人為的把兒個(gè)多項(xiàng)式的乘積展

開，再讓學(xué)生去分解因式就毫無意義了。不能為了恒等變形而恒等變形。

(5)不等關(guān)系同樣是數(shù)學(xué)中最基本的一種關(guān)系，它不僅可以反映數(shù)學(xué)中的某些規(guī)

律，也可以反映其它學(xué)科和日常生活的規(guī)律。例如，a2+b2>2ab,就是一個(gè)反映數(shù)

學(xué)規(guī)律的基本不等式，這個(gè)不等式有很多重要的應(yīng)用。又例如，-一般的人，下半身長(zhǎng)

x與全身長(zhǎng)y的比值二在0.57-0.6之間，而芭蕾舞演員在表演時(shí)，腳尖立起給人以美

的享受。原來，腳尖立起調(diào)整了身段的比例。如果設(shè)人的腳尖立起提高了m,則下半

身與全身的長(zhǎng)度