2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)周周回饋練五含解析新人教A版選修1-1

PAGE1-周周回饋練(五)一、選擇題1．以雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的右頂點為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.y2＝16x B.y2＝－16xC.y2＝8x D.y2＝－8x答案A解析本題主要考查雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)．因為雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的右頂點為(4,0)，即拋物線的焦點坐標(biāo)為(4,0)，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x，故選A.2．對拋物線y＝4x2，下列描述正確的是()A.開口向上，焦點為(0,1)B．開口向上，焦點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))C.開口向右，焦點為(1,0)D．開口向右，焦點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，0))答案B解析拋物線y＝4x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq\f(y,4)，開口向上，焦點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16))).故選B.3．與直線2x－y＋4＝0平行的拋物線y＝x2的切線方程為()A.2x－y＋3＝0 B.2x－y－3＝0C.2x－y＋1＝0 D.2x－y－1＝0答案D解析設(shè)切線方程為2x－y＋m＝0，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,2x－y＋m＝0，))得x2－2x－m＝0.由Δ＝4＋4m＝0，得m＝－1，所以切線方程為2x－y－1＝0.故選D.4．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線l交x軸于R，過拋物線上點P(4，－4)作PQ⊥l于Q，則梯形PQRF的面積是()A.18 B.16C.14 D.12答案C解析由題意知PQRF為始終角梯形，其中PQ∥RF，且|PQ|＝4＋1＝5，|RF|＝2，∴S梯形PQRF＝eq\f(5＋2,2)×4＝14.故選C.5．若拋物線y2＝2px(p>0)上三個點的縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列，那么這三個點到拋物線焦點F的距離的關(guān)系是()A.成等差數(shù)列B．既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列C.成等比數(shù)列D．既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列答案A解析設(shè)三點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，則yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2，yeq\o\al(2,3)＝2px3，因為2yeq\o\al(2,2)＝y(tǒng)eq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,3)，所以x1＋x3＝2x2，即|P1F|－eq\f(p,2)＋|P3F|－eq\f(p,2)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|P2F|－\f(p,2)))，所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|.故選A.6．弦AB經(jīng)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則下列說法中錯誤的是()A.當(dāng)AB與x軸垂直時，|AB|最小B.eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)C.以弦AB為直徑的圓與直線x＝－eq\f(p,2)相離D．y1y2＝－p2答案C解析過拋物線y2＝2px(p>0)焦點的弦有下列性質(zhì)：①其最短弦長為2p，此時AB⊥x軸；②x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；③以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；④eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p).比照各選項，只有C中的說法錯誤．故選C.二、填空題7．已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|＝________.答案6解析設(shè)N(0，a)，F(xiàn)(2,0)，那么Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(a,2)))，點M在拋物線上，所以eq\f(a2,4)＝8，解得a＝±4eq\r(2)，所以N(0，±4eq\r(2))，那么|FN|＝eq\r(2－02＋0±4\r(2)2)＝6.8．已知拋物線過原點，焦點在y軸上，拋物線上一點P(m,1)到焦點的距離為5，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．答案x2＝16y解析由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2py(p>0)，則1＋eq\f(p,2)＝5，解得p＝8，即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝16y.9．已知拋物線y2＝4x，過點P(4,0)的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)的最小值是________．答案32解析設(shè)直線方程為x＝ky＋4，與拋物線的方程聯(lián)立得y2－4ky－16＝0，∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－16.∴yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16k2＋32.故最小值為32.三、解答題10．Rt△AOB的三個頂點都在拋物線y2＝2px上，其中直角頂點O為原點，OA所在直線的方程為y＝eq\r(3)x，△AOB的面積為6eq\r(3)，求該拋物線的方程．解因為OA⊥OB，且OA所在直線的方程為y＝eq\r(3)x，所以O(shè)B所在直線的方程為y＝－eq\f(\r(3),3)x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝\r(3)x，))得點A坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p,3)，\f(2\r(3)p,3)))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝－\f(\r(3),3)x，))得點B坐標(biāo)為(6p，－2eq\r(3)p)．|OA|＝eq\f(4,3)|p|，|OB|＝4eq\r(3)|p|，S△OAB＝eq\f(1,2)|OA|·|OB|＝eq\f(8\r(3),3)p2＝6eq\r(3)，所以p＝±eq\f(3,2).即該拋物線的方程為y2＝3x或y2＝－3x.11．已知拋物線的方程為y2＝6x，直線l：y＝kx＋2與拋物線有兩個不同的交點A，B.(1)求實數(shù)k的取值范圍；(2)若k＝－1，求線段AB的中點M的坐標(biāo)及|AB|.解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝6x，,y＝kx＋2，))消去y并整理，得k2x2＋(4k－6)x＋4＝0，依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≠0，,Δ＝4k－62－16k2>0，))解得k<eq\f(3,4)且k≠0.即實數(shù)k的取值范圍是(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))).(2)當(dāng)k＝－1時，得x2－10x＋4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝10，x1x2＝4.∴y1＋y2＝－(x1＋x2)＋4＝－6.∴點M的坐標(biāo)為(5，－3)．|AB|＝eq\r(1＋－12)|x1－x2|＝eq\r(2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r(100－16)＝2eq\r(42).12．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)上的一點M(3，y0)到焦點F的距離等于4.(1)求拋物線C的方程；(2)若過點(4,0)的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，求△ABO面積的最小值．解(1)依題意可知|MF|＝3＋eq\f(p,2)＝4，所以p＝2.故拋物線C的方程為：y2＝4x.(2)解法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．①當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝4.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝4，))解得y1＝－4，y2＝4，所以S△ABO＝eq\f(1,2)×4×|y1－y2|＝16.②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l：y＝k(x－4)(k≠0)．聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx－4，))消去x得y2－eq\f(4,k)y－16＝0，所以y1＋y2＝eq\f(4,k)，y1·y2＝－16.所以S△ABO＝eq\f(1,2)×4×|y1－y2|＝2eq\r(y1＋y22－4y1·y2)＝2eq\r(16\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋4)))＝8eq\r(\f(1,k2)＋4)>16.綜合①②，△ABO面積的最小值為16.解法二：設(shè)直線l：x＝ty＋4，A(x1，y1)，B(x2