湖南省石門縣一中2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第一次在線月考數(shù)學(xué)試題

湖南省石門縣一中2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期第一次在線月考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A． B． C．1 D．2．若的展開式中的系數(shù)之和為，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．13．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．4．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，其中左視圖中三角形為等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積是（）A． B．C． D．5．若函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．6．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則；其中真命題的個數(shù)為（）A． B． C． D．7．關(guān)于函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，下列敘述正確的是（）A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．先遞減后遞增 D．先遞增后遞減8．已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，若點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．29．記其中表示不大于x的最大整數(shù)，若方程在在有7個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍()A． B． C． D．10．“幻方”最早記載于我國公元前500年的春秋時期《大戴禮》中．“階幻方”是由前個正整數(shù)組成的—個階方陣，其各行各列及兩條對角線所含的個數(shù)之和（簡稱幻和）相等，例如“3階幻方”的幻和為15（如圖所示）．則“5階幻方”的幻和為（）A．75 B．65 C．55 D．4511．已知函數(shù)與的圖象有一個橫坐標(biāo)為的交點(diǎn)，若函數(shù)的圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋逗?，得到的函?shù)在有且僅有5個零點(diǎn)，則的取值范圍是()A． B．C． D．12．將函數(shù)的圖象分別向右平移個單位長度與向左平移(>0)個單位長度，若所得到的兩個圖象重合，則的最小值為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．假設(shè)10公里長跑，甲跑出優(yōu)秀的概率為，乙跑出優(yōu)秀的概率為，丙跑出優(yōu)秀的概率為，則甲、乙、丙三人同時參加10公里長跑，剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為________．14．設(shè)，則除以的余數(shù)是______.15．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為________.16．已知拋物線，點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則線段長度的取值范圍為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），為上的動點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡為曲線.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，求.18．（12分）如圖，是矩形，的頂點(diǎn)在邊上，點(diǎn)，分別是，上的動點(diǎn)（的長度滿足需求）.設(shè)，，，且滿足.（1）求；（2）若，，求的最大值.19．（12分）（1）已知數(shù)列滿足：，且（為非零常數(shù)，），求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）已知數(shù)列滿足：（ⅰ）對任意的；（ⅱ）對任意的，，且.①若，求數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件.②求證：數(shù)列是等比數(shù)列，其中.20．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若函數(shù)最小值為，且，求的最小值.21．（12分）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）過原點(diǎn)且傾斜角為的射線與曲線分別交于兩點(diǎn)（異于原點(diǎn)），求的取值范圍.22．（10分）等差數(shù)列中，，，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且其中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669（1）請選擇一個可能的組合，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記（1）中您選擇的的前項(xiàng)和為，判斷是否存在正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，若有，請求出的值；若沒有，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)z滿足，利用復(fù)數(shù)的除法求得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足，所以，所以z的虛部為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.2．B【解析】

由，進(jìn)而分別求出展開式中的系數(shù)及展開式中的系數(shù)，令二者之和等于，可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由，則展開式中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)為，二者的系數(shù)之和為，得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3．D【解析】

直接相乘，得，由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果【詳解】∵∴其共軛復(fù)數(shù)為.故選：D【點(diǎn)睛】熟悉復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì).4．C【解析】

作出三視圖所表示幾何體的直觀圖，可得直觀圖為直三棱柱，并且底面為等腰直角三角形，即可求得外接球的半徑，即可得外接球的體積.【詳解】如圖為幾何體的直觀圖，上下底面為腰長為的等腰直角三角形，三棱柱的高為4，其外接球半徑為，所以體積為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原幾何體的直觀圖、球的體積公式，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，求解時注意球心的確定.5．B【解析】

求得的導(dǎo)函數(shù)，由此構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可知在上有變號零點(diǎn).由此令，利用分離常數(shù)法結(jié)合換元法，求得的取值范圍.【詳解】，設(shè)，要使在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，即在上有變號零點(diǎn)，令，則，令，則問題即在上有零點(diǎn)，由于在上遞增，所以的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查方程零點(diǎn)問題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.6．C【解析】

利用線線、線面、面面相應(yīng)的判定與性質(zhì)來解決.【詳解】如果兩條平行線中一條垂直于這個平面，那么另一條也垂直于這個平面知①正確；當(dāng)直線平行于平面與平面的交線時也有，，故②錯誤；若，則垂直平面內(nèi)以及與平面平行的所有直線，故③正確；若，則存在直線且，因?yàn)椋?，從而，故④正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系，里面涉及到了相應(yīng)的判定定理以及性質(zhì)定理，是一道基礎(chǔ)題.7．C【解析】

先用誘導(dǎo)公式得,再根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象可由向左平移個單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的平移與單調(diào)性的求解.屬于基礎(chǔ)題.8．A【解析】

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入橢圓方程可得，然后分別求出點(diǎn)到兩條漸近線的距離，由距離之積為，并結(jié)合，可得到的齊次方程，進(jìn)而可求出離心率的值.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，有，得.雙曲線的兩條漸近線方程為和，則點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，所以，則，即，故，即，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，構(gòu)造的齊次方程是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.9．D【解析】

做出函數(shù)的圖象，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在有7個交點(diǎn)，而函數(shù)在上有3個交點(diǎn)，則在上有4個不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知方程在上有3個不同的實(shí)數(shù)根，則在上有4個不同的實(shí)數(shù)根，當(dāng)直線經(jīng)過時，；當(dāng)直線經(jīng)過時，，可知當(dāng)時，直線與的圖象在上有4個交點(diǎn)，即方程，在上有4個不同的實(shí)數(shù)根.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查方程根的個數(shù)求參數(shù)，利用函數(shù)零點(diǎn)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點(diǎn)問題的基本思想，屬于中檔題.10．B【解析】

計算的和，然后除以，得到“5階幻方”的幻和.【詳解】依題意“5階幻方”的幻和為，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查合情推理與演繹推理，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.11．A【解析】

根據(jù)題意，，求出，所以，根據(jù)三角函數(shù)圖像平移伸縮，即可求出的取值范圍.【詳解】已知與的圖象有一個橫坐標(biāo)為的交點(diǎn)，則，，，，，若函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，則，所以當(dāng)時，，在有且僅有5個零點(diǎn)，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)、三角函數(shù)的平移伸縮以及零點(diǎn)個數(shù)問題，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.12．B【解析】

首先根據(jù)函數(shù)的圖象分別向左與向右平移m,n個單位長度后，所得的兩個圖像重合，那么，利用的最小正周期為，從而求得結(jié)果.【詳解】的最小正周期為，那么(∈)，于是，于是當(dāng)時，最小值為，故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)的周期與函數(shù)圖象平移之間的關(guān)系，屬于簡單題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

分跑出優(yōu)秀的人為：甲、乙和甲、丙和乙、丙三種情況分別計算再求和即可.【詳解】剛好有2人跑出優(yōu)秀有三種情況：其一是只有甲、乙兩人跑出優(yōu)秀的概率為；其二是只有甲、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為；其三是只有乙、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為,三種情況相加得.即剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了分類方法求解事件概率的問題,屬于基礎(chǔ)題.14．1【解析】

利用二項(xiàng)式定理得到，將89寫成1+88，然后再利用二項(xiàng)式定理展開即可.【詳解】，因展開式中后面10項(xiàng)均有88這個因式，所以除以的余數(shù)為1.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用，涉及余數(shù)的問題，解決此類問題的關(guān)鍵是靈活構(gòu)造二項(xiàng)式，并將它展開分析，本題是一道基礎(chǔ)題.15．【解析】

根據(jù)三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積．【詳解】根據(jù)三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體，如圖所示：結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計算它的體積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求簡單組合體的體積應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．16．【解析】

連接，易得，可得四邊形的面積為，從而可得，進(jìn)而求出的取值范圍，可求得的范圍.【詳解】如圖，連接，易得，所以四邊形的面積為，且四邊形的面積為三角形面積的兩倍，所以，所以，當(dāng)最小時，最小，設(shè)點(diǎn)，則，所以當(dāng)時，，則，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)時，，此時，因?yàn)殡S著的增大而增大，所以的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查拋物線上的動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的求法，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）（為參數(shù)）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，，則，代入化簡得到答案.（Ⅱ）分別計算，的極坐標(biāo)方程為，，取代入計算得到答案.【詳解】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，，，故，故的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.（Ⅱ），故，極坐標(biāo)方程為：；，故，極坐標(biāo)方程為：.，故，，故.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，弦長，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.18．（1）（2）【解析】

（1）利用正弦定理和余弦定理化簡，根據(jù)勾股定理逆定理求得.（2）設(shè)，由此求得的表達(dá)式，利用三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.【詳解】（1）設(shè)，，，由，根據(jù)正弦定理和余弦定理得.化簡整理得.由勾股定理逆定理得.（2）設(shè)，，由（1）的結(jié)論知.在中，，由，所以.在中，，由，所以.所以，由，所以當(dāng)，即時，取得最大值，且最大值為.【點(diǎn)睛】本小題考查正弦定理，余弦定理，勾股定理，解三角形，三角函數(shù)性質(zhì)及其三角恒等變換等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，化歸與轉(zhuǎn)換思想，應(yīng)用意識.19．（1）；（2）①；②證明見解析.【解析】

（1）由條件可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、求和公式，即可得到所求；（2）①若，可令，運(yùn)用已知條件和等比數(shù)列的性質(zhì)，即可得到所求充要條件；②當(dāng)，，，由等比數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì)，化簡變形，即可得到所求結(jié)論．【詳解】解：（1），，且為非零常數(shù)，，，可得，可得數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，可得，前項(xiàng)和為；（2）①若，可令，，且，即，，，，對任意的，，可得，可得，，數(shù)列是等比數(shù)列，則，，可得，，即，又，即有，即，數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件為；②證明：對任意的，，，，，當(dāng)，，，可得，即以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列；同理可得以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列；對任意的，，可得，即有，所以對，，，可得，，即且，則，可令，故數(shù)列，，，，，，，，，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，其中．【點(diǎn)睛】本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查分類討論思想方法和推理、運(yùn)算能力，屬于難題．20．（1）（2）【解析】

（1）利用零點(diǎn)分段法，求得不等式的解集.（2）先求得，即，再根據(jù)“的代換”的方法，結(jié)合基本不等式，求得的最小值.【詳解】（1）當(dāng)時，，即，無解；當(dāng)時，，即，得；當(dāng)時，，即，得.故所求不等式的解集為.（2）因?yàn)椋?，則，.當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.故的最小值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查零點(diǎn)分段法解絕對值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化歸